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Properties

Label 6.2e8_3e3_43e5.24t703.1
Dimension 6
Group $A_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 43^{5}$
Frobenius-Schur indicator 0

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$A_4\wr C_2$
Conductor:$1016122358016= 2^{8} \cdot 3^{3} \cdot 43^{5} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 4 x^{5} + 6 x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} - 4 x + 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 24T703
Parity: Odd

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 63.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 4 + 4\cdot 19 + 6\cdot 19^{2} + 17\cdot 19^{3} + 9\cdot 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 10\cdot 19^{6} + 5\cdot 19^{7} + 19^{8} + 19^{9} + 8\cdot 19^{10} + 4\cdot 19^{11} + 19^{12} + 14\cdot 19^{13} + 5\cdot 19^{14} + 6\cdot 19^{15} + 9\cdot 19^{16} + 9\cdot 19^{17} + 4\cdot 19^{18} + 2\cdot 19^{19} + 6\cdot 19^{20} + 13\cdot 19^{21} + 13\cdot 19^{22} + 10\cdot 19^{23} + 4\cdot 19^{24} + 14\cdot 19^{25} + 10\cdot 19^{26} + 14\cdot 19^{27} + 15\cdot 19^{28} + 5\cdot 19^{29} + 7\cdot 19^{30} + 10\cdot 19^{31} + 2\cdot 19^{32} + 19^{33} + 7\cdot 19^{34} + 9\cdot 19^{35} + 18\cdot 19^{37} + 17\cdot 19^{38} + 18\cdot 19^{39} + 15\cdot 19^{40} + 9\cdot 19^{41} + 8\cdot 19^{43} + 2\cdot 19^{44} + 19^{45} + 13\cdot 19^{46} + 2\cdot 19^{47} + 3\cdot 19^{48} + 9\cdot 19^{49} + 10\cdot 19^{50} + 6\cdot 19^{51} + 18\cdot 19^{52} + 3\cdot 19^{53} + 10\cdot 19^{54} + 9\cdot 19^{55} + 15\cdot 19^{56} + 9\cdot 19^{57} + 14\cdot 19^{58} + 13\cdot 19^{59} + 6\cdot 19^{60} + 4\cdot 19^{61} + 9\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 16 a + 4 + \left(7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(6 a + 9\right)\cdot 19^{28} + \left(14 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{30} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{33} + \left(9 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(11 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{35} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{39} + \left(13 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{40} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{42} + \left(7 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{45} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{46} + \left(11 a + 6\right)\cdot 19^{47} + \left(4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{48} + \left(3 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{49} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{50} + \left(18 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{51} + \left(9 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{52} + \left(2 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{53} + 9\cdot 19^{54} + \left(3 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{55} + \left(11 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{56} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{57} + \left(5 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{58} + \left(12 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{59} + \left(4 a + 12\right)\cdot 19^{60} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{61} + \left(14 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 5 a + 13 + \left(13 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(9 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a + 18\right)\cdot 19^{15} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{17} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{23} + \left(a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(4 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a + 5\right)\cdot 19^{30} + \left(15 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{32} + \left(9 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(14 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{36} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{39} + \left(18 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(13 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{42} + \left(15 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(8 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{45} + \left(17 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{46} + \left(17 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{47} + \left(a + 7\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{49} + \left(6 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{50} + \left(10 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{51} + \left(5 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a + 18\right)\cdot 19^{53} + \left(15 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{54} + \left(10 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{55} + \left(10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{56} + \left(a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{57} + \left(7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{58} + \left(a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{59} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{60} + \left(17 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{61} + \left(13 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 11 + 10\cdot 19 + 9\cdot 19^{2} + 7\cdot 19^{3} + 17\cdot 19^{4} + 18\cdot 19^{5} + 16\cdot 19^{6} + 14\cdot 19^{7} + 6\cdot 19^{8} + 15\cdot 19^{10} + 16\cdot 19^{11} + 12\cdot 19^{12} + 19^{13} + 6\cdot 19^{14} + 6\cdot 19^{15} + 8\cdot 19^{16} + 2\cdot 19^{17} + 5\cdot 19^{18} + 3\cdot 19^{19} + 17\cdot 19^{20} + 10\cdot 19^{21} + 11\cdot 19^{22} + 6\cdot 19^{23} + 18\cdot 19^{24} + 16\cdot 19^{25} + 4\cdot 19^{26} + 4\cdot 19^{27} + 11\cdot 19^{28} + 13\cdot 19^{29} + 8\cdot 19^{31} + 11\cdot 19^{32} + 3\cdot 19^{33} + 19^{34} + 2\cdot 19^{35} + 10\cdot 19^{36} + 19^{37} + 16\cdot 19^{38} + 13\cdot 19^{39} + 7\cdot 19^{40} + 17\cdot 19^{41} + 6\cdot 19^{42} + 7\cdot 19^{43} + 5\cdot 19^{44} + 5\cdot 19^{46} + 3\cdot 19^{47} + 7\cdot 19^{48} + 16\cdot 19^{49} + 17\cdot 19^{50} + 16\cdot 19^{51} + 7\cdot 19^{52} + 14\cdot 19^{54} + 7\cdot 19^{55} + 6\cdot 19^{56} + 10\cdot 19^{57} + 6\cdot 19^{58} + 12\cdot 19^{59} + 5\cdot 19^{60} + 18\cdot 19^{61} + 14\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 3 a + 5 + \left(14 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(17 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(6 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(14 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a + 4\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{37} + \left(14 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{39} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(3 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(14 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{46} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a + 11\right)\cdot 19^{48} + \left(18 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{49} + \left(13 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{50} + \left(3 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{51} + \left(16 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(16 a + 4\right)\cdot 19^{54} + \left(6 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{55} + \left(11 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{56} + \left(10 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(18 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{58} + \left(10 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{59} + \left(13 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{60} + \left(10 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{61} + \left(4 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 4 a + 6 + \left(8 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{4} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{7} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{12} + \left(9 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(13 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{23} + \left(7 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{26} + \left(4 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{37} + \left(14 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(17 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{42} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{44} + \left(17 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{47} + \left(17 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{48} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{50} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{51} + \left(9 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{52} + \left(16 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{53} + \left(18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{54} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{55} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{56} + \left(10 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{57} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{58} + \left(16 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{59} + \left(18 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{60} + \left(10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{61} + \left(17 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 12 a + 16 + \left(15 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a + 18\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(7 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(13 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(18 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{18} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(9 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{31} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(18 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{39} + \left(2 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{40} + \left(14 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{41} + \left(16 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{42} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(13 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{44} + \left(13 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(14 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{46} + \left(13 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{47} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{48} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{49} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 19^{50} + \left(5 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{51} + \left(12 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{53} + \left(18 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{54} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{56} + \left(16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{58} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{59} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 19^{60} + \left(16 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{61} + \left(15 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 17 a + 17 + \left(17 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{4} + \left(8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(5 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 19^{19} + \left(12 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{23} + \left(11 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(12 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(6 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{39} + \left(5 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{40} + \left(14 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{41} + \left(a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{42} + \left(14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{45} + \left(13 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{46} + \left(15 a + 13\right)\cdot 19^{47} + \left(14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{48} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{51} + \left(3 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{52} + \left(16 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{54} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{56} + \left(8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{58} + \left(5 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{59} + \left(17 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{60} + \left(13 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{61} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{62} +O\left(19^{ 63 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,3,8)$
$(4,6,7)$
$(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$
$(5,6,7)$
$(1,2,3)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values
$c1$ $c2$
$1$ $1$ $()$ $6$ $6$
$6$ $2$ $(1,2)(3,8)$ $2$ $2$
$9$ $2$ $(1,8)(2,3)(4,6)(5,7)$ $-2$ $-2$
$12$ $2$ $(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$ $0$ $0$
$8$ $3$ $(4,6,7)$ $-3 \zeta_{3} - 3$ $3 \zeta_{3}$
$8$ $3$ $(4,7,6)$ $3 \zeta_{3}$ $-3 \zeta_{3} - 3$
$16$ $3$ $(1,2,8)(4,6,7)$ $0$ $0$
$16$ $3$ $(1,8,2)(4,7,6)$ $0$ $0$
$32$ $3$ $(1,2,3)(4,6,7)$ $0$ $0$
$36$ $4$ $(1,4,8,6)(2,5,3,7)$ $0$ $0$
$24$ $6$ $(1,2)(3,8)(4,6,7)$ $\zeta_{3} + 1$ $-\zeta_{3}$
$24$ $6$ $(1,2)(3,8)(4,7,6)$ $-\zeta_{3}$ $\zeta_{3} + 1$
$48$ $6$ $(1,7,2,4,8,6)(3,5)$ $0$ $0$
$48$ $6$ $(1,6,8,4,2,7)(3,5)$ $0$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.