Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 33.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 8 + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 6 a + 8 + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11 + \left(2 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{17} + 8 a\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(3 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 + 10\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 6\cdot 11^{4} + 2\cdot 11^{5} + 11^{6} + 10\cdot 11^{7} + 2\cdot 11^{8} + 2\cdot 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + 3\cdot 11^{11} + 6\cdot 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 9\cdot 11^{14} + 8\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 8\cdot 11^{17} + 5\cdot 11^{18} + 3\cdot 11^{19} + 8\cdot 11^{20} + 11^{21} + 7\cdot 11^{22} + 8\cdot 11^{23} + 2\cdot 11^{24} + 2\cdot 11^{25} + 5\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 6\cdot 11^{28} + 4\cdot 11^{29} + 9\cdot 11^{30} + 8\cdot 11^{31} + 9\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 10 a + \left(7 a + 4\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{28} + \left(5 a + 10\right)\cdot 11^{29} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 5 a + \left(9 a + 8\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 4 a + 9 + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 11^{10} + 4 a^{2}11^{11} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 8 a + 5 + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{31} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 6 + 5\cdot 11^{2} + 4\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 10\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 11^{7} + 3\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} + 10\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 6\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + 10\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 7\cdot 11^{17} + 2\cdot 11^{18} + 9\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{21} + 10\cdot 11^{22} + 8\cdot 11^{24} + 3\cdot 11^{25} + 9\cdot 11^{27} + 8\cdot 11^{28} + 2\cdot 11^{30} + 5\cdot 11^{31} + 8\cdot 11^{32} +O\left(11^{ 33 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,6)(4,7)$ |
| $(3,4)(6,7)$ |
| $(1,5)(2,8)(3,7)(4,6)$ |
| $(2,5,8)(3,7,6)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,8)(6,7)$ |
| $(1,4)(2,6)(3,8)(5,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $3$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,8)(6,7)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,5)(2,8)(3,7)(4,6)$ | $-2$ |
| $3$ | $2$ | $(1,8)(2,5)(3,6)(4,7)$ | $-2$ |
| $6$ | $2$ | $(3,6)(4,7)$ | $2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(2,5,8)(4,6,7)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,7,5,4)(2,3,8,6)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,6,8,7)(2,4,5,3)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,6,2,4)(3,8,7,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
