Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 163 }$ to precision 10.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 163 }$: $ x^{3} + 7 x + 161 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 64 + 117\cdot 163 + 40\cdot 163^{2} + 95\cdot 163^{3} + 135\cdot 163^{4} + 18\cdot 163^{5} + 105\cdot 163^{6} + 118\cdot 163^{7} + 46\cdot 163^{8} + 52\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 125 + 125\cdot 163 + 153\cdot 163^{2} + 5\cdot 163^{3} + 82\cdot 163^{4} + 150\cdot 163^{5} + 141\cdot 163^{6} + 5\cdot 163^{7} + 59\cdot 163^{8} + 36\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 138 + 82\cdot 163 + 131\cdot 163^{2} + 61\cdot 163^{3} + 108\cdot 163^{4} + 156\cdot 163^{5} + 78\cdot 163^{6} + 38\cdot 163^{7} + 57\cdot 163^{8} + 74\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 82 a + 19 + \left(42 a^{2} + 118 a + 33\right)\cdot 163 + \left(149 a^{2} + 19 a + 153\right)\cdot 163^{2} + \left(148 a^{2} + 4 a + 42\right)\cdot 163^{3} + \left(9 a^{2} + 64 a + 46\right)\cdot 163^{4} + \left(134 a^{2} + 59 a + 82\right)\cdot 163^{5} + \left(47 a^{2} + 113 a + 114\right)\cdot 163^{6} + \left(50 a^{2} + 42 a + 71\right)\cdot 163^{7} + \left(52 a^{2} + 39 a + 135\right)\cdot 163^{8} + \left(128 a^{2} + 78 a + 109\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 25 a^{2} + 86 a + 117 + \left(63 a^{2} + 151 a + 131\right)\cdot 163 + \left(128 a^{2} + 20 a + 55\right)\cdot 163^{2} + \left(130 a^{2} + 6 a + 121\right)\cdot 163^{3} + \left(41 a^{2} + 119 a + 140\right)\cdot 163^{4} + \left(24 a^{2} + 143 a + 58\right)\cdot 163^{5} + \left(85 a^{2} + 117 a + 71\right)\cdot 163^{6} + \left(157 a^{2} + 83 a + 137\right)\cdot 163^{7} + \left(137 a^{2} + 81 a + 154\right)\cdot 163^{8} + \left(112 a^{2} + 7 a + 91\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 44 a^{2} + 16 a + 97 + \left(103 a^{2} + 29 a + 101\right)\cdot 163 + \left(138 a^{2} + 14 a + 103\right)\cdot 163^{2} + \left(68 a^{2} + 49 a + 49\right)\cdot 163^{3} + \left(54 a^{2} + 147 a + 145\right)\cdot 163^{4} + \left(69 a^{2} + 26 a + 51\right)\cdot 163^{5} + \left(95 a^{2} + 4 a + 119\right)\cdot 163^{6} + \left(122 a^{2} + 72 a + 28\right)\cdot 163^{7} + \left(19 a^{2} + 144 a + 92\right)\cdot 163^{8} + \left(37 a^{2} + 58 a + 64\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 115 a^{2} + 65 a + 48 + \left(17 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 163 + \left(38 a^{2} + 129 a + 69\right)\cdot 163^{2} + \left(108 a^{2} + 109 a + 70\right)\cdot 163^{3} + \left(98 a^{2} + 114 a + 134\right)\cdot 163^{4} + \left(122 a^{2} + 76 a + 28\right)\cdot 163^{5} + \left(19 a^{2} + 45 a + 92\right)\cdot 163^{6} + \left(153 a^{2} + 48 a + 62\right)\cdot 163^{7} + \left(90 a^{2} + 142 a + 98\right)\cdot 163^{8} + \left(160 a^{2} + 25 a + 151\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 150 a^{2} + 9 a + 157 + \left(158 a^{2} + 74 a + 143\right)\cdot 163 + \left(111 a^{2} + 72 a + 87\right)\cdot 163^{2} + \left(99 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 163^{3} + \left(142 a^{2} + 44 a + 122\right)\cdot 163^{4} + \left(143 a^{2} + 66 a + 73\right)\cdot 163^{5} + \left(146 a^{2} + 64 a + 33\right)\cdot 163^{6} + \left(44 a^{2} + 75 a + 155\right)\cdot 163^{7} + \left(55 a^{2} + 55 a + 94\right)\cdot 163^{8} + \left(106 a^{2} + 10 a + 61\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 151 a^{2} + 68 a + 53 + \left(103 a^{2} + 100 a + 50\right)\cdot 163 + \left(85 a^{2} + 69 a + 19\right)\cdot 163^{2} + \left(95 a^{2} + 144 a + 11\right)\cdot 163^{3} + \left(141 a^{2} + 162 a + 63\right)\cdot 163^{4} + \left(157 a^{2} + 115 a + 30\right)\cdot 163^{5} + \left(93 a^{2} + 143 a + 58\right)\cdot 163^{6} + \left(123 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 163^{7} + \left(132 a^{2} + 26 a + 76\right)\cdot 163^{8} + \left(106 a^{2} + 145 a + 9\right)\cdot 163^{9} +O\left(163^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,9,7,3,5,4,2,8,6)$ |
| $(2,3)(4,9)(5,7)(6,8)$ |
| $(1,3,2)(4,7,6)$ |
| $(4,6,7)(5,9,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $9$ | $2$ | $(1,7)(2,4)(3,6)(5,9)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,3,2)(4,6,7)(5,8,9)$ | $-3$ |
| $3$ | $3$ | $(1,3,2)(4,7,6)$ | $0$ |
| $3$ | $3$ | $(1,2,3)(4,6,7)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(1,4,3,7,2,6)(5,9)$ | $0$ |
| $9$ | $6$ | $(1,6,2,7,3,4)(5,9)$ | $0$ |
| $6$ | $9$ | $(1,9,7,3,5,4,2,8,6)$ | $0$ |
| $6$ | $9$ | $(1,7,5,2,6,9,3,4,8)$ | $0$ |
| $6$ | $9$ | $(1,8,7,3,9,4,2,5,6)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
