Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 83 }$ to precision 13.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 83 }$: $ x^{3} + 3 x + 81 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 2 + 83 + 23\cdot 83^{2} + 19\cdot 83^{3} + 61\cdot 83^{4} + 4\cdot 83^{5} + 42\cdot 83^{6} + 21\cdot 83^{7} + 53\cdot 83^{8} + 10\cdot 83^{9} + 83^{10} + 19\cdot 83^{11} + 77\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 14 a^{2} + 78 a + 77 + \left(7 a^{2} + 40\right)\cdot 83 + \left(16 a^{2} + 28 a + 77\right)\cdot 83^{2} + \left(9 a^{2} + 18 a + 63\right)\cdot 83^{3} + \left(19 a^{2} + 76 a + 79\right)\cdot 83^{4} + \left(41 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 83^{5} + \left(16 a^{2} + 46 a + 75\right)\cdot 83^{6} + \left(59 a^{2} + 81 a + 61\right)\cdot 83^{7} + \left(12 a^{2} + 44 a + 41\right)\cdot 83^{8} + \left(2 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 83^{9} + \left(61 a^{2} + 19 a + 25\right)\cdot 83^{10} + \left(79 a^{2} + 77 a + 27\right)\cdot 83^{11} + \left(77 a^{2} + 57 a + 26\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 32 + 81\cdot 83 + 68\cdot 83^{2} + 72\cdot 83^{3} + 41\cdot 83^{4} + 56\cdot 83^{5} + 32\cdot 83^{6} + 58\cdot 83^{7} + 16\cdot 83^{8} + 33\cdot 83^{9} + 7\cdot 83^{10} + 3\cdot 83^{11} + 71\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 48 a^{2} + 40 a + 39 + \left(71 a^{2} + 72 a + 62\right)\cdot 83 + \left(39 a^{2} + 15 a + 76\right)\cdot 83^{2} + \left(30 a^{2} + 41 a + 71\right)\cdot 83^{3} + \left(54 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 83^{4} + \left(19 a^{2} + 74 a + 16\right)\cdot 83^{5} + \left(72 a^{2} + 45 a + 46\right)\cdot 83^{6} + \left(18 a^{2} + 61 a + 55\right)\cdot 83^{7} + \left(36 a^{2} + 67 a + 67\right)\cdot 83^{8} + \left(9 a^{2} + 36 a + 67\right)\cdot 83^{9} + \left(16 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 83^{10} + \left(60 a^{2} + 20\right)\cdot 83^{11} + \left(50 a^{2} + 76 a + 63\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 77 + 79\cdot 83 + 29\cdot 83^{2} + 70\cdot 83^{3} + 77\cdot 83^{4} + 73\cdot 83^{5} + 9\cdot 83^{6} + 36\cdot 83^{7} + 61\cdot 83^{8} + 50\cdot 83^{9} + 4\cdot 83^{10} + 11\cdot 83^{11} + 23\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 30 a^{2} + 9 a + 26 + \left(35 a^{2} + 81 a + 14\right)\cdot 83 + \left(65 a^{2} + 72 a + 10\right)\cdot 83^{2} + \left(64 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 83^{3} + \left(33 a^{2} + 67 a + 26\right)\cdot 83^{4} + \left(74 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 83^{5} + \left(39 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 83^{6} + \left(27 a^{2} + 52 a + 81\right)\cdot 83^{7} + \left(25 a^{2} + 7 a + 66\right)\cdot 83^{8} + \left(59 a^{2} + 31 a + 65\right)\cdot 83^{9} + \left(55 a^{2} + 43 a + 14\right)\cdot 83^{10} + \left(15 a^{2} + 7 a + 65\right)\cdot 83^{11} + \left(31 a^{2} + 66 a + 15\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 39 a^{2} + 79 a + 44 + \left(40 a^{2} + 24\right)\cdot 83 + \left(a^{2} + 65 a + 48\right)\cdot 83^{2} + \left(9 a^{2} + 53 a + 63\right)\cdot 83^{3} + \left(30 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 83^{4} + \left(50 a^{2} + 38 a + 51\right)\cdot 83^{5} + \left(26 a^{2} + 79 a + 12\right)\cdot 83^{6} + \left(79 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 83^{7} + \left(44 a^{2} + 30 a + 23\right)\cdot 83^{8} + \left(21 a^{2} + 17 a + 73\right)\cdot 83^{9} + \left(49 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 83^{10} + \left(70 a^{2} + 81 a + 9\right)\cdot 83^{11} + \left(56 a^{2} + 41 a + 67\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 44 a^{2} + 62 a + 31 + \left(42 a^{2} + 76 a + 4\right)\cdot 83 + \left(3 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 83^{2} + \left(52 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 83^{3} + \left(73 a^{2} + 52 a + 45\right)\cdot 83^{4} + \left(55 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 83^{5} + \left(36 a^{2} + 36 a + 58\right)\cdot 83^{6} + \left(18 a^{2} + 19 a + 54\right)\cdot 83^{7} + \left(70 a^{2} + 29 a + 52\right)\cdot 83^{8} + \left(65 a^{2} + 64 a + 14\right)\cdot 83^{9} + \left(47 a^{2} + 33 a + 77\right)\cdot 83^{10} + \left(3 a^{2} + 43 a + 72\right)\cdot 83^{11} + \left(48 a^{2} + 69 a + 57\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 74 a^{2} + 64 a + 8 + \left(51 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 83 + \left(39 a^{2} + 31 a + 76\right)\cdot 83^{2} + \left(37 a + 11\right)\cdot 83^{3} + \left(38 a^{2} + 80 a + 57\right)\cdot 83^{4} + \left(7 a^{2} + 59 a + 74\right)\cdot 83^{5} + \left(57 a^{2} + 15\right)\cdot 83^{6} + \left(45 a^{2} + 2 a + 26\right)\cdot 83^{7} + \left(59 a^{2} + 69 a + 31\right)\cdot 83^{8} + \left(7 a^{2} + 64 a + 64\right)\cdot 83^{9} + \left(19 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 83^{10} + \left(19 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 83^{11} + \left(67 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 83^{12} +O\left(83^{ 13 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,8)(2,9,5)(3,7,4)$ |
| $(1,3,5)(2,6,7)(4,9,8)$ |
| $(2,7,6)(4,9,8)$ |
| $(2,9)(3,5)(4,6)(7,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(1,9)(3,4)(5,8)(6,7)$ |
$0$ |
| $2$ |
$3$ |
$(1,3,5)(2,6,7)(4,9,8)$ |
$-3$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,5,3)(4,9,8)$ |
$0$ |
| $3$ |
$3$ |
$(1,3,5)(4,8,9)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,6,8)(2,9,5)(3,7,4)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,8,6)(2,5,9)(3,4,7)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,8,7)(2,3,4)(5,9,6)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,4,5,9,3,8)(6,7)$ |
$0$ |
| $9$ |
$6$ |
$(1,8,3,9,5,4)(6,7)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
