Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 145.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 + 9\cdot 11^{2} + 8\cdot 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 7\cdot 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + 7\cdot 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 11^{9} + 2\cdot 11^{10} + 6\cdot 11^{11} + 2\cdot 11^{13} + 4\cdot 11^{14} + 5\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 7\cdot 11^{17} + 8\cdot 11^{18} + 8\cdot 11^{19} + 9\cdot 11^{21} + 7\cdot 11^{23} + 7\cdot 11^{24} + 11^{25} + 11^{26} + 7\cdot 11^{27} + 8\cdot 11^{29} + 6\cdot 11^{30} + 7\cdot 11^{31} + 8\cdot 11^{32} + 3\cdot 11^{33} + 11^{34} + 3\cdot 11^{35} + 8\cdot 11^{36} + 5\cdot 11^{37} + 2\cdot 11^{38} + 2\cdot 11^{39} + 4\cdot 11^{40} + 10\cdot 11^{42} + 2\cdot 11^{43} + 10\cdot 11^{44} + 2\cdot 11^{45} + 5\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{47} + 4\cdot 11^{48} + 5\cdot 11^{50} + 5\cdot 11^{52} + 2\cdot 11^{53} + 3\cdot 11^{54} + 3\cdot 11^{55} + 5\cdot 11^{56} + 8\cdot 11^{57} + 4\cdot 11^{58} + 10\cdot 11^{59} + 4\cdot 11^{60} + 5\cdot 11^{61} + 4\cdot 11^{62} + 3\cdot 11^{64} + 8\cdot 11^{65} + 4\cdot 11^{66} + 8\cdot 11^{67} + 9\cdot 11^{68} + 7\cdot 11^{69} + 8\cdot 11^{70} + 5\cdot 11^{71} + 2\cdot 11^{72} + 4\cdot 11^{73} + 9\cdot 11^{74} + 5\cdot 11^{75} + 4\cdot 11^{76} + 6\cdot 11^{77} + 10\cdot 11^{78} + 2\cdot 11^{79} + 8\cdot 11^{80} + 2\cdot 11^{81} + 7\cdot 11^{82} + 9\cdot 11^{84} + 2\cdot 11^{85} + 6\cdot 11^{86} + 6\cdot 11^{87} + 4\cdot 11^{88} + 2\cdot 11^{89} + 2\cdot 11^{90} + 2\cdot 11^{91} + 4\cdot 11^{92} + 10\cdot 11^{93} + 7\cdot 11^{94} + 2\cdot 11^{95} + 11^{96} + 3\cdot 11^{97} + 6\cdot 11^{98} + 11^{99} + 5\cdot 11^{100} + 6\cdot 11^{101} + 4\cdot 11^{102} + 4\cdot 11^{103} + 8\cdot 11^{104} + 8\cdot 11^{105} + 2\cdot 11^{106} + 11^{107} + 10\cdot 11^{108} + 6\cdot 11^{109} + 4\cdot 11^{110} + 5\cdot 11^{111} + 7\cdot 11^{112} + 4\cdot 11^{113} + 3\cdot 11^{114} + 11^{115} + 5\cdot 11^{116} + 4\cdot 11^{118} + 3\cdot 11^{119} + 7\cdot 11^{120} + 9\cdot 11^{122} + 5\cdot 11^{123} + 11^{124} + 8\cdot 11^{125} + 6\cdot 11^{126} + 10\cdot 11^{127} + 8\cdot 11^{128} + 7\cdot 11^{129} + 2\cdot 11^{130} + 7\cdot 11^{131} + 7\cdot 11^{132} + 3\cdot 11^{133} + 3\cdot 11^{134} + 10\cdot 11^{135} + 6\cdot 11^{136} + 7\cdot 11^{137} + 9\cdot 11^{138} + 8\cdot 11^{139} + 10\cdot 11^{140} + 6\cdot 11^{142} + 9\cdot 11^{143} + 6\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 10 a + 4 + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(6 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(a^{2} + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{45} + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{46} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{54} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{56} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{57} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{58} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{60} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{62} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{63} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{64} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{65} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{66} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{67} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{68} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{69} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{71} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{72} + \left(5 a + 9\right)\cdot 11^{73} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{74} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{75} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{76} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{77} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{78} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{79} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{80} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{81} + \left(10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{82} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{83} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 11^{84} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{85} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{86} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{87} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{88} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{89} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{91} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{92} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{93} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{94} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{95} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{96} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{97} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{98} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{99} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{100} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{101} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{102} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{103} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{104} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{105} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{106} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{107} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{108} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{109} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{110} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{112} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{113} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{114} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{115} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{116} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{117} + a^{2}11^{118} + \left(8 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{119} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{120} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{121} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{122} + a^{2}11^{123} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{124} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{125} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{126} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{127} + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{128} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{129} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{130} + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{131} + \left(6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{132} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{133} + a\cdot 11^{134} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{135} + \left(a + 9\right)\cdot 11^{136} + \left(3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{137} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{138} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{139} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{140} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{141} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{142} + \left(4 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{143} + \left(3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 9 a + 8 + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{37} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{41} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{47} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{48} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{51} + \left(7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{52} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{53} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{54} + 2 a^{2}11^{55} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{59} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{60} + \left(7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{61} + \left(3 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{62} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{63} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{64} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{65} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{66} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{67} + \left(9 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{69} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{70} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{71} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{72} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{73} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{74} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{75} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{77} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{78} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{80} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{81} + \left(3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{82} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{83} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{84} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{85} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{86} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{87} + \left(6 a + 6\right)\cdot 11^{88} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{89} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{90} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{91} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{92} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{93} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{94} + \left(3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{95} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{96} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{97} + \left(5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{98} + \left(10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{99} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{100} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{101} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{102} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{103} + \left(6 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{104} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{105} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{106} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{107} + \left(4 a + 8\right)\cdot 11^{108} + \left(5 a + 5\right)\cdot 11^{109} + \left(3 a + 10\right)\cdot 11^{110} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{112} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{113} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{114} + \left(3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{115} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{116} + \left(4 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{117} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{118} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{119} + \left(2 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{120} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{121} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{122} + \left(9 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{123} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{124} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{125} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{126} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{127} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{128} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{129} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{130} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{131} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{132} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{133} + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{134} + \left(8 a + 5\right)\cdot 11^{135} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{136} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{137} + \left(8 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{138} + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{139} + \left(10 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{140} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{141} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{142} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{143} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 + 7\cdot 11 + 8\cdot 11^{2} + 8\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + 11^{5} + 2\cdot 11^{6} + 8\cdot 11^{7} + 6\cdot 11^{9} + 11^{10} + 5\cdot 11^{11} + 6\cdot 11^{12} + 11^{13} + 2\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 5\cdot 11^{16} + 8\cdot 11^{17} + 3\cdot 11^{18} + 10\cdot 11^{19} + 5\cdot 11^{20} + 2\cdot 11^{21} + 10\cdot 11^{22} + 5\cdot 11^{23} + 9\cdot 11^{24} + 10\cdot 11^{25} + 7\cdot 11^{27} + 7\cdot 11^{28} + 8\cdot 11^{30} + 6\cdot 11^{31} + 8\cdot 11^{32} + 7\cdot 11^{33} + 6\cdot 11^{34} + 9\cdot 11^{35} + 11^{36} + 3\cdot 11^{37} + 8\cdot 11^{38} + 6\cdot 11^{39} + 3\cdot 11^{40} + 4\cdot 11^{41} + 9\cdot 11^{42} + 6\cdot 11^{43} + 10\cdot 11^{44} + 10\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 7\cdot 11^{47} + 4\cdot 11^{48} + 7\cdot 11^{49} + 3\cdot 11^{50} + 2\cdot 11^{51} + 9\cdot 11^{52} + 5\cdot 11^{53} + 6\cdot 11^{54} + 10\cdot 11^{55} + 10\cdot 11^{56} + 6\cdot 11^{57} + 5\cdot 11^{58} + 4\cdot 11^{59} + 9\cdot 11^{60} + 8\cdot 11^{61} + 9\cdot 11^{62} + 7\cdot 11^{63} + 5\cdot 11^{64} + 9\cdot 11^{65} + 7\cdot 11^{66} + 3\cdot 11^{67} + 10\cdot 11^{68} + 9\cdot 11^{69} + 10\cdot 11^{71} + 11^{72} + 4\cdot 11^{73} + 4\cdot 11^{74} + 5\cdot 11^{75} + 11^{76} + 11^{77} + 5\cdot 11^{78} + 4\cdot 11^{79} + 7\cdot 11^{80} + 10\cdot 11^{81} + 4\cdot 11^{82} + 11^{83} + 7\cdot 11^{84} + 4\cdot 11^{85} + 2\cdot 11^{86} + 9\cdot 11^{87} + 6\cdot 11^{88} + 6\cdot 11^{89} + 9\cdot 11^{90} + 5\cdot 11^{91} + 3\cdot 11^{93} + 5\cdot 11^{94} + 7\cdot 11^{95} + 11^{96} + 6\cdot 11^{97} + 7\cdot 11^{98} + 10\cdot 11^{99} + 10\cdot 11^{100} + 8\cdot 11^{101} + 4\cdot 11^{102} + 6\cdot 11^{103} + 3\cdot 11^{104} + 5\cdot 11^{105} + 3\cdot 11^{106} + 8\cdot 11^{107} + 9\cdot 11^{108} + 4\cdot 11^{109} + 11^{110} + 7\cdot 11^{112} + 2\cdot 11^{113} + 8\cdot 11^{114} + 6\cdot 11^{115} + 9\cdot 11^{116} + 11^{117} + 10\cdot 11^{118} + 5\cdot 11^{119} + 6\cdot 11^{120} + 9\cdot 11^{121} + 10\cdot 11^{122} + 8\cdot 11^{126} + 6\cdot 11^{128} + 3\cdot 11^{129} + 5\cdot 11^{130} + 8\cdot 11^{131} + 7\cdot 11^{132} + 9\cdot 11^{134} + 8\cdot 11^{135} + 5\cdot 11^{136} + 8\cdot 11^{137} + 6\cdot 11^{138} + 4\cdot 11^{139} + 10\cdot 11^{140} + 4\cdot 11^{141} + 9\cdot 11^{142} + 8\cdot 11^{143} + 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 3 a + 9 + \left(5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{21} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{25} + \left(9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{38} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{43} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{46} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{47} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{49} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{51} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{53} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{54} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a + 8\right)\cdot 11^{57} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{58} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{59} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{60} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{61} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{62} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{63} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{64} + \left(8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{65} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{66} + \left(8 a + 8\right)\cdot 11^{67} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{68} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{69} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{70} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{71} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{72} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{73} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{74} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{75} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{76} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{77} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{78} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{79} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{80} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{81} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{82} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{83} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{84} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{85} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{86} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{87} + \left(4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{88} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{89} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{91} + \left(2 a + 10\right)\cdot 11^{92} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{93} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{94} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{95} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{96} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{97} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{98} + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{99} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{100} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{101} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{102} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{103} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{104} + 5\cdot 11^{105} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{106} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{107} + \left(8 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{108} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{109} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{110} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{111} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{112} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{113} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{114} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{115} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{116} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{117} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{118} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{119} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{120} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{121} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{122} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{123} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{124} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{125} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{126} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{127} + \left(7 a + 4\right)\cdot 11^{128} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{129} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{130} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{131} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{132} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{133} + \left(9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{134} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{135} + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{136} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{137} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{138} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 11^{139} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{140} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{141} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{142} + \left(5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{143} + \left(6 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 9 a + 5 + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(7 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{43} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{48} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{50} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{51} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{52} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{53} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{54} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{55} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{56} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{57} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{58} + \left(10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{59} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{60} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{61} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{62} + \left(a + 7\right)\cdot 11^{63} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 11^{64} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{65} + \left(4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{66} + \left(4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{67} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{68} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{69} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{70} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{71} + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{72} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{73} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{74} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{75} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{76} + \left(10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{78} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{79} + \left(5 a + 1\right)\cdot 11^{80} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{81} + \left(3 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{82} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{83} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{84} + \left(6 a + 3\right)\cdot 11^{85} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{86} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{87} + \left(4 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{88} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{89} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{90} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{91} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{92} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{93} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{94} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{95} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{96} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{97} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{98} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{99} + \left(8 a + 2\right)\cdot 11^{100} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{101} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{102} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{103} + \left(8 a + 5\right)\cdot 11^{104} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{105} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{106} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{107} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{108} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{109} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{110} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{111} + \left(10 a + 5\right)\cdot 11^{112} + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{113} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{114} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{115} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{116} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{117} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{118} + \left(5 a + 10\right)\cdot 11^{119} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{120} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{121} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{122} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{123} + \left(5 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{124} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{125} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{126} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{127} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{128} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{129} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{130} + \left(10 a + 5\right)\cdot 11^{131} + \left(a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{132} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{133} + \left(3 a + 3\right)\cdot 11^{134} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{135} + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{136} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{137} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{138} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{139} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{140} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11^{141} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{142} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{143} + \left(a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 6 a + 7 + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{8} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{40} + 3\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{43} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a + 2\right)\cdot 11^{47} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{48} + \left(10 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{49} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{50} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{52} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{53} + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{54} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{55} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{56} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{57} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{58} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{59} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{60} + 2 a^{2}11^{61} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11^{62} + \left(7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{63} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{64} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{65} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{66} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{67} + \left(8 a + 4\right)\cdot 11^{68} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{69} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{70} + \left(a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{71} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{72} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{73} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{74} + \left(5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{75} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{76} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{77} + \left(6 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{78} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{79} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{80} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{81} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 11^{82} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{83} + \left(a + 1\right)\cdot 11^{84} + \left(10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{85} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 11^{86} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{87} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{88} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{89} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{90} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{91} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{92} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{93} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{94} + 9\cdot 11^{95} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{96} + \left(a + 9\right)\cdot 11^{97} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{98} + \left(10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{99} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{100} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 11^{101} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{102} + \left(8 a + 6\right)\cdot 11^{103} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{104} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{105} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{106} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{107} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{108} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{109} + \left(2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{110} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{111} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{112} + \left(2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{113} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{114} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{115} + \left(5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{116} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{117} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{118} + \left(8 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{119} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{120} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{121} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{122} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{123} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{124} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{125} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{126} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{127} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{128} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{129} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{130} + \left(4 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{131} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{132} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{133} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{134} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{135} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{136} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{137} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{138} + \left(7 a + 10\right)\cdot 11^{139} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{140} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{141} + \left(5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{142} + 10 a^{2}11^{143} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 7 a + 10 + \left(a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{8} + 4 a^{2}11^{9} + 2 a\cdot 11^{10} + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{41} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{42} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{44} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{47} + \left(10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{48} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{49} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{50} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{51} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 11^{52} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{53} + \left(2 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{54} + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{55} + \left(2 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{56} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{57} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{58} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{59} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{60} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{61} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{62} + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{63} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{64} + \left(5 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{65} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{66} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{67} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{68} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{69} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{70} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{71} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{72} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{73} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{74} + \left(2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{75} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{76} + \left(6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{77} + \left(7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{78} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{79} + \left(6 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{80} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{81} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{82} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{83} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{84} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{85} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{86} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{87} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{88} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{89} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{90} + \left(a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{91} + \left(6 a + 7\right)\cdot 11^{92} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{93} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{94} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{95} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{96} + \left(4 a + 6\right)\cdot 11^{97} + 5 a^{2}11^{98} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{99} + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{100} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{101} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{102} + 4 a^{2}11^{103} + \left(5 a + 3\right)\cdot 11^{104} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{105} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{106} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{107} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{108} + \left(4 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{109} + \left(8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{110} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{111} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{112} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{113} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{114} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{115} + \left(2 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{116} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{117} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{118} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{119} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{120} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{121} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{122} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{123} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{124} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{125} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{126} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{127} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{128} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{129} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{130} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{131} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{132} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{133} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{134} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{135} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{136} + 2 a^{2}11^{137} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{138} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{139} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{140} + \left(7 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{141} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{142} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{143} + \left(10 a + 4\right)\cdot 11^{144} +O\left(11^{ 145 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,4,7,8)$ |
| $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
| $(3,4)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(2,6)$ | $2$ |
| $9$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(3,4)$ | $2$ |
| $24$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $36$ | $2$ | $(1,2)(3,4)$ | $-2$ |
| $36$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,4)$ | $-2$ |
| $16$ | $3$ | $(3,7,8)$ | $3$ |
| $64$ | $3$ | $(2,5,6)(3,7,8)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,2,5,6)$ | $4$ |
| $36$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,4,7,8)$ | $2$ |
| $36$ | $4$ | $(1,5)(2,6)(3,4,7,8)$ | $0$ |
| $72$ | $4$ | $(1,7,5,3)(2,8,6,4)$ | $0$ |
| $72$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,4)$ | $0$ |
| $144$ | $4$ | $(1,3,2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $48$ | $6$ | $(1,5)(2,6)(3,8,7)$ | $-1$ |
| $96$ | $6$ | $(2,6,5)(3,4)$ | $-1$ |
| $192$ | $6$ | $(1,4)(2,7,5,8,6,3)$ | $0$ |
| $144$ | $8$ | $(1,4,2,7,5,8,6,3)$ | $0$ |
| $96$ | $12$ | $(1,2,5,6)(3,7,8)$ | $1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
