Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 169.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 11 a^{2} + 4 a + \left(12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{53} + 5 a^{2}13^{54} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{56} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(3 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{60} + \left(12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{73} + 6\cdot 13^{74} + \left(10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{79} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{80} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{82} + 6 a\cdot 13^{83} + \left(12 a + 10\right)\cdot 13^{84} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{88} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{89} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{90} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{91} + \left(7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{93} + \left(10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{95} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{96} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{97} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{98} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{99} + \left(11 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{100} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{101} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{102} + \left(8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{103} + \left(10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{104} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{105} + \left(9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{106} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{107} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{109} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{110} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{111} + \left(3 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{112} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{113} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{114} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{115} + \left(9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{116} + \left(11 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{117} + \left(2 a + 7\right)\cdot 13^{118} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{119} + \left(12 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{120} + \left(10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{121} + \left(12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{122} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{123} + \left(12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{124} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{125} + \left(9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{126} + \left(7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{127} + \left(6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{128} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{129} + \left(3 a + 12\right)\cdot 13^{130} + \left(2 a + 9\right)\cdot 13^{131} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{132} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{133} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{134} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{135} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{136} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{137} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{138} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{139} + \left(7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{140} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{141} + \left(a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{142} + \left(12 a + 5\right)\cdot 13^{143} + \left(10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{144} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{145} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{146} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{147} + \left(8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{148} + 10 a^{2}13^{149} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{150} + \left(7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{151} + \left(12 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{152} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{153} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{154} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{155} + \left(a^{2} + 6\right)\cdot 13^{156} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{157} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{158} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{159} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{160} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{161} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{162} + \left(4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{163} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{164} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{165} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{166} + \left(a + 11\right)\cdot 13^{167} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 9 a + 1 + \left(3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a + 9\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{55} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{57} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{61} + \left(10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{63} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{69} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{72} + \left(11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{74} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{76} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{85} + \left(12 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{87} + \left(9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{88} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{89} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{91} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{93} + \left(9 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{94} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{95} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{96} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{97} + 2 a^{2}13^{98} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{99} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{100} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{101} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{102} + \left(12 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{103} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{104} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{106} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{107} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{108} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{109} + \left(10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{110} + \left(10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{111} + \left(9 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{112} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{113} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{114} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{115} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{116} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{117} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{118} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{119} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{120} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{121} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{122} + 4 a^{2}13^{123} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{124} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{125} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{126} + \left(4 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{127} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{128} + \left(5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{129} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{130} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{131} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{132} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{133} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{134} + \left(9 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{135} + \left(12 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{136} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{137} + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{138} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{139} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{140} + \left(4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{141} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{142} + \left(8 a + 11\right)\cdot 13^{143} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{144} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{145} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{146} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{147} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{148} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{149} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{150} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{152} + \left(12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{153} + \left(3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{154} + \left(12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{155} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{156} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{157} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{158} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{159} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{160} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{161} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{162} + \left(3 a + 10\right)\cdot 13^{163} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{164} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{165} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{166} + \left(12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{167} + \left(6 a + 6\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 5 a + 5 + \left(11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{18} + 9 a\cdot 13^{19} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a + 11\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{52} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a + 6\right)\cdot 13^{56} + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{57} + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{60} + \left(4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{63} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a + 8\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(11 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{69} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{75} + 11\cdot 13^{76} + \left(a + 1\right)\cdot 13^{77} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{78} + \left(11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{80} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{81} + \left(11 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{82} + \left(11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{86} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 13^{87} + \left(2 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{88} + \left(5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{90} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{91} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{92} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{93} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{94} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{95} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{96} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{97} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{98} + \left(9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{99} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{100} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{101} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{102} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{103} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{104} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a + 12\right)\cdot 13^{106} + \left(11 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{107} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{108} + \left(11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{109} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{110} + \left(10 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{111} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{112} + 8\cdot 13^{113} + \left(6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{114} + \left(7 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{115} + \left(11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{116} + \left(2 a + 5\right)\cdot 13^{117} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{118} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{119} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{120} + \left(10 a + 6\right)\cdot 13^{121} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{122} + \left(6 a + 7\right)\cdot 13^{123} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{124} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{125} + \left(12 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{126} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{127} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{128} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{129} + \left(12 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{130} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{131} + \left(11 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{133} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{134} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{135} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{136} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{137} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{138} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{139} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{140} + \left(9 a + 9\right)\cdot 13^{141} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{142} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{143} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{144} + \left(4 a + 7\right)\cdot 13^{145} + \left(3 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{146} + \left(11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{147} + \left(6 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{148} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{149} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 13^{150} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{151} + \left(11 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{152} + \left(4 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{153} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{154} + \left(4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{155} + \left(8 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{156} + \left(8 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{157} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{158} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{159} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{160} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{161} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{162} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{163} + \left(8 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{164} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{165} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{166} + \left(10 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{167} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 6 + 3\cdot 13 + 12\cdot 13^{2} + 10\cdot 13^{3} + 12\cdot 13^{4} + 5\cdot 13^{5} + 12\cdot 13^{6} + 3\cdot 13^{7} + 7\cdot 13^{8} + 11\cdot 13^{9} + 12\cdot 13^{11} + 2\cdot 13^{12} + 11\cdot 13^{13} + 13^{14} + 13^{15} + 10\cdot 13^{16} + 4\cdot 13^{17} + 6\cdot 13^{18} + 3\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + 4\cdot 13^{21} + 11\cdot 13^{22} + 6\cdot 13^{23} + 5\cdot 13^{24} + 8\cdot 13^{25} + 5\cdot 13^{26} + 5\cdot 13^{27} + 4\cdot 13^{28} + 11\cdot 13^{29} + 6\cdot 13^{30} + 9\cdot 13^{31} + 10\cdot 13^{32} + 2\cdot 13^{33} + 4\cdot 13^{34} + 11\cdot 13^{35} + 12\cdot 13^{36} + 10\cdot 13^{37} + 6\cdot 13^{38} + 9\cdot 13^{39} + 5\cdot 13^{40} + 4\cdot 13^{41} + 3\cdot 13^{42} + 6\cdot 13^{43} + 2\cdot 13^{44} + 2\cdot 13^{45} + 3\cdot 13^{46} + 12\cdot 13^{47} + 10\cdot 13^{48} + 11\cdot 13^{49} + 10\cdot 13^{50} + 10\cdot 13^{51} + 4\cdot 13^{52} + 11\cdot 13^{53} + 10\cdot 13^{54} + 7\cdot 13^{55} + 5\cdot 13^{56} + 4\cdot 13^{58} + 3\cdot 13^{59} + 8\cdot 13^{60} + 3\cdot 13^{61} + 4\cdot 13^{62} + 7\cdot 13^{63} + 2\cdot 13^{64} + 5\cdot 13^{65} + 13^{66} + 8\cdot 13^{68} + 9\cdot 13^{69} + 9\cdot 13^{70} + 9\cdot 13^{71} + 9\cdot 13^{72} + 11\cdot 13^{73} + 8\cdot 13^{74} + 5\cdot 13^{75} + 10\cdot 13^{76} + 11\cdot 13^{77} + 5\cdot 13^{78} + 13^{79} + 12\cdot 13^{80} + 9\cdot 13^{81} + 6\cdot 13^{82} + 4\cdot 13^{83} + 4\cdot 13^{84} + 12\cdot 13^{85} + 11\cdot 13^{86} + 13^{87} + 12\cdot 13^{88} + 4\cdot 13^{89} + 11\cdot 13^{90} + 6\cdot 13^{91} + 3\cdot 13^{92} + 13^{93} + 11\cdot 13^{94} + 2\cdot 13^{95} + 8\cdot 13^{96} + 11\cdot 13^{97} + 7\cdot 13^{98} + 9\cdot 13^{99} + 7\cdot 13^{100} + 8\cdot 13^{101} + 5\cdot 13^{102} + 8\cdot 13^{104} + 8\cdot 13^{105} + 8\cdot 13^{106} + 7\cdot 13^{107} + 13^{108} + 4\cdot 13^{109} + 8\cdot 13^{110} + 4\cdot 13^{111} + 5\cdot 13^{112} + 6\cdot 13^{113} + 11\cdot 13^{114} + 12\cdot 13^{115} + 7\cdot 13^{116} + 4\cdot 13^{117} + 7\cdot 13^{118} + 2\cdot 13^{119} + 4\cdot 13^{120} + 12\cdot 13^{121} + 10\cdot 13^{122} + 4\cdot 13^{123} + 9\cdot 13^{125} + 9\cdot 13^{126} + 2\cdot 13^{127} + 11\cdot 13^{128} + 6\cdot 13^{129} + 7\cdot 13^{130} + 8\cdot 13^{131} + 7\cdot 13^{132} + 8\cdot 13^{133} + 4\cdot 13^{134} + 7\cdot 13^{136} + 8\cdot 13^{137} + 11\cdot 13^{138} + 3\cdot 13^{139} + 12\cdot 13^{140} + 9\cdot 13^{141} + 13^{142} + 4\cdot 13^{143} + 5\cdot 13^{144} + 2\cdot 13^{145} + 6\cdot 13^{146} + 3\cdot 13^{147} + 2\cdot 13^{148} + 5\cdot 13^{149} + 9\cdot 13^{150} + 2\cdot 13^{151} + 4\cdot 13^{153} + 4\cdot 13^{154} + 9\cdot 13^{155} + 12\cdot 13^{156} + 6\cdot 13^{157} + 6\cdot 13^{158} + 6\cdot 13^{159} + 8\cdot 13^{160} + 12\cdot 13^{161} + 9\cdot 13^{163} + 9\cdot 13^{164} + 4\cdot 13^{165} + 13^{166} + 7\cdot 13^{167} + 9\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 4 a + 3 + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{19} + 4 a\cdot 13^{20} + \left(12 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a + 8\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{56} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{57} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{59} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{63} + \left(10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{64} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{67} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(6 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{70} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a + 4\right)\cdot 13^{72} + \left(2 a + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{79} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{81} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{82} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{83} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{85} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{86} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{88} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{89} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{90} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{91} + \left(2 a + 10\right)\cdot 13^{92} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{94} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{96} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{97} + \left(12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{98} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{99} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{100} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{101} + \left(a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{102} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{103} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{104} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{105} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{106} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{107} + \left(3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{108} + \left(11 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{109} + \left(4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{110} + \left(12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{111} + \left(11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{112} + \left(4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{113} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{114} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{115} + \left(4 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{116} + 11 a\cdot 13^{117} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{118} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{119} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{120} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{121} + \left(6 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{122} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{123} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{124} + \left(2 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{125} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{126} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{127} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{128} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{129} + \left(a + 3\right)\cdot 13^{130} + \left(6 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{131} + \left(11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{133} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{134} + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{135} + \left(9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{136} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{137} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{138} + \left(11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{139} + \left(2 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{140} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{141} + \left(5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{142} + \left(5 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{143} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{144} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{145} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{146} + \left(12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{147} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{148} + \left(6 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{149} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{150} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{152} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{153} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{154} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{155} + \left(3 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{156} + \left(10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{157} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{158} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{159} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{160} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{161} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{162} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{163} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{165} + \left(5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{166} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{167} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 11 a + 7 + \left(a^{2} + 8 a\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a + 6\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{59} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{61} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{62} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{66} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{67} + \left(5 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{69} + \left(6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{72} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{73} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{75} + \left(5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{76} + \left(9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{77} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{78} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{79} + \left(5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{80} + \left(a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{82} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{83} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{84} + \left(6 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{85} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{86} + \left(10 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{89} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{90} + \left(10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{91} + \left(9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{92} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{93} + \left(2 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{94} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{95} + \left(8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{96} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{97} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{98} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{99} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{100} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{101} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{102} + \left(4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{103} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{104} + \left(10 a + 6\right)\cdot 13^{105} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{106} + \left(8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{107} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{108} + 3\cdot 13^{109} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{110} + \left(11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{111} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{112} + \left(12 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{113} + \left(9 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{114} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{115} + \left(10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{116} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{117} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{118} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{119} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{120} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{121} + \left(a^{2} + 11\right)\cdot 13^{122} + \left(10 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{123} + \left(2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{124} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{125} + \left(9 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{126} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{127} + \left(3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{128} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{129} + \left(4 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{130} + \left(9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{131} + \left(11 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{132} + \left(7 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{133} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{134} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{135} + \left(3 a + 2\right)\cdot 13^{136} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{137} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{138} + \left(a^{2} + 4\right)\cdot 13^{139} + \left(12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{140} + \left(a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{141} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{142} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{143} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{144} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{145} + \left(a + 2\right)\cdot 13^{146} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{147} + \left(a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{148} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{149} + \left(12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{150} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{151} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{152} + \left(10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{153} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{154} + \left(5 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{155} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{156} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{157} + 2\cdot 13^{158} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{159} + \left(9 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{160} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{161} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{162} + \left(10 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{163} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{164} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{165} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{166} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{167} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + 6 a + 1 + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13 + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(11 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{46} + 9\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{60} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{61} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{70} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{72} + \left(12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{75} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{76} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{77} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{78} + \left(11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{80} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 13^{81} + \left(11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{83} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{85} + \left(2 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{86} + \left(9 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{88} + \left(6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{89} + \left(11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{90} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{91} + \left(4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{92} + \left(7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{93} + \left(a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{94} + \left(5 a + 7\right)\cdot 13^{95} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{96} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{97} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{98} + \left(6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{99} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{100} + \left(2 a + 11\right)\cdot 13^{101} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{102} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{103} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{104} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{105} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{106} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{107} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{108} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{109} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{110} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{111} + \left(7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{112} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{113} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{114} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{115} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{116} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{117} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{118} + \left(5 a + 4\right)\cdot 13^{119} + \left(7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{120} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{121} + \left(4 a + 10\right)\cdot 13^{122} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{123} + \left(a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{124} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{125} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{126} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{127} + \left(a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{128} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{129} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{130} + \left(12 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{131} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{132} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{133} + \left(3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{134} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{135} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{136} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 13^{137} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{138} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{139} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{140} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{141} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{142} + \left(2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{143} + \left(7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{144} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{145} + \left(12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{146} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{147} + \left(a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{148} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{149} + \left(12 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{150} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{151} + \left(12 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{152} + \left(2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{153} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{154} + \left(7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{155} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{156} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{157} + \left(6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{158} + \left(11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{159} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{160} + \left(3 a + 10\right)\cdot 13^{161} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{162} + \left(a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{163} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{164} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{165} + \left(8 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{166} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{167} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 7 + 13^{2} + 5\cdot 13^{3} + 8\cdot 13^{4} + 13^{5} + 10\cdot 13^{6} + 12\cdot 13^{7} + 6\cdot 13^{8} + 8\cdot 13^{9} + 6\cdot 13^{10} + 7\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 7\cdot 13^{13} + 13^{14} + 12\cdot 13^{15} + 7\cdot 13^{17} + 6\cdot 13^{18} + 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 9\cdot 13^{22} + 12\cdot 13^{23} + 10\cdot 13^{24} + 2\cdot 13^{25} + 9\cdot 13^{26} + 2\cdot 13^{27} + 10\cdot 13^{28} + 4\cdot 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 3\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 12\cdot 13^{33} + 6\cdot 13^{34} + 3\cdot 13^{35} + 10\cdot 13^{36} + 13^{37} + 4\cdot 13^{38} + 6\cdot 13^{39} + 2\cdot 13^{40} + 7\cdot 13^{41} + 4\cdot 13^{42} + 10\cdot 13^{43} + 4\cdot 13^{44} + 9\cdot 13^{45} + 5\cdot 13^{46} + 9\cdot 13^{47} + 6\cdot 13^{48} + 13^{50} + 11\cdot 13^{51} + 10\cdot 13^{52} + 12\cdot 13^{53} + 9\cdot 13^{54} + 2\cdot 13^{55} + 9\cdot 13^{56} + 2\cdot 13^{57} + 2\cdot 13^{58} + 5\cdot 13^{59} + 5\cdot 13^{60} + 8\cdot 13^{61} + 6\cdot 13^{62} + 7\cdot 13^{63} + 8\cdot 13^{64} + 11\cdot 13^{65} + 9\cdot 13^{66} + 2\cdot 13^{67} + 4\cdot 13^{69} + 8\cdot 13^{70} + 7\cdot 13^{71} + 13^{72} + 3\cdot 13^{73} + 10\cdot 13^{74} + 12\cdot 13^{75} + 7\cdot 13^{76} + 7\cdot 13^{77} + 10\cdot 13^{78} + 9\cdot 13^{79} + 5\cdot 13^{80} + 4\cdot 13^{81} + 2\cdot 13^{83} + 9\cdot 13^{84} + 9\cdot 13^{85} + 6\cdot 13^{86} + 7\cdot 13^{87} + 13^{88} + 12\cdot 13^{90} + 9\cdot 13^{91} + 8\cdot 13^{92} + 4\cdot 13^{93} + 8\cdot 13^{94} + 9\cdot 13^{95} + 11\cdot 13^{96} + 13^{97} + 8\cdot 13^{98} + 12\cdot 13^{99} + 6\cdot 13^{100} + 2\cdot 13^{101} + 3\cdot 13^{102} + 7\cdot 13^{103} + 11\cdot 13^{104} + 11\cdot 13^{105} + 3\cdot 13^{106} + 8\cdot 13^{107} + 13^{108} + 5\cdot 13^{109} + 9\cdot 13^{110} + 7\cdot 13^{111} + 4\cdot 13^{112} + 2\cdot 13^{113} + 10\cdot 13^{115} + 13^{116} + 7\cdot 13^{118} + 4\cdot 13^{119} + 3\cdot 13^{120} + 9\cdot 13^{121} + 7\cdot 13^{123} + 11\cdot 13^{125} + 2\cdot 13^{126} + 6\cdot 13^{127} + 2\cdot 13^{128} + 6\cdot 13^{129} + 13^{130} + 9\cdot 13^{131} + 5\cdot 13^{132} + 7\cdot 13^{133} + 12\cdot 13^{135} + 5\cdot 13^{136} + 6\cdot 13^{137} + 10\cdot 13^{138} + 6\cdot 13^{139} + 3\cdot 13^{140} + 11\cdot 13^{141} + 9\cdot 13^{142} + 8\cdot 13^{143} + 8\cdot 13^{144} + 6\cdot 13^{145} + 4\cdot 13^{146} + 11\cdot 13^{147} + 3\cdot 13^{148} + 2\cdot 13^{149} + 8\cdot 13^{150} + 12\cdot 13^{151} + 10\cdot 13^{152} + 5\cdot 13^{153} + 8\cdot 13^{154} + 3\cdot 13^{155} + 13^{156} + 5\cdot 13^{157} + 8\cdot 13^{158} + 9\cdot 13^{159} + 9\cdot 13^{160} + 11\cdot 13^{162} + 8\cdot 13^{163} + 13^{164} + 13^{165} + 6\cdot 13^{167} + 5\cdot 13^{168} +O\left(13^{ 169 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
| $(1,3,5,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $6$ | $2$ | $(2,6)(4,7)$ | $2$ |
| $9$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,3)$ | $4$ |
| $24$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $36$ | $2$ | $(1,3)(2,4)$ | $2$ |
| $36$ | $2$ | $(1,3)(2,6)(4,7)$ | $0$ |
| $16$ | $3$ | $(1,5,8)$ | $3$ |
| $64$ | $3$ | $(1,5,8)(4,6,7)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(2,4,6,7)$ | $2$ |
| $36$ | $4$ | $(1,3,5,8)(2,4,6,7)$ | $-2$ |
| $36$ | $4$ | $(1,3,5,8)(2,6)(4,7)$ | $-2$ |
| $72$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,4,8,7)$ | $0$ |
| $72$ | $4$ | $(1,3)(2,4,6,7)$ | $0$ |
| $144$ | $4$ | $(1,4,3,2)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $48$ | $6$ | $(1,8,5)(2,6)(4,7)$ | $-1$ |
| $96$ | $6$ | $(1,3)(4,7,6)$ | $1$ |
| $192$ | $6$ | $(1,4,5,6,8,7)(2,3)$ | $0$ |
| $144$ | $8$ | $(1,2,3,4,5,6,8,7)$ | $0$ |
| $96$ | $12$ | $(1,5,8)(2,4,6,7)$ | $-1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
