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Properties

Label 6.2e2_19e3_67e3.12t161.1c1
Dimension 6
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{2} \cdot 19^{3} \cdot 67^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$8251733668= 2^{2} \cdot 19^{3} \cdot 67^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{7} - 4 x^{6} + 20 x^{5} - 29 x^{4} + 58 x^{3} + 152 x^{2} - 74 x + 24 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T161
Parity: Even
Determinant: 1.19_67.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 102.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{3} + 2 x + 18 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ a^{2} + 15 a + 12 + \left(14 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23 + \left(9 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{3} + \left(9 a + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(16 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(21 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{13} + \left(19 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{14} + \left(15 a + 7\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(17 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{18} + \left(15 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{19} + \left(19 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{20} + \left(19 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{21} + \left(12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{24} + \left(9 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{27} + \left(15 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{28} + \left(a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(20 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 23^{31} + \left(a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{32} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{33} + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{34} + \left(7 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{35} + \left(22 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{36} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{37} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 23^{38} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{39} + \left(6 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{40} + \left(21 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{41} + \left(18 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{42} + \left(6 a^{2} + 21 a + 8\right)\cdot 23^{43} + \left(12 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{44} + \left(7 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{45} + \left(21 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{46} + \left(10 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{47} + \left(16 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{48} + \left(6 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{49} + \left(a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{50} + \left(19 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{51} + \left(13 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{52} + \left(15 a + 17\right)\cdot 23^{53} + \left(6 a + 19\right)\cdot 23^{54} + \left(17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{55} + \left(6 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{57} + \left(8 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{58} + \left(21 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{59} + \left(22 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{60} + \left(21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{61} + \left(10 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{64} + \left(12 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{65} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{66} + \left(20 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{67} + \left(10 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 23^{68} + \left(13 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 23^{69} + \left(2 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{70} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{71} + \left(21 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{72} + \left(18 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{73} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 23^{74} + \left(21 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{75} + \left(11 a^{2} + 17\right)\cdot 23^{76} + \left(8 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{77} + \left(20 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{78} + \left(a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{79} + \left(18 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{80} + \left(20 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 23^{81} + \left(10 a + 7\right)\cdot 23^{82} + \left(a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{83} + \left(13 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{84} + \left(17 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{85} + \left(17 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{86} + \left(6 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{87} + \left(13 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{88} + \left(2 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{89} + \left(14 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{90} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{91} + \left(18 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 23^{92} + \left(16 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{93} + \left(7 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{94} + \left(20 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{95} + \left(3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{96} + \left(22 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{97} + \left(20 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{98} + \left(17 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{99} + \left(6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{100} + \left(5 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 11 a + 14 + \left(17 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23 + \left(22 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(7 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(9 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{14} + \left(16 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{15} + \left(8 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{16} + \left(18 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(14 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 23^{19} + \left(9 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{20} + \left(6 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{21} + \left(8 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{22} + \left(a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{23} + \left(20 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 19 a + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{27} + \left(4 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{30} + \left(9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a + 9\right)\cdot 23^{32} + \left(21 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(12 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{34} + \left(22 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{35} + \left(9 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{36} + \left(14 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{37} + \left(15 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{38} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{39} + \left(8 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{40} + \left(20 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{41} + \left(17 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 23^{42} + \left(12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 23^{43} + \left(7 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{44} + \left(4 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 23^{45} + \left(a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{46} + \left(6 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{47} + \left(12 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{48} + \left(14 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{49} + \left(17 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{50} + \left(18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{51} + \left(15 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{52} + \left(17 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{53} + \left(10 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{54} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{55} + \left(7 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{57} + \left(2 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{58} + \left(2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{59} + \left(17 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{60} + \left(6 a^{2} + a + 18\right)\cdot 23^{61} + \left(17 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{62} + \left(12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{63} + \left(18 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 23^{64} + \left(5 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{65} + \left(10 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{66} + \left(a^{2} + 22 a + 22\right)\cdot 23^{67} + \left(6 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{68} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{69} + \left(19 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{70} + \left(17 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{71} + \left(15 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 23^{72} + \left(20 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{73} + \left(10 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{74} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{75} + \left(14 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{76} + \left(21 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 23^{77} + \left(10 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{78} + \left(a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{79} + \left(8 a^{2} + 18 a\right)\cdot 23^{80} + \left(6 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{81} + \left(6 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{82} + \left(22 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{83} + \left(20 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{84} + \left(11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{85} + \left(21 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{86} + \left(15 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{87} + \left(14 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{88} + \left(20 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{89} + \left(17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{90} + \left(14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{91} + \left(14 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{92} + \left(11 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{93} + \left(7 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{94} + \left(19 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{95} + \left(22 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{96} + \left(21 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{97} + \left(5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{98} + \left(18 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{99} + \left(6 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{100} + \left(6 a^{2} + 11 a\right)\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 4 a + 4 + \left(17 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23 + \left(13 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{3} + \left(21 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{4} + \left(a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(20 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{9} + \left(10 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{11} + \left(12 a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 23^{13} + \left(5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{14} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{16} + \left(10 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{18} + \left(22 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a + 20\right)\cdot 23^{20} + \left(7 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 23^{21} + \left(21 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{22} + \left(a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{23} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 23^{24} + \left(7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(16 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{26} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{28} + \left(17 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a + 1\right)\cdot 23^{30} + \left(21 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 23^{31} + \left(21 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{32} + \left(22 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(13 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{35} + \left(2 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{36} + \left(21 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{37} + \left(20 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{38} + \left(18 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{39} + \left(8 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{40} + \left(7 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 23^{41} + \left(6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{42} + \left(19 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{43} + \left(13 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 23^{44} + \left(12 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{45} + \left(21 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{46} + \left(10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{47} + \left(10 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{48} + \left(20 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{49} + \left(5 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{50} + \left(19 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{51} + \left(18 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{52} + \left(22 a + 8\right)\cdot 23^{53} + \left(21 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{54} + \left(11 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{55} + \left(21 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{56} + \left(12 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{57} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{59} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{60} + \left(9 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 23^{61} + \left(21 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{62} + \left(19 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{63} + \left(7 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{64} + \left(13 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{65} + \left(21 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{66} + \left(17 a + 2\right)\cdot 23^{67} + \left(6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{68} + \left(16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{69} + \left(4 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{70} + \left(5 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{71} + \left(16 a^{2} + 20\right)\cdot 23^{72} + \left(22 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{73} + \left(22 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{74} + \left(21 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{75} + \left(8 a + 1\right)\cdot 23^{76} + \left(12 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{77} + \left(18 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{78} + \left(13 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{79} + \left(22 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{80} + \left(17 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{81} + \left(19 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{82} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 23^{83} + \left(21 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{84} + \left(2 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{85} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{86} + \left(16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{87} + \left(19 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{88} + \left(8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{89} + \left(2 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{90} + \left(22 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{91} + \left(12 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{92} + \left(15 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{93} + \left(5 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{94} + \left(22 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{95} + \left(10 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 23^{96} + \left(8 a + 5\right)\cdot 23^{97} + \left(12 a + 9\right)\cdot 23^{98} + \left(14 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{99} + \left(20 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{100} + \left(15 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 16 + 10\cdot 23 + 15\cdot 23^{2} + 15\cdot 23^{3} + 12\cdot 23^{4} + 21\cdot 23^{5} + 3\cdot 23^{6} + 14\cdot 23^{7} + 21\cdot 23^{8} + 12\cdot 23^{9} + 7\cdot 23^{10} + 2\cdot 23^{11} + 19\cdot 23^{12} + 3\cdot 23^{13} + 8\cdot 23^{14} + 4\cdot 23^{15} + 2\cdot 23^{16} + 7\cdot 23^{17} + 8\cdot 23^{18} + 7\cdot 23^{19} + 20\cdot 23^{20} + 23^{21} + 17\cdot 23^{22} + 15\cdot 23^{23} + 18\cdot 23^{24} + 19\cdot 23^{25} + 21\cdot 23^{26} + 18\cdot 23^{27} + 18\cdot 23^{28} + 18\cdot 23^{29} + 15\cdot 23^{30} + 10\cdot 23^{31} + 19\cdot 23^{32} + 7\cdot 23^{33} + 5\cdot 23^{34} + 8\cdot 23^{36} + 3\cdot 23^{37} + 3\cdot 23^{38} + 10\cdot 23^{39} + 4\cdot 23^{40} + 7\cdot 23^{41} + 11\cdot 23^{42} + 2\cdot 23^{43} + 21\cdot 23^{44} + 6\cdot 23^{45} + 18\cdot 23^{46} + 2\cdot 23^{47} + 21\cdot 23^{48} + 21\cdot 23^{49} + 11\cdot 23^{50} + 15\cdot 23^{51} + 3\cdot 23^{52} + 18\cdot 23^{53} + 9\cdot 23^{54} + 12\cdot 23^{55} + 14\cdot 23^{56} + 21\cdot 23^{57} + 22\cdot 23^{58} + 16\cdot 23^{59} + 15\cdot 23^{60} + 18\cdot 23^{61} + 4\cdot 23^{62} + 3\cdot 23^{63} + 15\cdot 23^{64} + 4\cdot 23^{65} + 21\cdot 23^{66} + 5\cdot 23^{67} + 12\cdot 23^{68} + 14\cdot 23^{70} + 10\cdot 23^{71} + 3\cdot 23^{72} + 3\cdot 23^{73} + 3\cdot 23^{74} + 8\cdot 23^{75} + 17\cdot 23^{76} + 6\cdot 23^{78} + 21\cdot 23^{79} + 6\cdot 23^{80} + 15\cdot 23^{81} + 3\cdot 23^{82} + 15\cdot 23^{83} + 21\cdot 23^{85} + 17\cdot 23^{86} + 17\cdot 23^{87} + 9\cdot 23^{88} + 11\cdot 23^{89} + 17\cdot 23^{90} + 20\cdot 23^{91} + 17\cdot 23^{92} + 2\cdot 23^{93} + 2\cdot 23^{95} + 15\cdot 23^{96} + 22\cdot 23^{97} + 11\cdot 23^{98} + 3\cdot 23^{100} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 21 + 21\cdot 23 + 10\cdot 23^{2} + 21\cdot 23^{3} + 15\cdot 23^{4} + 10\cdot 23^{5} + 13\cdot 23^{6} + 17\cdot 23^{7} + 7\cdot 23^{8} + 6\cdot 23^{9} + 23^{11} + 20\cdot 23^{12} + 3\cdot 23^{13} + 9\cdot 23^{14} + 11\cdot 23^{15} + 22\cdot 23^{16} + 23^{17} + 21\cdot 23^{18} + 5\cdot 23^{19} + 10\cdot 23^{20} + 4\cdot 23^{22} + 16\cdot 23^{23} + 8\cdot 23^{24} + 16\cdot 23^{25} + 22\cdot 23^{26} + 12\cdot 23^{28} + 3\cdot 23^{29} + 20\cdot 23^{30} + 10\cdot 23^{31} + 9\cdot 23^{32} + 9\cdot 23^{33} + 19\cdot 23^{34} + 3\cdot 23^{35} + 17\cdot 23^{36} + 5\cdot 23^{37} + 21\cdot 23^{38} + 22\cdot 23^{39} + 17\cdot 23^{40} + 4\cdot 23^{41} + 8\cdot 23^{45} + 22\cdot 23^{46} + 21\cdot 23^{47} + 2\cdot 23^{48} + 7\cdot 23^{49} + 18\cdot 23^{50} + 6\cdot 23^{51} + 13\cdot 23^{52} + 22\cdot 23^{53} + 3\cdot 23^{54} + 12\cdot 23^{55} + 3\cdot 23^{56} + 4\cdot 23^{57} + 12\cdot 23^{58} + 12\cdot 23^{59} + 18\cdot 23^{60} + 15\cdot 23^{61} + 18\cdot 23^{62} + 17\cdot 23^{63} + 16\cdot 23^{64} + 21\cdot 23^{65} + 16\cdot 23^{66} + 19\cdot 23^{67} + 7\cdot 23^{69} + 23^{70} + 20\cdot 23^{71} + 3\cdot 23^{72} + 15\cdot 23^{73} + 12\cdot 23^{74} + 7\cdot 23^{75} + 21\cdot 23^{76} + 16\cdot 23^{77} + 22\cdot 23^{78} + 11\cdot 23^{80} + 15\cdot 23^{81} + 21\cdot 23^{82} + 8\cdot 23^{83} + 4\cdot 23^{84} + 5\cdot 23^{85} + 12\cdot 23^{86} + 23^{87} + 6\cdot 23^{88} + 2\cdot 23^{89} + 15\cdot 23^{90} + 17\cdot 23^{91} + 4\cdot 23^{92} + 7\cdot 23^{93} + 11\cdot 23^{94} + 19\cdot 23^{95} + 9\cdot 23^{96} + 7\cdot 23^{97} + 18\cdot 23^{98} + 13\cdot 23^{99} + 20\cdot 23^{100} + 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 18 a^{2} + 9 a + 10 + \left(18 a^{2} + 2\right)\cdot 23 + \left(20 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(4 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(8 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{10} + \left(18 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(17 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(14 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(9 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{14} + \left(4 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(6 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{16} + \left(13 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(5 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{19} + \left(4 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{20} + \left(15 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{21} + \left(19 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 23^{22} + \left(8 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(22 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{29} + \left(2 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{30} + \left(19 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 23^{32} + \left(11 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{33} + \left(17 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(12 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{35} + \left(12 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{36} + \left(2 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{37} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{38} + \left(17 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{39} + \left(12 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{40} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{41} + \left(3 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 23^{42} + \left(6 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{43} + \left(16 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{44} + \left(6 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 23^{45} + \left(2 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(15 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{47} + \left(13 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{48} + \left(16 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{49} + \left(18 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{50} + \left(2 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{51} + \left(5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{52} + \left(18 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{53} + \left(7 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 23^{54} + \left(15 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 23^{55} + \left(5 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 23^{56} + \left(3 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{57} + \left(14 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{58} + \left(8 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{59} + \left(4 a + 17\right)\cdot 23^{60} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{61} + \left(20 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{62} + \left(5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{63} + \left(5 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{64} + \left(9 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{65} + \left(20 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{66} + \left(5 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{67} + \left(20 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 23^{68} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{69} + \left(9 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{70} + \left(16 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{71} + \left(5 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{72} + \left(7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{73} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{74} + \left(4 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{75} + \left(20 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{76} + \left(22 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{77} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 23^{78} + \left(16 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{79} + \left(11 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{80} + \left(19 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{81} + \left(7 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 23^{82} + \left(17 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 23^{83} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{84} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 23^{85} + \left(6 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{86} + \left(22 a + 15\right)\cdot 23^{87} + \left(19 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{88} + \left(16 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{89} + \left(8 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{90} + \left(19 a^{2} + 5 a + 19\right)\cdot 23^{91} + \left(16 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{92} + \left(19 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{93} + \left(21 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 23^{94} + \left(2 a^{2} + a + 20\right)\cdot 23^{95} + \left(18 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{96} + \left(16 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{97} + \left(21 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 23^{98} + \left(11 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{99} + \left(17 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 23^{100} + 12 a\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 10 a + 13 + \left(10 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23 + \left(11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 23^{3} + \left(6 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 23^{9} + \left(3 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(22 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(5 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{14} + \left(16 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{15} + \left(12 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{16} + \left(12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(13 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{19} + \left(17 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 23^{20} + 21 a\cdot 23^{21} + \left(5 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{23} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{24} + \left(16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{25} + \left(22 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(13 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 23^{27} + \left(6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 23^{28} + \left(6 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{29} + \left(19 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a^{2} + 4 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(11 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(14 a^{2} + 22 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 23^{35} + \left(8 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{36} + \left(22 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 23^{37} + \left(21 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{38} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 23^{40} + \left(12 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{41} + \left(13 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{42} + \left(20 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 23^{43} + \left(15 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{44} + \left(3 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{45} + \left(22 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 23^{46} + \left(19 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{47} + \left(21 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{48} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{49} + \left(21 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{50} + \left(13 a + 21\right)\cdot 23^{51} + \left(22 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{52} + \left(3 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{53} + \left(17 a^{2} + 20 a + 21\right)\cdot 23^{54} + \left(18 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{55} + \left(18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{56} + \left(6 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{57} + \left(19 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{59} + \left(19 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 23^{60} + \left(12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 23^{61} + \left(4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{62} + \left(20 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{63} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{64} + \left(13 a + 16\right)\cdot 23^{65} + \left(4 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{66} + \left(16 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 23^{67} + \left(19 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{68} + \left(21 a^{2} + 20 a + 11\right)\cdot 23^{69} + \left(8 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 23^{70} + \left(a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{71} + \left(a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{72} + \left(16 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{73} + \left(12 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{74} + \left(19 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23^{75} + \left(a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 23^{76} + \left(11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{77} + \left(21 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{78} + \left(15 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{79} + \left(11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 23^{80} + \left(8 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{81} + \left(18 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 23^{82} + \left(21 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{83} + \left(21 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{84} + \left(17 a^{2} + a + 6\right)\cdot 23^{85} + \left(7 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 23^{86} + \left(6 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{87} + \left(7 a^{2} + 13 a\right)\cdot 23^{88} + \left(20 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{89} + \left(11 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{90} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{91} + \left(16 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 23^{92} + \left(10 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{93} + \left(18 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{94} + \left(20 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{95} + \left(16 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 23^{96} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{97} + \left(a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{98} + \left(20 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 23^{99} + \left(7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{100} + \left(6 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 8 a^{2} + 20 a + 6 + \left(14 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23 + \left(13 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{2} + \left(19 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(13 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{6} + \left(19 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{7} + \left(17 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{9} + \left(14 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{10} + \left(7 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(8 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(18 a^{2} + a + 21\right)\cdot 23^{14} + \left(5 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{15} + \left(21 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{16} + \left(16 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(16 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{20} + \left(19 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{21} + \left(a^{2} + a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(8 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{23} + \left(8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{24} + \left(15 a^{2} + 6\right)\cdot 23^{25} + \left(10 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{26} + \left(11 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(3 a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{30} + \left(16 a^{2} + a + 10\right)\cdot 23^{31} + \left(20 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{32} + \left(21 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 23^{33} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{34} + \left(16 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{35} + \left(13 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23^{36} + \left(3 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{37} + \left(22 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 23^{38} + \left(17 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{40} + \left(4 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{41} + \left(9 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{42} + \left(3 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{2} + 14 a + 20\right)\cdot 23^{44} + \left(11 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 23^{45} + \left(a + 2\right)\cdot 23^{46} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{47} + \left(17 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{48} + \left(a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{49} + \left(4 a^{2} + 22 a + 1\right)\cdot 23^{50} + \left(8 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{51} + \left(16 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{52} + \left(4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{53} + \left(12 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{54} + \left(18 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{55} + \left(8 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 23^{56} + \left(2 a + 8\right)\cdot 23^{57} + \left(12 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{58} + \left(22 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 23^{59} + \left(5 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{60} + \left(17 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{61} + \left(17 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{62} + \left(13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{64} + \left(4 a^{2} + 9 a + 19\right)\cdot 23^{65} + \left(2 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{66} + \left(a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{67} + \left(6 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 23^{68} + \left(8 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{69} + \left(a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{70} + \left(18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{71} + \left(8 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 23^{72} + \left(6 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 23^{73} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{74} + \left(17 a^{2} + 21 a + 12\right)\cdot 23^{75} + \left(19 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{76} + \left(15 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{77} + \left(14 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{78} + \left(19 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{79} + \left(19 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{80} + \left(18 a^{2} + a + 4\right)\cdot 23^{81} + \left(15 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{82} + \left(22 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{83} + \left(11 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 23^{84} + \left(16 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{85} + \left(6 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{86} + \left(11 a + 2\right)\cdot 23^{87} + \left(18 a^{2} + 13\right)\cdot 23^{88} + \left(22 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{89} + \left(13 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{90} + \left(a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{91} + \left(13 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 23^{92} + \left(17 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{93} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{94} + \left(6 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{95} + \left(19 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{96} + \left(a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 23^{97} + \left(19 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 23^{98} + \left(9 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{99} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{100} + \left(11 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 23^{101} +O\left(23^{ 102 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$
$(3,6)(5,7)$
$(3,6,7)$
$(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$6$$2$$(1,4)(2,8)$$2$
$9$$2$$(1,4)(2,8)(3,6)(5,7)$$-2$
$12$$2$$(1,5)(2,6)(3,8)(4,7)$$0$
$12$$2$$(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$$0$
$36$$2$$(4,8)(5,6)$$-2$
$16$$3$$(3,7,5)$$3$
$32$$3$$(1,8,4)(3,7,5)$$0$
$32$$3$$(1,8,2)(3,7,5)$$0$
$36$$4$$(1,7,4,5)(2,3,8,6)$$0$
$36$$4$$(1,2,4,8)(3,7,6,5)$$2$
$36$$4$$(1,6,4,3)(2,7,8,5)$$0$
$72$$4$$(1,8,4,2)(6,7)$$0$
$48$$6$$(1,4)(2,8)(3,7,5)$$-1$
$96$$6$$(1,5,8,3,4,7)(2,6)$$0$
$96$$6$$(1,3,8,7,2,5)(4,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.