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Properties

Label 6.2e16_3e3_7e5.24t703.1
Dimension 6
Group $A_4\wr C_2$
Conductor $ 2^{16} \cdot 3^{3} \cdot 7^{5}$
Frobenius-Schur indicator 0

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$A_4\wr C_2$
Conductor:$29739515904= 2^{16} \cdot 3^{3} \cdot 7^{5} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} + 4 x^{6} - 4 x^{5} + 4 x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} - 12 x + 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 24T703
Parity: Odd

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 81.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 2 a + 10 + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(6 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{58} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{60} + \left(2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{61} + \left(7 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{62} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{66} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{67} + \left(2 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(12 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{74} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{76} + \left(2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{79} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 9 a + 6 + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{46} + \left(a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{51} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{54} + \left(9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{55} + \left(3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{59} + \left(4 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{61} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{62} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(4 a + 6\right)\cdot 13^{65} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{68} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{70} + \left(2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{71} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{74} + \left(8 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{75} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{78} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ a^{2} + 7 a + 6 + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{11} + 8\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(4 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{53} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{56} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{59} + \left(5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{60} + \left(8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a + 2\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{68} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{69} + \left(6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{73} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{74} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{76} + \left(7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 2 a + 5 + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(11 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a + 1\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(9 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{56} + \left(12 a + 7\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{59} + \left(2 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{62} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{64} + 9 a^{2}13^{65} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{66} + \left(7 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{67} + \left(12 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{69} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{72} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(9 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{76} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{78} + \left(2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{79} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 12 + 4\cdot 13 + 7\cdot 13^{2} + 7\cdot 13^{3} + 9\cdot 13^{4} + 4\cdot 13^{5} + 3\cdot 13^{6} + 8\cdot 13^{7} + 8\cdot 13^{10} + 3\cdot 13^{11} + 2\cdot 13^{12} + 5\cdot 13^{13} + 3\cdot 13^{14} + 11\cdot 13^{15} + 11\cdot 13^{17} + 11\cdot 13^{18} + 11\cdot 13^{19} + 3\cdot 13^{20} + 13^{22} + 8\cdot 13^{23} + 13^{24} + 11\cdot 13^{25} + 4\cdot 13^{26} + 5\cdot 13^{27} + 5\cdot 13^{28} + 5\cdot 13^{30} + 9\cdot 13^{31} + 10\cdot 13^{32} + 7\cdot 13^{33} + 10\cdot 13^{34} + 10\cdot 13^{35} + 6\cdot 13^{36} + 2\cdot 13^{39} + 2\cdot 13^{40} + 2\cdot 13^{41} + 12\cdot 13^{42} + 2\cdot 13^{43} + 10\cdot 13^{44} + 8\cdot 13^{46} + 9\cdot 13^{47} + 12\cdot 13^{48} + 10\cdot 13^{49} + 6\cdot 13^{50} + 12\cdot 13^{51} + 9\cdot 13^{52} + 4\cdot 13^{53} + 3\cdot 13^{54} + 13^{55} + 12\cdot 13^{57} + 7\cdot 13^{58} + 7\cdot 13^{59} + 2\cdot 13^{60} + 2\cdot 13^{61} + 11\cdot 13^{62} + 8\cdot 13^{63} + 3\cdot 13^{64} + 9\cdot 13^{65} + 12\cdot 13^{66} + 7\cdot 13^{67} + 2\cdot 13^{68} + 6\cdot 13^{69} + 9\cdot 13^{70} + 3\cdot 13^{71} + 2\cdot 13^{72} + 8\cdot 13^{73} + 4\cdot 13^{74} + 12\cdot 13^{75} + 10\cdot 13^{76} + 12\cdot 13^{77} + 11\cdot 13^{78} + 5\cdot 13^{79} + 3\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ a^{2} + 9 a + 6 + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{7} + 8 a\cdot 13^{8} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(6 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{47} + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{54} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{56} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{57} + \left(9 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{58} + 8 a^{2}13^{59} + \left(10 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{62} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{63} + \left(2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{64} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{65} + \left(5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{67} + \left(2 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{68} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{69} + \left(5 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{71} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{72} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{73} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{75} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{77} + 5\cdot 13^{78} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{79} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 10 a + 2 + \left(a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(8 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a + 6\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(12 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{57} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{58} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{59} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{60} + \left(7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{62} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{66} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{67} + \left(3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(3 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{71} + \left(3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{74} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(12 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{77} + \left(11 a + 10\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 5 + 7\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 10\cdot 13^{3} + 10\cdot 13^{4} + 9\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 12\cdot 13^{7} + 3\cdot 13^{8} + 6\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 11\cdot 13^{12} + 3\cdot 13^{13} + 4\cdot 13^{14} + 2\cdot 13^{15} + 8\cdot 13^{16} + 10\cdot 13^{17} + 9\cdot 13^{18} + 10\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + 11\cdot 13^{21} + 6\cdot 13^{22} + 13^{23} + 3\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 7\cdot 13^{27} + 2\cdot 13^{28} + 4\cdot 13^{29} + 10\cdot 13^{30} + 4\cdot 13^{31} + 11\cdot 13^{33} + 7\cdot 13^{35} + 2\cdot 13^{36} + 2\cdot 13^{37} + 12\cdot 13^{38} + 4\cdot 13^{39} + 7\cdot 13^{40} + 5\cdot 13^{43} + 9\cdot 13^{44} + 11\cdot 13^{45} + 13^{46} + 2\cdot 13^{47} + 10\cdot 13^{48} + 5\cdot 13^{50} + 2\cdot 13^{51} + 9\cdot 13^{52} + 7\cdot 13^{53} + 4\cdot 13^{55} + 8\cdot 13^{56} + 4\cdot 13^{57} + 2\cdot 13^{58} + 7\cdot 13^{59} + 7\cdot 13^{60} + 2\cdot 13^{61} + 2\cdot 13^{62} + 3\cdot 13^{63} + 5\cdot 13^{64} + 9\cdot 13^{65} + 11\cdot 13^{66} + 3\cdot 13^{67} + 7\cdot 13^{68} + 8\cdot 13^{69} + 12\cdot 13^{70} + 12\cdot 13^{71} + 4\cdot 13^{72} + 2\cdot 13^{73} + 4\cdot 13^{74} + 4\cdot 13^{75} + 12\cdot 13^{76} + 12\cdot 13^{77} + 6\cdot 13^{78} + 5\cdot 13^{79} + 5\cdot 13^{80} +O\left(13^{ 81 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2,4)$
$(2,4,8)$
$(1,4,8)$
$(3,6,7)$
$(5,6,7)$
$(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character values
$c1$ $c2$
$1$ $1$ $()$ $6$ $6$
$6$ $2$ $(3,6)(5,7)$ $2$ $2$
$9$ $2$ $(1,2)(3,7)(4,8)(5,6)$ $-2$ $-2$
$12$ $2$ $(1,3)(2,5)(4,6)(7,8)$ $0$ $0$
$8$ $3$ $(3,6,7)$ $-3 \zeta_{3} - 3$ $3 \zeta_{3}$
$8$ $3$ $(3,7,6)$ $3 \zeta_{3}$ $-3 \zeta_{3} - 3$
$16$ $3$ $(1,4,8)(3,6,7)$ $0$ $0$
$16$ $3$ $(1,8,4)(3,7,6)$ $0$ $0$
$32$ $3$ $(1,2,4)(3,7,6)$ $0$ $0$
$36$ $4$ $(1,5,2,6)(3,8,7,4)$ $0$ $0$
$24$ $6$ $(1,2,4)(3,6)(5,7)$ $\zeta_{3} + 1$ $-\zeta_{3}$
$24$ $6$ $(1,4,2)(3,6)(5,7)$ $-\zeta_{3}$ $\zeta_{3} + 1$
$48$ $6$ $(1,3,4,6,8,7)(2,5)$ $0$ $0$
$48$ $6$ $(1,7,8,6,4,3)(2,5)$ $0$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.