Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 68.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{3} + 2 x + 18 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{2} + a + 4 + \left(16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23 + \left(8 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a + 22\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 23^{5} + \left(11 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{6} + \left(5 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(18 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(6 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 23^{10} + \left(6 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{11} + \left(8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{12} + \left(4 a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{13} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 23^{14} + \left(3 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{15} + 4\cdot 23^{16} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 23^{17} + \left(7 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a + 11\right)\cdot 23^{19} + \left(8 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 23^{21} + \left(14 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(15 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{23} + \left(22 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 23^{24} + \left(17 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{25} + \left(10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{26} + \left(6 a^{2} + 20 a\right)\cdot 23^{27} + \left(22 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{28} + \left(9 a^{2} + 22 a\right)\cdot 23^{29} + \left(10 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{30} + \left(21 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 23^{31} + \left(22 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{32} + \left(17 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 23^{33} + \left(15 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(19 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{35} + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{36} + \left(12 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 23^{37} + \left(8 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 23^{38} + \left(2 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 23^{39} + \left(17 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{40} + \left(21 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 23^{41} + \left(18 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{42} + \left(22 a^{2} + 21\right)\cdot 23^{43} + \left(21 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{44} + \left(19 a + 21\right)\cdot 23^{45} + \left(7 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{46} + \left(19 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{47} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{48} + \left(14 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{49} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 23^{50} + \left(19 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 23^{51} + \left(2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{52} + \left(6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{53} + \left(16 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 23^{54} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{55} + \left(16 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 23^{56} + \left(a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 23^{57} + \left(7 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 23^{58} + \left(6 a + 7\right)\cdot 23^{59} + \left(13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 23^{60} + \left(16 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 23^{61} + \left(17 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{62} + \left(14 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 23^{63} + \left(16 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{64} + \left(20 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{65} + \left(4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{66} + \left(11 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{2} + 8 + \left(9 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 23 + \left(11 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{2} + \left(12 a + 5\right)\cdot 23^{3} + \left(22 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(14 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(16 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(15 a^{2} + 8 a\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(2 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 23^{14} + \left(a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(21 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{17} + \left(6 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 23^{18} + \left(7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{21} + \left(16 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{22} + \left(6 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a + 13\right)\cdot 23^{24} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{25} + \left(12 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 23^{26} + \left(a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 23^{27} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 23^{31} + \left(2 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 23^{32} + \left(16 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{33} + \left(6 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{34} + \left(16 a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{35} + \left(13 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{36} + \left(15 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{37} + \left(6 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{38} + \left(18 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{39} + \left(11 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{40} + 12\cdot 23^{41} + \left(17 a + 21\right)\cdot 23^{42} + \left(2 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{43} + \left(11 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 23^{44} + \left(11 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{45} + \left(18 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{46} + \left(22 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{47} + \left(9 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 23^{48} + \left(6 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 23^{49} + \left(14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 23^{50} + \left(15 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{51} + \left(6 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 23^{52} + \left(7 a^{2} + a + 14\right)\cdot 23^{53} + \left(a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{54} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 23^{55} + \left(12 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{56} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{57} + \left(22 a + 11\right)\cdot 23^{58} + \left(10 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 23^{59} + \left(12 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{60} + \left(2 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 23^{61} + \left(11 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{62} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{63} + \left(20 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 23^{64} + \left(21 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{65} + \left(17 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{66} + \left(4 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 21 a^{2} + 6 a + 11 + \left(5 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23 + \left(11 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{3} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(13 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{6} + \left(9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(10 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 23^{9} + \left(9 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{10} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{11} + \left(4 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{13} + \left(a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(18 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(19 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{18} + \left(14 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(12 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{21} + \left(11 a + 12\right)\cdot 23^{22} + \left(12 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 23^{23} + \left(19 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 23^{25} + \left(11 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(8 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(16 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{28} + \left(2 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 23^{30} + \left(11 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{31} + \left(21 a + 4\right)\cdot 23^{32} + \left(13 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 23^{33} + \left(4 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 23^{34} + \left(16 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{35} + \left(18 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{36} + \left(9 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{37} + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 23^{38} + \left(4 a^{2} + 20 a + 18\right)\cdot 23^{39} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(21 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{41} + \left(17 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{42} + \left(22 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 23^{43} + \left(20 a^{2} + 13 a + 21\right)\cdot 23^{44} + \left(19 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 23^{45} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{46} + \left(22 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{47} + \left(19 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{48} + \left(17 a^{2} + 15 a\right)\cdot 23^{49} + \left(21 a^{2} + 6 a + 22\right)\cdot 23^{50} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{51} + \left(12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{52} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{53} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{54} + \left(21 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 23^{55} + \left(17 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{56} + \left(a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 23^{57} + \left(13 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 23^{58} + \left(16 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{59} + \left(13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{60} + \left(15 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{61} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 23^{62} + \left(13 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{64} + \left(12 a^{2} + a\right)\cdot 23^{65} + \left(19 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{66} + \left(5 a^{2} + a + 13\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{2} + 21 a + 1 + \left(17 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 23^{2} + \left(20 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 23^{6} + \left(11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{7} + \left(14 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 23^{8} + \left(22 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 23^{9} + \left(19 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{10} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(a^{2} + a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{13} + \left(2 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{14} + \left(20 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{16} + \left(13 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{17} + \left(13 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{18} + \left(3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{20} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 23^{21} + \left(2 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(5 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 23^{23} + \left(17 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 23^{24} + \left(14 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{25} + \left(3 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(12 a^{2} + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(21 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{28} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{29} + \left(12 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(21 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{31} + \left(12 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{32} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 23^{33} + \left(13 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 20 a + 7\right)\cdot 23^{35} + \left(12 a + 19\right)\cdot 23^{36} + \left(2 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 23^{37} + \left(17 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{38} + \left(a + 13\right)\cdot 23^{39} + \left(9 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{40} + \left(16 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{41} + \left(20 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{42} + \left(14 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 23^{43} + \left(15 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{44} + \left(11 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{45} + \left(5 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{46} + \left(a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 23^{47} + \left(19 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{48} + \left(7 a^{2} + 20 a + 2\right)\cdot 23^{49} + \left(15 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{50} + \left(19 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{51} + \left(4 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{52} + \left(22 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 23^{53} + \left(a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 23^{54} + \left(18 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 23^{55} + \left(12 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 23^{56} + \left(22 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{57} + \left(13 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 23^{58} + \left(5 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 23^{59} + \left(21 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 23^{60} + \left(13 a^{2} + 2 a\right)\cdot 23^{61} + \left(10 a + 2\right)\cdot 23^{62} + \left(4 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 23^{63} + \left(22 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 23^{64} + \left(9 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 23^{65} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 23^{66} + \left(13 a^{2} + 6 a\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + a + 18 + \left(12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23 + \left(10 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 23^{2} + \left(13 a^{2} + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(3 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{6} + \left(6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 23^{7} + \left(6 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{8} + \left(5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(19 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{10} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{11} + \left(13 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{12} + \left(11 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{13} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 23^{14} + \left(22 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{15} + \left(7 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{16} + \left(15 a + 22\right)\cdot 23^{17} + \left(2 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 23^{18} + \left(19 a^{2} + 22 a + 18\right)\cdot 23^{19} + \left(12 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 23^{20} + \left(12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 23^{21} + \left(6 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(2 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{23} + \left(6 a^{2} + 21 a + 6\right)\cdot 23^{24} + \left(13 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 23^{25} + \left(8 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 23^{26} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(2 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(9 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{29} + \left(15 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(3 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 23^{32} + \left(a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 23^{33} + \left(17 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 23^{35} + \left(13 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 23^{36} + \left(8 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{37} + \left(20 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 23^{38} + \left(19 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(19 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 23^{40} + \left(7 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{41} + \left(6 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 23^{42} + \left(8 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 23^{43} + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 23^{44} + \left(10 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 23^{45} + \left(10 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{46} + \left(2 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 23^{47} + \left(16 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{48} + \left(22 a + 2\right)\cdot 23^{49} + \left(2 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{50} + \left(7 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 23^{51} + \left(15 a^{2} + 22 a + 3\right)\cdot 23^{52} + \left(17 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{53} + \left(4 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 23^{54} + \left(22 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{55} + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{57} + \left(a^{2} + 5 a + 21\right)\cdot 23^{58} + \left(17 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 23^{59} + \left(11 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{60} + \left(15 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 23^{61} + \left(4 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{62} + \left(4 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 23^{63} + \left(7 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 23^{64} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 23^{65} + \left(11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 23^{66} + \left(21 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 18 a + 2 + \left(16 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 23 + \left(10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 23^{2} + \left(8 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{3} + \left(18 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 23^{5} + \left(7 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{6} + \left(13 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{7} + \left(7 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 23^{9} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 23^{12} + \left(13 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{13} + \left(12 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{14} + \left(5 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 23^{15} + \left(21 a^{2} + 16\right)\cdot 23^{16} + \left(4 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{17} + \left(11 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{19} + \left(2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 23^{20} + \left(17 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(22 a^{2} + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(19 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{23} + 9 a^{2}23^{24} + \left(16 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 23^{25} + \left(8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 23^{26} + \left(20 a^{2} + 11\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{28} + \left(22 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 23^{29} + \left(3 a^{2} + 16 a\right)\cdot 23^{30} + \left(22 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 23^{31} + \left(11 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(4 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(19 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 23^{35} + \left(8 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 23^{36} + \left(14 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 23^{37} + \left(19 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 23^{38} + \left(10 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{39} + \left(21 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{40} + \left(9 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{41} + \left(11 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{42} + \left(10 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 23^{43} + \left(21 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 23^{44} + \left(a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 23^{45} + \left(3 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 23^{46} + \left(3 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{47} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{48} + \left(12 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 23^{49} + \left(17 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 23^{50} + \left(19 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 23^{51} + \left(9 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 23^{52} + \left(21 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{53} + \left(16 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 23^{54} + \left(2 a^{2} + a + 12\right)\cdot 23^{55} + \left(11 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{56} + \left(22 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 23^{57} + \left(11 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 23^{58} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 23^{59} + \left(10 a^{2} + 18 a + 20\right)\cdot 23^{60} + \left(2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 23^{61} + \left(14 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{62} + \left(16 a^{2} + 8\right)\cdot 23^{63} + \left(13 a^{2} + a\right)\cdot 23^{64} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 23^{65} + \left(10 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 23^{66} + \left(20 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 6 + \left(10 a + 5\right)\cdot 23 + \left(8 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(17 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{4} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{6} + \left(2 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(21 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 23^{8} + \left(14 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 23^{9} + \left(16 a^{2} + 12 a + 22\right)\cdot 23^{10} + \left(11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 23^{11} + \left(21 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{12} + \left(22 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{13} + \left(18 a^{2} + a + 22\right)\cdot 23^{14} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 23^{15} + \left(14 a + 3\right)\cdot 23^{16} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(12 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 23^{18} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 23^{19} + \left(17 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 23^{20} + \left(4 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 23^{21} + \left(20 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 23^{22} + \left(5 a^{2} + 18\right)\cdot 23^{23} + \left(9 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{24} + \left(10 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(7 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 23^{26} + \left(2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(8 a^{2} + 10 a + 22\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 23^{29} + \left(5 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 23^{30} + \left(13 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 23^{31} + \left(9 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{33} + \left(5 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 23^{34} + \left(5 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 23^{35} + \left(4 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{36} + \left(11 a^{2} + 22 a + 16\right)\cdot 23^{37} + \left(21 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{38} + \left(17 a^{2} + a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(3 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{40} + \left(8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 23^{41} + \left(7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 23^{42} + \left(8 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{43} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 23^{44} + \left(14 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 23^{45} + \left(14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(22 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 23^{47} + \left(6 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 23^{48} + \left(20 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{49} + \left(8 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 23^{50} + \left(2 a + 9\right)\cdot 23^{51} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 23^{52} + \left(20 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 23^{53} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 23^{54} + \left(6 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 23^{55} + \left(15 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 23^{57} + \left(18 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 23^{58} + \left(17 a + 3\right)\cdot 23^{59} + \left(11 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 23^{60} + \left(16 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 23^{61} + \left(20 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 23^{62} + \left(5 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 23^{63} + \left(10 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 23^{64} + \left(14 a + 22\right)\cdot 23^{65} + \left(20 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 23^{66} + \left(3 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 22 a + 10 + \left(18 a + 10\right)\cdot 23 + \left(a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(14 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{5} + \left(2 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 23^{6} + \left(22 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(5 a^{2} + 16 a + 20\right)\cdot 23^{8} + \left(17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 23^{9} + \left(2 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 23^{10} + \left(a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 23^{11} + \left(11 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{12} + \left(16 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 23^{13} + \left(8 a^{2} + 20 a + 14\right)\cdot 23^{14} + \left(22 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 23^{15} + \left(16 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(19 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 23^{18} + \left(19 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 23^{19} + \left(16 a^{2} + a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(16 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{21} + \left(22 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{23} + \left(16 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a^{2} + a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(19 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(20 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 23^{29} + \left(13 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 23^{30} + \left(12 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 23^{31} + \left(10 a^{2} + 20 a + 1\right)\cdot 23^{32} + \left(5 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{33} + \left(22 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 23^{34} + \left(4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{35} + \left(19 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 23^{36} + \left(21 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 23^{37} + \left(18 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 23^{38} + \left(7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 23^{39} + \left(14 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 23^{41} + \left(16 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 23^{42} + \left(12 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 23^{43} + \left(3 a^{2} + 22 a + 10\right)\cdot 23^{44} + \left(a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 23^{45} + \left(17 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 23^{46} + \left(20 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 23^{47} + \left(19 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 23^{48} + \left(15 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 23^{49} + \left(6 a^{2} + 21 a + 5\right)\cdot 23^{50} + \left(4 a + 11\right)\cdot 23^{51} + \left(a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 23^{52} + \left(21 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 23^{53} + \left(16 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 23^{54} + \left(21 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 23^{55} + \left(16 a^{2} + 4\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{57} + \left(20 a^{2} + 17 a\right)\cdot 23^{58} + \left(18 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 23^{59} + \left(21 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 23^{60} + \left(4 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 23^{61} + \left(7 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 23^{62} + \left(16 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{63} + \left(18 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 23^{64} + \left(8 a^{2} + 19 a + 14\right)\cdot 23^{65} + \left(16 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 23^{66} + \left(19 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 4 a + 9 + \left(13 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 23 + \left(3 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 23^{2} + \left(5 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 23^{3} + \left(4 a^{2} + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(15 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 23^{5} + \left(4 a^{2} + 19 a\right)\cdot 23^{6} + \left(4 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 23^{7} + \left(13 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 23^{9} + \left(5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 23^{10} + \left(19 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 23^{11} + \left(2 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 23^{12} + \left(5 a^{2} + 14 a\right)\cdot 23^{13} + \left(a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 23^{15} + \left(a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 23^{16} + \left(9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 23^{17} + \left(4 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 23^{18} + \left(11 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 23^{19} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 23^{20} + \left(a^{2} + 12 a\right)\cdot 23^{21} + \left(9 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 23^{22} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 23^{23} + \left(13 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 23^{24} + \left(11 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 23^{25} + \left(3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 23^{26} + \left(19 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 23^{27} + \left(13 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(13 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 23^{29} + \left(8 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 23^{30} + \left(2 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 23^{31} + \left(11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 23^{32} + \left(8 a + 8\right)\cdot 23^{33} + \left(11 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 23^{34} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{35} + \left(5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 23^{36} + \left(19 a^{2} + 10\right)\cdot 23^{37} + \left(17 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 23^{38} + \left(9 a^{2} + 22 a + 5\right)\cdot 23^{39} + \left(7 a^{2} + 1\right)\cdot 23^{40} + \left(14 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 23^{41} + \left(15 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 23^{42} + \left(12 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 23^{43} + \left(2 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 23^{44} + \left(20 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 23^{45} + \left(12 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 23^{46} + \left(9 a + 7\right)\cdot 23^{47} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 23^{48} + \left(19 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 23^{49} + \left(22 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 23^{50} + \left(6 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 23^{51} + \left(10 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 23^{52} + \left(18 a^{2} + 22 a + 19\right)\cdot 23^{53} + \left(12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 23^{54} + \left(14 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 23^{55} + \left(18 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{56} + \left(21 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 23^{57} + \left(3 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 23^{58} + \left(12 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 23^{59} + \left(22 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 23^{60} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 23^{61} + \left(14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 23^{62} + \left(14 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 23^{63} + \left(15 a^{2} + 2\right)\cdot 23^{64} + \left(6 a + 22\right)\cdot 23^{65} + \left(8 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 23^{66} + \left(14 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 23^{67} +O\left(23^{ 68 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,4,5)$ |
| $(1,2,3)(4,7,6)(5,9,8)$ |
| $(2,7,9)$ |
| $(1,7,4,2)(5,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
$c2$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
$6$ |
| $27$ |
$2$ |
$(2,7)(3,6)$ |
$-2$ |
$-2$ |
| $54$ |
$2$ |
$(1,4)(2,3)(6,7)(8,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(3,6,8)$ |
$3$ |
$3$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,4,5)(2,7,9)(3,6,8)$ |
$-3$ |
$-3$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,4,5)(3,6,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$3$ |
$(1,2,3)(4,7,6)(5,9,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$4$ |
$(2,3,7,6)(8,9)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$6$ |
$(1,5,4)(2,7)(3,6)$ |
$1$ |
$1$ |
| $108$ |
$6$ |
$(1,4)(2,3,9,8,7,6)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$9$ |
$(1,2,3,4,7,6,5,9,8)$ |
$0$ |
$0$ |
| $72$ |
$9$ |
$(1,2,3,5,9,8,4,7,6)$ |
$0$ |
$0$ |
| $54$ |
$12$ |
$(1,4,5)(2,3,7,6)(8,9)$ |
$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |
$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
| $54$ |
$12$ |
$(1,5,4)(2,3,7,6)(8,9)$ |
$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$ |
$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
