Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 119.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $ x^{3} + 3 x + 51 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 32 a^{2} + 47 a + 27 + \left(47 a^{2} + a + 6\right)\cdot 53 + \left(41 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 53^{2} + \left(46 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 53^{3} + \left(47 a + 14\right)\cdot 53^{4} + \left(11 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 53^{5} + \left(2 a^{2} + 23 a + 52\right)\cdot 53^{6} + \left(39 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 53^{7} + \left(16 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 53^{8} + \left(49 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 53^{9} + \left(18 a^{2} + 12 a + 27\right)\cdot 53^{10} + \left(43 a^{2} + 43 a + 30\right)\cdot 53^{11} + \left(3 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 53^{12} + \left(10 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 53^{13} + \left(26 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 53^{14} + \left(10 a^{2} + 27 a + 17\right)\cdot 53^{15} + \left(32 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 53^{16} + \left(29 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 53^{17} + \left(38 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{18} + \left(44 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 53^{19} + \left(13 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 53^{20} + \left(45 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 53^{21} + \left(15 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 53^{22} + \left(41 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 53^{23} + \left(32 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 53^{24} + \left(48 a^{2} + 26 a + 37\right)\cdot 53^{25} + \left(25 a + 47\right)\cdot 53^{26} + \left(30 a^{2} + 26 a + 46\right)\cdot 53^{27} + \left(28 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 53^{28} + \left(33 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 53^{29} + \left(47 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 53^{30} + \left(14 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 53^{31} + \left(15 a + 8\right)\cdot 53^{32} + \left(28 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 53^{33} + \left(9 a^{2} + 51 a + 14\right)\cdot 53^{34} + \left(25 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 53^{35} + \left(31 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 53^{36} + \left(51 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 53^{37} + \left(49 a^{2} + 23 a + 11\right)\cdot 53^{38} + \left(30 a^{2} + 20 a + 6\right)\cdot 53^{39} + \left(29 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 53^{40} + \left(10 a^{2} + 22 a\right)\cdot 53^{41} + \left(14 a^{2} + 47 a + 12\right)\cdot 53^{42} + \left(9 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 53^{43} + \left(25 a^{2} + 44 a + 10\right)\cdot 53^{44} + \left(19 a^{2} + 48 a + 35\right)\cdot 53^{45} + \left(49 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 53^{46} + \left(42 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 53^{47} + \left(8 a^{2} + 50 a + 14\right)\cdot 53^{48} + \left(20 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 53^{49} + \left(25 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 53^{50} + \left(25 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 53^{51} + \left(42 a^{2} + 31 a\right)\cdot 53^{52} + \left(7 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 53^{53} + \left(34 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 53^{54} + \left(5 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 53^{55} + \left(18 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 53^{56} + \left(18 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 53^{57} + \left(15 a^{2} + 47 a + 29\right)\cdot 53^{58} + \left(14 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 53^{59} + \left(26 a^{2} + a + 39\right)\cdot 53^{60} + \left(43 a^{2} + 35 a + 2\right)\cdot 53^{61} + \left(51 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 53^{62} + \left(45 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 53^{63} + \left(35 a^{2} + 52 a + 7\right)\cdot 53^{64} + \left(a^{2} + 38 a + 52\right)\cdot 53^{65} + \left(42 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 53^{66} + \left(3 a^{2} + 46 a + 20\right)\cdot 53^{67} + \left(15 a^{2} + 52 a + 24\right)\cdot 53^{68} + \left(42 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 53^{69} + \left(3 a^{2} + 12 a + 21\right)\cdot 53^{70} + \left(21 a^{2} + 45 a + 18\right)\cdot 53^{71} + \left(28 a^{2} + 27 a + 38\right)\cdot 53^{72} + \left(16 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 53^{73} + \left(49 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 53^{74} + \left(52 a^{2} + 32 a + 51\right)\cdot 53^{75} + \left(32 a^{2} + 38 a + 19\right)\cdot 53^{76} + \left(21 a^{2} + 36 a + 30\right)\cdot 53^{77} + \left(8 a^{2} + 50 a + 46\right)\cdot 53^{78} + \left(32 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 53^{79} + \left(a^{2} + 9 a + 46\right)\cdot 53^{80} + \left(20 a^{2} + 49 a + 34\right)\cdot 53^{81} + \left(47 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 53^{82} + \left(2 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 53^{83} + \left(37 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 53^{84} + \left(31 a^{2} + 24 a + 18\right)\cdot 53^{85} + \left(35 a^{2} + 23 a + 50\right)\cdot 53^{86} + \left(43 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 53^{87} + \left(51 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 53^{88} + \left(18 a^{2} + 44 a + 49\right)\cdot 53^{89} + \left(16 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 53^{90} + \left(44 a^{2} + 40 a\right)\cdot 53^{91} + \left(24 a^{2} + 43 a + 26\right)\cdot 53^{92} + \left(16 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 53^{93} + \left(31 a^{2} + 25 a\right)\cdot 53^{94} + \left(20 a^{2} + 47 a + 51\right)\cdot 53^{95} + \left(25 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 53^{96} + \left(3 a^{2} + 36 a + 27\right)\cdot 53^{97} + \left(36 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 53^{98} + \left(25 a^{2} + 11 a + 49\right)\cdot 53^{99} + \left(18 a^{2} + 20 a + 13\right)\cdot 53^{100} + \left(51 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 53^{101} + \left(27 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 53^{102} + \left(38 a^{2} + 15 a + 50\right)\cdot 53^{103} + \left(29 a^{2} + 24 a + 20\right)\cdot 53^{104} + \left(33 a^{2} + 15 a + 23\right)\cdot 53^{105} + \left(46 a^{2} + 23 a + 34\right)\cdot 53^{106} + \left(52 a^{2} + 47 a + 24\right)\cdot 53^{107} + \left(46 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 53^{108} + \left(36 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 53^{109} + \left(43 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 53^{110} + \left(45 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 53^{111} + \left(29 a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 53^{112} + \left(47 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 53^{113} + \left(30 a^{2} + 37 a + 34\right)\cdot 53^{114} + \left(23 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 53^{115} + \left(9 a^{2} + 36 a + 15\right)\cdot 53^{116} + \left(22 a^{2} + 46 a + 28\right)\cdot 53^{117} + \left(6 a + 14\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 34 a^{2} + 13 a + 47 + \left(6 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 53 + \left(29 a^{2} + 31 a + 42\right)\cdot 53^{2} + \left(19 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 53^{3} + \left(51 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 53^{4} + \left(19 a^{2} + 47 a + 33\right)\cdot 53^{5} + \left(46 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{2} + a + 25\right)\cdot 53^{7} + \left(23 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 53^{8} + \left(12 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 53^{9} + \left(47 a^{2} + 50 a + 47\right)\cdot 53^{10} + \left(4 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 53^{11} + \left(41 a^{2} + 6 a + 46\right)\cdot 53^{12} + \left(36 a^{2} + 2 a + 44\right)\cdot 53^{13} + \left(39 a^{2} + 51 a + 9\right)\cdot 53^{14} + \left(43 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 53^{15} + \left(16 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 53^{16} + \left(52 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 53^{17} + \left(2 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 53^{18} + \left(35 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 53^{19} + \left(39 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 53^{20} + \left(a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 53^{21} + \left(17 a^{2} + 23 a + 48\right)\cdot 53^{22} + \left(46 a^{2} + 49 a + 22\right)\cdot 53^{23} + \left(43 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 53^{24} + \left(14 a^{2} + 28 a\right)\cdot 53^{25} + \left(a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 53^{26} + \left(5 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 53^{27} + 20 a\cdot 53^{28} + \left(45 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 53^{29} + \left(28 a^{2} + a + 15\right)\cdot 53^{30} + \left(35 a^{2} + 7 a\right)\cdot 53^{31} + \left(4 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 53^{32} + \left(32 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 53^{33} + \left(28 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 53^{34} + \left(21 a^{2} + 2 a + 30\right)\cdot 53^{35} + \left(22 a^{2} + 52 a + 32\right)\cdot 53^{36} + \left(13 a^{2} + 50 a + 52\right)\cdot 53^{37} + \left(22 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 53^{38} + \left(27 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 53^{39} + \left(19 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 53^{40} + \left(47 a^{2} + 32 a + 46\right)\cdot 53^{41} + \left(9 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 53^{42} + \left(24 a^{2} + 46 a + 49\right)\cdot 53^{43} + \left(13 a^{2} + 2 a + 50\right)\cdot 53^{44} + \left(33 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 53^{45} + \left(8 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 53^{46} + \left(37 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 53^{47} + \left(6 a^{2} + 25 a + 50\right)\cdot 53^{48} + \left(13 a^{2} + 10 a + 44\right)\cdot 53^{49} + \left(9 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 53^{50} + \left(24 a^{2} + 21 a + 9\right)\cdot 53^{51} + \left(39 a^{2} + 27 a + 33\right)\cdot 53^{52} + \left(15 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 53^{53} + \left(51 a^{2} + 18 a + 24\right)\cdot 53^{54} + \left(23 a + 41\right)\cdot 53^{55} + \left(14 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 53^{56} + \left(16 a^{2} + 49 a + 18\right)\cdot 53^{57} + \left(15 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 53^{58} + \left(38 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 53^{59} + \left(37 a^{2} + 18 a + 26\right)\cdot 53^{60} + \left(22 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 53^{61} + \left(26 a^{2} + 17 a + 28\right)\cdot 53^{62} + \left(9 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 53^{63} + \left(42 a^{2} + 39 a + 51\right)\cdot 53^{64} + \left(50 a^{2} + 39 a + 45\right)\cdot 53^{65} + \left(44 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 53^{66} + \left(52 a^{2} + 36 a + 45\right)\cdot 53^{67} + \left(25 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 53^{68} + \left(13 a^{2} + 11 a + 48\right)\cdot 53^{69} + \left(14 a^{2} + 46 a + 31\right)\cdot 53^{70} + \left(30 a^{2} + 48 a + 29\right)\cdot 53^{71} + \left(46 a^{2} + 51 a + 20\right)\cdot 53^{72} + \left(21 a^{2} + 17\right)\cdot 53^{73} + \left(50 a^{2} + 47 a + 6\right)\cdot 53^{74} + \left(36 a^{2} + 51 a + 6\right)\cdot 53^{75} + \left(36 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 53^{76} + \left(48 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 53^{77} + \left(45 a^{2} + 49 a + 28\right)\cdot 53^{78} + \left(49 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 53^{79} + \left(6 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 53^{80} + \left(38 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 53^{81} + \left(29 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 53^{82} + \left(39 a^{2} + 22 a + 21\right)\cdot 53^{83} + \left(30 a^{2} + 5 a + 48\right)\cdot 53^{84} + \left(4 a^{2} + 35\right)\cdot 53^{85} + \left(38 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 53^{86} + \left(19 a^{2} + 47 a + 9\right)\cdot 53^{87} + \left(26 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 53^{88} + \left(49 a^{2} + 30 a + 14\right)\cdot 53^{89} + \left(20 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 53^{90} + \left(12 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 53^{91} + \left(30 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 53^{92} + \left(14 a^{2} + 17 a + 52\right)\cdot 53^{93} + \left(24 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 53^{94} + \left(52 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 53^{95} + \left(49 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 53^{96} + \left(38 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 53^{97} + \left(39 a^{2} + 47 a + 42\right)\cdot 53^{98} + \left(33 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 53^{99} + \left(35 a + 43\right)\cdot 53^{100} + \left(49 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 53^{101} + \left(a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 53^{102} + \left(31 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 53^{103} + \left(48 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 53^{104} + \left(20 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 53^{105} + \left(42 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 53^{106} + \left(17 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{107} + \left(25 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 53^{108} + \left(17 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 53^{109} + \left(6 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 53^{110} + \left(39 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 53^{111} + \left(41 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 53^{112} + \left(28 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 53^{113} + \left(24 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 53^{114} + \left(51 a^{2} + 38 a + 11\right)\cdot 53^{115} + \left(4 a^{2} + 12 a + 46\right)\cdot 53^{116} + \left(46 a^{2} + 33 a + 51\right)\cdot 53^{117} + \left(14 a^{2} + 47 a + 26\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 3 + 10\cdot 53 + 22\cdot 53^{2} + 2\cdot 53^{3} + 21\cdot 53^{4} + 10\cdot 53^{5} + 13\cdot 53^{6} + 40\cdot 53^{7} + 7\cdot 53^{8} + 45\cdot 53^{9} + 10\cdot 53^{10} + 22\cdot 53^{11} + 35\cdot 53^{12} + 30\cdot 53^{13} + 7\cdot 53^{14} + 43\cdot 53^{15} + 20\cdot 53^{16} + 39\cdot 53^{17} + 34\cdot 53^{18} + 16\cdot 53^{19} + 9\cdot 53^{20} + 10\cdot 53^{21} + 48\cdot 53^{22} + 48\cdot 53^{23} + 28\cdot 53^{24} + 36\cdot 53^{25} + 13\cdot 53^{26} + 3\cdot 53^{27} + 23\cdot 53^{28} + 47\cdot 53^{29} + 34\cdot 53^{30} + 12\cdot 53^{31} + 52\cdot 53^{32} + 19\cdot 53^{33} + 18\cdot 53^{34} + 38\cdot 53^{36} + 13\cdot 53^{37} + 2\cdot 53^{38} + 17\cdot 53^{39} + 40\cdot 53^{40} + 49\cdot 53^{41} + 7\cdot 53^{42} + 6\cdot 53^{43} + 5\cdot 53^{44} + 16\cdot 53^{45} + 16\cdot 53^{46} + 53^{47} + 16\cdot 53^{48} + 10\cdot 53^{49} + 33\cdot 53^{50} + 31\cdot 53^{51} + 52\cdot 53^{52} + 36\cdot 53^{53} + 35\cdot 53^{54} + 30\cdot 53^{55} + 48\cdot 53^{56} + 51\cdot 53^{57} + 16\cdot 53^{58} + 37\cdot 53^{59} + 34\cdot 53^{60} + 23\cdot 53^{61} + 45\cdot 53^{62} + 27\cdot 53^{63} + 21\cdot 53^{64} + 27\cdot 53^{65} + 7\cdot 53^{66} + 37\cdot 53^{67} + 31\cdot 53^{68} + 48\cdot 53^{69} + 42\cdot 53^{70} + 5\cdot 53^{71} + 52\cdot 53^{72} + 34\cdot 53^{73} + 16\cdot 53^{74} + 31\cdot 53^{75} + 33\cdot 53^{76} + 35\cdot 53^{77} + 21\cdot 53^{78} + 49\cdot 53^{79} + 38\cdot 53^{80} + 27\cdot 53^{81} + 11\cdot 53^{82} + 51\cdot 53^{83} + 53^{84} + 27\cdot 53^{85} + 45\cdot 53^{86} + 52\cdot 53^{87} + 3\cdot 53^{88} + 38\cdot 53^{89} + 24\cdot 53^{90} + 4\cdot 53^{91} + 12\cdot 53^{92} + 12\cdot 53^{94} + 47\cdot 53^{95} + 39\cdot 53^{96} + 46\cdot 53^{97} + 5\cdot 53^{98} + 10\cdot 53^{99} + 29\cdot 53^{100} + 44\cdot 53^{101} + 19\cdot 53^{102} + 2\cdot 53^{103} + 4\cdot 53^{104} + 22\cdot 53^{105} + 26\cdot 53^{106} + 15\cdot 53^{107} + 42\cdot 53^{108} + 32\cdot 53^{110} + 52\cdot 53^{111} + 16\cdot 53^{112} + 25\cdot 53^{113} + 36\cdot 53^{114} + 35\cdot 53^{115} + 24\cdot 53^{116} + 53^{117} + 13\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{2} + 35 a + 50 + \left(26 a^{2} + 11 a + 51\right)\cdot 53 + \left(12 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 53^{2} + \left(21 a^{2} + 33 a + 45\right)\cdot 53^{3} + \left(8 a^{2} + 48 a + 41\right)\cdot 53^{4} + \left(22 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 53^{5} + \left(16 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(33 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 53^{7} + \left(17 a^{2} + 38 a + 46\right)\cdot 53^{8} + \left(5 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 53^{9} + \left(44 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 53^{10} + \left(25 a^{2} + 31 a + 44\right)\cdot 53^{11} + \left(19 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 53^{12} + \left(24 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 53^{13} + \left(48 a^{2} + 27\right)\cdot 53^{14} + \left(18 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 53^{15} + \left(49 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 53^{16} + \left(40 a^{2} + 50 a + 34\right)\cdot 53^{17} + \left(24 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 53^{18} + \left(21 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 53^{19} + \left(50 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 53^{20} + \left(5 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 53^{21} + \left(28 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 53^{22} + \left(30 a^{2} + 33 a + 44\right)\cdot 53^{23} + \left(16 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 53^{24} + \left(47 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 53^{25} + \left(49 a^{2} + a + 43\right)\cdot 53^{26} + \left(10 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 53^{27} + \left(42 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 53^{28} + \left(26 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 53^{29} + \left(13 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 53^{30} + \left(30 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 53^{31} + \left(49 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 53^{32} + \left(23 a^{2} + 47 a + 50\right)\cdot 53^{33} + \left(9 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 53^{34} + \left(44 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 53^{35} + \left(a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 53^{36} + \left(a^{2} + 44 a + 27\right)\cdot 53^{37} + \left(16 a^{2} + 37 a + 15\right)\cdot 53^{38} + \left(38 a^{2} + 52 a + 34\right)\cdot 53^{39} + \left(36 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 53^{40} + \left(33 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 53^{41} + \left(38 a^{2} + 4 a + 37\right)\cdot 53^{42} + \left(17 a^{2} + 20 a + 36\right)\cdot 53^{43} + \left(6 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 53^{44} + \left(15 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 53^{45} + \left(23 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 53^{46} + \left(21 a^{2} + 25 a + 49\right)\cdot 53^{47} + \left(5 a^{2} + 46 a + 47\right)\cdot 53^{48} + \left(16 a^{2} + 20 a + 50\right)\cdot 53^{49} + \left(3 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 53^{50} + \left(11 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 53^{51} + \left(16 a^{2} + 39\right)\cdot 53^{52} + \left(20 a^{2} + 25 a + 15\right)\cdot 53^{53} + \left(37 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 53^{54} + \left(41 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 53^{55} + \left(18 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 53^{56} + \left(41 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 53^{57} + \left(39 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 53^{58} + \left(22 a^{2} + 39 a + 49\right)\cdot 53^{59} + \left(19 a^{2} + a + 42\right)\cdot 53^{60} + \left(2 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 53^{61} + \left(49 a^{2} + 46 a + 21\right)\cdot 53^{62} + \left(38 a^{2} + 31 a + 47\right)\cdot 53^{63} + \left(33 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 53^{64} + \left(29 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 53^{65} + \left(12 a^{2} + 42 a + 48\right)\cdot 53^{66} + \left(38 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 53^{67} + \left(40 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 53^{68} + \left(46 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 53^{69} + \left(28 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 53^{70} + \left(27 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 53^{71} + \left(34 a^{2} + 47 a + 49\right)\cdot 53^{72} + \left(41 a^{2} + 41 a + 3\right)\cdot 53^{73} + \left(6 a^{2} + 48 a + 25\right)\cdot 53^{74} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 53^{75} + \left(38 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 53^{76} + \left(46 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 53^{77} + \left(48 a^{2} + 30 a + 34\right)\cdot 53^{78} + \left(29 a^{2} + 14 a + 52\right)\cdot 53^{79} + \left(40 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 53^{80} + \left(11 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 53^{81} + \left(26 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 53^{82} + \left(32 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 53^{83} + \left(47 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 53^{84} + \left(40 a^{2} + 24 a + 2\right)\cdot 53^{85} + \left(2 a^{2} + 19 a + 23\right)\cdot 53^{86} + \left(32 a^{2} + 44 a + 34\right)\cdot 53^{87} + \left(47 a^{2} + 23 a + 47\right)\cdot 53^{88} + \left(19 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 53^{89} + \left(6 a^{2} + 21 a + 41\right)\cdot 53^{90} + \left(32 a^{2} + 48 a + 10\right)\cdot 53^{91} + \left(7 a^{2} + 26 a + 36\right)\cdot 53^{92} + \left(20 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 53^{93} + \left(6 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 53^{94} + \left(51 a^{2} + 36 a + 10\right)\cdot 53^{95} + \left(36 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 53^{96} + \left(35 a^{2} + 24 a + 43\right)\cdot 53^{97} + \left(43 a^{2} + 52 a + 50\right)\cdot 53^{98} + \left(37 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 53^{99} + \left(48 a^{2} + 48 a + 33\right)\cdot 53^{100} + \left(48 a^{2} + 41 a + 25\right)\cdot 53^{101} + \left(19 a^{2} + 29 a + 37\right)\cdot 53^{102} + \left(11 a^{2} + 20 a + 45\right)\cdot 53^{103} + \left(30 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 53^{104} + \left(30 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 53^{105} + \left(12 a^{2} + 43 a + 36\right)\cdot 53^{106} + \left(34 a^{2} + 48 a + 42\right)\cdot 53^{107} + \left(37 a^{2} + 13 a + 31\right)\cdot 53^{108} + \left(51 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 53^{109} + \left(38 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 53^{110} + \left(39 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 53^{111} + \left(32 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 53^{112} + \left(29 a^{2} + 24 a + 7\right)\cdot 53^{113} + \left(36 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 53^{114} + \left(11 a^{2} + 43 a + 37\right)\cdot 53^{115} + \left(36 a^{2} + 40 a + 2\right)\cdot 53^{116} + \left(41 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 53^{117} + \left(17 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 48 a^{2} + 15 a + 6 + \left(16 a^{2} + 29 a + 51\right)\cdot 53 + \left(43 a^{2} + 44 a + 9\right)\cdot 53^{2} + \left(50 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 53^{3} + \left(a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(11 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 53^{5} + \left(18 a^{2} + 45 a + 31\right)\cdot 53^{6} + \left(50 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 53^{7} + \left(17 a^{2} + 28 a + 44\right)\cdot 53^{8} + \left(38 a^{2} + 7 a + 46\right)\cdot 53^{9} + \left(16 a^{2} + 51 a + 22\right)\cdot 53^{10} + \left(18 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 53^{11} + \left(8 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 53^{12} + \left(24 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 53^{13} + \left(31 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 53^{14} + \left(31 a^{2} + 51 a + 6\right)\cdot 53^{15} + \left(52 a^{2} + 18 a\right)\cdot 53^{16} + \left(9 a^{2} + 51 a + 2\right)\cdot 53^{17} + \left(46 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 53^{18} + \left(19 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 53^{19} + \left(41 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 53^{20} + \left(10 a^{2} + 27 a + 6\right)\cdot 53^{21} + \left(20 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 53^{22} + \left(39 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 53^{23} + \left(33 a^{2} + 17 a + 24\right)\cdot 53^{24} + \left(20 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 53^{25} + \left(31 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 53^{26} + \left(27 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 53^{27} + \left(32 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 53^{28} + \left(29 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 53^{29} + \left(13 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 53^{30} + \left(44 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 53^{31} + \left(32 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 53^{32} + \left(7 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 53^{33} + \left(19 a^{2} + 42 a + 33\right)\cdot 53^{34} + \left(5 a^{2} + 48 a + 43\right)\cdot 53^{35} + \left(10 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 53^{36} + \left(17 a^{2} + 3 a + 51\right)\cdot 53^{37} + \left(33 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 53^{38} + \left(5 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 53^{39} + \left(17 a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 53^{40} + \left(52 a^{2} + 51 a + 31\right)\cdot 53^{41} + \left(16 a^{2} + 49 a + 17\right)\cdot 53^{42} + \left(28 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 53^{43} + \left(30 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 53^{44} + \left(34 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 53^{45} + \left(29 a^{2} + 39 a + 34\right)\cdot 53^{46} + \left(32 a^{2} + 46 a + 52\right)\cdot 53^{47} + \left(25 a^{2} + 34 a + 47\right)\cdot 53^{48} + \left(12 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 53^{49} + \left(52 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 53^{50} + \left(51 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 53^{51} + \left(24 a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 53^{52} + \left(11 a + 26\right)\cdot 53^{53} + \left(2 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 53^{54} + \left(3 a^{2} + 46 a + 22\right)\cdot 53^{55} + \left(34 a^{2} + 7 a + 38\right)\cdot 53^{56} + \left(8 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 53^{57} + \left(37 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 53^{58} + \left(9 a^{2} + 46 a + 43\right)\cdot 53^{59} + \left(9 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 53^{60} + \left(9 a^{2} + 40\right)\cdot 53^{61} + \left(25 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 53^{62} + \left(42 a^{2} + 52 a + 4\right)\cdot 53^{63} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 53^{64} + \left(50 a^{2} + 44 a + 43\right)\cdot 53^{65} + \left(7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 53^{66} + \left(25 a^{2} + 43 a + 10\right)\cdot 53^{67} + \left(33 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 53^{68} + \left(33 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 53^{69} + \left(5 a^{2} + 20 a + 25\right)\cdot 53^{70} + \left(10 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 53^{71} + \left(30 a^{2} + 42 a + 41\right)\cdot 53^{72} + \left(44 a^{2} + 20 a + 35\right)\cdot 53^{73} + \left(51 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 53^{74} + \left(45 a^{2} + 47 a + 37\right)\cdot 53^{75} + \left(34 a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 53^{76} + \left(34 a^{2} + 31 a + 3\right)\cdot 53^{77} + \left(44 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 53^{78} + \left(19 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 53^{79} + \left(47 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 53^{80} + \left(47 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 53^{81} + \left(16 a^{2} + a + 44\right)\cdot 53^{82} + \left(2 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 53^{83} + \left(19 a^{2} + 23 a + 38\right)\cdot 53^{84} + \left(49 a^{2} + 24 a\right)\cdot 53^{85} + \left(28 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 53^{86} + \left(27 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 53^{87} + \left(23 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 53^{88} + \left(35 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 53^{89} + \left(25 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 53^{90} + \left(29 a^{2} + 43 a + 23\right)\cdot 53^{91} + \left(26 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 53^{92} + \left(22 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 53^{93} + \left(a^{2} + 30 a + 46\right)\cdot 53^{94} + \left(44 a^{2} + 45 a + 44\right)\cdot 53^{95} + \left(a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 53^{96} + \left(34 a + 20\right)\cdot 53^{97} + \left(17 a^{2} + 46 a + 18\right)\cdot 53^{98} + \left(52 a^{2} + 44 a + 49\right)\cdot 53^{99} + \left(51 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 53^{100} + \left(16 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 53^{101} + \left(49 a^{2} + 12 a + 50\right)\cdot 53^{102} + \left(27 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 53^{103} + \left(2 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 53^{104} + \left(43 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 53^{105} + \left(12 a^{2} + 50 a + 19\right)\cdot 53^{106} + \left(33 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 53^{107} + \left(3 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 53^{108} + \left(40 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 53^{109} + \left(38 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 53^{110} + \left(28 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 53^{111} + \left(27 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 53^{112} + \left(8 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 53^{113} + \left(21 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 53^{114} + \left(27 a^{2} + 25 a + 32\right)\cdot 53^{115} + \left(34 a^{2} + 26 a + 12\right)\cdot 53^{116} + \left(9 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 53^{117} + \left(25 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 26 a^{2} + 44 a + 15 + \left(41 a^{2} + 21 a + 47\right)\cdot 53 + \left(20 a^{2} + 44 a + 17\right)\cdot 53^{2} + \left(8 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 53^{3} + \left(50 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(30 a^{2} + 28 a + 13\right)\cdot 53^{5} + \left(32 a^{2} + 37 a + 7\right)\cdot 53^{6} + \left(16 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 53^{7} + \left(18 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 53^{8} + \left(18 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 53^{9} + \left(17 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 53^{10} + \left(44 a^{2} + 17 a + 32\right)\cdot 53^{11} + \left(40 a^{2} + 2 a + 47\right)\cdot 53^{12} + \left(18 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 53^{13} + \left(48 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 53^{14} + \left(10 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 53^{15} + \left(21 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 53^{16} + \left(13 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 53^{17} + \left(21 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 53^{18} + \left(41 a^{2} + 34 a + 8\right)\cdot 53^{19} + \left(50 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 53^{20} + \left(49 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 53^{21} + \left(16 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 53^{22} + \left(25 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 53^{23} + \left(39 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 53^{24} + \left(36 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 53^{25} + \left(20 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 53^{26} + \left(48 a^{2} + 49 a + 30\right)\cdot 53^{27} + \left(44 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 53^{28} + \left(42 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 53^{29} + \left(44 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 53^{30} + \left(46 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 53^{31} + \left(19 a^{2} + 4 a + 47\right)\cdot 53^{32} + \left(17 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 53^{33} + \left(24 a^{2} + 12 a + 43\right)\cdot 53^{34} + \left(22 a^{2} + 42 a + 24\right)\cdot 53^{35} + \left(11 a^{2} + 45 a + 43\right)\cdot 53^{36} + \left(37 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 53^{37} + \left(22 a^{2} + 48 a + 9\right)\cdot 53^{38} + \left(16 a^{2} + 46 a + 30\right)\cdot 53^{39} + \left(6 a^{2} + 11 a + 44\right)\cdot 53^{40} + \left(43 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 53^{41} + \left(21 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 53^{42} + \left(15 a^{2} + 46 a + 18\right)\cdot 53^{43} + \left(50 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 53^{44} + \left(51 a^{2} + 45 a + 47\right)\cdot 53^{45} + \left(26 a^{2} + 45 a + 28\right)\cdot 53^{46} + \left(30 a^{2} + 41 a + 48\right)\cdot 53^{47} + \left(18 a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 53^{48} + \left(20 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 53^{49} + \left(28 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 53^{50} + \left(28 a^{2} + 50 a + 45\right)\cdot 53^{51} + \left(38 a^{2} + 40 a + 45\right)\cdot 53^{52} + \left(44 a^{2} + 44 a + 8\right)\cdot 53^{53} + \left(16 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 53^{54} + \left(44 a^{2} + 39 a + 52\right)\cdot 53^{55} + \left(28 a + 24\right)\cdot 53^{56} + \left(26 a^{2} + 51 a + 1\right)\cdot 53^{57} + 34 a\cdot 53^{58} + \left(29 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 53^{59} + \left(17 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 53^{60} + \left(17 a + 22\right)\cdot 53^{61} + \left(29 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 53^{62} + \left(17 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 53^{63} + \left(7 a^{2} + 48 a + 3\right)\cdot 53^{64} + \left(a^{2} + 22 a + 51\right)\cdot 53^{65} + \left(3 a^{2} + 29 a\right)\cdot 53^{66} + \left(24 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 53^{67} + \left(4 a^{2} + 46 a + 3\right)\cdot 53^{68} + \left(30 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 53^{69} + \left(43 a^{2} + 20 a + 48\right)\cdot 53^{70} + \left(21 a^{2} + 36 a + 19\right)\cdot 53^{71} + \left(47 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 53^{72} + \left(44 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 53^{73} + \left(4 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 53^{74} + \left(7 a^{2} + 25 a + 12\right)\cdot 53^{75} + \left(38 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 53^{76} + \left(49 a^{2} + 37 a + 33\right)\cdot 53^{77} + \left(52 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 53^{78} + \left(5 a + 19\right)\cdot 53^{79} + \left(4 a^{2} + 20 a + 51\right)\cdot 53^{80} + \left(38 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 53^{81} + \left(41 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 53^{82} + \left(47 a^{2} + 52 a + 22\right)\cdot 53^{83} + \left(49 a^{2} + 50 a + 47\right)\cdot 53^{84} + \left(24 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 53^{85} + \left(41 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 53^{86} + \left(34 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 53^{87} + \left(30 a^{2} + 23 a + 18\right)\cdot 53^{88} + \left(51 a^{2} + 43 a + 8\right)\cdot 53^{89} + \left(10 a^{2} + 30 a + 52\right)\cdot 53^{90} + \left(32 a^{2} + 21 a + 28\right)\cdot 53^{91} + \left(a^{2} + 50 a + 32\right)\cdot 53^{92} + \left(14 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 53^{93} + \left(20 a^{2} + 50 a + 31\right)\cdot 53^{94} + \left(41 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 53^{95} + \left(25 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 53^{96} + \left(49 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 53^{97} + \left(52 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 53^{98} + \left(27 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53^{99} + \left(35 a^{2} + 20 a + 48\right)\cdot 53^{100} + \left(37 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 53^{101} + \left(28 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 53^{102} + \left(39 a^{2} + 51 a + 52\right)\cdot 53^{103} + \left(20 a^{2} + 46 a + 2\right)\cdot 53^{104} + \left(29 a^{2} + 21 a + 15\right)\cdot 53^{105} + \left(46 a^{2} + 32 a + 34\right)\cdot 53^{106} + \left(19 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 53^{107} + \left(2 a^{2} + 32 a + 43\right)\cdot 53^{108} + \left(29 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 53^{109} + \left(23 a^{2} + 25 a + 45\right)\cdot 53^{110} + \left(31 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 53^{111} + \left(48 a^{2} + 26 a + 43\right)\cdot 53^{112} + \left(49 a^{2} + 5 a + 45\right)\cdot 53^{113} + \left(48 a + 27\right)\cdot 53^{114} + \left(2 a^{2} + a + 34\right)\cdot 53^{115} + \left(9 a^{2} + 43 a + 14\right)\cdot 53^{116} + \left(21 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 53^{117} + \left(27 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 38 + 44\cdot 53 + 9\cdot 53^{2} + 19\cdot 53^{3} + 29\cdot 53^{4} + 26\cdot 53^{5} + 53^{6} + 24\cdot 53^{7} + 26\cdot 53^{8} + 49\cdot 53^{9} + 23\cdot 53^{10} + 28\cdot 53^{11} + 35\cdot 53^{13} + 41\cdot 53^{14} + 23\cdot 53^{15} + 34\cdot 53^{16} + 41\cdot 53^{17} + 44\cdot 53^{18} + 50\cdot 53^{19} + 31\cdot 53^{20} + 9\cdot 53^{21} + 52\cdot 53^{22} + 36\cdot 53^{23} + 21\cdot 53^{24} + 32\cdot 53^{25} + 53^{26} + 4\cdot 53^{27} + 26\cdot 53^{28} + 10\cdot 53^{29} + 7\cdot 53^{30} + 49\cdot 53^{31} + 33\cdot 53^{32} + 20\cdot 53^{33} + 15\cdot 53^{34} + 4\cdot 53^{35} + 7\cdot 53^{36} + 16\cdot 53^{37} + 49\cdot 53^{38} + 9\cdot 53^{39} + 7\cdot 53^{40} + 38\cdot 53^{41} + 17\cdot 53^{42} + 39\cdot 53^{43} + 2\cdot 53^{44} + 33\cdot 53^{45} + 29\cdot 53^{46} + 2\cdot 53^{47} + 7\cdot 53^{48} + 14\cdot 53^{49} + 34\cdot 53^{50} + 29\cdot 53^{51} + 4\cdot 53^{52} + 44\cdot 53^{53} + 25\cdot 53^{54} + 23\cdot 53^{55} + 4\cdot 53^{56} + 15\cdot 53^{57} + 2\cdot 53^{58} + 28\cdot 53^{59} + 41\cdot 53^{60} + 33\cdot 53^{61} + 6\cdot 53^{62} + 27\cdot 53^{63} + 37\cdot 53^{64} + 13\cdot 53^{65} + 18\cdot 53^{66} + 19\cdot 53^{67} + 26\cdot 53^{68} + 9\cdot 53^{69} + 6\cdot 53^{70} + 26\cdot 53^{71} + 10\cdot 53^{72} + 52\cdot 53^{73} + 23\cdot 53^{74} + 20\cdot 53^{75} + 4\cdot 53^{76} + 41\cdot 53^{77} + 25\cdot 53^{78} + 47\cdot 53^{79} + 10\cdot 53^{80} + 25\cdot 53^{81} + 14\cdot 53^{82} + 25\cdot 53^{83} + 23\cdot 53^{84} + 21\cdot 53^{85} + 5\cdot 53^{86} + 21\cdot 53^{87} + 43\cdot 53^{88} + 23\cdot 53^{89} + 22\cdot 53^{90} + 45\cdot 53^{91} + 40\cdot 53^{92} + 13\cdot 53^{93} + 37\cdot 53^{94} + 26\cdot 53^{95} + 30\cdot 53^{96} + 31\cdot 53^{97} + 23\cdot 53^{98} + 49\cdot 53^{99} + 22\cdot 53^{100} + 2\cdot 53^{101} + 52\cdot 53^{102} + 53^{103} + 35\cdot 53^{104} + 22\cdot 53^{105} + 42\cdot 53^{106} + 39\cdot 53^{107} + 51\cdot 53^{108} + 8\cdot 53^{109} + 2\cdot 53^{110} + 47\cdot 53^{111} + 2\cdot 53^{112} + 2\cdot 53^{113} + 47\cdot 53^{114} + 3\cdot 53^{115} + 10\cdot 53^{116} + 32\cdot 53^{117} + 39\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 5 a + 52 + \left(20 a^{2} + 52 a + 39\right)\cdot 53 + \left(11 a^{2} + 45 a + 6\right)\cdot 53^{2} + \left(12 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 53^{3} + \left(46 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 53^{4} + \left(10 a^{2} + 52 a + 15\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{2} + 50 a + 4\right)\cdot 53^{6} + \left(28 a^{2} + 46 a + 48\right)\cdot 53^{7} + \left(11 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 53^{8} + \left(35 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 53^{9} + \left(14 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 53^{10} + \left(22 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 53^{11} + \left(45 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 53^{12} + \left(44 a^{2} + 48 a + 8\right)\cdot 53^{13} + \left(17 a^{2} + a + 19\right)\cdot 53^{14} + \left(43 a^{2} + 52 a + 18\right)\cdot 53^{15} + \left(39 a^{2} + 2 a\right)\cdot 53^{16} + \left(12 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 53^{17} + \left(25 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 53^{18} + \left(49 a^{2} + 20 a + 32\right)\cdot 53^{19} + \left(15 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 53^{20} + \left(45 a^{2} + 35 a + 29\right)\cdot 53^{21} + \left(7 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 53^{22} + \left(29 a^{2} + 23 a + 41\right)\cdot 53^{23} + \left(45 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 53^{24} + \left(43 a^{2} + 51 a + 5\right)\cdot 53^{25} + \left(a^{2} + 40 a\right)\cdot 53^{26} + \left(37 a^{2} + 27 a + 14\right)\cdot 53^{27} + \left(10 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 53^{28} + \left(34 a^{2} + 26 a + 49\right)\cdot 53^{29} + \left(10 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 53^{30} + \left(40 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 53^{31} + \left(51 a^{2} + 10 a + 23\right)\cdot 53^{32} + \left(49 a^{2} + 34 a + 49\right)\cdot 53^{33} + \left(14 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 53^{34} + \left(40 a^{2} + 47 a + 14\right)\cdot 53^{35} + \left(28 a^{2} + 17 a + 45\right)\cdot 53^{36} + \left(38 a^{2} + 10 a + 49\right)\cdot 53^{37} + \left(14 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 53^{38} + \left(40 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 53^{39} + \left(49 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 53^{40} + \left(24 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 53^{41} + \left(4 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 53^{42} + \left(11 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 53^{43} + \left(33 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 53^{44} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 53^{45} + \left(21 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 53^{46} + \left(47 a^{2} + 43 a + 48\right)\cdot 53^{47} + \left(40 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 53^{48} + \left(23 a^{2} + 21 a + 13\right)\cdot 53^{49} + \left(40 a^{2} + 16 a + 50\right)\cdot 53^{50} + \left(17 a^{2} + 20 a + 49\right)\cdot 53^{51} + \left(50 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 53^{52} + \left(16 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 53^{53} + \left(17 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 53^{54} + \left(10 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 53^{55} + \left(20 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 53^{56} + \left(48 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 53^{57} + \left(50 a^{2} + 19 a + 52\right)\cdot 53^{58} + \left(44 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 53^{59} + \left(48 a^{2} + 33 a + 48\right)\cdot 53^{60} + \left(27 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 53^{61} + \left(30 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 53^{62} + \left(4 a^{2} + 42 a + 31\right)\cdot 53^{63} + \left(30 a^{2} + 51 a + 27\right)\cdot 53^{64} + \left(25 a^{2} + 7 a + 48\right)\cdot 53^{65} + \left(48 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 53^{66} + \left(14 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 53^{67} + \left(39 a^{2} + 21 a + 45\right)\cdot 53^{68} + \left(45 a^{2} + 51 a + 6\right)\cdot 53^{69} + \left(9 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 53^{70} + \left(48 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 53^{71} + \left(24 a^{2} + 6 a + 30\right)\cdot 53^{72} + \left(42 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 53^{73} + \left(48 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 53^{74} + \left(6 a^{2} + 45 a + 52\right)\cdot 53^{75} + \left(31 a^{2} + 34 a + 2\right)\cdot 53^{76} + \left(10 a^{2} + 30 a + 47\right)\cdot 53^{77} + \left(11 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 53^{78} + \left(26 a^{2} + 51 a + 45\right)\cdot 53^{79} + \left(5 a^{2} + 14 a + 37\right)\cdot 53^{80} + \left(3 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 53^{81} + \left(50 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 53^{82} + \left(33 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 53^{83} + \left(27 a^{2} + 41 a + 42\right)\cdot 53^{84} + \left(7 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 53^{85} + \left(12 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 53^{86} + \left(a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 53^{87} + \left(32 a^{2} + 16\right)\cdot 53^{88} + \left(36 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 53^{89} + \left(25 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 53^{90} + \left(8 a^{2} + 16\right)\cdot 53^{91} + \left(15 a^{2} + 8 a + 51\right)\cdot 53^{92} + \left(18 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 53^{93} + \left(22 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 53^{94} + \left(2 a^{2} + 12 a + 19\right)\cdot 53^{95} + \left(19 a^{2} + 6 a + 45\right)\cdot 53^{96} + \left(31 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 53^{97} + \left(22 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 53^{98} + \left(34 a^{2} + a + 4\right)\cdot 53^{99} + \left(3 a^{2} + 22 a + 49\right)\cdot 53^{100} + \left(8 a^{2} + 49\right)\cdot 53^{101} + \left(31 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 53^{102} + \left(10 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 53^{103} + \left(27 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 53^{104} + \left(a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 53^{105} + \left(51 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 53^{106} + \left(12 a + 29\right)\cdot 53^{107} + \left(43 a^{2} + 3 a + 42\right)\cdot 53^{108} + \left(36 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 53^{109} + \left(7 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 53^{110} + \left(27 a^{2} + 44 a + 39\right)\cdot 53^{111} + \left(31 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 53^{112} + \left(47 a^{2} + 17 a + 43\right)\cdot 53^{113} + \left(44 a^{2} + 6 a + 47\right)\cdot 53^{114} + \left(42 a^{2} + 24 a + 46\right)\cdot 53^{115} + \left(11 a^{2} + 52 a + 6\right)\cdot 53^{116} + \left(18 a^{2} + 9 a + 49\right)\cdot 53^{117} + \left(20 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 29 + 34\cdot 53^{2} + 26\cdot 53^{3} + 49\cdot 53^{4} + 22\cdot 53^{5} + 34\cdot 53^{6} + 15\cdot 53^{7} + 13\cdot 53^{8} + 49\cdot 53^{9} + 30\cdot 53^{10} + 32\cdot 53^{11} + 15\cdot 53^{12} + 21\cdot 53^{13} + 12\cdot 53^{14} + 42\cdot 53^{15} + 20\cdot 53^{16} + 9\cdot 53^{17} + 28\cdot 53^{18} + 38\cdot 53^{19} + 22\cdot 53^{20} + 49\cdot 53^{21} + 23\cdot 53^{22} + 33\cdot 53^{23} + 28\cdot 53^{24} + 39\cdot 53^{25} + 16\cdot 53^{26} + 34\cdot 53^{28} + 33\cdot 53^{29} + 14\cdot 53^{30} + 16\cdot 53^{31} + 25\cdot 53^{32} + 39\cdot 53^{33} + 18\cdot 53^{34} + 41\cdot 53^{35} + 35\cdot 53^{36} + 52\cdot 53^{37} + 51\cdot 53^{38} + 53^{39} + 48\cdot 53^{40} + 11\cdot 53^{41} + 37\cdot 53^{42} + 40\cdot 53^{43} + 40\cdot 53^{44} + 10\cdot 53^{45} + 28\cdot 53^{46} + 14\cdot 53^{47} + 34\cdot 53^{48} + 49\cdot 53^{49} + 29\cdot 53^{50} + 36\cdot 53^{51} + 14\cdot 53^{52} + 23\cdot 53^{53} + 14\cdot 53^{54} + 42\cdot 53^{55} + 24\cdot 53^{56} + 20\cdot 53^{57} + 25\cdot 53^{58} + 9\cdot 53^{59} + 2\cdot 53^{60} + 36\cdot 53^{61} + 52\cdot 53^{62} + 12\cdot 53^{63} + 20\cdot 53^{64} + 32\cdot 53^{65} + 26\cdot 53^{66} + 33\cdot 53^{67} + 5\cdot 53^{68} + 37\cdot 53^{69} + 4\cdot 53^{70} + 26\cdot 53^{71} + 51\cdot 53^{72} + 45\cdot 53^{73} + 28\cdot 53^{74} + 49\cdot 53^{75} + 12\cdot 53^{76} + 43\cdot 53^{77} + 31\cdot 53^{79} + 4\cdot 53^{80} + 11\cdot 53^{81} + 2\cdot 53^{82} + 50\cdot 53^{83} + 11\cdot 53^{84} + 6\cdot 53^{85} + 12\cdot 53^{86} + 26\cdot 53^{87} + 10\cdot 53^{88} + 42\cdot 53^{90} + 4\cdot 53^{91} + 8\cdot 53^{92} + 9\cdot 53^{93} + 35\cdot 53^{94} + 12\cdot 53^{95} + 50\cdot 53^{97} + 20\cdot 53^{98} + 35\cdot 53^{99} + 50\cdot 53^{100} + 40\cdot 53^{101} + 25\cdot 53^{102} + 7\cdot 53^{103} + 32\cdot 53^{105} + 21\cdot 53^{106} + 27\cdot 53^{108} + 31\cdot 53^{109} + 36\cdot 53^{110} + 3\cdot 53^{111} + 48\cdot 53^{112} + 25\cdot 53^{113} + 17\cdot 53^{114} + 38\cdot 53^{115} + 25\cdot 53^{116} + 29\cdot 53^{117} + 20\cdot 53^{118} +O\left(53^{ 119 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(1,2,3)(4,7,5)(6,8,9)$ |
| $(1,5)$ |
| $(1,5,6)$ |
| $(3,7,9)$ |
| $(1,2)(4,5)(6,8)$ |
| $(2,4,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $9$ | $2$ | $(1,5)$ | $-4$ |
| $18$ | $2$ | $(1,2)(4,5)(6,8)$ | $2$ |
| $27$ | $2$ | $(1,5)(2,4)(3,7)$ | $0$ |
| $27$ | $2$ | $(1,5)(3,7)$ | $2$ |
| $54$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,9)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(3,7,9)$ | $3$ |
| $8$ | $3$ | $(1,6,5)(2,8,4)(3,9,7)$ | $-3$ |
| $12$ | $3$ | $(1,6,5)(3,9,7)$ | $0$ |
| $72$ | $3$ | $(1,2,3)(4,7,5)(6,8,9)$ | $0$ |
| $54$ | $4$ | $(1,3,5,7)(6,9)$ | $-2$ |
| $162$ | $4$ | $(1,3,5,7)(2,4)(6,9)$ | $0$ |
| $36$ | $6$ | $(1,2)(3,7,9)(4,5)(6,8)$ | $-1$ |
| $36$ | $6$ | $(1,3,6,9,5,7)$ | $2$ |
| $36$ | $6$ | $(1,5)(3,7,9)$ | $-1$ |
| $36$ | $6$ | $(1,5)(2,4,8)(3,7,9)$ | $2$ |
| $54$ | $6$ | $(1,5)(2,4)(3,9,7)$ | $-1$ |
| $72$ | $6$ | $(1,2,6,8,5,4)(3,7,9)$ | $-1$ |
| $108$ | $6$ | $(1,3,6,9,5,7)(2,4)$ | $0$ |
| $216$ | $6$ | $(1,2,3,5,4,7)(6,8,9)$ | $0$ |
| $144$ | $9$ | $(1,2,3,6,8,9,5,4,7)$ | $0$ |
| $108$ | $12$ | $(1,2,5,4)(3,7,9)(6,8)$ | $1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
