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Properties

Label 6.2e12_3e8_5e2.12t161.1c1
Dimension 6
Group $(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{8} \cdot 5^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$(A_4\wr C_2):C_2$
Conductor:$671846400= 2^{12} \cdot 3^{8} \cdot 5^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 2 x^{6} - 8 x^{5} + 10 x^{4} - 4 x^{3} + 16 x^{2} - 8 x + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T161
Parity: Odd
Determinant: 1.2e2.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 89.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 6 a + 1 + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{34} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(9 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{50} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{59} + \left(12 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{62} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{64} + \left(3 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{65} + \left(9 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{67} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{71} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{72} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{74} + \left(6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{75} + \left(a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{79} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{80} + \left(11 a + 4\right)\cdot 13^{81} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{82} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{83} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{84} + \left(2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{85} + \left(a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{86} + 12 a\cdot 13^{87} + \left(10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 3 a + 1 + \left(11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13 + \left(a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{18} + 12 a\cdot 13^{19} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{39} + \left(8 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{41} + \left(10 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{45} + \left(6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a + 10\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{49} + 10 a\cdot 13^{50} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{52} + 11\cdot 13^{53} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a + 12\right)\cdot 13^{56} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{57} + \left(4 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a + 3\right)\cdot 13^{61} + \left(12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{62} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{64} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{65} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{66} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{67} + \left(7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{68} + \left(12 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{70} + \left(11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{71} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{72} + \left(2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{73} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{74} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{76} + \left(5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{77} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{80} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(9 a + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(2 a + 8\right)\cdot 13^{83} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{85} + \left(11 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{87} + \left(6 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ a^{2} + a + 4 + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{53} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(8 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{58} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{59} + \left(6 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(10 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{62} + \left(3 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{64} + \left(11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{65} + \left(8 a + 8\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(4 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{71} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{72} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{73} + \left(12 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{74} + 10 a\cdot 13^{75} + \left(10 a + 1\right)\cdot 13^{76} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{77} + \left(4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{78} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{79} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{82} + \left(12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{83} + \left(a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{84} + \left(7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{85} + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{86} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{87} + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 6 + 7\cdot 13 + 6\cdot 13^{2} + 13^{4} + 13^{5} + 2\cdot 13^{6} + 12\cdot 13^{7} + 13^{8} + 7\cdot 13^{9} + 6\cdot 13^{10} + 13^{11} + 3\cdot 13^{12} + 5\cdot 13^{13} + 12\cdot 13^{14} + 9\cdot 13^{15} + 6\cdot 13^{16} + 11\cdot 13^{17} + 8\cdot 13^{18} + 7\cdot 13^{19} + 5\cdot 13^{20} + 13^{21} + 10\cdot 13^{22} + 7\cdot 13^{23} + 10\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + 3\cdot 13^{26} + 2\cdot 13^{27} + 5\cdot 13^{28} + 5\cdot 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 6\cdot 13^{31} + 7\cdot 13^{32} + 13^{33} + 11\cdot 13^{34} + 12\cdot 13^{35} + 2\cdot 13^{36} + 11\cdot 13^{37} + 7\cdot 13^{38} + 7\cdot 13^{39} + 6\cdot 13^{40} + 10\cdot 13^{41} + 9\cdot 13^{42} + 3\cdot 13^{43} + 4\cdot 13^{44} + 5\cdot 13^{45} + 7\cdot 13^{46} + 6\cdot 13^{47} + 11\cdot 13^{48} + 2\cdot 13^{49} + 3\cdot 13^{50} + 10\cdot 13^{51} + 8\cdot 13^{52} + 5\cdot 13^{53} + 4\cdot 13^{54} + 11\cdot 13^{55} + 8\cdot 13^{56} + 2\cdot 13^{57} + 6\cdot 13^{58} + 12\cdot 13^{59} + 7\cdot 13^{60} + 13^{61} + 10\cdot 13^{62} + 2\cdot 13^{63} + 7\cdot 13^{64} + 3\cdot 13^{65} + 6\cdot 13^{66} + 3\cdot 13^{67} + 3\cdot 13^{68} + 13^{69} + 10\cdot 13^{70} + 12\cdot 13^{71} + 5\cdot 13^{72} + 5\cdot 13^{73} + 12\cdot 13^{74} + 2\cdot 13^{75} + 13^{76} + 9\cdot 13^{77} + 8\cdot 13^{78} + 5\cdot 13^{79} + 11\cdot 13^{80} + 11\cdot 13^{81} + 11\cdot 13^{82} + 13^{83} + 13^{84} + 9\cdot 13^{85} + 13^{86} + 9\cdot 13^{87} + 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 8 a + 8 + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(2 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{32} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(5 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{47} + \left(8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{53} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{54} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(3 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{56} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{57} + \left(11 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{58} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{59} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{60} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{62} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{63} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{64} + \left(9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{65} + \left(7 a + 10\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{67} + \left(8 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a + 2\right)\cdot 13^{69} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{70} + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{71} + \left(9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{73} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{74} + \left(a + 2\right)\cdot 13^{75} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{78} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{79} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{81} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{82} + \left(8 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{83} + \left(7 a + 5\right)\cdot 13^{84} + \left(5 a + 11\right)\cdot 13^{85} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{86} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{87} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 6 a + 3 + \left(11 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(2 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{39} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a + 4\right)\cdot 13^{50} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{52} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{56} + \left(5 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{57} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{58} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{59} + \left(7 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{60} + \left(5 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{61} + \left(a^{2} + 1\right)\cdot 13^{62} + 13^{63} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{64} + \left(10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{65} + \left(2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{66} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{67} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{68} + \left(4 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{69} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{70} + \left(8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{71} + \left(12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{72} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{73} + \left(2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{74} + \left(5 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{75} + \left(11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{76} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{77} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{78} + \left(5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{79} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{80} + \left(12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{81} + \left(12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{82} + \left(5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{83} + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 13^{84} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{85} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{87} + \left(11 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 2 a + 7 + \left(10 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(8 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{3} + 8 a^{2}13^{4} + \left(8 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{2} + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{21} + a\cdot 13^{22} + \left(4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(2 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{47} + \left(9 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{53} + 7 a^{2}13^{54} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{56} + \left(2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{57} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{58} + \left(11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{59} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{60} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{61} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{62} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{63} + \left(5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{64} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{65} + \left(8 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{66} + \left(12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{67} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{68} + \left(12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{69} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{70} + \left(12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{71} + \left(5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{72} + \left(5 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{73} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{74} + \left(3 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{75} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{76} + \left(10 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{77} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{78} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{79} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{80} + \left(5 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{81} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{82} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{83} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{84} + a^{2}13^{85} + \left(11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{86} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{87} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 11 + 2\cdot 13 + 9\cdot 13^{2} + 3\cdot 13^{3} + 10\cdot 13^{4} + 3\cdot 13^{5} + 4\cdot 13^{6} + 7\cdot 13^{7} + 7\cdot 13^{8} + 10\cdot 13^{9} + 7\cdot 13^{10} + 5\cdot 13^{11} + 2\cdot 13^{12} + 6\cdot 13^{13} + 5\cdot 13^{15} + 4\cdot 13^{16} + 13^{17} + 12\cdot 13^{18} + 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + 10\cdot 13^{21} + 5\cdot 13^{22} + 3\cdot 13^{23} + 6\cdot 13^{25} + 2\cdot 13^{26} + 5\cdot 13^{27} + 5\cdot 13^{28} + 13^{29} + 3\cdot 13^{30} + 7\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 10\cdot 13^{33} + 13^{34} + 7\cdot 13^{35} + 8\cdot 13^{36} + 11\cdot 13^{37} + 6\cdot 13^{38} + 2\cdot 13^{39} + 13^{40} + 11\cdot 13^{41} + 5\cdot 13^{42} + 8\cdot 13^{43} + 8\cdot 13^{44} + 6\cdot 13^{45} + 2\cdot 13^{47} + 8\cdot 13^{48} + 10\cdot 13^{49} + 9\cdot 13^{50} + 10\cdot 13^{51} + 13^{52} + 2\cdot 13^{53} + 8\cdot 13^{54} + 5\cdot 13^{55} + 13^{56} + 2\cdot 13^{57} + 13^{58} + 2\cdot 13^{60} + 13^{61} + 12\cdot 13^{62} + 10\cdot 13^{63} + 2\cdot 13^{64} + 9\cdot 13^{65} + 8\cdot 13^{66} + 10\cdot 13^{67} + 2\cdot 13^{68} + 9\cdot 13^{69} + 9\cdot 13^{70} + 7\cdot 13^{71} + 6\cdot 13^{72} + 9\cdot 13^{73} + 5\cdot 13^{74} + 5\cdot 13^{75} + 5\cdot 13^{76} + 7\cdot 13^{77} + 9\cdot 13^{78} + 2\cdot 13^{79} + 3\cdot 13^{81} + 3\cdot 13^{82} + 12\cdot 13^{83} + 8\cdot 13^{84} + 5\cdot 13^{86} + 6\cdot 13^{87} + 12\cdot 13^{88} +O\left(13^{ 89 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,6,8)$
$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$
$(1,6)(3,8)$
$(1,7)(2,3)(4,6)(5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$6$$2$$(1,6)(3,8)$$2$
$9$$2$$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$$-2$
$12$$2$$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$$0$
$12$$2$$(1,7)(2,3)(4,6)(5,8)$$0$
$36$$2$$(2,4)(3,6)$$-2$
$16$$3$$(1,8,3)$$3$
$32$$3$$(1,6,8)(2,5,7)$$0$
$32$$3$$(1,6,8)(4,5,7)$$0$
$36$$4$$(1,3,6,8)(2,7,5,4)$$2$
$36$$4$$(1,5,6,2)(3,7,8,4)$$0$
$36$$4$$(1,4,6,7)(2,3,5,8)$$0$
$72$$4$$(2,7,5,4)(3,6)$$0$
$48$$6$$(1,6)(2,5,7)(3,8)$$-1$
$96$$6$$(1,5,6,7,8,2)(3,4)$$0$
$96$$6$$(1,4,6,5,8,7)(2,3)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.