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Properties

Label 6.2e12_3e4_5e5_11e2.12t160.1c1
Dimension 6
Group $A_4^2:C_4$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 5^{5} \cdot 11^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$A_4^2:C_4$
Conductor:$125452800000= 2^{12} \cdot 3^{4} \cdot 5^{5} \cdot 11^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} - 2 x^{6} - 11 x^{4} + 16 x^{3} + 18 x^{2} - 9 x - 11 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T160
Parity: Even
Determinant: 1.5.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 104.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 12 a + 5 + \left(5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(8 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(15 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(15 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{18} + \left(18 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(5 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 19^{27} + \left(17 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(7 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(18 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(13 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(5 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(9 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{38} + \left(8 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(7 a^{2} + a + 12\right)\cdot 19^{43} + \left(11 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{45} + \left(8 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{47} + \left(12 a + 17\right)\cdot 19^{48} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{49} + \left(7 a + 2\right)\cdot 19^{50} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{51} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{52} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{53} + \left(10 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19^{54} + \left(12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{55} + \left(7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{56} + \left(6 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{57} + \left(8 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{58} + \left(16 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{59} + \left(8 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{60} + \left(17 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{61} + \left(13 a + 10\right)\cdot 19^{62} + \left(14 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{63} + \left(2 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{64} + \left(16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{65} + \left(6 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{66} + \left(15 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{67} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{68} + \left(5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{69} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{70} + \left(16 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{71} + \left(16 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{72} + \left(10 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{73} + \left(17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{74} + \left(10 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{75} + \left(15 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{76} + \left(6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{77} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{78} + \left(4 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{79} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{80} + \left(7 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 19^{81} + \left(4 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{82} + \left(8 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{83} + \left(15 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{84} + \left(16 a^{2} + 18 a + 6\right)\cdot 19^{85} + \left(2 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{86} + \left(18 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{87} + \left(18 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{88} + \left(10 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{89} + \left(4 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{90} + \left(8 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{91} + \left(14 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{92} + \left(12 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 19^{93} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{94} + \left(15 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{95} + \left(2 a + 10\right)\cdot 19^{96} + \left(13 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{97} + \left(18 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{98} + \left(3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{99} + \left(13 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{100} + \left(15 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{101} + \left(11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{102} + \left(14 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 12 a^{2} + 18 a + 11 + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(9 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a + 2\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(18 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{24} + \left(14 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(6 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(6 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(2 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 19^{35} + \left(12 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(4 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{37} + \left(6 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(15 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{40} + \left(7 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{42} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{43} + \left(3 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{44} + \left(a^{2} + 17\right)\cdot 19^{45} + \left(10 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{48} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{49} + \left(11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{50} + \left(18 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{51} + \left(14 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{52} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{53} + \left(17 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{54} + \left(8 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{55} + \left(16 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{56} + 5 a^{2}19^{57} + \left(13 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{58} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{59} + \left(18 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{60} + \left(6 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{61} + \left(10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{62} + \left(a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{63} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{64} + \left(3 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{65} + \left(11 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{66} + \left(2 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{67} + \left(18 a + 12\right)\cdot 19^{68} + \left(4 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{69} + \left(16 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{70} + \left(2 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{71} + \left(2 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{72} + \left(11 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{73} + \left(11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{74} + \left(16 a^{2} + 8 a\right)\cdot 19^{75} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 19^{76} + \left(14 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{77} + \left(12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{78} + \left(7 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{79} + \left(11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{80} + \left(3 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{81} + \left(a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{82} + \left(6 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{83} + \left(16 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{84} + \left(15 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 19^{85} + \left(16 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{86} + \left(5 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{87} + \left(2 a + 13\right)\cdot 19^{88} + \left(6 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{89} + \left(11 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{90} + \left(2 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{91} + \left(6 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{92} + \left(5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{93} + \left(14 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{94} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{95} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{96} + \left(2 a + 9\right)\cdot 19^{97} + \left(18 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{98} + \left(16 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{99} + \left(6 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{100} + \left(10 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{101} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{102} + \left(7 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 5 a^{2} + 7 a + 5 + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19 + \left(17 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(4 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{6} + \left(6 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(9 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(4 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{25} + \left(2 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{27} + \left(11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(8 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{32} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{38} + \left(13 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{39} + \left(10 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(8 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{44} + \left(12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{45} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{47} + \left(6 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{48} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{49} + \left(17 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{50} + \left(6 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{51} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(16 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{53} + \left(9 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{54} + \left(6 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{55} + \left(15 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{56} + \left(18 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{57} + \left(18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{58} + \left(2 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 19^{59} + \left(10 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{60} + \left(5 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{61} + \left(a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{62} + \left(2 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{63} + \left(18 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{64} + \left(8 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{65} + \left(4 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{66} + \left(16 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{67} + \left(15 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{68} + \left(12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{69} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{70} + \left(11 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{71} + \left(5 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{72} + \left(11 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{73} + \left(17 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{74} + \left(18 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{75} + \left(14 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{76} + \left(14 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{77} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{78} + \left(16 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 19^{79} + \left(15 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{80} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{81} + \left(10 a + 15\right)\cdot 19^{82} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{83} + \left(12 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{84} + \left(7 a + 5\right)\cdot 19^{85} + \left(3 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{86} + \left(10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{87} + \left(18 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{88} + \left(14 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{89} + \left(7 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{90} + \left(2 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{91} + \left(17 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{92} + \left(17 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{93} + \left(a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{94} + \left(18 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{95} + \left(10 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{96} + \left(7 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{97} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{98} + \left(11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 19^{99} + \left(14 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{100} + \left(12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{101} + \left(4 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{102} + \left(18 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 11 + 4\cdot 19 + 5\cdot 19^{2} + 16\cdot 19^{4} + 19^{5} + 18\cdot 19^{6} + 7\cdot 19^{7} + 10\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 10\cdot 19^{10} + 2\cdot 19^{11} + 14\cdot 19^{12} + 7\cdot 19^{13} + 12\cdot 19^{14} + 16\cdot 19^{15} + 10\cdot 19^{16} + 19^{17} + 9\cdot 19^{18} + 17\cdot 19^{19} + 8\cdot 19^{20} + 2\cdot 19^{21} + 2\cdot 19^{22} + 16\cdot 19^{23} + 10\cdot 19^{24} + 5\cdot 19^{25} + 7\cdot 19^{26} + 10\cdot 19^{27} + 9\cdot 19^{28} + 15\cdot 19^{29} + 19^{30} + 9\cdot 19^{31} + 2\cdot 19^{33} + 13\cdot 19^{34} + 11\cdot 19^{35} + 9\cdot 19^{36} + 11\cdot 19^{37} + 10\cdot 19^{38} + 12\cdot 19^{39} + 16\cdot 19^{40} + 8\cdot 19^{41} + 8\cdot 19^{42} + 14\cdot 19^{43} + 15\cdot 19^{44} + 13\cdot 19^{45} + 13\cdot 19^{46} + 2\cdot 19^{47} + 8\cdot 19^{48} + 9\cdot 19^{49} + 12\cdot 19^{50} + 12\cdot 19^{51} + 13\cdot 19^{52} + 5\cdot 19^{53} + 11\cdot 19^{54} + 18\cdot 19^{55} + 2\cdot 19^{56} + 18\cdot 19^{57} + 6\cdot 19^{58} + 17\cdot 19^{59} + 7\cdot 19^{60} + 14\cdot 19^{61} + 19^{62} + 19^{63} + 10\cdot 19^{64} + 9\cdot 19^{65} + 13\cdot 19^{66} + 19^{67} + 9\cdot 19^{68} + 7\cdot 19^{69} + 14\cdot 19^{70} + 13\cdot 19^{71} + 8\cdot 19^{72} + 15\cdot 19^{73} + 11\cdot 19^{74} + 16\cdot 19^{75} + 8\cdot 19^{76} + 15\cdot 19^{77} + 7\cdot 19^{78} + 8\cdot 19^{79} + 13\cdot 19^{80} + 8\cdot 19^{81} + 10\cdot 19^{82} + 7\cdot 19^{83} + 7\cdot 19^{84} + 8\cdot 19^{85} + 12\cdot 19^{86} + 5\cdot 19^{87} + 19^{88} + 10\cdot 19^{89} + 5\cdot 19^{90} + 13\cdot 19^{91} + 11\cdot 19^{92} + 10\cdot 19^{94} + 19^{95} + 19^{96} + 5\cdot 19^{97} + 15\cdot 19^{98} + 15\cdot 19^{100} + 5\cdot 19^{101} + 14\cdot 19^{102} + 10\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 16 + \left(14 a + 17\right)\cdot 19 + \left(18 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(8 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(16 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{6} + \left(9 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(14 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{16} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{23} + \left(13 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{30} + \left(14 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{33} + \left(17 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(4 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(18 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{38} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 19^{43} + \left(15 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{44} + \left(6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{45} + \left(7 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{46} + \left(14 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{48} + \left(15 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{50} + \left(17 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{51} + \left(11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(14 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{53} + \left(12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{54} + \left(2 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{55} + \left(2 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{56} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{57} + \left(a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{58} + \left(16 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{59} + \left(17 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{60} + \left(15 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{61} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{62} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{63} + \left(16 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{64} + \left(13 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{65} + \left(4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{66} + \left(7 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{67} + \left(15 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{68} + \left(6 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{69} + \left(11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{70} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 19^{71} + \left(3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{72} + \left(11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{73} + \left(11 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{74} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{75} + \left(15 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{76} + \left(10 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{77} + \left(14 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 19^{78} + \left(18 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{79} + \left(2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{80} + \left(8 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{81} + \left(10 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 19^{82} + \left(10 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{83} + \left(10 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{84} + \left(13 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{85} + \left(10 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{86} + \left(8 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{87} + \left(14 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{88} + \left(17 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{89} + \left(13 a + 15\right)\cdot 19^{90} + \left(9 a + 8\right)\cdot 19^{91} + \left(14 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{93} + \left(7 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 19^{94} + \left(16 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{95} + \left(15 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{96} + \left(13 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{97} + \left(18 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{98} + \left(15 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{99} + \left(6 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{100} + \left(17 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{101} + \left(8 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{102} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 13 a + 16 + \left(a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(11 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{12} + \left(7 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(16 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(6 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(18 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 15\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{30} + \left(a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{31} + \left(a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(5 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(17 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19^{37} + \left(3 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{39} + \left(12 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{40} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{41} + \left(10 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{42} + \left(18 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 19^{43} + \left(15 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{44} + \left(4 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{45} + \left(18 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 19^{46} + \left(6 a + 14\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{48} + \left(6 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{49} + \left(9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{50} + \left(12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{51} + \left(13 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{53} + \left(10 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{54} + \left(3 a^{2} + 16 a\right)\cdot 19^{55} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{56} + \left(13 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{57} + \left(5 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{58} + \left(12 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{60} + \left(6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{61} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{62} + \left(15 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(17 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{64} + \left(6 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{65} + \left(3 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 19^{66} + \left(3 a + 7\right)\cdot 19^{67} + \left(3 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{68} + \left(2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{69} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{70} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{71} + \left(11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{72} + \left(15 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{73} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{74} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{75} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{76} + \left(8 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 19^{77} + \left(2 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{78} + \left(14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{79} + \left(10 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{80} + \left(4 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{81} + \left(17 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 19^{82} + \left(9 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{83} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{84} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{85} + \left(18 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 19^{86} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{87} + 8 a\cdot 19^{88} + \left(17 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{89} + \left(18 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{90} + \left(13 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 19^{91} + \left(14 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{92} + \left(14 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{93} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{94} + \left(18 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{95} + \left(17 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{96} + \left(10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{97} + \left(9 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{98} + \left(9 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{99} + \left(16 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{100} + \left(14 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{101} + \left(12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{102} + \left(12 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 7 a + 3 + \left(13 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(10 a^{2} + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{9} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{12} + \left(a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(18 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{26} + \left(15 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{29} + \left(8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(14 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{33} + \left(15 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(7 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{35} + \left(18 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{36} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 19^{38} + \left(5 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{40} + \left(16 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{41} + \left(15 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{42} + \left(17 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{43} + \left(10 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{44} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{46} + \left(5 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{47} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{48} + \left(a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{50} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{51} + \left(15 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{52} + \left(a + 14\right)\cdot 19^{53} + \left(15 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(3 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{55} + \left(9 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{56} + \left(a^{2} + 15\right)\cdot 19^{57} + \left(9 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 19^{58} + \left(5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{59} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{60} + \left(4 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{61} + \left(10 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 19^{62} + \left(11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{63} + \left(18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{64} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{65} + \left(7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 19^{66} + \left(15 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{67} + \left(18 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{68} + \left(6 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{69} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{70} + \left(15 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{71} + \left(17 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{72} + \left(15 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 19^{73} + \left(8 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 19^{74} + \left(4 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 19^{75} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{76} + \left(a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{77} + \left(17 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{78} + \left(14 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{79} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{80} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{81} + \left(4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 19^{82} + \left(4 a + 10\right)\cdot 19^{83} + \left(12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{84} + \left(7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{85} + \left(5 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{86} + \left(11 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{87} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{88} + \left(9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 19^{89} + \left(13 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 19^{90} + \left(10 a^{2} + 10 a + 18\right)\cdot 19^{91} + \left(4 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{92} + \left(11 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{93} + \left(3 a^{2} + 12\right)\cdot 19^{94} + \left(6 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{95} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 19^{96} + \left(11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 19^{97} + \left(18 a + 17\right)\cdot 19^{98} + \left(18 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 19^{99} + \left(17 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{100} + \left(4 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{101} + \left(17 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{102} + \left(18 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 10 + 2\cdot 19 + 10\cdot 19^{2} + 9\cdot 19^{3} + 10\cdot 19^{4} + 6\cdot 19^{5} + 13\cdot 19^{6} + 12\cdot 19^{7} + 14\cdot 19^{8} + 13\cdot 19^{9} + 8\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 5\cdot 19^{12} + 15\cdot 19^{13} + 12\cdot 19^{14} + 7\cdot 19^{15} + 12\cdot 19^{16} + 8\cdot 19^{17} + 12\cdot 19^{18} + 12\cdot 19^{19} + 10\cdot 19^{20} + 9\cdot 19^{21} + 14\cdot 19^{22} + 6\cdot 19^{23} + 10\cdot 19^{24} + 4\cdot 19^{25} + 11\cdot 19^{26} + 12\cdot 19^{27} + 12\cdot 19^{29} + 13\cdot 19^{30} + 14\cdot 19^{31} + 9\cdot 19^{32} + 15\cdot 19^{33} + 11\cdot 19^{34} + 19^{35} + 19^{36} + 17\cdot 19^{37} + 19^{38} + 12\cdot 19^{39} + 9\cdot 19^{40} + 10\cdot 19^{41} + 2\cdot 19^{42} + 6\cdot 19^{43} + 14\cdot 19^{45} + 7\cdot 19^{46} + 7\cdot 19^{47} + 19^{48} + 8\cdot 19^{49} + 18\cdot 19^{50} + 10\cdot 19^{51} + 11\cdot 19^{52} + 18\cdot 19^{53} + 16\cdot 19^{54} + 8\cdot 19^{55} + 17\cdot 19^{56} + 9\cdot 19^{57} + 10\cdot 19^{58} + 15\cdot 19^{59} + 4\cdot 19^{60} + 15\cdot 19^{61} + 3\cdot 19^{62} + 11\cdot 19^{63} + 13\cdot 19^{64} + 6\cdot 19^{65} + 19^{66} + 18\cdot 19^{67} + 9\cdot 19^{68} + 7\cdot 19^{69} + 2\cdot 19^{70} + 19^{72} + 17\cdot 19^{73} + 10\cdot 19^{74} + 6\cdot 19^{75} + 14\cdot 19^{76} + 14\cdot 19^{77} + 3\cdot 19^{79} + 19^{80} + 14\cdot 19^{81} + 15\cdot 19^{82} + 14\cdot 19^{83} + 19^{85} + 5\cdot 19^{86} + 2\cdot 19^{87} + 11\cdot 19^{88} + 2\cdot 19^{89} + 12\cdot 19^{90} + 6\cdot 19^{91} + 18\cdot 19^{92} + 19^{93} + 16\cdot 19^{94} + 4\cdot 19^{95} + 17\cdot 19^{96} + 17\cdot 19^{97} + 14\cdot 19^{98} + 12\cdot 19^{99} + 17\cdot 19^{100} + 8\cdot 19^{101} + 13\cdot 19^{102} + 6\cdot 19^{103} +O\left(19^{ 104 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(3,4,6)$
$(4,6)(5,7)$
$(5,7,8)$
$(1,4,5,6,7,2,8,3)$
$(1,7,5,8)(2,4)$
$(2,6,4)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$6$$2$$(1,5)(7,8)$$2$
$9$$2$$(1,7)(2,4)(3,6)(5,8)$$-2$
$36$$2$$(1,5)(2,3)$$-2$
$16$$3$$(2,6,4)$$3$
$64$$3$$(1,7,8)(2,4,6)$$0$
$36$$4$$(1,5,7,8)(2,3,4,6)$$2$
$72$$4$$(1,7,5,8)(2,4)$$0$
$72$$4$$(1,2,5,3)(4,8)(6,7)$$0$
$72$$4$$(1,3,5,2)(4,8)(6,7)$$0$
$48$$6$$(1,5)(2,6,4)(7,8)$$-1$
$72$$8$$(1,4,5,6,7,2,8,3)$$0$
$72$$8$$(1,6,8,4,7,3,5,2)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.