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Properties

Label 6.2e12_3e3_53e3.8t41.1c1
Dimension 6
Group $V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor $ 2^{12} \cdot 3^{3} \cdot 53^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor:$16464605184= 2^{12} \cdot 3^{3} \cdot 53^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 6 x^{6} - 4 x^{5} + 10 x^{4} - 6 x^{3} + 5 x^{2} - 4 x + 1 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $V_4^2:(S_3\times C_2)$
Parity: Even
Determinant: 1.2e2_3_53.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 42.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 11 a^{2} + 2 a + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13 + 9\cdot 13^{2} + \left(a^{2} + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 3 a + 7 + \left(11 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13 + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ a^{2} + 8 a + 9 + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(6 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(12 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 8 a + 1 + \left(10 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13 + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{15} + 12 a\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a + 6\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 12 + 5\cdot 13 + 10\cdot 13^{2} + 11\cdot 13^{4} + 2\cdot 13^{5} + 7\cdot 13^{6} + 11\cdot 13^{8} + 2\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 10\cdot 13^{11} + 9\cdot 13^{13} + 5\cdot 13^{14} + 9\cdot 13^{15} + 7\cdot 13^{16} + 6\cdot 13^{18} + 7\cdot 13^{19} + 12\cdot 13^{20} + 2\cdot 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 7\cdot 13^{24} + 9\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 3\cdot 13^{27} + 4\cdot 13^{28} + 7\cdot 13^{29} + 9\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 7\cdot 13^{34} + 11\cdot 13^{35} + 7\cdot 13^{36} + 5\cdot 13^{37} + 10\cdot 13^{38} + 2\cdot 13^{39} + 4\cdot 13^{40} + 8\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 11 + 6\cdot 13 + 11\cdot 13^{2} + 3\cdot 13^{3} + 10\cdot 13^{4} + 13^{6} + 4\cdot 13^{7} + 12\cdot 13^{8} + 9\cdot 13^{9} + 11\cdot 13^{10} + 6\cdot 13^{11} + 10\cdot 13^{12} + 3\cdot 13^{13} + 6\cdot 13^{14} + 10\cdot 13^{15} + 4\cdot 13^{16} + 3\cdot 13^{17} + 4\cdot 13^{18} + 4\cdot 13^{19} + 8\cdot 13^{20} + 8\cdot 13^{21} + 12\cdot 13^{22} + 5\cdot 13^{23} + 9\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 13^{27} + 11\cdot 13^{28} + 4\cdot 13^{29} + 10\cdot 13^{30} + 12\cdot 13^{31} + 11\cdot 13^{32} + 13^{33} + 7\cdot 13^{34} + 8\cdot 13^{35} + 10\cdot 13^{36} + 3\cdot 13^{37} + 3\cdot 13^{38} + 13^{39} + 5\cdot 13^{40} + 10\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 3 a + 7 + \left(7 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13 + \left(9 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(2 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{34} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{37} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 2 a + 7 + \left(4 a + 1\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + 6 a^{2}13^{3} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{10} + 5 a^{2}13^{11} + \left(10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{41} +O\left(13^{ 42 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,8)(4,5)(6,7)$
$(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$
$(3,7)(6,8)$
$(1,4)(2,5)$
$(2,4,5)(3,8,7)$
$(4,5)(7,8)$
$(3,8)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$3$$2$$(1,4)(2,5)(3,7)(6,8)$$-2$
$4$$2$$(1,3)(2,6)(4,7)(5,8)$$0$
$6$$2$$(1,2)(3,8)(4,5)(6,7)$$2$
$6$$2$$(1,4)(2,5)$$-2$
$12$$2$$(4,5)(7,8)$$0$
$12$$2$$(1,3)(2,6)(4,8)(5,7)$$2$
$32$$3$$(1,2,4)(3,8,6)$$0$
$12$$4$$(1,7,4,3)(2,8,5,6)$$0$
$12$$4$$(1,8,5,3)(2,6,4,7)$$-2$
$12$$4$$(1,5,2,4)(3,8,6,7)$$0$
$24$$4$$(1,2)(3,8,6,7)$$0$
$24$$4$$(1,7,5,3)(2,8,4,6)$$0$
$32$$6$$(1,8,2,6,4,3)(5,7)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.