↑

Properties

Label 6.2e12_13e4_31e3.36t1121.1c1
Dimension 6
Group $(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor $ 2^{12} \cdot 13^{4} \cdot 31^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

Related objects

Learn more about

Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$(((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3) : C_2$
Conductor:$3485125636096= 2^{12} \cdot 13^{4} \cdot 31^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 4 x^{8} + 9 x^{7} - 11 x^{6} + 13 x^{5} - 26 x^{4} + 48 x^{3} - 45 x^{2} + 13 x + 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 36T1121
Parity: Odd
Determinant: 1.31.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 41 }$ to precision 62.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 41 }$: $ x^{3} + x + 35 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 40 a^{2} + 32 a + 7 + \left(8 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 41 + \left(36 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 41^{2} + \left(40 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 41^{3} + \left(40 a + 35\right)\cdot 41^{4} + \left(36 a^{2} + 3 a + 35\right)\cdot 41^{5} + \left(24 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 41^{6} + \left(8 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 41^{7} + \left(8 a^{2} + a + 21\right)\cdot 41^{8} + \left(34 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 41^{9} + \left(39 a^{2} + 6 a\right)\cdot 41^{10} + \left(22 a^{2} + 40 a + 37\right)\cdot 41^{11} + \left(a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 41^{12} + \left(40 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 41^{13} + \left(7 a^{2} + 35 a + 18\right)\cdot 41^{14} + \left(34 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 41^{15} + \left(34 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 41^{16} + \left(5 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 41^{17} + \left(2 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 41^{18} + \left(22 a^{2} + 14 a + 9\right)\cdot 41^{19} + \left(37 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 41^{20} + \left(38 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 41^{21} + \left(16 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 41^{22} + \left(23 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 41^{23} + \left(7 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 41^{24} + \left(2 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 41^{25} + \left(22 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 41^{26} + \left(5 a^{2} + 26 a + 6\right)\cdot 41^{27} + \left(9 a^{2} + a + 34\right)\cdot 41^{28} + \left(24 a + 28\right)\cdot 41^{29} + \left(16 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 41^{30} + \left(20 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 41^{31} + \left(39 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 41^{32} + \left(25 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 41^{33} + \left(19 a^{2} + 17 a + 37\right)\cdot 41^{34} + \left(32 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 41^{35} + \left(8 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 41^{36} + \left(17 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 41^{37} + \left(19 a^{2} + 3 a + 34\right)\cdot 41^{38} + \left(7 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 41^{39} + \left(13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 41^{40} + \left(23 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 41^{41} + \left(30 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 41^{42} + \left(6 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 41^{43} + \left(28 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 41^{44} + \left(34 a^{2} + 35 a + 4\right)\cdot 41^{45} + \left(39 a^{2} + 26 a + 33\right)\cdot 41^{46} + \left(32 a^{2} + 31 a + 21\right)\cdot 41^{47} + \left(38 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 41^{48} + \left(12 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 41^{49} + \left(20 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 41^{50} + \left(21 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 41^{51} + \left(35 a^{2} + a + 2\right)\cdot 41^{52} + \left(15 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 41^{53} + \left(27 a^{2} + 32 a + 32\right)\cdot 41^{54} + \left(14 a^{2} + 35 a + 10\right)\cdot 41^{55} + \left(39 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 41^{56} + \left(33 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 41^{57} + \left(3 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 41^{58} + \left(34 a^{2} + 29 a + 39\right)\cdot 41^{59} + \left(39 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 41^{60} + \left(11 a^{2} + 26 a + 5\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 21 a^{2} + 13 a + 8 + \left(26 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 41 + \left(21 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 41^{2} + \left(6 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 41^{3} + \left(6 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 41^{4} + \left(37 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 41^{5} + \left(18 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 41^{6} + \left(20 a^{2} + 32 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(6 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 41^{8} + \left(30 a^{2} + 14 a + 33\right)\cdot 41^{9} + \left(22 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 41^{10} + \left(39 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 41^{11} + \left(39 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 41^{12} + \left(19 a^{2} + 10 a + 30\right)\cdot 41^{13} + \left(25 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 41^{14} + \left(39 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 41^{15} + \left(12 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 41^{16} + \left(27 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 41^{17} + \left(9 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 41^{18} + \left(3 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 41^{19} + \left(21 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 41^{20} + \left(32 a^{2} + 27 a + 20\right)\cdot 41^{21} + \left(25 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 41^{22} + \left(25 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 41^{23} + \left(a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 41^{24} + \left(39 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 41^{25} + \left(28 a^{2} + 13 a + 34\right)\cdot 41^{26} + \left(13 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 41^{27} + \left(10 a^{2} + 3 a + 21\right)\cdot 41^{28} + \left(24 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 41^{29} + \left(28 a^{2} + 16 a + 19\right)\cdot 41^{30} + \left(7 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 41^{31} + \left(39 a^{2} + 29 a + 35\right)\cdot 41^{32} + \left(35 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 41^{33} + \left(28 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 41^{34} + \left(7 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 41^{35} + \left(18 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 41^{36} + \left(21 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 41^{37} + \left(28 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 41^{38} + \left(30 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 41^{39} + \left(23 a^{2} + 32 a + 9\right)\cdot 41^{40} + \left(19 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 41^{41} + \left(23 a^{2} + 15 a + 36\right)\cdot 41^{42} + \left(19 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 41^{43} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 41^{44} + \left(5 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 41^{45} + \left(4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 41^{46} + \left(26 a + 27\right)\cdot 41^{47} + \left(3 a^{2} + 3 a + 38\right)\cdot 41^{48} + \left(25 a^{2} + 3 a + 20\right)\cdot 41^{49} + \left(39 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 41^{50} + \left(26 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 41^{51} + \left(15 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 41^{52} + \left(15 a^{2} + 37\right)\cdot 41^{53} + \left(30 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 41^{54} + \left(29 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 41^{55} + \left(29 a^{2} + 17\right)\cdot 41^{56} + \left(11 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 41^{57} + \left(2 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 41^{58} + \left(2 a^{2} + 23 a + 17\right)\cdot 41^{59} + \left(23 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 41^{60} + \left(28 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 13 a^{2} + 40 a + 31 + \left(26 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 41 + \left(40 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 41^{2} + \left(31 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 41^{3} + \left(21 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 41^{4} + \left(40 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 41^{5} + \left(2 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 41^{6} + \left(30 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 41^{7} + \left(22 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 41^{8} + \left(2 a^{2} + 27 a + 10\right)\cdot 41^{9} + \left(6 a^{2} + 24 a + 38\right)\cdot 41^{10} + \left(25 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 41^{11} + \left(33 a^{2} + 26 a + 29\right)\cdot 41^{12} + \left(2 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 41^{13} + \left(39 a^{2} + 15 a + 25\right)\cdot 41^{14} + \left(35 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 41^{15} + \left(15 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 41^{16} + \left(24 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 41^{17} + \left(8 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 41^{18} + \left(23 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 41^{19} + \left(11 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 41^{20} + \left(14 a^{2} + 5 a + 34\right)\cdot 41^{21} + \left(36 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 41^{22} + \left(6 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 41^{23} + \left(4 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 41^{24} + \left(19 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 41^{25} + \left(17 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 41^{26} + \left(26 a^{2} + 40\right)\cdot 41^{27} + \left(36 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 41^{28} + \left(19 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 41^{29} + \left(12 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 41^{30} + \left(16 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 41^{31} + \left(27 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 41^{32} + \left(15 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 41^{33} + \left(32 a^{2} + a + 17\right)\cdot 41^{34} + \left(23 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 41^{35} + \left(12 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 41^{36} + \left(12 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 41^{37} + \left(4 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 41^{38} + \left(14 a^{2} + 28 a + 8\right)\cdot 41^{39} + \left(36 a^{2} + 26 a + 24\right)\cdot 41^{40} + \left(14 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 41^{41} + \left(28 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 41^{42} + \left(13 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 41^{43} + \left(6 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 41^{44} + \left(35 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 41^{45} + \left(13 a^{2} + 39 a + 19\right)\cdot 41^{46} + \left(2 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 41^{47} + \left(25 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 41^{48} + \left(18 a^{2} + 20 a + 20\right)\cdot 41^{49} + \left(30 a^{2} + 33 a + 27\right)\cdot 41^{50} + \left(8 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 41^{51} + \left(12 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 41^{52} + \left(5 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 41^{53} + \left(22 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 41^{54} + \left(34 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 41^{55} + \left(6 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 41^{56} + \left(21 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 41^{57} + \left(17 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 41^{58} + \left(9 a + 22\right)\cdot 41^{59} + \left(21 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 41^{60} + \left(29 a^{2} + 21 a + 38\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 19 a + 37 + \left(17 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 41 + \left(33 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 41^{2} + \left(35 a^{2} + 8 a + 34\right)\cdot 41^{3} + \left(22 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 41^{4} + \left(26 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(5 a^{2} + 29 a + 31\right)\cdot 41^{6} + \left(33 a^{2} + 18 a + 28\right)\cdot 41^{7} + \left(2 a^{2} + 18\right)\cdot 41^{8} + \left(33 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 41^{9} + \left(4 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 41^{10} + \left(36 a^{2} + 38 a + 12\right)\cdot 41^{11} + \left(15 a^{2} + 30 a + 17\right)\cdot 41^{12} + \left(27 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 41^{13} + \left(18 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 41^{14} + \left(20 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 41^{15} + \left(7 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 41^{16} + \left(9 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 41^{17} + \left(7 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 41^{18} + \left(17 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 41^{19} + \left(33 a^{2} + 29 a\right)\cdot 41^{20} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 41^{21} + \left(26 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 41^{22} + \left(16 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 41^{23} + \left(6 a^{2} + 28 a + 10\right)\cdot 41^{24} + \left(4 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 41^{25} + \left(32 a^{2} + a + 38\right)\cdot 41^{26} + \left(33 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 41^{27} + \left(27 a^{2} + 39 a + 40\right)\cdot 41^{28} + \left(11 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 41^{29} + \left(26 a^{2} + 37 a + 8\right)\cdot 41^{30} + \left(25 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 41^{31} + \left(2 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 41^{32} + \left(38 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 41^{33} + \left(19 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 41^{34} + \left(24 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 41^{35} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 41^{36} + \left(a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 41^{37} + \left(14 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 41^{38} + \left(2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 41^{39} + \left(37 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 41^{40} + \left(a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 41^{41} + \left(20 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 41^{42} + \left(24 a^{2} + 23 a + 10\right)\cdot 41^{43} + \left(35 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 41^{44} + \left(24 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 41^{45} + \left(8 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 41^{46} + \left(16 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 41^{47} + \left(14 a^{2} + 10 a + 20\right)\cdot 41^{48} + \left(11 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 41^{49} + \left(11 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 41^{50} + \left(35 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 41^{51} + \left(15 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 41^{52} + \left(29 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 41^{53} + \left(26 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 41^{54} + \left(39 a^{2} + 17\right)\cdot 41^{55} + \left(29 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 41^{56} + \left(23 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 41^{57} + \left(13 a^{2} + 13 a\right)\cdot 41^{58} + \left(32 a^{2} + 39 a + 30\right)\cdot 41^{59} + \left(38 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 41^{60} + \left(5 a^{2} + 17 a + 36\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 21 a^{2} + 37 a + 8 + \left(5 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 41 + \left(24 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 41^{2} + \left(34 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 41^{3} + \left(33 a^{2} + 22 a + 29\right)\cdot 41^{4} + \left(8 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 41^{5} + \left(38 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 41^{6} + \left(11 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 41^{7} + \left(26 a^{2} + 31 a + 6\right)\cdot 41^{8} + \left(17 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 41^{9} + \left(19 a^{2} + a\right)\cdot 41^{10} + \left(19 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 41^{11} + \left(40 a^{2} + 31 a + 10\right)\cdot 41^{12} + \left(21 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 41^{13} + \left(7 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 41^{14} + \left(8 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 41^{15} + \left(34 a^{2} + 36 a + 25\right)\cdot 41^{16} + \left(7 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 41^{17} + \left(29 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 41^{18} + \left(15 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 41^{19} + \left(23 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 41^{20} + \left(10 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41^{21} + \left(39 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 41^{22} + \left(32 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 41^{23} + \left(31 a^{2} + 11 a + 36\right)\cdot 41^{24} + \left(40 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 41^{25} + \left(30 a^{2} + 35 a + 36\right)\cdot 41^{26} + \left(21 a^{2} + 9 a + 30\right)\cdot 41^{27} + \left(21 a^{2} + 36 a + 28\right)\cdot 41^{28} + \left(16 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 41^{29} + \left(37 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 41^{30} + \left(12 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 41^{31} + \left(3 a^{2} + 39 a + 11\right)\cdot 41^{32} + \left(20 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 41^{33} + \left(33 a^{2} + 5\right)\cdot 41^{34} + \left(32 a + 10\right)\cdot 41^{35} + \left(14 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 41^{36} + \left(2 a^{2} + 17 a + 23\right)\cdot 41^{37} + \left(34 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 41^{38} + \left(2 a^{2} + 33 a\right)\cdot 41^{39} + \left(4 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 41^{40} + \left(39 a^{2} + 30 a + 35\right)\cdot 41^{41} + \left(27 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 41^{42} + \left(14 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 41^{43} + \left(8 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 41^{44} + \left(a^{2} + 33 a + 9\right)\cdot 41^{45} + \left(38 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 41^{46} + \left(7 a^{2} + 24 a + 32\right)\cdot 41^{47} + \left(40 a^{2} + 25 a + 8\right)\cdot 41^{48} + \left(2 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 41^{49} + \left(22 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 41^{50} + \left(33 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 41^{51} + \left(30 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 41^{52} + \left(9 a^{2} + 13 a + 33\right)\cdot 41^{53} + \left(24 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 41^{54} + \left(37 a^{2} + a + 26\right)\cdot 41^{55} + \left(12 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 41^{56} + \left(36 a^{2} + 10 a + 27\right)\cdot 41^{57} + \left(34 a^{2} + 29 a + 21\right)\cdot 41^{58} + \left(4 a^{2} + 28 a + 33\right)\cdot 41^{59} + \left(19 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 41^{60} + \left(38 a + 11\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 31 a^{2} + 7 a + 33 + \left(7 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 41 + \left(19 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(28 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 41^{3} + \left(30 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 41^{4} + \left(9 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 41^{5} + \left(22 a^{2} + 27 a + 1\right)\cdot 41^{6} + \left(21 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 41^{7} + \left(26 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 41^{8} + \left(32 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 41^{9} + \left(9 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 41^{10} + \left(2 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 41^{11} + \left(23 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 41^{12} + \left(23 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 41^{13} + \left(31 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 41^{14} + \left(15 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 41^{15} + \left(15 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 41^{16} + \left(10 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 41^{17} + \left(18 a^{2} + 37 a + 26\right)\cdot 41^{18} + \left(40 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 41^{19} + \left(9 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 41^{20} + \left(16 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 41^{21} + \left(29 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 41^{22} + \left(38 a^{2} + 16 a + 30\right)\cdot 41^{23} + \left(16 a^{2} + 30 a + 3\right)\cdot 41^{24} + \left(12 a + 30\right)\cdot 41^{25} + \left(39 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 41^{26} + \left(24 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 41^{27} + \left(25 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 41^{28} + \left(25 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 41^{29} + \left(3 a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 41^{30} + \left(39 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 41^{31} + \left(5 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 41^{32} + \left(18 a^{2} + 8 a + 26\right)\cdot 41^{33} + \left(7 a + 34\right)\cdot 41^{34} + \left(14 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 41^{35} + \left(a^{2} + 33 a + 18\right)\cdot 41^{36} + \left(a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 41^{37} + \left(33 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 41^{38} + \left(12 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 41^{39} + \left(7 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 41^{40} + \left(24 a^{2} + 26 a + 22\right)\cdot 41^{41} + \left(39 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 41^{42} + \left(5 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 41^{43} + \left(8 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 41^{44} + \left(14 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 41^{45} + \left(27 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 41^{46} + \left(26 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 41^{47} + \left(19 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 41^{48} + \left(37 a + 15\right)\cdot 41^{49} + \left(17 a^{2} + 20 a + 4\right)\cdot 41^{50} + \left(17 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 41^{51} + \left(38 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 41^{52} + \left(28 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 41^{53} + \left(10 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 41^{54} + \left(27 a^{2} + 23 a + 12\right)\cdot 41^{55} + \left(24 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 41^{56} + \left(21 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 41^{57} + \left(35 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 41^{58} + \left(36 a^{2} + 28 a + 26\right)\cdot 41^{59} + \left(30 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 41^{60} + \left(40 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 29 a^{2} + 25 a + 18 + \left(33 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 41 + \left(39 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 41^{2} + \left(4 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 41^{3} + \left(34 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 41^{4} + \left(39 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 41^{5} + \left(34 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 41^{6} + \left(14 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 41^{7} + \left(6 a^{2} + 6 a + 39\right)\cdot 41^{8} + \left(15 a^{2} + 40 a + 28\right)\cdot 41^{9} + \left(35 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 41^{10} + \left(23 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 41^{11} + \left(40 a^{2} + 2 a + 23\right)\cdot 41^{12} + \left(2 a^{2} + 19 a + 40\right)\cdot 41^{13} + \left(3 a^{2} + 21 a + 16\right)\cdot 41^{14} + \left(9 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 41^{15} + \left(20 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 41^{16} + \left(13 a^{2} + 39\right)\cdot 41^{17} + \left(18 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 41^{18} + \left(20 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 41^{19} + \left(10 a^{2} + 23 a + 23\right)\cdot 41^{20} + \left(22 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 41^{21} + \left(33 a^{2} + 2 a + 37\right)\cdot 41^{22} + \left(33 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 41^{23} + \left(30 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 41^{24} + \left(6 a^{2} + 19 a + 6\right)\cdot 41^{25} + \left(13 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 41^{26} + \left(12 a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 41^{27} + \left(13 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 41^{28} + \left(13 a^{2} + 29 a + 33\right)\cdot 41^{29} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 41^{30} + \left(6 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 41^{31} + \left(25 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 41^{32} + \left(26 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 41^{33} + \left(33 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 41^{34} + \left(20 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 41^{35} + \left(18 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 41^{36} + \left(20 a + 19\right)\cdot 41^{37} + \left(21 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 41^{38} + \left(35 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 41^{39} + \left(20 a^{2} + a + 20\right)\cdot 41^{40} + \left(39 a^{2} + 31 a + 19\right)\cdot 41^{41} + \left(39 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 41^{42} + \left(36 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 41^{43} + \left(17 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 41^{44} + \left(10 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 41^{45} + \left(26 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 41^{46} + \left(6 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41^{47} + \left(21 a^{2} + 10 a + 21\right)\cdot 41^{48} + \left(26 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 41^{49} + \left(6 a^{2} + 23 a + 24\right)\cdot 41^{50} + \left(4 a + 10\right)\cdot 41^{51} + \left(2 a^{2} + 21 a + 11\right)\cdot 41^{52} + \left(18 a^{2} + 26 a + 14\right)\cdot 41^{53} + \left(38 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 41^{54} + \left(10 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 41^{55} + \left(24 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 41^{56} + \left(16 a^{2} + 29 a + 12\right)\cdot 41^{57} + \left(21 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 41^{58} + \left(24 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 41^{59} + \left(36 a^{2} + 20 a + 8\right)\cdot 41^{60} + \left(6 a^{2} + 29\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 23 a + 40 + \left(38 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 41 + \left(7 a^{2} + 31 a + 5\right)\cdot 41^{2} + \left(14 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 41^{3} + \left(37 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 41^{4} + \left(14 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 41^{5} + \left(32 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 41^{6} + \left(18 a^{2} + 6 a + 19\right)\cdot 41^{7} + \left(15 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 41^{8} + \left(5 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 41^{9} + \left(30 a^{2} + 32 a + 13\right)\cdot 41^{10} + \left(20 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 41^{11} + \left(32 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 41^{12} + \left(10 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 41^{13} + \left(24 a^{2} + 29\right)\cdot 41^{14} + \left(25 a^{2} + 18 a + 38\right)\cdot 41^{15} + \left(17 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 41^{16} + \left(7 a^{2} + 9 a + 39\right)\cdot 41^{17} + \left(25 a^{2} + 39 a + 33\right)\cdot 41^{18} + \left(23 a + 16\right)\cdot 41^{19} + \left(37 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 41^{20} + \left(15 a^{2} + 34 a + 35\right)\cdot 41^{21} + \left(19 a^{2} + 17 a + 30\right)\cdot 41^{22} + \left(17 a^{2} + 21 a + 4\right)\cdot 41^{23} + \left(30 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 41^{24} + \left(17 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 41^{25} + \left(32 a^{2} + 26 a + 11\right)\cdot 41^{26} + \left(21 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 41^{27} + \left(17 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 41^{28} + \left(9 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 41^{29} + \left(2 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 41^{30} + \left(40 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 41^{31} + \left(10 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 41^{32} + \left(28 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 41^{33} + \left(29 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 41^{34} + \left(33 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 41^{35} + \left(16 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 41^{36} + \left(27 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 41^{37} + \left(22 a^{2} + 31 a + 10\right)\cdot 41^{38} + \left(24 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 41^{39} + \left(8 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 41^{40} + \left(24 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 41^{41} + \left(33 a^{2} + 13 a + 34\right)\cdot 41^{42} + \left(2 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 41^{43} + \left(40 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 41^{44} + \left(21 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 41^{45} + \left(18 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 41^{46} + \left(22 a^{2} + a + 7\right)\cdot 41^{47} + \left(a^{2} + 31 a + 25\right)\cdot 41^{48} + \left(11 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 41^{49} + \left(40 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 41^{50} + \left(37 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 41^{51} + \left(12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 41^{52} + \left(6 a^{2} + 32 a + 2\right)\cdot 41^{53} + \left(33 a^{2} + 34 a + 33\right)\cdot 41^{54} + \left(7 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 41^{55} + \left(4 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 41^{56} + \left(37 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 41^{57} + \left(9 a^{2} + 13 a + 39\right)\cdot 41^{58} + \left(8 a^{2} + 33 a + 13\right)\cdot 41^{59} + \left(22 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 41^{60} + \left(5 a^{2} + a + 22\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 9 a + 27 + \left(40 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 41 + \left(22 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 41^{2} + \left(7 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 41^{3} + \left(17 a^{2} + 13 a + 40\right)\cdot 41^{4} + \left(32 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 41^{5} + \left(24 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 41^{6} + \left(4 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 41^{7} + \left(8 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 41^{8} + \left(34 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 41^{9} + \left(36 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 41^{10} + \left(14 a^{2} + 31 a\right)\cdot 41^{11} + \left(18 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 41^{12} + \left(14 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 41^{13} + \left(6 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 41^{14} + \left(16 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 41^{15} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 41^{16} + \left(17 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 41^{17} + \left(4 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 41^{18} + \left(21 a^{2} + 14 a + 30\right)\cdot 41^{19} + \left(20 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 41^{20} + \left(2 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 41^{21} + \left(19 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 41^{22} + \left(9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 41^{23} + \left(34 a^{2} + 39 a + 15\right)\cdot 41^{24} + \left(33 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 41^{25} + \left(29 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 41^{26} + \left(3 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 41^{27} + \left(2 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 41^{28} + \left(2 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 41^{29} + \left(36 a^{2} + 38 a + 5\right)\cdot 41^{30} + \left(36 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 41^{31} + \left(9 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 41^{32} + \left(37 a^{2} + 5 a + 25\right)\cdot 41^{33} + \left(6 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 41^{34} + \left(6 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 41^{35} + \left(21 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 41^{36} + \left(39 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 41^{37} + \left(27 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 41^{38} + \left(33 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 41^{39} + \left(12 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 41^{40} + \left(18 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 41^{41} + \left(2 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 41^{42} + \left(39 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 41^{43} + \left(14 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 41^{44} + \left(16 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 41^{45} + \left(28 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 41^{46} + \left(7 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 41^{47} + \left(8 a + 34\right)\cdot 41^{48} + \left(14 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 41^{49} + \left(17 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 41^{50} + \left(23 a^{2} + 36 a + 39\right)\cdot 41^{51} + \left(35 a + 23\right)\cdot 41^{52} + \left(35 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 41^{53} + \left(32 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 41^{54} + \left(2 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 41^{55} + \left(33 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 41^{56} + \left(2 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 41^{57} + \left(25 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 41^{58} + \left(20 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 41^{59} + \left(14 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 41^{60} + \left(34 a^{2} + a + 20\right)\cdot 41^{61} +O\left(41^{ 62 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(2,6,3,5)(7,8)$
$(5,6,8)$
$(1,2,5)(3,6,4)(7,8,9)$
$(2,3,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$27$$2$$(1,4)(5,6)$$-2$
$54$$2$$(1,4)(2,5)(3,6)(7,8)$$0$
$6$$3$$(1,9,4)$$3$
$8$$3$$(1,4,9)(2,3,7)(5,6,8)$$-3$
$12$$3$$(1,9,4)(5,8,6)$$0$
$72$$3$$(1,2,5)(3,6,4)(7,8,9)$$0$
$54$$4$$(1,6,4,5)(8,9)$$0$
$54$$6$$(1,4,9)(2,3)(5,6)$$1$
$108$$6$$(1,8,9,6,4,5)(2,3)$$0$
$72$$9$$(1,3,6,4,7,8,9,2,5)$$0$
$72$$9$$(1,7,8,9,3,6,4,2,5)$$0$
$54$$12$$(1,9,4)(2,6,3,5)(7,8)$$-\zeta_{12}^{3} + 2 \zeta_{12}$
$54$$12$$(1,4,9)(2,6,3,5)(7,8)$$\zeta_{12}^{3} - 2 \zeta_{12}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.