Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 128.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{2} + 42 a + 13 + \left(15 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43 + \left(15 a^{2} + 31\right)\cdot 43^{2} + \left(10 a^{2} + 27 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(27 a^{2} + 39 a + 7\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{2} + 17 a + 29\right)\cdot 43^{6} + \left(18 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(20 a^{2} + 9\right)\cdot 43^{9} + \left(36 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{11} + \left(39 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 43^{12} + \left(11 a^{2} + 26 a + 8\right)\cdot 43^{13} + \left(12 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{14} + \left(22 a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{15} + \left(14 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 43^{16} + \left(41 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 43^{17} + \left(42 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 43^{18} + \left(28 a^{2} + 21 a + 22\right)\cdot 43^{19} + \left(20 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 43^{20} + \left(23 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 43^{21} + \left(20 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 43^{22} + \left(40 a^{2} + 33 a + 1\right)\cdot 43^{23} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{24} + \left(20 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 43^{25} + \left(18 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 43^{26} + \left(28 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 43^{27} + \left(7 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{28} + \left(37 a^{2} + 42 a + 40\right)\cdot 43^{29} + \left(4 a^{2} + 27 a + 31\right)\cdot 43^{30} + \left(16 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 43^{31} + \left(14 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{32} + \left(29 a^{2} + 28 a + 18\right)\cdot 43^{33} + \left(26 a^{2} + 15 a + 37\right)\cdot 43^{34} + \left(42 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 43^{35} + \left(26 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 43^{36} + \left(40 a + 40\right)\cdot 43^{37} + \left(6 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 43^{38} + \left(31 a^{2} + 5 a + 31\right)\cdot 43^{39} + \left(27 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 43^{40} + \left(11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 43^{41} + \left(31 a^{2} + 21 a + 35\right)\cdot 43^{42} + \left(34 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 43^{43} + \left(11 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 43^{44} + \left(33 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 43^{45} + \left(4 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 43^{46} + \left(34 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 43^{47} + \left(30 a^{2} + 32\right)\cdot 43^{48} + \left(30 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 43^{49} + \left(19 a^{2} + 35 a + 13\right)\cdot 43^{50} + \left(19 a^{2} + 33 a + 31\right)\cdot 43^{51} + \left(17 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{52} + \left(20 a^{2} + 13 a + 40\right)\cdot 43^{53} + \left(28 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 43^{54} + \left(a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 43^{55} + \left(30 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 43^{56} + \left(28 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{57} + \left(10 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 43^{58} + \left(16 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 43^{59} + \left(4 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 43^{60} + \left(10 a^{2} + 20 a + 5\right)\cdot 43^{61} + \left(6 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 43^{62} + \left(13 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 43^{63} + \left(17 a^{2} + 6 a + 25\right)\cdot 43^{64} + \left(41 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{65} + \left(24 a^{2} + 38 a + 41\right)\cdot 43^{66} + \left(37 a^{2} + 3 a + 39\right)\cdot 43^{67} + \left(22 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{68} + \left(42 a^{2} + 23 a + 29\right)\cdot 43^{69} + \left(6 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 43^{70} + \left(38 a^{2} + 3 a + 30\right)\cdot 43^{71} + \left(2 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 43^{72} + \left(37 a^{2} + 4 a + 33\right)\cdot 43^{73} + \left(24 a^{2} + 17 a + 42\right)\cdot 43^{74} + \left(2 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 43^{75} + \left(12 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{76} + \left(34 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 43^{77} + \left(11 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 43^{78} + \left(3 a^{2} + 17\right)\cdot 43^{79} + \left(22 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 43^{80} + \left(40 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{81} + \left(23 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 43^{82} + \left(24 a^{2} + 42 a + 10\right)\cdot 43^{83} + \left(19 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{84} + \left(37 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43^{85} + \left(37 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 43^{86} + \left(23 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 43^{87} + \left(15 a^{2} + 34 a + 15\right)\cdot 43^{88} + \left(25 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 43^{89} + \left(5 a^{2} + 12 a + 33\right)\cdot 43^{90} + \left(41 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 43^{91} + \left(32 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 43^{92} + \left(30 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 43^{93} + \left(20 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 43^{94} + \left(25 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{95} + \left(18 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{96} + \left(3 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 43^{97} + \left(41 a^{2} + 26 a + 23\right)\cdot 43^{98} + \left(a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 43^{99} + \left(30 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 43^{100} + \left(2 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{101} + \left(14 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 43^{102} + \left(25 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 43^{103} + \left(12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 43^{104} + \left(37 a^{2} + a + 41\right)\cdot 43^{105} + \left(40 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 43^{106} + \left(30 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 43^{107} + \left(42 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 43^{108} + \left(26 a^{2} + 18 a\right)\cdot 43^{109} + \left(12 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{110} + \left(28 a^{2} + 40\right)\cdot 43^{111} + \left(16 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 43^{112} + \left(30 a^{2} + 33 a + 23\right)\cdot 43^{113} + \left(27 a^{2} + 32 a + 28\right)\cdot 43^{114} + \left(6 a^{2} + 13 a + 38\right)\cdot 43^{115} + \left(31 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 43^{116} + \left(4 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{117} + \left(2 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 43^{118} + \left(25 a + 19\right)\cdot 43^{119} + \left(16 a^{2} + 7 a + 21\right)\cdot 43^{120} + \left(a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 43^{121} + \left(39 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 43^{122} + \left(37 a + 27\right)\cdot 43^{123} + \left(21 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 43^{124} + \left(9 a^{2} + 5 a + 22\right)\cdot 43^{125} + \left(17 a^{2} + 7 a + 39\right)\cdot 43^{126} + \left(21 a^{2} + 23 a + 1\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 41 a^{2} + 38 a + 34 + \left(26 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 43 + \left(26 a^{2} + 29 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{2} + 15 a + 22\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(42 a^{2} + 10 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{2} + 34 a + 25\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{2} + 29 a + 26\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a^{2} + 13 a + 39\right)\cdot 43^{9} + \left(23 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 43^{10} + \left(42 a^{2} + 26 a + 9\right)\cdot 43^{11} + \left(11 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 43^{12} + \left(6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 43^{13} + \left(11 a^{2} + 33 a + 28\right)\cdot 43^{14} + \left(22 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43^{15} + \left(6 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 43^{16} + \left(38 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 43^{17} + \left(13 a^{2} + 39 a + 5\right)\cdot 43^{18} + \left(15 a^{2} + 13 a + 24\right)\cdot 43^{19} + \left(30 a^{2} + 25 a + 22\right)\cdot 43^{20} + \left(33 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{21} + \left(40 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{22} + \left(14 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 43^{23} + \left(32 a^{2} + 20 a + 38\right)\cdot 43^{24} + \left(42 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{25} + \left(4 a^{2} + a + 42\right)\cdot 43^{26} + \left(39 a^{2} + 2 a + 25\right)\cdot 43^{27} + \left(20 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 43^{28} + \left(23 a^{2} + 24 a + 14\right)\cdot 43^{29} + \left(3 a^{2} + 37 a + 23\right)\cdot 43^{30} + \left(34 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 43^{31} + \left(32 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 43^{32} + \left(41 a^{2} + 35 a + 11\right)\cdot 43^{33} + \left(25 a^{2} + 36 a + 14\right)\cdot 43^{34} + \left(a^{2} + 42 a + 7\right)\cdot 43^{35} + \left(7 a^{2} + 14 a + 26\right)\cdot 43^{36} + \left(39 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 43^{37} + \left(30 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{38} + \left(29 a^{2} + 7 a + 41\right)\cdot 43^{39} + \left(23 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{40} + \left(19 a^{2} + 23 a + 30\right)\cdot 43^{41} + \left(26 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 43^{42} + \left(41 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 43^{43} + \left(33 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 43^{44} + \left(37 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 43^{45} + \left(20 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{46} + \left(28 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 43^{47} + \left(20 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 43^{48} + \left(31 a^{2} + 23 a + 31\right)\cdot 43^{49} + \left(19 a^{2} + 2 a + 29\right)\cdot 43^{50} + \left(8 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 43^{51} + \left(5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 43^{52} + \left(10 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{53} + \left(34 a^{2} + 14 a + 27\right)\cdot 43^{54} + \left(4 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 43^{55} + \left(a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 43^{56} + \left(21 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{57} + \left(28 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 43^{58} + \left(23 a^{2} + 42 a + 25\right)\cdot 43^{59} + \left(15 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 43^{60} + \left(5 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 43^{61} + \left(3 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 43^{62} + \left(39 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 43^{63} + \left(26 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{64} + \left(25 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 43^{65} + \left(40 a^{2} + 14 a + 31\right)\cdot 43^{66} + \left(10 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{67} + \left(15 a^{2} + 3 a + 24\right)\cdot 43^{68} + \left(28 a^{2} + 18 a + 4\right)\cdot 43^{69} + \left(42 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 43^{70} + \left(15 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 43^{71} + \left(19 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 43^{72} + \left(20 a^{2} + 26 a\right)\cdot 43^{73} + \left(15 a^{2} + 10 a + 42\right)\cdot 43^{74} + \left(21 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 43^{75} + \left(15 a^{2} + 8 a + 22\right)\cdot 43^{76} + \left(3 a^{2} + 41 a + 31\right)\cdot 43^{77} + \left(23 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{78} + \left(18 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 43^{79} + \left(a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 43^{80} + \left(41 a^{2} + 3 a + 32\right)\cdot 43^{81} + \left(13 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 43^{82} + \left(21 a^{2} + 31 a + 29\right)\cdot 43^{83} + \left(7 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 43^{84} + \left(41 a^{2} + 37 a + 29\right)\cdot 43^{85} + \left(41 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 43^{86} + \left(34 a^{2} + 9 a + 21\right)\cdot 43^{87} + \left(23 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 43^{88} + \left(2 a^{2} + 15 a + 26\right)\cdot 43^{89} + \left(34 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 43^{90} + \left(6 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 43^{91} + \left(21 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 43^{92} + \left(2 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 43^{93} + \left(6 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 43^{94} + \left(30 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{95} + \left(26 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 43^{96} + \left(9 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 43^{97} + \left(35 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 43^{98} + \left(21 a^{2} + 8 a + 38\right)\cdot 43^{99} + \left(28 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 43^{100} + \left(23 a^{2} + 23\right)\cdot 43^{101} + \left(12 a^{2} + 19 a + 18\right)\cdot 43^{102} + \left(a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 43^{103} + \left(9 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 43^{104} + \left(27 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 43^{105} + \left(35 a^{2} + 27 a + 32\right)\cdot 43^{106} + \left(6 a^{2} + 15 a + 39\right)\cdot 43^{107} + \left(32 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 43^{108} + \left(28 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 43^{109} + \left(3 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 43^{110} + \left(41 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 43^{111} + \left(28 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 43^{112} + \left(36 a^{2} + 34 a + 30\right)\cdot 43^{113} + \left(2 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 43^{114} + \left(27 a^{2} + 11 a + 24\right)\cdot 43^{115} + \left(37 a^{2} + 28 a + 5\right)\cdot 43^{116} + \left(31 a^{2} + 34 a + 1\right)\cdot 43^{117} + \left(27 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{118} + \left(16 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 43^{119} + \left(38 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 43^{120} + \left(2 a^{2} + 40 a + 33\right)\cdot 43^{121} + \left(4 a^{2} + 18 a + 21\right)\cdot 43^{122} + \left(24 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{123} + \left(34 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 43^{124} + \left(2 a^{2} + 8 a + 21\right)\cdot 43^{125} + \left(38 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 43^{126} + \left(7 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 36 a^{2} + 37 a + 33 + 19 a\cdot 43 + \left(8 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 43^{4} + \left(26 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(3 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 43^{7} + \left(19 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{8} + \left(18 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 43^{9} + \left(19 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 43^{10} + \left(36 a^{2} + 40 a + 10\right)\cdot 43^{11} + \left(11 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 43^{12} + \left(18 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 43^{13} + \left(14 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 43^{14} + \left(35 a^{2} + 15 a + 42\right)\cdot 43^{15} + \left(5 a^{2} + 26 a + 16\right)\cdot 43^{16} + \left(38 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43^{17} + \left(3 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 43^{18} + \left(17 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{19} + \left(32 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 43^{20} + \left(31 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 43^{21} + \left(35 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 43^{22} + \left(10 a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 43^{23} + \left(7 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 43^{24} + \left(38 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 43^{25} + \left(7 a^{2} + 39 a + 2\right)\cdot 43^{26} + \left(2 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 43^{27} + \left(5 a^{2} + 30 a + 27\right)\cdot 43^{28} + \left(22 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 43^{29} + \left(2 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 43^{30} + \left(22 a^{2} + 39 a + 38\right)\cdot 43^{31} + \left(24 a^{2} + 16 a + 21\right)\cdot 43^{32} + \left(16 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 43^{33} + \left(14 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 43^{34} + \left(35 a^{2} + 8 a + 27\right)\cdot 43^{35} + \left(13 a^{2} + 39 a + 35\right)\cdot 43^{36} + \left(13 a^{2} + 19\right)\cdot 43^{37} + \left(25 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 43^{38} + \left(24 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 43^{39} + \left(42 a^{2} + 15 a + 30\right)\cdot 43^{40} + \left(21 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 43^{41} + \left(22 a^{2} + 40 a + 14\right)\cdot 43^{42} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 43^{43} + \left(41 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 43^{44} + \left(37 a^{2} + 35 a + 20\right)\cdot 43^{45} + \left(35 a^{2} + 26 a + 7\right)\cdot 43^{46} + \left(20 a^{2} + 40 a + 25\right)\cdot 43^{47} + \left(28 a^{2} + 30\right)\cdot 43^{48} + \left(37 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 43^{49} + \left(31 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 43^{50} + \left(4 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 43^{51} + \left(36 a^{2} + 27 a + 12\right)\cdot 43^{52} + \left(25 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 43^{53} + \left(29 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 43^{54} + \left(11 a^{2} + 13 a + 17\right)\cdot 43^{55} + \left(20 a^{2} + 13 a + 36\right)\cdot 43^{56} + \left(33 a^{2} + 35 a + 24\right)\cdot 43^{57} + \left(18 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 43^{58} + \left(35 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 43^{59} + \left(32 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 43^{60} + \left(30 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 43^{61} + \left(39 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 43^{62} + \left(34 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{63} + \left(11 a^{2} + 17 a + 35\right)\cdot 43^{64} + \left(28 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 43^{65} + \left(42 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 43^{66} + \left(8 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 43^{67} + \left(3 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 43^{68} + \left(14 a^{2} + 15 a + 38\right)\cdot 43^{69} + \left(29 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 43^{70} + \left(22 a^{2} + 30 a + 20\right)\cdot 43^{71} + \left(18 a^{2} + 37 a\right)\cdot 43^{72} + \left(24 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 43^{73} + \left(9 a^{2} + 39 a + 32\right)\cdot 43^{74} + \left(17 a^{2} + 11 a + 42\right)\cdot 43^{75} + \left(26 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 43^{76} + \left(22 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{77} + \left(23 a^{2} + 31 a + 31\right)\cdot 43^{78} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 43^{79} + \left(16 a^{2} + 42 a + 12\right)\cdot 43^{80} + \left(17 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 43^{81} + \left(11 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 43^{82} + \left(29 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 43^{83} + \left(34 a^{2} + 16 a + 42\right)\cdot 43^{84} + \left(2 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 43^{85} + \left(20 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 43^{86} + \left(24 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 43^{87} + \left(2 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 43^{88} + \left(24 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 43^{89} + \left(a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 43^{90} + \left(34 a^{2} + 20 a + 19\right)\cdot 43^{91} + \left(41 a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 43^{92} + \left(25 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 43^{93} + \left(31 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{94} + \left(13 a^{2} + 42 a + 32\right)\cdot 43^{95} + \left(33 a^{2} + 32 a + 23\right)\cdot 43^{96} + \left(41 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{97} + \left(3 a^{2} + 37 a + 13\right)\cdot 43^{98} + \left(28 a^{2} + 7\right)\cdot 43^{99} + \left(11 a^{2} + 5 a + 41\right)\cdot 43^{100} + \left(17 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 43^{101} + \left(32 a^{2} + 36 a + 31\right)\cdot 43^{102} + \left(12 a^{2} + 34 a + 38\right)\cdot 43^{103} + \left(15 a^{2} + 22 a + 32\right)\cdot 43^{104} + \left(40 a^{2} + 11 a + 28\right)\cdot 43^{105} + \left(40 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 43^{106} + \left(40 a^{2} + 6 a + 31\right)\cdot 43^{107} + \left(7 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 43^{108} + \left(19 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 43^{109} + \left(30 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 43^{110} + \left(32 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 43^{111} + \left(4 a^{2} + 35 a + 21\right)\cdot 43^{112} + \left(23 a + 17\right)\cdot 43^{113} + \left(13 a^{2} + 34 a + 4\right)\cdot 43^{114} + \left(10 a^{2} + 42 a + 41\right)\cdot 43^{115} + \left(31 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 43^{116} + \left(22 a^{2} + 18 a + 18\right)\cdot 43^{117} + \left(18 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 43^{118} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 43^{119} + \left(13 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 43^{120} + \left(6 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 43^{121} + \left(13 a^{2} + 40 a + 17\right)\cdot 43^{122} + \left(18 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 43^{123} + \left(31 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 43^{124} + \left(31 a^{2} + 29 a + 8\right)\cdot 43^{125} + \left(5 a^{2} + 32 a + 3\right)\cdot 43^{126} + \left(7 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 7 a + 24 + \left(27 a^{2} + 40 a + 32\right)\cdot 43 + \left(19 a^{2} + 14 a + 19\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{2} + 23 a + 31\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(a^{2} + 20 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 43^{7} + \left(31 a + 28\right)\cdot 43^{8} + \left(4 a^{2} + 26\right)\cdot 43^{9} + \left(30 a^{2} + 39 a + 10\right)\cdot 43^{10} + \left(37 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 43^{11} + \left(34 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 43^{12} + \left(12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 43^{13} + \left(16 a^{2} + 25 a + 9\right)\cdot 43^{14} + \left(28 a^{2} + 32 a + 38\right)\cdot 43^{15} + \left(22 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 43^{16} + \left(6 a^{2} + 38 a + 7\right)\cdot 43^{17} + \left(39 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 43^{18} + \left(39 a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 43^{19} + \left(32 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 43^{20} + \left(30 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{21} + \left(29 a^{2} + 41 a + 17\right)\cdot 43^{22} + \left(34 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 43^{23} + \left(27 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{24} + \left(27 a^{2} + a + 23\right)\cdot 43^{25} + \left(16 a^{2} + 36 a + 8\right)\cdot 43^{26} + \left(12 a^{2} + 38 a + 14\right)\cdot 43^{27} + \left(30 a^{2} + 21 a + 30\right)\cdot 43^{28} + \left(26 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{29} + \left(35 a^{2} + 5 a + 38\right)\cdot 43^{30} + \left(4 a^{2} + 38 a + 26\right)\cdot 43^{31} + \left(4 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 43^{32} + \left(40 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 43^{33} + \left(a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 43^{34} + \left(8 a^{2} + 27 a + 9\right)\cdot 43^{35} + \left(2 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{36} + \left(29 a^{2} + a + 15\right)\cdot 43^{37} + \left(11 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 43^{38} + \left(30 a^{2} + 26 a + 2\right)\cdot 43^{39} + \left(15 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 43^{40} + \left(9 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{41} + \left(32 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{42} + \left(3 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{43} + \left(33 a^{2} + 28 a + 39\right)\cdot 43^{44} + \left(14 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{45} + \left(2 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 43^{46} + \left(31 a^{2} + 25 a + 3\right)\cdot 43^{47} + \left(26 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 43^{48} + \left(17 a^{2} + 4 a + 41\right)\cdot 43^{49} + \left(34 a^{2} + 9 a + 37\right)\cdot 43^{50} + \left(18 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 43^{51} + \left(32 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 43^{52} + \left(39 a^{2} + 16 a + 24\right)\cdot 43^{53} + \left(27 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 43^{54} + \left(29 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 43^{55} + \left(35 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 43^{56} + \left(23 a^{2} + 18\right)\cdot 43^{57} + \left(13 a^{2} + 39 a + 36\right)\cdot 43^{58} + \left(34 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{59} + \left(5 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 43^{60} + \left(2 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{61} + \left(40 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 43^{62} + \left(37 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 43^{63} + \left(13 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 43^{64} + \left(16 a^{2} + 12 a + 39\right)\cdot 43^{65} + \left(18 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{66} + \left(39 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{67} + \left(16 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 43^{68} + \left(29 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{69} + \left(6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 43^{70} + \left(25 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 43^{71} + \left(21 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 43^{72} + \left(24 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 43^{73} + \left(8 a^{2} + 29 a + 3\right)\cdot 43^{74} + \left(23 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 43^{75} + \left(4 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{76} + \left(29 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43^{77} + \left(7 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{78} + \left(30 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 43^{79} + \left(4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 43^{80} + \left(28 a^{2} + 40 a + 1\right)\cdot 43^{81} + \left(7 a^{2} + 27 a + 16\right)\cdot 43^{82} + \left(32 a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 43^{83} + \left(31 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 43^{84} + \left(2 a^{2} + 13\right)\cdot 43^{85} + \left(28 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 43^{86} + \left(37 a^{2} + 25 a + 41\right)\cdot 43^{87} + \left(24 a^{2} + 36 a + 21\right)\cdot 43^{88} + \left(36 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{89} + \left(35 a^{2} + 35 a + 39\right)\cdot 43^{90} + \left(10 a^{2} + 19 a + 3\right)\cdot 43^{91} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 43^{92} + \left(29 a^{2} + a + 22\right)\cdot 43^{93} + \left(33 a^{2} + 11 a + 40\right)\cdot 43^{94} + \left(3 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 43^{95} + \left(34 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 43^{96} + \left(40 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 43^{97} + \left(40 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 43^{98} + \left(12 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 43^{99} + \left(a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 43^{100} + \left(23 a^{2} + 23 a + 13\right)\cdot 43^{101} + \left(39 a^{2} + 23 a + 22\right)\cdot 43^{102} + \left(4 a^{2} + 8 a + 33\right)\cdot 43^{103} + \left(15 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 43^{104} + \left(8 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{105} + \left(4 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{106} + \left(14 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 43^{107} + \left(35 a^{2} + 36 a + 1\right)\cdot 43^{108} + \left(39 a^{2} + 6 a + 38\right)\cdot 43^{109} + \left(42 a^{2} + 33 a + 33\right)\cdot 43^{110} + \left(24 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 43^{111} + \left(21 a^{2} + 32 a + 18\right)\cdot 43^{112} + \left(12 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 43^{113} + \left(2 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{114} + \left(26 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 43^{115} + \left(23 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 43^{116} + \left(15 a^{2} + 11 a + 27\right)\cdot 43^{117} + \left(22 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 43^{118} + \left(38 a^{2} + 11 a + 30\right)\cdot 43^{119} + \left(13 a^{2} + 25 a + 5\right)\cdot 43^{120} + \left(35 a^{2} + 14 a + 34\right)\cdot 43^{121} + \left(33 a^{2} + 42 a + 2\right)\cdot 43^{122} + \left(23 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{123} + \left(33 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 43^{124} + \left(a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 43^{125} + \left(20 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 43^{126} + \left(14 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 10 a + 34 + \left(9 a^{2} + 35 a + 41\right)\cdot 43 + \left(40 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 43^{2} + \left(36 a^{2} + 14 a + 29\right)\cdot 43^{3} + \left(33 a^{2} + 20 a + 9\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 43^{5} + \left(4 a^{2} + 19 a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 43^{7} + \left(25 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 43^{9} + \left(22 a^{2} + 38 a + 31\right)\cdot 43^{10} + \left(29 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 43^{11} + \left(5 a^{2} + 28 a + 40\right)\cdot 43^{12} + \left(18 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{13} + \left(21 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 43^{14} + \left(30 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 43^{15} + \left(34 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 43^{16} + \left(26 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 43^{17} + \left(39 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 43^{18} + \left(12 a^{2} + 35 a + 34\right)\cdot 43^{19} + \left(28 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 43^{20} + \left(4 a^{2} + 21 a + 37\right)\cdot 43^{21} + \left(2 a^{2} + 18 a + 23\right)\cdot 43^{22} + \left(18 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 43^{23} + \left(15 a^{2} + 26\right)\cdot 43^{24} + \left(14 a^{2} + 33 a + 19\right)\cdot 43^{25} + \left(40 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{26} + \left(34 a^{2} + 34 a + 3\right)\cdot 43^{27} + \left(13 a^{2} + 14 a + 25\right)\cdot 43^{28} + \left(a^{2} + 32 a + 29\right)\cdot 43^{29} + \left(35 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 43^{30} + \left(20 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{31} + \left(a^{2} + 41 a + 21\right)\cdot 43^{32} + \left(42 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 43^{33} + \left(18 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 43^{34} + \left(20 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 43^{35} + \left(42 a^{2} + 16 a + 37\right)\cdot 43^{36} + \left(20 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 43^{37} + \left(15 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 43^{38} + \left(30 a^{2} + 4 a + 30\right)\cdot 43^{39} + \left(37 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 43^{40} + \left(21 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 43^{41} + \left(34 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 43^{42} + \left(15 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 43^{43} + \left(27 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 43^{44} + \left(7 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43^{45} + \left(27 a^{2} + 33 a + 36\right)\cdot 43^{46} + \left(22 a^{2} + 8 a + 29\right)\cdot 43^{47} + \left(38 a^{2} + 39 a + 39\right)\cdot 43^{48} + \left(40 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 43^{49} + \left(a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 43^{50} + \left(34 a^{2} + 39 a + 13\right)\cdot 43^{51} + \left(16 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{52} + \left(6 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 43^{53} + \left(16 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 43^{54} + \left(18 a^{2} + 25 a + 25\right)\cdot 43^{55} + \left(25 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 43^{56} + \left(20 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{57} + \left(7 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 43^{58} + \left(35 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{59} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 43^{60} + \left(23 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 43^{61} + \left(27 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 43^{62} + \left(31 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{63} + \left(27 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 43^{64} + \left(22 a^{2} + 17 a + 40\right)\cdot 43^{65} + \left(38 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 43^{66} + \left(29 a^{2} + 31 a + 37\right)\cdot 43^{67} + \left(20 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 43^{68} + \left(13 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 43^{69} + \left(29 a^{2} + 39\right)\cdot 43^{70} + \left(20 a^{2} + 19 a + 21\right)\cdot 43^{71} + \left(23 a^{2} + 36 a + 34\right)\cdot 43^{72} + \left(28 a^{2} + 22 a + 8\right)\cdot 43^{73} + \left(35 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{74} + \left(14 a^{2} + 39 a + 12\right)\cdot 43^{75} + \left(20 a + 5\right)\cdot 43^{76} + \left(2 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 43^{77} + \left(42 a^{2} + 24 a + 8\right)\cdot 43^{78} + \left(20 a^{2} + 4 a + 35\right)\cdot 43^{79} + \left(13 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 43^{80} + \left(36 a^{2} + 25 a + 7\right)\cdot 43^{81} + \left(38 a^{2} + 38 a + 42\right)\cdot 43^{82} + \left(13 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{83} + \left(32 a^{2} + 28 a + 29\right)\cdot 43^{84} + \left(39 a^{2} + 6 a + 27\right)\cdot 43^{85} + \left(12 a^{2} + 28 a + 15\right)\cdot 43^{86} + \left(a^{2} + 30 a\right)\cdot 43^{87} + \left(a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 43^{88} + \left(39 a^{2} + 29 a + 22\right)\cdot 43^{89} + \left(33 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 43^{90} + \left(29 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 43^{91} + \left(15 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{92} + \left(37 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 43^{93} + \left(4 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 43^{94} + \left(36 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 43^{95} + \left(28 a^{2} + 34 a + 26\right)\cdot 43^{96} + \left(6 a^{2} + 19 a + 19\right)\cdot 43^{97} + \left(19 a^{2} + 5\right)\cdot 43^{98} + \left(40 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 43^{99} + \left(37 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 43^{100} + \left(27 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 43^{101} + \left(a^{2} + 31 a + 23\right)\cdot 43^{102} + \left(16 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 43^{103} + \left(31 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 43^{104} + \left(11 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 43^{105} + \left(16 a^{2} + 40 a + 11\right)\cdot 43^{106} + \left(18 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 43^{107} + \left(35 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{108} + \left(38 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 43^{109} + \left(39 a^{2} + 26 a + 15\right)\cdot 43^{110} + \left(40 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43^{111} + \left(39 a^{2} + 17 a + 39\right)\cdot 43^{112} + \left(7 a + 19\right)\cdot 43^{113} + \left(32 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 43^{114} + \left(2 a^{2} + 36 a + 32\right)\cdot 43^{115} + \left(3 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 43^{116} + \left(5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{117} + \left(10 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 43^{118} + \left(39 a^{2} + 13 a + 20\right)\cdot 43^{119} + \left(21 a^{2} + 15 a + 20\right)\cdot 43^{120} + \left(27 a^{2} + 30 a + 19\right)\cdot 43^{121} + \left(35 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 43^{122} + \left(26 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 43^{123} + \left(27 a^{2} + 35 a + 40\right)\cdot 43^{124} + \left(38 a^{2} + 37 a + 3\right)\cdot 43^{125} + \left(30 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{126} + \left(23 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 23 a^{2} + 10 a + 1 + \left(36 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 43 + \left(25 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(3 a^{2} + 8 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a^{2} + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a^{2} + 38 a\right)\cdot 43^{6} + \left(31 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{2} + 10 a + 36\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 43^{9} + \left(23 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 43^{10} + \left(22 a^{2} + 30 a + 33\right)\cdot 43^{11} + \left(18 a^{2} + 15 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(10 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 43^{13} + \left(39 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 43^{14} + \left(12 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 43^{15} + \left(13 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 43^{16} + \left(15 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 43^{17} + \left(38 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 43^{18} + \left(22 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 43^{19} + \left(38 a^{2} + 26 a + 26\right)\cdot 43^{20} + \left(8 a^{2} + 10 a + 40\right)\cdot 43^{21} + \left(12 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 43^{22} + \left(27 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{24} + \left(13 a + 10\right)\cdot 43^{25} + \left(34 a^{2} + 19 a\right)\cdot 43^{26} + \left(13 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 43^{27} + \left(8 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 43^{28} + \left(35 a^{2} + 13 a + 37\right)\cdot 43^{29} + \left(18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{30} + \left(33 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 43^{31} + \left(30 a^{2} + 18 a + 41\right)\cdot 43^{32} + \left(33 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 43^{33} + \left(38 a + 41\right)\cdot 43^{34} + \left(17 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 43^{35} + \left(2 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 43^{36} + \left(32 a^{2} + 10 a + 38\right)\cdot 43^{37} + \left(20 a^{2} + 28 a + 42\right)\cdot 43^{38} + \left(32 a^{2} + 12 a + 31\right)\cdot 43^{39} + \left(10 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{40} + \left(13 a^{2} + 25 a + 13\right)\cdot 43^{41} + \left(4 a^{2} + 16 a + 35\right)\cdot 43^{42} + \left(7 a^{2} + 32 a + 27\right)\cdot 43^{43} + \left(4 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 43^{44} + \left(34 a^{2} + 6 a + 21\right)\cdot 43^{45} + \left(15 a^{2} + 31 a + 28\right)\cdot 43^{46} + \left(27 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 43^{47} + \left(18 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 43^{48} + \left(19 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 43^{49} + \left(35 a^{2} + 38 a + 6\right)\cdot 43^{50} + \left(6 a^{2} + 12 a + 38\right)\cdot 43^{51} + \left(19 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{52} + \left(a + 10\right)\cdot 43^{53} + \left(9 a^{2} + 9 a + 22\right)\cdot 43^{54} + \left(27 a^{2} + a + 17\right)\cdot 43^{55} + \left(35 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 43^{56} + \left(2 a^{2} + 40 a + 31\right)\cdot 43^{57} + \left(40 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 43^{58} + \left(37 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{59} + \left(a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 43^{60} + \left(8 a^{2} + 22 a + 2\right)\cdot 43^{61} + \left(4 a^{2} + 12 a + 24\right)\cdot 43^{62} + \left(30 a^{2} + 24 a + 4\right)\cdot 43^{63} + \left(36 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 43^{64} + \left(35 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{65} + \left(19 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 43^{66} + \left(27 a^{2} + 38 a + 21\right)\cdot 43^{67} + \left(39 a^{2} + 14 a + 22\right)\cdot 43^{68} + \left(2 a^{2} + 15\right)\cdot 43^{69} + \left(25 a^{2} + 18 a + 36\right)\cdot 43^{70} + \left(23 a^{2} + 36 a + 23\right)\cdot 43^{71} + \left(14 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{72} + \left(11 a^{2} + 36 a + 11\right)\cdot 43^{73} + \left(15 a^{2} + 25 a + 38\right)\cdot 43^{74} + \left(4 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 43^{75} + \left(6 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 43^{76} + \left(19 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43^{77} + \left(3 a + 24\right)\cdot 43^{78} + \left(32 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{79} + \left(20 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{80} + \left(33 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 43^{81} + \left(39 a^{2} + 2 a + 28\right)\cdot 43^{82} + \left(42 a^{2} + 28 a + 19\right)\cdot 43^{83} + \left(40 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 43^{84} + \left(2 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 43^{85} + \left(21 a^{2} + 17 a + 6\right)\cdot 43^{86} + \left(20 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 43^{87} + \left(a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 43^{88} + \left(27 a^{2} + 39 a + 14\right)\cdot 43^{89} + \left(11 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 43^{90} + \left(34 a^{2} + 38 a + 28\right)\cdot 43^{91} + \left(20 a^{2} + 24 a + 25\right)\cdot 43^{92} + \left(32 a^{2} + 18 a + 22\right)\cdot 43^{93} + \left(41 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 43^{94} + \left(33 a^{2} + 6 a + 33\right)\cdot 43^{95} + \left(12 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 43^{96} + \left(18 a^{2} + 41 a + 41\right)\cdot 43^{97} + \left(34 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{98} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{99} + \left(21 a^{2} + 28 a + 24\right)\cdot 43^{100} + \left(38 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 43^{101} + \left(28 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 43^{102} + \left(25 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 43^{103} + \left(28 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 43^{104} + \left(27 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 43^{105} + \left(24 a^{2} + 9 a + 31\right)\cdot 43^{106} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 43^{107} + \left(20 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{108} + \left(40 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 43^{109} + \left(37 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 43^{110} + \left(17 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 43^{111} + \left(21 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 43^{112} + \left(32 a^{2} + 19 a + 12\right)\cdot 43^{113} + \left(26 a^{2} + 22 a + 42\right)\cdot 43^{114} + \left(8 a^{2} + 42 a + 7\right)\cdot 43^{115} + \left(18 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{116} + \left(34 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 43^{117} + \left(30 a^{2} + 27 a + 27\right)\cdot 43^{118} + \left(31 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{119} + \left(10 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 43^{120} + \left(19 a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 43^{121} + \left(27 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 43^{122} + \left(a^{2} + 33 a + 29\right)\cdot 43^{123} + \left(16 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{124} + \left(23 a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 43^{125} + \left(2 a^{2} + 34 a + 28\right)\cdot 43^{126} + \left(42 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 20 a^{2} + 34 a + 20 + \left(9 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 43 + \left(25 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 43^{2} + \left(2 a^{2} + 13 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(35 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{2} + 27 a + 5\right)\cdot 43^{5} + \left(3 a^{2} + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(20 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 43^{9} + \left(30 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 43^{10} + \left(31 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 43^{11} + \left(12 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 43^{12} + \left(21 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 43^{13} + \left(6 a^{2} + 24 a + 10\right)\cdot 43^{14} + \left(35 a^{2} + 20 a + 31\right)\cdot 43^{15} + \left(37 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 43^{16} + \left(14 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 43^{17} + \left(39 a^{2} + 22\right)\cdot 43^{18} + \left(39 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 43^{19} + \left(16 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43^{20} + \left(26 a^{2} + 2\right)\cdot 43^{21} + \left(26 a^{2} + 28 a + 12\right)\cdot 43^{22} + \left(22 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 43^{23} + \left(32 a^{2} + 30 a + 39\right)\cdot 43^{24} + \left(32 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 43^{25} + \left(12 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 43^{26} + \left(22 a^{2} + 16 a\right)\cdot 43^{27} + \left(12 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 43^{28} + \left(29 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43^{29} + \left(26 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 43^{30} + \left(30 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43^{31} + \left(a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 43^{32} + \left(22 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 43^{33} + \left(12 a^{2} + 21 a + 19\right)\cdot 43^{34} + \left(30 a^{2} + 40 a + 26\right)\cdot 43^{35} + \left(28 a^{2} + 25 a + 40\right)\cdot 43^{36} + \left(20 a^{2} + 27 a + 13\right)\cdot 43^{37} + \left(37 a^{2} + 22 a + 40\right)\cdot 43^{38} + \left(29 a^{2} + 26 a + 41\right)\cdot 43^{39} + \left(5 a^{2} + 41 a + 20\right)\cdot 43^{40} + \left(19 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 43^{41} + \left(41 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 43^{42} + \left(39 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 43^{43} + \left(42 a^{2} + 12 a + 26\right)\cdot 43^{44} + \left(18 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{45} + \left(12 a^{2} + 24 a + 21\right)\cdot 43^{46} + \left(3 a^{2} + 33\right)\cdot 43^{47} + \left(21 a + 31\right)\cdot 43^{48} + \left(4 a^{2} + 29 a + 27\right)\cdot 43^{49} + \left(21 a^{2} + 8 a + 30\right)\cdot 43^{50} + \left(38 a^{2} + a + 16\right)\cdot 43^{51} + \left(12 a + 25\right)\cdot 43^{52} + \left(16 a^{2} + 5 a + 16\right)\cdot 43^{53} + \left(34 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 43^{54} + \left(27 a^{2} + a + 8\right)\cdot 43^{55} + \left(13 a^{2} + 37 a + 24\right)\cdot 43^{56} + \left(29 a^{2} + 30 a + 30\right)\cdot 43^{57} + \left(15 a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 43^{58} + \left(21 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 43^{59} + \left(26 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 43^{60} + \left(15 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 43^{61} + \left(18 a^{2} + 40 a + 35\right)\cdot 43^{62} + \left(24 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 43^{63} + \left(35 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 43^{64} + \left(6 a^{2} + 13 a + 22\right)\cdot 43^{65} + \left(19 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 43^{66} + \left(40 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 43^{67} + \left(39 a^{2} + 34 a + 12\right)\cdot 43^{68} + \left(8 a^{2} + 22 a + 20\right)\cdot 43^{69} + \left(14 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 43^{70} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 43^{71} + \left(38 a^{2} + 39 a + 4\right)\cdot 43^{72} + \left(13 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{73} + \left(4 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 43^{74} + \left(28 a^{2} + 23 a + 27\right)\cdot 43^{75} + \left(3 a^{2} + 25 a + 28\right)\cdot 43^{76} + \left(19 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 43^{77} + \left(21 a^{2} + 21 a + 3\right)\cdot 43^{78} + \left(4 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 43^{79} + \left(17 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 43^{80} + \left(35 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 43^{81} + \left(15 a^{2} + 27 a + 26\right)\cdot 43^{82} + \left(6 a^{2} + 36 a + 33\right)\cdot 43^{83} + \left(30 a^{2} + 23 a + 20\right)\cdot 43^{84} + \left(29 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43^{85} + \left(2 a^{2} + 36 a + 12\right)\cdot 43^{86} + \left(19 a^{2} + a + 11\right)\cdot 43^{87} + \left(32 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{88} + \left(25 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 43^{89} + \left(31 a^{2} + 39 a + 31\right)\cdot 43^{90} + \left(17 a^{2} + 38 a + 37\right)\cdot 43^{91} + \left(38 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 43^{92} + \left(22 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 43^{93} + \left(4 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 43^{94} + \left(12 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 43^{95} + \left(10 a^{2} + 31 a + 27\right)\cdot 43^{96} + \left(19 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 43^{97} + \left(29 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 43^{98} + \left(41 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 43^{99} + \left(28 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 43^{100} + \left(35 a^{2} + 28 a + 17\right)\cdot 43^{101} + \left(15 a^{2} + 36 a + 6\right)\cdot 43^{102} + \left(23 a^{2} + 41 a + 40\right)\cdot 43^{103} + \left(5 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 43^{104} + \left(11 a^{2} + 19 a + 8\right)\cdot 43^{105} + \left(24 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{106} + \left(22 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 43^{107} + \left(41 a^{2} + 25\right)\cdot 43^{108} + \left(21 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 43^{109} + \left(21 a^{2} + 4 a + 20\right)\cdot 43^{110} + \left(11 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 43^{111} + \left(35 a^{2} + 19 a + 35\right)\cdot 43^{112} + \left(20 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 43^{113} + \left(15 a^{2} + 19 a + 33\right)\cdot 43^{114} + \left(37 a^{2} + 41 a + 2\right)\cdot 43^{115} + \left(9 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43^{116} + \left(33 a^{2} + 27 a + 30\right)\cdot 43^{117} + \left(30 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 43^{118} + \left(12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 43^{119} + \left(26 a^{2} + 19 a + 15\right)\cdot 43^{120} + \left(12 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 43^{121} + \left(18 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 43^{122} + \left(40 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 43^{123} + \left(36 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 43^{124} + \left(26 a^{2} + 22 a + 9\right)\cdot 43^{125} + \left(27 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 43^{126} + \left(11 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 25 a^{2} + 14 a + 9 + \left(6 a^{2} + 15 a + 40\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(37 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 43^{3} + \left(9 a^{2} + a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(31 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{2} + 31 a + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(41 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(17 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 43^{8} + \left(4 a^{2} + 40 a + 27\right)\cdot 43^{9} + \left(32 a^{2} + 28\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 43^{11} + \left(18 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 43^{12} + \left(15 a^{2} + 31 a + 17\right)\cdot 43^{13} + \left(25 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{14} + \left(28 a^{2} + 33 a + 12\right)\cdot 43^{15} + \left(41 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 43^{16} + \left(32 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 43^{17} + \left(32 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 43^{18} + \left(30 a^{2} + 7 a + 20\right)\cdot 43^{19} + \left(38 a^{2} + 36 a + 42\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a^{2} + 7 a + 30\right)\cdot 43^{21} + \left(18 a^{2} + 23 a + 6\right)\cdot 43^{22} + \left(5 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 43^{23} + \left(21 a^{2} + 35 a + 17\right)\cdot 43^{24} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{25} + \left(25 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 43^{26} + \left(24 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 43^{27} + \left(9 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 43^{28} + \left(33 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 43^{29} + \left(12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 43^{30} + \left(21 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 43^{31} + \left(8 a^{2} + 3 a + 36\right)\cdot 43^{32} + \left(22 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 43^{33} + \left(4 a^{2} + 27 a + 42\right)\cdot 43^{34} + \left(11 a^{2} + 2 a + 27\right)\cdot 43^{35} + \left(7 a^{2} + 2 a + 40\right)\cdot 43^{36} + \left(26 a^{2} + 3 a + 31\right)\cdot 43^{37} + \left(17 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 43^{38} + \left(26 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 43^{39} + \left(13 a^{2} + 3 a + 40\right)\cdot 43^{40} + \left(4 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{41} + \left(18 a^{2} + 40 a + 22\right)\cdot 43^{42} + \left(4 a^{2} + 32 a + 17\right)\cdot 43^{43} + \left(9 a^{2} + 42 a + 4\right)\cdot 43^{44} + \left(29 a^{2} + 19 a + 40\right)\cdot 43^{45} + \left(9 a^{2} + 19 a + 4\right)\cdot 43^{46} + \left(11 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 43^{47} + \left(22 a^{2} + 5 a + 32\right)\cdot 43^{48} + \left(7 a^{2} + 33 a + 15\right)\cdot 43^{49} + \left(2 a^{2} + 31 a + 32\right)\cdot 43^{50} + \left(39 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 43^{51} + \left(36 a^{2} + 13 a + 35\right)\cdot 43^{52} + \left(16 a^{2} + 33 a + 2\right)\cdot 43^{53} + \left(17 a^{2} + 21 a + 31\right)\cdot 43^{54} + \left(10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 43^{55} + \left(28 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 43^{56} + \left(35 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 43^{57} + \left(41 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 43^{58} + \left(40 a^{2} + 19 a + 37\right)\cdot 43^{59} + \left(6 a + 28\right)\cdot 43^{60} + \left(22 a^{2} + 15 a + 33\right)\cdot 43^{61} + \left(21 a^{2} + 27 a + 37\right)\cdot 43^{62} + \left(22 a^{2} + 37 a + 39\right)\cdot 43^{63} + \left(23 a^{2} + 22 a + 13\right)\cdot 43^{64} + \left(10 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 43^{65} + \left(26 a^{2} + 6 a + 36\right)\cdot 43^{66} + \left(34 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 43^{67} + \left(30 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 43^{68} + \left(5 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 43^{69} + \left(29 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 43^{70} + \left(16 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 43^{71} + \left(28 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 43^{72} + \left(8 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 43^{73} + \left(23 a^{2} + 26 a + 18\right)\cdot 43^{74} + \left(36 a^{2} + 11 a + 33\right)\cdot 43^{75} + \left(23 a^{2} + 9 a + 27\right)\cdot 43^{76} + \left(20 a^{2} + 22 a + 28\right)\cdot 43^{77} + \left(41 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 43^{78} + \left(19 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 43^{79} + \left(24 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 43^{80} + \left(9 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 43^{81} + \left(13 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 43^{82} + \left(15 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 43^{83} + \left(5 a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 43^{84} + \left(15 a^{2} + 5 a + 40\right)\cdot 43^{85} + \left(41 a^{2} + 3 a + 23\right)\cdot 43^{86} + \left(31 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{87} + \left(29 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 43^{88} + \left(14 a^{2} + 6 a + 20\right)\cdot 43^{89} + \left(20 a^{2} + a + 38\right)\cdot 43^{90} + \left(18 a^{2} + 38 a + 23\right)\cdot 43^{91} + \left(26 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 43^{92} + \left(17 a^{2} + 27 a + 22\right)\cdot 43^{93} + \left(32 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 43^{94} + \left(9 a + 9\right)\cdot 43^{95} + \left(6 a^{2} + 4 a + 24\right)\cdot 43^{96} + \left(14 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 43^{97} + \left(21 a^{2} + 38 a + 25\right)\cdot 43^{98} + \left(22 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 43^{99} + \left(28 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{100} + \left(26 a^{2} + 13 a + 25\right)\cdot 43^{101} + \left(14 a^{2} + 30 a + 5\right)\cdot 43^{102} + \left(18 a^{2} + 33 a + 8\right)\cdot 43^{103} + \left(28 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 43^{104} + \left(4 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{105} + \left(26 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 43^{106} + \left(13 a^{2} + 24 a + 15\right)\cdot 43^{107} + \left(12 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 43^{108} + \left(35 a^{2} + 36 a + 7\right)\cdot 43^{109} + \left(17 a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 43^{110} + \left(33 a^{2} + 23 a\right)\cdot 43^{111} + \left(21 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 43^{112} + \left(28 a^{2} + 32 a + 25\right)\cdot 43^{113} + \left(24 a^{2} + 37 a + 10\right)\cdot 43^{114} + \left(21 a^{2} + 32 a + 35\right)\cdot 43^{115} + \left(38 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 43^{116} + \left(20 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 43^{117} + \left(27 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 43^{118} + \left(13 a^{2} + 22 a + 38\right)\cdot 43^{119} + \left(21 a^{2} + 19 a + 11\right)\cdot 43^{120} + \left(27 a^{2} + 42 a + 35\right)\cdot 43^{121} + \left(20 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 43^{122} + \left(21 a^{2} + 20 a + 16\right)\cdot 43^{123} + \left(14 a^{2} + 4 a + 38\right)\cdot 43^{124} + \left(13 a^{2} + 12 a + 28\right)\cdot 43^{125} + \left(20 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 43^{126} + \left(23 a^{2} + 38 a + 8\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{2} + 23 a + 8 + \left(40 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 43 + \left(19 a^{2} + 19 a + 5\right)\cdot 43^{2} + \left(30 a^{2} + 24 a + 11\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{4} + \left(3 a^{2} + 38 a + 9\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{2} + 28 a + 34\right)\cdot 43^{6} + \left(6 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{2} + 29 a + 15\right)\cdot 43^{8} + \left(30 a^{2} + 33 a\right)\cdot 43^{9} + \left(39 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{10} + \left(33 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 43^{11} + \left(18 a^{2} + 41 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(14 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 43^{13} + \left(25 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{14} + \left(42 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 43^{15} + \left(37 a^{2} + 31 a + 38\right)\cdot 43^{16} + \left(27 a + 2\right)\cdot 43^{17} + \left(8 a^{2} + 34\right)\cdot 43^{18} + \left(7 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 43^{19} + \left(19 a^{2} + 21 a + 27\right)\cdot 43^{20} + \left(29 a^{2} + 10 a + 25\right)\cdot 43^{21} + \left(28 a^{2} + 19 a + 41\right)\cdot 43^{22} + \left(40 a^{2} + 23 a + 19\right)\cdot 43^{23} + \left(35 a^{2} + 30 a + 40\right)\cdot 43^{24} + \left(27 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{25} + \left(11 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 43^{26} + \left(37 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 43^{27} + \left(20 a^{2} + 16 a + 29\right)\cdot 43^{28} + \left(6 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43^{29} + \left(32 a^{2} + 11 a\right)\cdot 43^{30} + 31 a^{2}43^{31} + \left(10 a^{2} + 26 a + 42\right)\cdot 43^{32} + \left(10 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 43^{33} + \left(23 a^{2} + 18 a + 27\right)\cdot 43^{34} + \left(5 a^{2} + 27 a + 36\right)\cdot 43^{35} + \left(41 a^{2} + 2 a + 36\right)\cdot 43^{36} + \left(32 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 43^{37} + \left(6 a^{2} + 40 a + 19\right)\cdot 43^{38} + \left(23 a^{2} + 25 a + 11\right)\cdot 43^{39} + \left(37 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 43^{40} + \left(7 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 43^{41} + \left(4 a^{2} + 32 a + 20\right)\cdot 43^{42} + \left(20 a^{2} + 38 a + 36\right)\cdot 43^{43} + \left(11 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 43^{44} + \left(a^{2} + 19 a + 13\right)\cdot 43^{45} + \left(21 a + 32\right)\cdot 43^{46} + \left(36 a^{2} + 17 a + 38\right)\cdot 43^{47} + \left(28 a^{2} + 21 a + 18\right)\cdot 43^{48} + \left(25 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 43^{49} + \left(5 a^{2} + 31 a + 15\right)\cdot 43^{50} + \left(2 a^{2} + 33 a + 6\right)\cdot 43^{51} + \left(7 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 43^{52} + \left(36 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 43^{53} + \left(17 a^{2} + 7 a + 28\right)\cdot 43^{54} + \left(40 a^{2} + 16 a + 40\right)\cdot 43^{55} + \left(24 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{56} + \left(19 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 43^{57} + \left(38 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 43^{58} + \left(12 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43^{59} + \left(35 a^{2} + 42 a + 21\right)\cdot 43^{60} + \left(11 a^{2} + 38 a + 33\right)\cdot 43^{61} + \left(11 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 43^{62} + \left(24 a^{2} + 17 a\right)\cdot 43^{63} + \left(21 a^{2} + 22 a + 31\right)\cdot 43^{64} + \left(27 a^{2} + 24 a\right)\cdot 43^{65} + \left(27 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 43^{66} + \left(28 a^{2} + 16 a + 36\right)\cdot 43^{67} + \left(25 a^{2} + 42 a + 41\right)\cdot 43^{68} + \left(26 a^{2} + 33 a + 16\right)\cdot 43^{69} + \left(31 a^{2} + 24 a + 26\right)\cdot 43^{70} + \left(41 a^{2} + 30 a + 21\right)\cdot 43^{71} + \left(4 a^{2} + 29 a + 36\right)\cdot 43^{72} + \left(3 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 43^{73} + \left(35 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 43^{74} + \left(23 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 43^{75} + \left(36 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 43^{76} + \left(21 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 43^{77} + \left(14 a + 38\right)\cdot 43^{78} + \left(33 a^{2} + 26 a + 28\right)\cdot 43^{79} + \left(8 a^{2} + 11 a + 38\right)\cdot 43^{80} + \left(16 a^{2} + 39 a + 8\right)\cdot 43^{81} + \left(7 a^{2} + a + 21\right)\cdot 43^{82} + \left(29 a^{2} + 30 a + 10\right)\cdot 43^{83} + \left(12 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 43^{84} + \left(39 a + 30\right)\cdot 43^{85} + \left(9 a^{2} + 39 a + 41\right)\cdot 43^{86} + \left(21 a^{2} + 3 a + 27\right)\cdot 43^{87} + \left(40 a^{2} + 34 a + 7\right)\cdot 43^{88} + \left(19 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 43^{89} + \left(40 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 43^{90} + \left(21 a^{2} + 33 a + 20\right)\cdot 43^{91} + \left(6 a^{2} + 30\right)\cdot 43^{92} + \left(16 a^{2} + 22 a + 11\right)\cdot 43^{93} + \left(39 a^{2} + 14 a + 24\right)\cdot 43^{94} + \left(15 a^{2} + 33 a + 35\right)\cdot 43^{95} + \left(a^{2} + 32 a + 7\right)\cdot 43^{96} + \left(18 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43^{97} + \left(32 a^{2} + 14 a + 28\right)\cdot 43^{98} + \left(41 a^{2} + 22 a + 15\right)\cdot 43^{99} + \left(26 a^{2} + 12 a + 42\right)\cdot 43^{100} + \left(19 a^{2} + 7 a + 35\right)\cdot 43^{101} + \left(12 a^{2} + 25 a + 30\right)\cdot 43^{102} + \left(a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{103} + \left(26 a^{2} + 2 a + 24\right)\cdot 43^{104} + \left(3 a^{2} + 32 a + 42\right)\cdot 43^{105} + \left(2 a^{2} + 35 a + 1\right)\cdot 43^{106} + \left(15 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 43^{107} + \left(30 a^{2} + 18 a + 29\right)\cdot 43^{108} + \left(6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 43^{109} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 43^{110} + \left(27 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 43^{111} + \left(24 a^{2} + 10 a + 29\right)\cdot 43^{112} + \left(9 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 43^{113} + \left(27 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 43^{114} + \left(31 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 43^{115} + \left(21 a^{2} + 27 a + 18\right)\cdot 43^{116} + \left(3 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 43^{117} + \left(2 a^{2} + 8\right)\cdot 43^{118} + \left(15 a^{2} + 7 a + 33\right)\cdot 43^{119} + \left(10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 43^{120} + \left(39 a^{2} + 19 a + 27\right)\cdot 43^{121} + \left(22 a^{2} + 39 a + 1\right)\cdot 43^{122} + \left(14 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{123} + \left(42 a^{2} + 12 a + 35\right)\cdot 43^{124} + \left(23 a^{2} + 24 a + 22\right)\cdot 43^{125} + \left(9 a^{2} + 5 a + 33\right)\cdot 43^{126} + \left(20 a^{2} + 37 a + 18\right)\cdot 43^{127} +O\left(43^{ 128 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(3,6,8)$ |
| $(1,5,7)$ |
| $(2,4)$ |
| $(1,2,3)(4,6,5)(7,9,8)$ |
| $(2,3)(4,6)(8,9)$ |
| $(2,4,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $9$ |
$2$ |
$(2,4)$ |
$4$ |
| $18$ |
$2$ |
$(2,3)(4,6)(8,9)$ |
$2$ |
| $27$ |
$2$ |
$(1,5)(2,4)(3,6)$ |
$0$ |
| $27$ |
$2$ |
$(2,4)(3,6)$ |
$2$ |
| $54$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $6$ |
$3$ |
$(1,5,7)$ |
$3$ |
| $8$ |
$3$ |
$(1,5,7)(2,4,9)(3,6,8)$ |
$-3$ |
| $12$ |
$3$ |
$(1,5,7)(3,6,8)$ |
$0$ |
| $72$ |
$3$ |
$(1,2,3)(4,6,5)(7,9,8)$ |
$0$ |
| $54$ |
$4$ |
$(2,6,4,3)(8,9)$ |
$2$ |
| $162$ |
$4$ |
$(1,2,5,4)(6,8)(7,9)$ |
$0$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,5,7)(2,3)(4,6)(8,9)$ |
$-1$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,4,5,9,7,2)$ |
$2$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,5,7)(2,4)$ |
$1$ |
| $36$ |
$6$ |
$(1,5,7)(2,4)(3,6,8)$ |
$-2$ |
| $54$ |
$6$ |
$(1,7,5)(2,4)(3,6)$ |
$-1$ |
| $72$ |
$6$ |
$(1,5,7)(2,3,4,6,9,8)$ |
$-1$ |
| $108$ |
$6$ |
$(1,6,5,8,7,3)(2,4)$ |
$0$ |
| $216$ |
$6$ |
$(1,2,6,5,4,3)(7,9,8)$ |
$0$ |
| $144$ |
$9$ |
$(1,4,6,5,9,8,7,2,3)$ |
$0$ |
| $108$ |
$12$ |
$(1,5,7)(2,6,4,3)(8,9)$ |
$-1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
