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Properties

Label 6.2e10_7e3_61e3.8t41.1c1
Dimension 6
Group $V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor $ 2^{10} \cdot 7^{3} \cdot 61^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor:$79722990592= 2^{10} \cdot 7^{3} \cdot 61^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} + x^{6} + 2 x^{5} - 5 x^{4} - 9 x^{3} + 5 x^{2} + 8 x + 2 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $V_4^2:(S_3\times C_2)$
Parity: Even
Determinant: 1.2e2_7_61.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 43.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 2 a + 7 + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a + 5\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(8 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 2 a + 6 + \left(4 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11 + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{4} + \left(3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(6 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(2 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{30} + 11^{31} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{37} + \left(6 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 6 a + 2 + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{15} + \left(3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(2 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 7 + 7\cdot 11 + 5\cdot 11^{2} + 8\cdot 11^{3} + 10\cdot 11^{4} + 3\cdot 11^{5} + 9\cdot 11^{6} + 2\cdot 11^{7} + 6\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} + 7\cdot 11^{10} + 7\cdot 11^{11} + 9\cdot 11^{12} + 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 4\cdot 11^{16} + 6\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{18} + 11^{19} + 6\cdot 11^{20} + 11^{21} + 10\cdot 11^{22} + 10\cdot 11^{23} + 2\cdot 11^{24} + 2\cdot 11^{25} + 3\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 3\cdot 11^{28} + 3\cdot 11^{29} + 11^{30} + 6\cdot 11^{31} + 6\cdot 11^{32} + 8\cdot 11^{33} + 11^{35} + 7\cdot 11^{36} + 4\cdot 11^{37} + 6\cdot 11^{38} + 8\cdot 11^{39} + 6\cdot 11^{40} + 9\cdot 11^{41} + 4\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ a^{2} + 9 a + 5 + \left(5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{3} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(4 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{14} + \left(2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(8 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{29} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(9 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{34} + \left(8 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{35} + \left(8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{36} + \left(2 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{37} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 6 + 5\cdot 11^{2} + 5\cdot 11^{3} + 9\cdot 11^{4} + 11^{5} + 3\cdot 11^{6} + 10\cdot 11^{7} + 6\cdot 11^{8} + 2\cdot 11^{9} + 4\cdot 11^{10} + 4\cdot 11^{11} + 10\cdot 11^{12} + 8\cdot 11^{13} + 6\cdot 11^{14} + 6\cdot 11^{15} + 2\cdot 11^{16} + 11^{17} + 2\cdot 11^{18} + 8\cdot 11^{19} + 9\cdot 11^{21} + 10\cdot 11^{23} + 6\cdot 11^{24} + 10\cdot 11^{25} + 3\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 5\cdot 11^{28} + 3\cdot 11^{29} + 7\cdot 11^{31} + 8\cdot 11^{32} + 6\cdot 11^{33} + 8\cdot 11^{34} + 10\cdot 11^{35} + 5\cdot 11^{36} + 11^{37} + 3\cdot 11^{38} + 6\cdot 11^{40} + 11^{41} + 5\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 9 a^{2} + 7 a + 8 + \left(a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11 + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{11} + 3 a\cdot 11^{12} + \left(7 a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{17} + 7\cdot 11^{18} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{35} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{36} + \left(5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{38} + \left(7 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{39} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{40} + \left(10 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 7 a + 4 + \left(a^{2} + 2\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a + 6\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(8 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{22} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{25} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a + 4\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a + 10\right)\cdot 11^{28} + 4 a\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{34} + \left(10 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{36} + \left(10 a + 9\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{40} + \left(9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{42} +O\left(11^{ 43 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(3,8)(4,5)$
$(1,6)(2,7)$
$(1,7)(2,6)$
$(1,7,6)(4,5,8)$
$(5,8)(6,7)$
$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$
$(3,4)(5,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$3$$2$$(1,6)(2,7)(3,5)(4,8)$$-2$
$4$$2$$(1,3)(2,4)(5,6)(7,8)$$0$
$6$$2$$(3,4)(5,8)$$-2$
$6$$2$$(1,6)(2,7)(3,4)(5,8)$$2$
$12$$2$$(5,8)(6,7)$$0$
$12$$2$$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$$2$
$32$$3$$(1,7,2)(3,4,5)$$0$
$12$$4$$(1,3,6,5)(2,4,7,8)$$0$
$12$$4$$(1,3,7,8)(2,5,6,4)$$-2$
$12$$4$$(1,6,2,7)(3,8,4,5)$$0$
$24$$4$$(3,8,4,5)(6,7)$$0$
$24$$4$$(1,3,6,8)(2,4,7,5)$$0$
$32$$6$$(1,3,7,4,2,5)(6,8)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.