Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 32.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{3} + 2 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 4 a + 6 + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a + 10\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{27} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 + 9\cdot 13 + 7\cdot 13^{2} + 11\cdot 13^{3} + 7\cdot 13^{4} + 10\cdot 13^{5} + 9\cdot 13^{6} + 13^{7} + 6\cdot 13^{8} + 4\cdot 13^{9} + 4\cdot 13^{10} + 3\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 13^{13} + 11\cdot 13^{14} + 13^{15} + 9\cdot 13^{16} + 3\cdot 13^{17} + 4\cdot 13^{18} + 4\cdot 13^{19} + 6\cdot 13^{20} + 3\cdot 13^{21} + 13^{22} + 4\cdot 13^{23} + 2\cdot 13^{24} + 8\cdot 13^{25} + 3\cdot 13^{26} + 5\cdot 13^{27} + 12\cdot 13^{29} + 7\cdot 13^{30} + 10\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 8 a + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13 + \left(2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{5} + 10\cdot 13^{6} + \left(10 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 4 a + 10 + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13 + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(a + 6\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(4 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{2} + a + 3 + \left(8 a + 11\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(6 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(8 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(11 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 12 + 6\cdot 13 + 3\cdot 13^{2} + 6\cdot 13^{3} + 11\cdot 13^{4} + 6\cdot 13^{5} + 13^{7} + 10\cdot 13^{8} + 13^{9} + 9\cdot 13^{10} + 9\cdot 13^{11} + 6\cdot 13^{13} + 6\cdot 13^{14} + 11\cdot 13^{15} + 13^{16} + 8\cdot 13^{17} + 12\cdot 13^{18} + 3\cdot 13^{19} + 4\cdot 13^{20} + 4\cdot 13^{21} + 4\cdot 13^{22} + 2\cdot 13^{23} + 5\cdot 13^{24} + 6\cdot 13^{25} + 7\cdot 13^{26} + 7\cdot 13^{27} + 13^{28} + 9\cdot 13^{29} + 6\cdot 13^{30} + 5\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 8 a + 5 + \left(7 a + 2\right)\cdot 13 + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{7} + \left(8 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(9 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{26} + 9 a^{2}13^{27} + \left(6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + a + 5 + \left(6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13 + \left(3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(5 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{2} + a\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(10 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{31} +O\left(13^{ 32 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,3)(4,5)$ |
| $(2,5)(3,4)$ |
| $(1,8)(6,7)$ |
| $(2,5,4)(6,8,7)$ |
| $(1,6)(7,8)$ |
| $(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$6$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,7)(2,5)(3,4)(6,8)$ |
$-2$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,8)(2,5)(3,4)(6,7)$ |
$-2$ |
| $3$ |
$2$ |
$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$ |
$-2$ |
| $6$ |
$2$ |
$(2,3)(4,5)$ |
$2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(2,3,5)(6,8,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,5,7,2)(3,8,4,6)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,2,8,5)(3,7,4,6)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,3,8,2)(4,6,5,7)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
