Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 12.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 35 a^{2} + 27 a + 9 + \left(8 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 43 + \left(a^{2} + 30 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{2} + a + 37\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a^{2} + 38 a + 4\right)\cdot 43^{6} + \left(24 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 43^{8} + \left(26 a^{2} + 28 a + 32\right)\cdot 43^{9} + \left(10 a^{2} + 24 a + 35\right)\cdot 43^{10} + \left(17 a^{2} + 28 a + 25\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + 26 a + 25 + \left(17 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 43 + \left(19 a^{2} + 27\right)\cdot 43^{2} + \left(18 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a^{2} + a + 34\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(18 a^{2} + 11 a + 26\right)\cdot 43^{6} + \left(39 a^{2} + 7 a + 40\right)\cdot 43^{7} + \left(23 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 43^{8} + \left(30 a^{2} + 19 a + 20\right)\cdot 43^{9} + \left(8 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 43^{10} + \left(23 a^{2} + 6 a + 29\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 12 + 28\cdot 43 + 23\cdot 43^{2} + 42\cdot 43^{3} + 28\cdot 43^{4} + 18\cdot 43^{6} + 34\cdot 43^{7} + 14\cdot 43^{8} + 20\cdot 43^{9} + 22\cdot 43^{10} + 27\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{2} + 26 a + 23 + \left(30 a^{2} + 26 a + 34\right)\cdot 43 + \left(16 a^{2} + 31 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(40 a^{2} + 21 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(19 a^{2} + 34 a + 27\right)\cdot 43^{4} + \left(18 a^{2} + 5 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{2} + 9 a\right)\cdot 43^{6} + \left(34 a^{2} + 35 a + 23\right)\cdot 43^{7} + \left(33 a^{2} + 17 a + 22\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 43^{9} + \left(42 a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 43^{10} + \left(19 a^{2} + 15 a + 41\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 17 a^{2} + 33 a + 40 + \left(38 a^{2} + 20 a + 39\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 30 a + 8\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{2} + 36 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(20 a^{2} + 41 a + 28\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{2} + 14 a\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{2} + 30 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(35 a^{2} + 34 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a^{2} + 20 a + 10\right)\cdot 43^{8} + \left(22 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 43^{9} + \left(29 a^{2} + 40 a + 5\right)\cdot 43^{10} + \left(15 a^{2} + 32 a + 39\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 2 + 8\cdot 43 + 18\cdot 43^{2} + 40\cdot 43^{3} + 8\cdot 43^{4} + 38\cdot 43^{5} + 8\cdot 43^{6} + 7\cdot 43^{7} + 30\cdot 43^{8} + 29\cdot 43^{9} + 40\cdot 43^{10} + 22\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 38 a^{2} + 33 a + 11 + \left(3 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 43 + \left(25 a^{2} + 23 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a^{2} + 32 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(16 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 43^{4} + \left(33 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 43^{5} + \left(34 a^{2} + 38 a + 37\right)\cdot 43^{6} + \left(26 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a^{2} + 10 a + 28\right)\cdot 43^{9} + \left(32 a^{2} + 21 a + 7\right)\cdot 43^{10} + \left(5 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 27 a + 21 + \left(30 a^{2} + 12 a + 34\right)\cdot 43 + \left(31 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a^{2} + 23\right)\cdot 43^{4} + \left(a^{2} + 17 a + 15\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{2} + a + 22\right)\cdot 43^{6} + \left(11 a^{2} + a + 7\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a^{2} + 30 a + 16\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 43^{9} + \left(4 a^{2} + 20 a + 3\right)\cdot 43^{10} + \left(4 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 29 + 6\cdot 43 + 43^{2} + 3\cdot 43^{3} + 5\cdot 43^{4} + 4\cdot 43^{5} + 16\cdot 43^{6} + 43^{7} + 41\cdot 43^{8} + 35\cdot 43^{9} + 22\cdot 43^{10} + 35\cdot 43^{11} +O\left(43^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Cycle notation |
| $(2,6)(3,8)(5,9)$ |
| $(1,3,8)(2,4,6)(5,7,9)$ |
| $(2,5)(4,7)(6,9)$ |
| $(1,4,7)(2,5,8)(3,6,9)$ |
| $(2,5,8)(3,9,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 9 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $6$ |
| $9$ | $2$ | $(2,6)(3,8)(5,9)$ | $-2$ |
| $9$ | $2$ | $(2,5)(4,7)(6,9)$ | $0$ |
| $9$ | $2$ | $(2,9)(3,8)(4,7)(5,6)$ | $0$ |
| $2$ | $3$ | $(1,4,7)(2,5,8)(3,6,9)$ | $-3$ |
| $6$ | $3$ | $(1,3,8)(2,4,6)(5,7,9)$ | $0$ |
| $6$ | $3$ | $(2,5,8)(3,9,6)$ | $0$ |
| $12$ | $3$ | $(1,9,8)(2,4,3)(5,7,6)$ | $0$ |
| $18$ | $6$ | $(1,4,7)(2,9,8,6,5,3)$ | $1$ |
| $18$ | $6$ | $(1,3,8)(2,7,6,5,4,9)$ | $0$ |
| $18$ | $6$ | $(1,9,4,6,7,3)(2,8)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
