# Properties

 Label 6.29e3_229e4.12t108.1c1 Dimension 6 Group $V_4^2:(S_3\times C_2)$ Conductor $29^{3} \cdot 229^{4}$ Root number 1 Frobenius-Schur indicator 1

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $6$ Group: $V_4^2:(S_3\times C_2)$ Conductor: $67071176293109= 29^{3} \cdot 229^{4}$ Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 3 x^{7} + x^{6} - 4 x^{5} + 11 x^{4} + 8 x^{3} - 16 x^{2} + 2 x - 1$ over $\Q$ Size of Galois orbit: 1 Smallest containing permutation representation: 12T108 Parity: Even Determinant: 1.29.2t1.1c1

## Galois action

### Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 71 }$ to precision 27.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 71 }$: $x^{3} + 4 x + 64$
Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $53 a^{2} + 23 a + 44 + \left(59 a^{2} + 11 a + 20\right)\cdot 71 + \left(6 a^{2} + 54 a + 33\right)\cdot 71^{2} + \left(36 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 71^{3} + \left(32 a^{2} + 66 a + 27\right)\cdot 71^{4} + \left(18 a^{2} + 70 a + 42\right)\cdot 71^{5} + \left(15 a^{2} + 39 a + 25\right)\cdot 71^{6} + \left(34 a^{2} + a + 27\right)\cdot 71^{7} + \left(54 a^{2} + 58 a + 33\right)\cdot 71^{8} + \left(33 a^{2} + 45 a + 49\right)\cdot 71^{9} + \left(44 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 71^{10} + \left(6 a^{2} + 60 a + 52\right)\cdot 71^{11} + \left(48 a^{2} + 23 a + 64\right)\cdot 71^{12} + \left(49 a^{2} + 58 a + 64\right)\cdot 71^{13} + \left(52 a^{2} + 64 a + 69\right)\cdot 71^{14} + \left(48 a^{2} + 50 a + 62\right)\cdot 71^{15} + \left(6 a^{2} + 54 a + 23\right)\cdot 71^{16} + \left(20 a^{2} + 16 a + 47\right)\cdot 71^{17} + \left(43 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 71^{18} + \left(36 a^{2} + 19 a + 24\right)\cdot 71^{19} + \left(18 a^{2} + 8 a + 24\right)\cdot 71^{20} + \left(7 a^{2} + 24 a + 6\right)\cdot 71^{21} + \left(64 a^{2} + 44 a + 48\right)\cdot 71^{22} + \left(70 a^{2} + 53 a + 4\right)\cdot 71^{23} + \left(19 a^{2} + 10 a + 31\right)\cdot 71^{24} + \left(63 a^{2} + 37 a + 53\right)\cdot 71^{25} + \left(49 a^{2} + 56 a + 40\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 2 }$ $=$ $35 a^{2} + 41 a + 67 + \left(30 a^{2} + 56 a + 60\right)\cdot 71 + \left(62 a^{2} + 58 a + 15\right)\cdot 71^{2} + \left(52 a^{2} + 36 a + 59\right)\cdot 71^{3} + \left(7 a^{2} + 41 a + 55\right)\cdot 71^{4} + \left(a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 71^{5} + \left(48 a^{2} + 62 a + 18\right)\cdot 71^{6} + \left(13 a^{2} + a + 67\right)\cdot 71^{7} + \left(52 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 71^{8} + \left(3 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 71^{9} + \left(60 a^{2} + 61 a + 67\right)\cdot 71^{10} + \left(68 a^{2} + 5 a + 28\right)\cdot 71^{11} + \left(46 a^{2} + 61 a + 14\right)\cdot 71^{12} + \left(58 a^{2} + 52 a + 65\right)\cdot 71^{13} + \left(37 a^{2} + 66 a + 53\right)\cdot 71^{14} + \left(62 a + 52\right)\cdot 71^{15} + \left(41 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 71^{16} + \left(22 a^{2} + 38 a + 30\right)\cdot 71^{17} + \left(40 a^{2} + 19 a + 32\right)\cdot 71^{18} + \left(38 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 71^{19} + \left(4 a^{2} + 70 a + 34\right)\cdot 71^{20} + \left(35 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 71^{21} + \left(42 a^{2} + 42 a + 14\right)\cdot 71^{22} + \left(33 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 71^{23} + \left(60 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 71^{24} + \left(45 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 71^{25} + \left(21 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 3 }$ $=$ $40 + 41\cdot 71 + 42\cdot 71^{2} + 37\cdot 71^{3} + 16\cdot 71^{4} + 16\cdot 71^{5} + 32\cdot 71^{6} + 23\cdot 71^{7} + 17\cdot 71^{8} + 28\cdot 71^{9} + 7\cdot 71^{10} + 14\cdot 71^{11} + 39\cdot 71^{12} + 36\cdot 71^{13} + 12\cdot 71^{14} + 58\cdot 71^{15} + 21\cdot 71^{16} + 11\cdot 71^{17} + 24\cdot 71^{18} + 28\cdot 71^{19} + 70\cdot 71^{20} + 63\cdot 71^{21} + 53\cdot 71^{22} + 48\cdot 71^{23} + 23\cdot 71^{24} + 10\cdot 71^{25} + 31\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 4 }$ $=$ $13 a^{2} + 58 a + 14 + \left(15 a^{2} + 51 a + 2\right)\cdot 71 + \left(40 a^{2} + 35 a + 61\right)\cdot 71^{2} + \left(59 a^{2} + 69 a + 68\right)\cdot 71^{3} + \left(42 a^{2} + 47 a + 10\right)\cdot 71^{4} + \left(43 a^{2} + 68 a + 59\right)\cdot 71^{5} + \left(2 a^{2} + 37 a + 62\right)\cdot 71^{6} + \left(53 a^{2} + 68 a + 43\right)\cdot 71^{7} + \left(53 a^{2} + 7 a + 59\right)\cdot 71^{8} + \left(23 a^{2} + 21 a + 14\right)\cdot 71^{9} + \left(60 a^{2} + 60 a + 27\right)\cdot 71^{10} + \left(28 a^{2} + 5 a + 57\right)\cdot 71^{11} + \left(20 a^{2} + 22 a + 17\right)\cdot 71^{12} + \left(40 a^{2} + 68 a + 8\right)\cdot 71^{13} + \left(64 a^{2} + 44 a + 22\right)\cdot 71^{14} + \left(16 a^{2} + 18 a + 59\right)\cdot 71^{15} + \left(48 a^{2} + 34 a + 61\right)\cdot 71^{16} + \left(36 a^{2} + 49 a + 70\right)\cdot 71^{17} + \left(69 a^{2} + 6 a + 40\right)\cdot 71^{18} + \left(a^{2} + 56 a + 28\right)\cdot 71^{19} + \left(64 a^{2} + 32 a + 1\right)\cdot 71^{20} + \left(29 a^{2} + 23 a + 65\right)\cdot 71^{21} + \left(21 a^{2} + 43 a + 2\right)\cdot 71^{22} + \left(50 a^{2} + 42 a + 49\right)\cdot 71^{23} + \left(30 a^{2} + 24 a + 65\right)\cdot 71^{24} + \left(25 a^{2} + 60 a + 26\right)\cdot 71^{25} + \left(a^{2} + 21 a + 62\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 5 }$ $=$ $52 a^{2} + 20 a + 47 + \left(41 a^{2} + 64 a + 25\right)\cdot 71 + \left(63 a^{2} + 23 a + 52\right)\cdot 71^{2} + \left(13 a^{2} + 44 a + 41\right)\cdot 71^{3} + \left(68 a^{2} + 58 a + 7\right)\cdot 71^{4} + \left(32 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 71^{5} + \left(45 a^{2} + 63 a + 35\right)\cdot 71^{6} + \left(7 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 71^{7} + \left(47 a^{2} + 14 a + 18\right)\cdot 71^{8} + \left(29 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 71^{9} + \left(26 a^{2} + 41 a + 7\right)\cdot 71^{10} + \left(55 a^{2} + 41 a + 57\right)\cdot 71^{11} + \left(66 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 71^{12} + \left(39 a^{2} + 10 a + 54\right)\cdot 71^{13} + \left(68 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 71^{14} + \left(25 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 71^{15} + \left(43 a^{2} + 9 a + 25\right)\cdot 71^{16} + \left(53 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 71^{17} + \left(41 a^{2} + 22 a + 14\right)\cdot 71^{18} + \left(14 a^{2} + 56 a + 62\right)\cdot 71^{19} + \left(10 a^{2} + 21 a + 70\right)\cdot 71^{20} + \left(48 a^{2} + a + 18\right)\cdot 71^{21} + \left(24 a^{2} + 36 a + 35\right)\cdot 71^{22} + \left(41 a + 10\right)\cdot 71^{23} + \left(62 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 71^{24} + \left(49 a^{2} + 68 a + 21\right)\cdot 71^{25} + \left(21 a^{2} + 34 a + 69\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 6 }$ $=$ $33 + 63\cdot 71 + 50\cdot 71^{2} + 51\cdot 71^{3} + 45\cdot 71^{4} + 33\cdot 71^{5} + 58\cdot 71^{6} + 34\cdot 71^{7} + 71^{8} + 26\cdot 71^{9} + 33\cdot 71^{10} + 11\cdot 71^{11} + 48\cdot 71^{12} + 37\cdot 71^{13} + 10\cdot 71^{14} + 29\cdot 71^{15} + 18\cdot 71^{16} + 17\cdot 71^{17} + 66\cdot 71^{18} + 50\cdot 71^{19} + 15\cdot 71^{20} + 19\cdot 71^{21} + 51\cdot 71^{22} + 49\cdot 71^{23} + 20\cdot 71^{24} + 32\cdot 71^{25} + 69\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 7 }$ $=$ $54 a^{2} + 7 a + 23 + \left(51 a^{2} + 3 a + 70\right)\cdot 71 + \left(a^{2} + 29 a + 66\right)\cdot 71^{2} + \left(53 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 71^{3} + \left(30 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 71^{4} + \left(51 a^{2} + 53 a + 59\right)\cdot 71^{5} + \left(7 a^{2} + 39 a + 52\right)\cdot 71^{6} + \left(23 a^{2} + 67 a + 68\right)\cdot 71^{7} + \left(35 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 71^{8} + \left(33 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 71^{9} + \left(37 a^{2} + 53 a + 54\right)\cdot 71^{10} + \left(66 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 71^{11} + \left(46 a^{2} + 57 a + 14\right)\cdot 71^{12} + \left(33 a^{2} + 30 a + 22\right)\cdot 71^{13} + \left(51 a^{2} + 10 a + 19\right)\cdot 71^{14} + \left(21 a^{2} + 28 a + 38\right)\cdot 71^{15} + \left(23 a^{2} + 7 a + 44\right)\cdot 71^{16} + \left(28 a^{2} + 16 a + 45\right)\cdot 71^{17} + \left(58 a^{2} + 35 a + 9\right)\cdot 71^{18} + \left(66 a^{2} + 46 a + 10\right)\cdot 71^{19} + \left(47 a^{2} + 63 a + 8\right)\cdot 71^{20} + \left(28 a^{2} + 36 a + 16\right)\cdot 71^{21} + \left(35 a^{2} + 55 a + 66\right)\cdot 71^{22} + \left(37 a^{2} + 32 a + 33\right)\cdot 71^{23} + \left(61 a^{2} + 28 a + 23\right)\cdot 71^{24} + \left(32 a^{2} + 15 a + 43\right)\cdot 71^{25} + \left(70 a^{2} + 7 a + 24\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$ $r_{ 8 }$ $=$ $6 a^{2} + 64 a + 19 + \left(14 a^{2} + 25 a + 70\right)\cdot 71 + \left(38 a^{2} + 11 a + 31\right)\cdot 71^{2} + \left(68 a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 71^{3} + \left(30 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 71^{4} + \left(65 a^{2} + 54 a + 46\right)\cdot 71^{5} + \left(22 a^{2} + 40 a + 69\right)\cdot 71^{6} + \left(10 a^{2} + 62 a\right)\cdot 71^{7} + \left(41 a^{2} + 48 a + 26\right)\cdot 71^{8} + \left(17 a^{2} + 10 a + 69\right)\cdot 71^{9} + \left(55 a^{2} + 40 a + 60\right)\cdot 71^{10} + \left(57 a^{2} + 23 a + 39\right)\cdot 71^{11} + \left(54 a^{2} + 40 a + 38\right)\cdot 71^{12} + \left(61 a^{2} + 63 a + 65\right)\cdot 71^{13} + \left(8 a^{2} + 7 a + 62\right)\cdot 71^{14} + \left(28 a^{2} + 48 a + 41\right)\cdot 71^{15} + \left(50 a^{2} + 27 a + 67\right)\cdot 71^{16} + \left(51 a^{2} + 42 a + 39\right)\cdot 71^{17} + \left(30 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 71^{18} + \left(54 a^{2} + 29 a + 50\right)\cdot 71^{19} + \left(67 a^{2} + 16 a + 58\right)\cdot 71^{20} + \left(63 a^{2} + 46 a + 13\right)\cdot 71^{21} + \left(24 a^{2} + 62 a + 12\right)\cdot 71^{22} + \left(20 a^{2} + 57 a + 40\right)\cdot 71^{23} + \left(49 a^{2} + 31 a + 20\right)\cdot 71^{24} + \left(66 a^{2} + 13 a + 42\right)\cdot 71^{25} + \left(47 a^{2} + 14 a + 44\right)\cdot 71^{26} +O\left(71^{ 27 }\right)$

### Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

 Cycle notation $(1,7,3)(5,8,6)$ $(1,7)(2,3)$ $(4,5)(6,8)$ $(1,2)(3,7)$ $(3,7)(6,8)$ $(1,7)(2,3)(4,8)(5,6)$ $(1,6,7,5,3,8)(2,4)$

### Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $6$ $3$ $2$ $(1,2)(3,7)(4,5)(6,8)$ $-2$ $4$ $2$ $(1,5)(2,4)(3,6)(7,8)$ $0$ $6$ $2$ $(1,7)(2,3)(4,8)(5,6)$ $-2$ $6$ $2$ $(4,5)(6,8)$ $2$ $12$ $2$ $(2,3)(4,6)$ $-2$ $12$ $2$ $(1,6)(2,4)(3,5)(7,8)$ $0$ $32$ $3$ $(1,7,3)(5,8,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,3,2,7)(4,6,5,8)$ $2$ $12$ $4$ $(1,4,2,5)(3,8,7,6)$ $0$ $12$ $4$ $(1,4,7,6)(2,8,3,5)$ $0$ $24$ $4$ $(3,7)(4,6,5,8)$ $0$ $24$ $4$ $(1,5,2,8)(3,6,7,4)$ $0$ $32$ $6$ $(1,6,7,5,3,8)(2,4)$ $0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.