LMFDB - Artin representation 6.1848020848.24t576.a.a

Basic invariants

Dimension:	$6$
Group:	24T576
Conductor:	$1848020848$$\medspace = 2^{4} \cdot 487^{3} $
Artin stem field:	Galois closure of 24.4.49177850545349555386638457176064.2
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	24T576
Parity:	odd
Determinant:	1.487.2t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.948676.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 4 x^{23} + 7 x^{22} - 10 x^{21} + 23 x^{20} - 32 x^{19} - 21 x^{18} + 156 x^{17} - 359 x^{16} + \cdots - 197 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 53 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 53 }$: $ x^{10} + x^{6} + x^{4} + 27x^{3} + 15x^{2} + 29x + 2 $ x^10 + x^6 + x^4 + 27*x^3 + 15*x^2 + 29*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 39 a^{9} + 38 a^{8} + 43 a^{7} + 4 a^{6} + 51 a^{5} + 43 a^{4} + 30 a^{3} + 49 a^{2} + 31 a + 18 + \left(12 a^{9} + 45 a^{8} + 15 a^{7} + 46 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 8 a + 40\right)\cdot 53 + \left(14 a^{9} + 48 a^{8} + 49 a^{7} + 12 a^{6} + 28 a^{5} + 48 a^{4} + 32 a^{3} + 43 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 53^{2} + \left(9 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 26 a^{5} + 15 a^{4} + 21 a^{3} + 13 a^{2} + 33 a + 13\right)\cdot 53^{3} + \left(37 a^{9} + 40 a^{8} + 26 a^{7} + 10 a^{6} + 15 a^{5} + 8 a^{4} + 21 a^{3} + 45 a^{2} + 29 a + 11\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 46 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 9 a^{3} + 17 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{9} + 45 a^{8} + 36 a^{7} + 18 a^{6} + 7 a^{5} + 31 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 44\right)\cdot 53^{6} + \left(26 a^{9} + 51 a^{8} + 12 a^{7} + 49 a^{6} + 12 a^{5} + 41 a^{4} + 19 a^{3} + 34 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 53^{7} + \left(42 a^{9} + 38 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 46 a^{4} + 28 a^{3} + 39 a^{2} + 51 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(26 a^{9} + 6 a^{8} + 52 a^{7} + 7 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 48 a^{2} + 52 a + 51\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 39a^9 + 38a^8 + 43a^7 + 4a^6 + 51a^5 + 43a^4 + 30a^3 + 49a^2 + 31a + 18 + (12a^9 + 45a^8 + 15a^7 + 46a^6 + 16a^5 + 25a^4 + 37a^3 + 37a^2 + 8a + 40)53 + (14a^9 + 48a^8 + 49a^7 + 12a^6 + 28a^5 + 48a^4 + 32a^3 + 43a^2 + 19a + 38)53^2 + (9a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 26a^5 + 15a^4 + 21a^3 + 13a^2 + 33a + 13)53^3 + (37a^9 + 40a^8 + 26a^7 + 10a^6 + 15a^5 + 8a^4 + 21a^3 + 45a^2 + 29a + 11)53^4 + (31a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 46a^6 + 9a^5 + a^4 + 9a^3 + 17a^2 + 17a + 20)53^5 + (30a^9 + 45a^8 + 36a^7 + 18a^6 + 7a^5 + 31a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 44)53^6 + (26a^9 + 51a^8 + 12a^7 + 49a^6 + 12a^5 + 41a^4 + 19a^3 + 34a^2 + 15a + 10)53^7 + (42a^9 + 38a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 46a^4 + 28a^3 + 39a^2 + 51a + 31)53^8 + (26a^9 + 6a^8 + 52a^7 + 7a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 48a^2 + 52a + 51)*53^9+O(53^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 14 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 49 a^{6} + 2 a^{5} + 10 a^{4} + 23 a^{3} + 4 a^{2} + 22 a + 47 + \left(40 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 6 a^{6} + 36 a^{5} + 27 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 44 a + 36\right)\cdot 53 + \left(38 a^{9} + 4 a^{8} + 3 a^{7} + 40 a^{6} + 24 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 9 a^{2} + 33 a + 17\right)\cdot 53^{2} + \left(43 a^{9} + 25 a^{8} + 47 a^{7} + 50 a^{6} + 26 a^{5} + 37 a^{4} + 31 a^{3} + 39 a^{2} + 19 a + 52\right)\cdot 53^{3} + \left(15 a^{9} + 12 a^{8} + 26 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{5} + 44 a^{4} + 31 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 53^{4} + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 50 a^{7} + 6 a^{6} + 43 a^{5} + 51 a^{4} + 43 a^{3} + 35 a^{2} + 35 a + 19\right)\cdot 53^{5} + \left(22 a^{9} + 7 a^{8} + 16 a^{7} + 34 a^{6} + 45 a^{5} + 21 a^{4} + 22 a^{3} + 38 a^{2} + 52 a + 51\right)\cdot 53^{6} + \left(26 a^{9} + a^{8} + 40 a^{7} + 3 a^{6} + 40 a^{5} + 11 a^{4} + 33 a^{3} + 18 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 53^{7} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 39 a^{7} + 34 a^{6} + 49 a^{5} + 6 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + a + 15\right)\cdot 53^{8} + \left(26 a^{9} + 46 a^{8} + 45 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 4 a^{2} + 48\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 14a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 49a^6 + 2a^5 + 10a^4 + 23a^3 + 4a^2 + 22a + 47 + (40a^9 + 7a^8 + 37a^7 + 6a^6 + 36a^5 + 27a^4 + 15a^3 + 15a^2 + 44a + 36)53 + (38a^9 + 4a^8 + 3a^7 + 40a^6 + 24a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 9a^2 + 33a + 17)53^2 + (43a^9 + 25a^8 + 47a^7 + 50a^6 + 26a^5 + 37a^4 + 31a^3 + 39a^2 + 19a + 52)53^3 + (15a^9 + 12a^8 + 26a^7 + 42a^6 + 37a^5 + 44a^4 + 31a^3 + 7a^2 + 23a + 14)53^4 + (21a^9 + 25a^8 + 50a^7 + 6a^6 + 43a^5 + 51a^4 + 43a^3 + 35a^2 + 35a + 19)53^5 + (22a^9 + 7a^8 + 16a^7 + 34a^6 + 45a^5 + 21a^4 + 22a^3 + 38a^2 + 52a + 51)53^6 + (26a^9 + a^8 + 40a^7 + 3a^6 + 40a^5 + 11a^4 + 33a^3 + 18a^2 + 37a + 17)53^7 + (10a^9 + 14a^8 + 39a^7 + 34a^6 + 49a^5 + 6a^4 + 24a^3 + 13a^2 + a + 15)53^8 + (26a^9 + 46a^8 + 45a^6 + 35a^5 + 34a^4 + 24a^3 + 4a^2 + 48)*53^9+O(53^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 41 a^{9} + 25 a^{8} + 52 a^{7} + 11 a^{6} + 21 a^{5} + 52 a^{4} + 3 a^{3} + 42 a^{2} + 19 a + 29 + \left(23 a^{9} + 46 a^{8} + 25 a^{7} + a^{6} + 3 a^{5} + 26 a^{4} + 10 a^{3} + 17 a^{2} + 51 a + 23\right)\cdot 53 + \left(33 a^{9} + 51 a^{8} + 50 a^{7} + 18 a^{6} + 24 a^{5} + 52 a^{4} + 30 a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 19\right)\cdot 53^{2} + \left(45 a^{9} + 32 a^{8} + 17 a^{7} + 8 a^{6} + 40 a^{5} + 10 a^{4} + 10 a^{3} + 51 a^{2} + 45 a + 43\right)\cdot 53^{3} + \left(51 a^{9} + 14 a^{8} + 42 a^{7} + 30 a^{6} + 14 a^{5} + 6 a^{4} + 35 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{4} + \left(35 a^{9} + 23 a^{8} + 44 a^{7} + 28 a^{6} + 17 a^{5} + 18 a^{4} + 28 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 53^{5} + \left(22 a^{9} + 47 a^{8} + 45 a^{7} + 17 a^{6} + 50 a^{5} + 3 a^{3} + 40 a^{2} + a + 41\right)\cdot 53^{6} + \left(20 a^{8} + 5 a^{7} + 45 a^{6} + 34 a^{5} + 10 a^{4} + 24 a^{3} + 31 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 53^{7} + \left(17 a^{9} + 17 a^{8} + 8 a^{7} + 19 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 32 a^{3} + 3 a^{2} + 31 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(36 a^{9} + 46 a^{8} + 39 a^{7} + 4 a^{6} + 17 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 35 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 41a^9 + 25a^8 + 52a^7 + 11a^6 + 21a^5 + 52a^4 + 3a^3 + 42a^2 + 19a + 29 + (23a^9 + 46a^8 + 25a^7 + a^6 + 3a^5 + 26a^4 + 10a^3 + 17a^2 + 51a + 23)53 + (33a^9 + 51a^8 + 50a^7 + 18a^6 + 24a^5 + 52a^4 + 30a^3 + 6a^2 + 36a + 19)53^2 + (45a^9 + 32a^8 + 17a^7 + 8a^6 + 40a^5 + 10a^4 + 10a^3 + 51a^2 + 45a + 43)53^3 + (51a^9 + 14a^8 + 42a^7 + 30a^6 + 14a^5 + 6a^4 + 35a^3 + 33a^2 + 20a + 29)53^4 + (35a^9 + 23a^8 + 44a^7 + 28a^6 + 17a^5 + 18a^4 + 28a^3 + 14a^2 + 8a + 19)53^5 + (22a^9 + 47a^8 + 45a^7 + 17a^6 + 50a^5 + 3a^3 + 40a^2 + a + 41)53^6 + (20a^8 + 5a^7 + 45a^6 + 34a^5 + 10a^4 + 24a^3 + 31a^2 + 3a + 19)53^7 + (17a^9 + 17a^8 + 8a^7 + 19a^6 + 7a^5 + 21a^4 + 32a^3 + 3a^2 + 31a + 18)53^8 + (36a^9 + 46a^8 + 39a^7 + 4a^6 + 17a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 35a^2 + 40a + 15)*53^9+O(53^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 12 a^{9} + 28 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 32 a^{5} + a^{4} + 50 a^{3} + 11 a^{2} + 34 a + 16 + \left(29 a^{9} + 6 a^{8} + 27 a^{7} + 51 a^{6} + 49 a^{5} + 26 a^{4} + 42 a^{3} + 35 a^{2} + a + 38\right)\cdot 53 + \left(19 a^{9} + a^{8} + 2 a^{7} + 34 a^{6} + 28 a^{5} + 22 a^{3} + 46 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 53^{2} + \left(7 a^{9} + 20 a^{8} + 35 a^{7} + 44 a^{6} + 12 a^{5} + 42 a^{4} + 42 a^{3} + a^{2} + 7 a + 25\right)\cdot 53^{3} + \left(a^{9} + 38 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 38 a^{5} + 46 a^{4} + 17 a^{3} + 19 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(17 a^{9} + 29 a^{8} + 8 a^{7} + 24 a^{6} + 35 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 38 a^{2} + 44 a + 46\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{9} + 5 a^{8} + 7 a^{7} + 35 a^{6} + 2 a^{5} + 52 a^{4} + 49 a^{3} + 12 a^{2} + 51 a + 51\right)\cdot 53^{6} + \left(52 a^{9} + 32 a^{8} + 47 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 42 a^{4} + 28 a^{3} + 21 a^{2} + 49 a + 12\right)\cdot 53^{7} + \left(35 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 33 a^{6} + 45 a^{5} + 31 a^{4} + 20 a^{3} + 49 a^{2} + 21 a + 33\right)\cdot 53^{8} + \left(16 a^{9} + 6 a^{8} + 13 a^{7} + 48 a^{6} + 35 a^{5} + 44 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 12a^9 + 28a^8 + a^7 + 42a^6 + 32a^5 + a^4 + 50a^3 + 11a^2 + 34a + 16 + (29a^9 + 6a^8 + 27a^7 + 51a^6 + 49a^5 + 26a^4 + 42a^3 + 35a^2 + a + 38)53 + (19a^9 + a^8 + 2a^7 + 34a^6 + 28a^5 + 22a^3 + 46a^2 + 16a + 26)53^2 + (7a^9 + 20a^8 + 35a^7 + 44a^6 + 12a^5 + 42a^4 + 42a^3 + a^2 + 7a + 25)53^3 + (a^9 + 38a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 38a^5 + 46a^4 + 17a^3 + 19a^2 + 32a + 16)53^4 + (17a^9 + 29a^8 + 8a^7 + 24a^6 + 35a^5 + 34a^4 + 24a^3 + 38a^2 + 44a + 46)53^5 + (30a^9 + 5a^8 + 7a^7 + 35a^6 + 2a^5 + 52a^4 + 49a^3 + 12a^2 + 51a + 51)53^6 + (52a^9 + 32a^8 + 47a^7 + 7a^6 + 18a^5 + 42a^4 + 28a^3 + 21a^2 + 49a + 12)53^7 + (35a^9 + 35a^8 + 44a^7 + 33a^6 + 45a^5 + 31a^4 + 20a^3 + 49a^2 + 21a + 33)53^8 + (16a^9 + 6a^8 + 13a^7 + 48a^6 + 35a^5 + 44a^4 + 30a^3 + 17a^2 + 12a + 4)53^9+O(53^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 5 a^{9} + 44 a^{8} + 32 a^{7} + 23 a^{6} + 11 a^{5} + 49 a^{4} + 47 a^{3} + 44 a^{2} + 25 a + 51 + \left(20 a^{9} + 31 a^{8} + 5 a^{7} + 32 a^{6} + 45 a^{5} + 35 a^{4} + 52 a^{3} + 21 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 53 + \left(26 a^{9} + 15 a^{8} + 49 a^{7} + 36 a^{6} + 22 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 52 a^{2} + 16 a + 36\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{9} + 4 a^{8} + 7 a^{7} + 10 a^{6} + 50 a^{5} + 36 a^{4} + a^{3} + 32 a^{2} + 28 a + 36\right)\cdot 53^{3} + \left(11 a^{9} + 15 a^{8} + 21 a^{7} + 46 a^{6} + 19 a^{5} + 14 a^{4} + a^{3} + 36 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 53^{4} + \left(23 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 41 a^{6} + 5 a^{5} + 41 a^{4} + 43 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 48\right)\cdot 53^{5} + \left(49 a^{9} + 3 a^{8} + 46 a^{7} + 25 a^{6} + 21 a^{5} + 2 a^{4} + 36 a^{3} + 40 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 53^{6} + \left(21 a^{9} + 10 a^{8} + 5 a^{7} + 9 a^{6} + a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 36 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{9} + 7 a^{8} + 45 a^{7} + 42 a^{6} + 43 a^{5} + 52 a^{4} + 25 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 41\right)\cdot 53^{8} + \left(36 a^{9} + 9 a^{8} + 45 a^{7} + 20 a^{6} + 11 a^{5} + 34 a^{4} + 38 a^{3} + 31 a^{2} + 27 a + 47\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 5a^9 + 44a^8 + 32a^7 + 23a^6 + 11a^5 + 49a^4 + 47a^3 + 44a^2 + 25a + 51 + (20a^9 + 31a^8 + 5a^7 + 32a^6 + 45a^5 + 35a^4 + 52a^3 + 21a^2 + 4a + 9)53 + (26a^9 + 15a^8 + 49a^7 + 36a^6 + 22a^5 + 32a^4 + 3a^3 + 52a^2 + 16a + 36)53^2 + (48a^9 + 4a^8 + 7a^7 + 10a^6 + 50a^5 + 36a^4 + a^3 + 32a^2 + 28a + 36)53^3 + (11a^9 + 15a^8 + 21a^7 + 46a^6 + 19a^5 + 14a^4 + a^3 + 36a^2 + 33a + 39)53^4 + (23a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 41a^6 + 5a^5 + 41a^4 + 43a^3 + 4a^2 + 16a + 48)53^5 + (49a^9 + 3a^8 + 46a^7 + 25a^6 + 21a^5 + 2a^4 + 36a^3 + 40a^2 + 4a + 11)53^6 + (21a^9 + 10a^8 + 5a^7 + 9a^6 + a^5 + 2a^4 + 30a^3 + 36a^2 + 8a + 15)53^7 + (48a^9 + 7a^8 + 45a^7 + 42a^6 + 43a^5 + 52a^4 + 25a^3 + 12a^2 + 10a + 41)53^8 + (36a^9 + 9a^8 + 45a^7 + 20a^6 + 11a^5 + 34a^4 + 38a^3 + 31a^2 + 27a + 47)53^9+O(53^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 12 a^{9} + 18 a^{8} + 36 a^{7} + 45 a^{6} + 4 a^{5} + 45 a^{4} + 16 a^{3} + 50 a^{2} + 31 a + 14 + \left(25 a^{9} + 23 a^{8} + 39 a^{7} + 16 a^{6} + 49 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 26\right)\cdot 53 + \left(18 a^{9} + 52 a^{8} + 35 a^{7} + 6 a^{6} + 9 a^{5} + 46 a^{4} + 2 a^{3} + 29 a^{2} + 4 a + 34\right)\cdot 53^{2} + \left(51 a^{9} + 40 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 39 a + 21\right)\cdot 53^{3} + \left(31 a^{8} + 42 a^{7} + 49 a^{6} + 43 a^{5} + 41 a^{4} + 42 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 32\right)\cdot 53^{4} + \left(5 a^{9} + 37 a^{8} + a^{7} + 37 a^{6} + 46 a^{5} + 40 a^{4} + 34 a^{3} + 4 a^{2} + 38\right)\cdot 53^{5} + \left(48 a^{9} + 41 a^{8} + 12 a^{7} + 47 a^{6} + 38 a^{5} + 49 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 43 a + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(44 a^{9} + 6 a^{8} + 4 a^{7} + 18 a^{6} + 40 a^{5} + 14 a^{4} + 52 a^{3} + 42 a + 47\right)\cdot 53^{7} + \left(42 a^{9} + 47 a^{8} + 8 a^{7} + 45 a^{6} + 32 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 2 a^{2} + 36 a + 44\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{9} + 22 a^{8} + 51 a^{7} + 29 a^{6} + 35 a^{5} + 45 a^{4} + 35 a^{3} + 37 a^{2} + 37 a + 42\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 12a^9 + 18a^8 + 36a^7 + 45a^6 + 4a^5 + 45a^4 + 16a^3 + 50a^2 + 31a + 14 + (25a^9 + 23a^8 + 39a^7 + 16a^6 + 49a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 2a^2 + 9a + 26)53 + (18a^9 + 52a^8 + 35a^7 + 6a^6 + 9a^5 + 46a^4 + 2a^3 + 29a^2 + 4a + 34)53^2 + (51a^9 + 40a^8 + 18a^7 + 34a^6 + 2a^5 + 7a^4 + 9a^3 + 3a^2 + 39a + 21)53^3 + (31a^8 + 42a^7 + 49a^6 + 43a^5 + 41a^4 + 42a^3 + 11a^2 + 11a + 32)53^4 + (5a^9 + 37a^8 + a^7 + 37a^6 + 46a^5 + 40a^4 + 34a^3 + 4a^2 + 38)53^5 + (48a^9 + 41a^8 + 12a^7 + 47a^6 + 38a^5 + 49a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 43a + 34)53^6 + (44a^9 + 6a^8 + 4a^7 + 18a^6 + 40a^5 + 14a^4 + 52a^3 + 42a + 47)53^7 + (42a^9 + 47a^8 + 8a^7 + 45a^6 + 32a^5 + 17a^4 + 21a^3 + 2a^2 + 36a + 44)53^8 + (39a^9 + 22a^8 + 51a^7 + 29a^6 + 35a^5 + 45a^4 + 35a^3 + 37a^2 + 37a + 42)*53^9+O(53^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 44 a^{9} + 49 a^{8} + a^{7} + 42 a^{6} + 18 a^{5} + 34 a^{4} + 24 a^{3} + 14 a^{2} + 47 a + 24 + \left(41 a^{9} + 14 a^{8} + 28 a^{7} + 51 a^{6} + 21 a^{5} + 36 a^{4} + 13 a^{3} + 22 a^{2} + 43 a + 35\right)\cdot 53 + \left(15 a^{9} + 5 a^{8} + 22 a^{7} + 24 a^{6} + 50 a^{5} + 2 a^{4} + 16 a^{3} + 32 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 53^{2} + \left(45 a^{9} + 11 a^{8} + 36 a^{7} + 45 a^{6} + 10 a^{5} + 46 a^{4} + 18 a^{3} + 2 a^{2} + 35 a + 47\right)\cdot 53^{3} + \left(35 a^{9} + 48 a^{8} + 31 a^{7} + 25 a^{6} + 4 a^{5} + 19 a^{4} + 30 a^{3} + 8 a^{2} + 18 a + 42\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{9} + 15 a^{8} + 28 a^{7} + 8 a^{6} + 2 a^{5} + 37 a^{4} + 33 a^{3} + 8 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{9} + 35 a^{8} + 45 a^{7} + 6 a^{6} + 42 a^{5} + 50 a^{4} + 12 a^{3} + 15 a^{2} + 50 a + 30\right)\cdot 53^{6} + \left(9 a^{9} + 24 a^{8} + 46 a^{7} + 11 a^{6} + 8 a^{4} + 47 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 40\right)\cdot 53^{7} + \left(10 a^{9} + 3 a^{8} + 44 a^{7} + 6 a^{6} + 24 a^{5} + 45 a^{3} + 34 a^{2} + 34 a + 18\right)\cdot 53^{8} + \left(6 a^{9} + 42 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 45 a^{5} + 48 a^{4} + 14 a^{3} + 45 a^{2} + 3 a + 45\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 44a^9 + 49a^8 + a^7 + 42a^6 + 18a^5 + 34a^4 + 24a^3 + 14a^2 + 47a + 24 + (41a^9 + 14a^8 + 28a^7 + 51a^6 + 21a^5 + 36a^4 + 13a^3 + 22a^2 + 43a + 35)53 + (15a^9 + 5a^8 + 22a^7 + 24a^6 + 50a^5 + 2a^4 + 16a^3 + 32a^2 + 10a + 3)53^2 + (45a^9 + 11a^8 + 36a^7 + 45a^6 + 10a^5 + 46a^4 + 18a^3 + 2a^2 + 35a + 47)53^3 + (35a^9 + 48a^8 + 31a^7 + 25a^6 + 4a^5 + 19a^4 + 30a^3 + 8a^2 + 18a + 42)53^4 + (4a^9 + 15a^8 + 28a^7 + 8a^6 + 2a^5 + 37a^4 + 33a^3 + 8a^2 + 25a + 37)53^5 + (12a^9 + 35a^8 + 45a^7 + 6a^6 + 42a^5 + 50a^4 + 12a^3 + 15a^2 + 50a + 30)53^6 + (9a^9 + 24a^8 + 46a^7 + 11a^6 + 8a^4 + 47a^3 + 31a^2 + 36a + 40)53^7 + (10a^9 + 3a^8 + 44a^7 + 6a^6 + 24a^5 + 45a^3 + 34a^2 + 34a + 18)53^8 + (6a^9 + 42a^8 + 41a^7 + 10a^6 + 45a^5 + 48a^4 + 14a^3 + 45a^2 + 3a + 45)53^9+O(53^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 35 a^{9} + 30 a^{8} + 41 a^{7} + 22 a^{5} + 25 a^{4} + 47 a^{3} + 22 a^{2} + 15 a + 18 + \left(13 a^{9} + 35 a^{8} + 11 a^{7} + 5 a^{6} + 34 a^{5} + 33 a^{4} + 16 a^{3} + 39 a^{2} + 31 a + 16\right)\cdot 53 + \left(19 a^{9} + 13 a^{8} + 26 a^{7} + 26 a^{6} + 13 a^{5} + 51 a^{4} + 26 a^{3} + 40 a^{2} + 14 a + 43\right)\cdot 53^{2} + \left(7 a^{9} + 27 a^{8} + 30 a^{7} + 32 a^{6} + 44 a^{5} + 14 a^{2} + 3 a + 25\right)\cdot 53^{3} + \left(19 a^{9} + 13 a^{8} + 14 a^{7} + 17 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 14 a^{3} + 37 a^{2} + 44 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(47 a^{9} + 31 a^{8} + 46 a^{7} + 19 a^{6} + 41 a^{5} + 7 a^{4} + 16 a^{3} + 30 a^{2} + 30 a + 9\right)\cdot 53^{5} + \left(5 a^{9} + 2 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 7 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 11 a^{2} + 37 a + 40\right)\cdot 53^{6} + \left(4 a^{9} + 26 a^{8} + 17 a^{7} + 33 a^{6} + 17 a^{5} + 32 a^{4} + 17 a^{3} + 10 a^{2} + 41 a + 44\right)\cdot 53^{7} + \left(50 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 51 a^{5} + 29 a^{4} + 6 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 14\right)\cdot 53^{8} + \left(48 a^{9} + 37 a^{8} + 21 a^{7} + 35 a^{6} + 40 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 25 a + 26\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 35a^9 + 30a^8 + 41a^7 + 22a^5 + 25a^4 + 47a^3 + 22a^2 + 15a + 18 + (13a^9 + 35a^8 + 11a^7 + 5a^6 + 34a^5 + 33a^4 + 16a^3 + 39a^2 + 31a + 16)53 + (19a^9 + 13a^8 + 26a^7 + 26a^6 + 13a^5 + 51a^4 + 26a^3 + 40a^2 + 14a + 43)53^2 + (7a^9 + 27a^8 + 30a^7 + 32a^6 + 44a^5 + 14a^2 + 3a + 25)53^3 + (19a^9 + 13a^8 + 14a^7 + 17a^6 + 25a^5 + 9a^4 + 14a^3 + 37a^2 + 44a + 50)53^4 + (47a^9 + 31a^8 + 46a^7 + 19a^6 + 41a^5 + 7a^4 + 16a^3 + 30a^2 + 30a + 9)53^5 + (5a^9 + 2a^8 + 24a^7 + 31a^6 + 7a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 11a^2 + 37a + 40)53^6 + (4a^9 + 26a^8 + 17a^7 + 33a^6 + 17a^5 + 32a^4 + 17a^3 + 10a^2 + 41a + 44)53^7 + (50a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 23a^6 + 51a^5 + 29a^4 + 6a^3 + 27a^2 + 35a + 14)53^8 + (48a^9 + 37a^8 + 21a^7 + 35a^6 + 40a^4 + 14a^3 + 25a^2 + 25a + 26)*53^9+O(53^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 45 a^{9} + 28 a^{8} + 5 a^{7} + 43 a^{6} + 17 a^{5} + 49 a^{4} + 31 a^{3} + a^{2} + 43 a + 3 + \left(16 a^{9} + 40 a^{8} + 33 a^{7} + 8 a^{6} + 35 a^{5} + 13 a^{4} + 37 a^{3} + 29 a^{2} + 35 a + 51\right)\cdot 53 + \left(46 a^{9} + 33 a^{8} + 8 a^{7} + 3 a^{6} + 5 a^{5} + 32 a^{4} + 17 a^{3} + 46 a^{2} + 11 a + 34\right)\cdot 53^{2} + \left(32 a^{9} + 51 a^{8} + 37 a^{7} + 7 a^{6} + 10 a^{5} + 19 a^{4} + 52 a^{3} + 34 a^{2} + 12 a + 32\right)\cdot 53^{3} + \left(5 a^{9} + 39 a^{8} + 48 a^{7} + 19 a^{6} + 25 a^{5} + 21 a^{4} + 19 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 40\right)\cdot 53^{4} + \left(35 a^{9} + 47 a^{8} + 35 a^{7} + 33 a^{6} + 37 a^{5} + 36 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 39\right)\cdot 53^{5} + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 47 a^{7} + 11 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 14 a^{3} + 47 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 53^{6} + \left(30 a^{9} + 41 a^{8} + 21 a^{7} + 13 a^{6} + 15 a^{5} + 13 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 53^{7} + \left(41 a^{9} + 29 a^{8} + 47 a^{7} + 8 a^{6} + 29 a^{5} + 43 a^{4} + 27 a^{3} + 39 a^{2} + 27 a + 49\right)\cdot 53^{8} + \left(24 a^{9} + 29 a^{8} + 38 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 50 a^{3} + 14 a^{2} + 35 a + 38\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 45a^9 + 28a^8 + 5a^7 + 43a^6 + 17a^5 + 49a^4 + 31a^3 + a^2 + 43a + 3 + (16a^9 + 40a^8 + 33a^7 + 8a^6 + 35a^5 + 13a^4 + 37a^3 + 29a^2 + 35a + 51)53 + (46a^9 + 33a^8 + 8a^7 + 3a^6 + 5a^5 + 32a^4 + 17a^3 + 46a^2 + 11a + 34)53^2 + (32a^9 + 51a^8 + 37a^7 + 7a^6 + 10a^5 + 19a^4 + 52a^3 + 34a^2 + 12a + 32)53^3 + (5a^9 + 39a^8 + 48a^7 + 19a^6 + 25a^5 + 21a^4 + 19a^3 + 4a^2 + 26a + 40)53^4 + (35a^9 + 47a^8 + 35a^7 + 33a^6 + 37a^5 + 36a^4 + 37a^3 + 23a^2 + 25a + 39)53^5 + (24a^9 + 18a^8 + 47a^7 + 11a^6 + 10a^5 + 27a^4 + 14a^3 + 47a^2 + 2a + 13)53^6 + (30a^9 + 41a^8 + 21a^7 + 13a^6 + 15a^5 + 13a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 40a + 4)53^7 + (41a^9 + 29a^8 + 47a^7 + 8a^6 + 29a^5 + 43a^4 + 27a^3 + 39a^2 + 27a + 49)53^8 + (24a^9 + 29a^8 + 38a^7 + 8a^6 + a^5 + 42a^4 + 50a^3 + 14a^2 + 35a + 38)*53^9+O(53^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 48 a^{9} + 4 a^{8} + 27 a^{7} + 14 a^{6} + 39 a^{5} + 2 a^{4} + 35 a^{3} + 19 a^{2} + 40 a + 50 + \left(27 a^{9} + 37 a^{8} + 48 a^{7} + 26 a^{6} + a^{5} + 20 a^{4} + 51 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 53 + \left(34 a^{9} + 16 a^{8} + 42 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 16 a^{4} + 12 a^{3} + 31 a^{2} + a + 11\right)\cdot 53^{2} + \left(11 a^{9} + 5 a^{8} + 9 a^{7} + 33 a^{6} + 16 a^{5} + 51 a^{4} + 26 a^{3} + 5 a^{2} + 35 a + 32\right)\cdot 53^{3} + \left(7 a^{9} + 41 a^{8} + 26 a^{7} + 4 a^{6} + 10 a^{5} + 37 a^{4} + 52 a^{3} + 30 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 53^{4} + \left(a^{9} + 2 a^{8} + 4 a^{7} + 37 a^{5} + 40 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 53^{5} + \left(30 a^{9} + 19 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 11 a^{4} + 40 a^{3} + 6 a^{2} + 25 a + 18\right)\cdot 53^{6} + \left(6 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 7 a^{6} + 12 a^{5} + 39 a^{4} + 25 a^{3} + 41 a^{2} + a + 46\right)\cdot 53^{7} + \left(10 a^{9} + 38 a^{8} + 37 a^{7} + 13 a^{6} + 20 a^{5} + 12 a^{4} + 35 a^{3} + 50 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 53^{8} + \left(37 a^{9} + 41 a^{8} + 4 a^{7} + 47 a^{6} + 5 a^{5} + 50 a^{4} + 45 a^{3} + 43 a^{2} + 22 a + 37\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 48a^9 + 4a^8 + 27a^7 + 14a^6 + 39a^5 + 2a^4 + 35a^3 + 19a^2 + 40a + 50 + (27a^9 + 37a^8 + 48a^7 + 26a^6 + a^5 + 20a^4 + 51a^3 + 33a^2 + 25a + 4)53 + (34a^9 + 16a^8 + 42a^7 + 10a^6 + 19a^5 + 16a^4 + 12a^3 + 31a^2 + a + 11)53^2 + (11a^9 + 5a^8 + 9a^7 + 33a^6 + 16a^5 + 51a^4 + 26a^3 + 5a^2 + 35a + 32)53^3 + (7a^9 + 41a^8 + 26a^7 + 4a^6 + 10a^5 + 37a^4 + 52a^3 + 30a^2 + 42a + 17)53^4 + (a^9 + 2a^8 + 4a^7 + 37a^5 + 40a^4 + 20a^3 + 37a^2 + 12a + 17)53^5 + (30a^9 + 19a^8 + 8a^7 + 34a^6 + 7a^5 + 11a^4 + 40a^3 + 6a^2 + 25a + 18)53^6 + (6a^9 + 5a^8 + 10a^7 + 7a^6 + 12a^5 + 39a^4 + 25a^3 + 41a^2 + a + 46)53^7 + (10a^9 + 38a^8 + 37a^7 + 13a^6 + 20a^5 + 12a^4 + 35a^3 + 50a^2 + 25a + 33)53^8 + (37a^9 + 41a^8 + 4a^7 + 47a^6 + 5a^5 + 50a^4 + 45a^3 + 43a^2 + 22a + 37)53^9+O(53^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( 46 a^{9} + 5 a^{8} + a^{7} + 19 a^{6} + 12 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 51 a^{2} + a + 4 + \left(7 a^{9} + 18 a^{8} + 47 a^{7} + 25 a^{6} + 43 a^{5} + 13 a^{4} + 49 a^{3} + 17 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 53 + \left(36 a^{9} + a^{8} + 7 a^{7} + 39 a^{6} + 13 a^{5} + 10 a^{4} + 16 a^{2} + 12 a + 44\right)\cdot 53^{2} + \left(16 a^{9} + 28 a^{8} + 2 a^{7} + 21 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 36 a^{3} + 51 a^{2} + 14 a + 45\right)\cdot 53^{3} + \left(45 a^{9} + 43 a^{8} + 17 a^{7} + 6 a^{6} + 3 a^{5} + 23 a^{4} + 23 a^{3} + 7 a^{2} + 32 a + 19\right)\cdot 53^{4} + \left(49 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 25 a^{6} + 14 a^{5} + 52 a^{4} + 12 a^{3} + 23 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 53^{5} + \left(43 a^{9} + 20 a^{8} + 47 a^{7} + 19 a^{6} + 9 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 22 a^{2} + 38 a + 3\right)\cdot 53^{6} + \left(38 a^{9} + 36 a^{7} + 25 a^{6} + 3 a^{5} + 51 a^{4} + 48 a^{3} + a^{2} + 27 a + 21\right)\cdot 53^{7} + \left(42 a^{9} + 38 a^{8} + 25 a^{7} + 26 a^{6} + 25 a^{5} + 9 a^{4} + 24 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a\right)\cdot 53^{8} + \left(51 a^{9} + 41 a^{8} + 35 a^{7} + 19 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 15 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a + 50\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 46a^9 + 5a^8 + a^7 + 19a^6 + 12a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 51a^2 + a + 4 + (7a^9 + 18a^8 + 47a^7 + 25a^6 + 43a^5 + 13a^4 + 49a^3 + 17a^2 + 36a + 20)53 + (36a^9 + a^8 + 7a^7 + 39a^6 + 13a^5 + 10a^4 + 16a^2 + 12a + 44)53^2 + (16a^9 + 28a^8 + 2a^7 + 21a^6 + 6a^5 + 34a^4 + 36a^3 + 51a^2 + 14a + 45)53^3 + (45a^9 + 43a^8 + 17a^7 + 6a^6 + 3a^5 + 23a^4 + 23a^3 + 7a^2 + 32a + 19)53^4 + (49a^9 + 9a^8 + 4a^7 + 25a^6 + 14a^5 + 52a^4 + 12a^3 + 23a^2 + 6a + 14)53^5 + (43a^9 + 20a^8 + 47a^7 + 19a^6 + 9a^5 + 7a^4 + 41a^3 + 22a^2 + 38a + 3)53^6 + (38a^9 + 36a^7 + 25a^6 + 3a^5 + 51a^4 + 48a^3 + a^2 + 27a + 21)53^7 + (42a^9 + 38a^8 + 25a^7 + 26a^6 + 25a^5 + 9a^4 + 24a^3 + 13a^2 + 5a)53^8 + (51a^9 + 41a^8 + 35a^7 + 19a^6 + 36a^5 + 20a^4 + 15a^3 + 20a^2 + 42a + 50)*53^9+O(53^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 24 a^{9} + 21 a^{8} + 51 a^{7} + 35 a^{6} + 23 a^{5} + 48 a^{4} + 46 a^{3} + 42 a^{2} + 35 a + 7 + \left(3 a^{9} + 40 a^{8} + 52 a^{7} + 4 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a + 13\right)\cdot 53 + \left(40 a^{9} + 7 a^{8} + 41 a^{7} + a^{6} + 34 a^{5} + 4 a^{4} + 38 a^{3} + 38 a^{2} + 28 a + 45\right)\cdot 53^{2} + \left(27 a^{9} + 34 a^{8} + 39 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 31 a^{4} + 37 a^{3} + 8 a^{2} + 48 a + 40\right)\cdot 53^{3} + \left(40 a^{9} + 43 a^{8} + 24 a^{7} + 5 a^{6} + 39 a^{5} + 27 a^{4} + 33 a^{3} + 33 a^{2} + 20 a + 29\right)\cdot 53^{4} + \left(3 a^{9} + 3 a^{8} + 10 a^{7} + 8 a^{6} + 9 a^{5} + 33 a^{4} + 39 a^{3} + 45 a^{2} + 22 a + 27\right)\cdot 53^{5} + \left(41 a^{9} + 11 a^{8} + 37 a^{7} + 8 a^{6} + 39 a^{4} + 37 a^{3} + 37 a^{2} + 18 a + 32\right)\cdot 53^{6} + \left(5 a^{9} + 7 a^{8} + 30 a^{7} + 13 a^{6} + 11 a^{5} + 22 a^{4} + 20 a^{3} + 26 a^{2} + 3 a + 37\right)\cdot 53^{7} + \left(4 a^{9} + 27 a^{8} + 41 a^{7} + 33 a^{6} + 38 a^{5} + 20 a^{4} + 49 a^{3} + 28 a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 53^{8} + \left(19 a^{9} + 25 a^{8} + 33 a^{7} + 26 a^{6} + 6 a^{5} + 7 a^{4} + 36 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 4\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 24a^9 + 21a^8 + 51a^7 + 35a^6 + 23a^5 + 48a^4 + 46a^3 + 42a^2 + 35a + 7 + (3a^9 + 40a^8 + 52a^7 + 4a^6 + 27a^5 + 28a^4 + 33a^3 + 30a + 13)53 + (40a^9 + 7a^8 + 41a^7 + a^6 + 34a^5 + 4a^4 + 38a^3 + 38a^2 + 28a + 45)53^2 + (27a^9 + 34a^8 + 39a^7 + 18a^6 + 38a^5 + 31a^4 + 37a^3 + 8a^2 + 48a + 40)53^3 + (40a^9 + 43a^8 + 24a^7 + 5a^6 + 39a^5 + 27a^4 + 33a^3 + 33a^2 + 20a + 29)53^4 + (3a^9 + 3a^8 + 10a^7 + 8a^6 + 9a^5 + 33a^4 + 39a^3 + 45a^2 + 22a + 27)53^5 + (41a^9 + 11a^8 + 37a^7 + 8a^6 + 39a^4 + 37a^3 + 37a^2 + 18a + 32)53^6 + (5a^9 + 7a^8 + 30a^7 + 13a^6 + 11a^5 + 22a^4 + 20a^3 + 26a^2 + 3a + 37)53^7 + (4a^9 + 27a^8 + 41a^7 + 33a^6 + 38a^5 + 20a^4 + 49a^3 + 28a^2 + 11a + 22)53^8 + (19a^9 + 25a^8 + 33a^7 + 26a^6 + 6a^5 + 7a^4 + 36a^3 + 29a^2 + 25a + 4)53^9+O(53^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 3 a^{9} + 34 a^{8} + 39 a^{7} + 25 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 44 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 22 + \left(49 a^{9} + 44 a^{8} + 41 a^{7} + 3 a^{6} + 24 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 14 a^{2} + 49 a\right)\cdot 53 + \left(40 a^{9} + 19 a^{8} + 41 a^{7} + 16 a^{6} + 6 a^{5} + 4 a^{4} + 44 a^{3} + a^{2} + 11 a + 22\right)\cdot 53^{2} + \left(20 a^{9} + 38 a^{8} + 30 a^{7} + 21 a^{6} + 42 a^{5} + 51 a^{4} + 22 a^{3} + 39 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 53^{3} + \left(19 a^{9} + 37 a^{8} + 33 a^{7} + 48 a^{6} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 52 a^{2} + 6 a + 49\right)\cdot 53^{4} + \left(45 a^{9} + 36 a^{8} + 16 a^{6} + 16 a^{5} + 2 a^{4} + 43 a^{2} + 47 a + 29\right)\cdot 53^{5} + \left(4 a^{9} + 38 a^{8} + 16 a^{7} + 51 a^{6} + 14 a^{5} + 51 a^{4} + 34 a^{3} + 40 a^{2} + 49 a + 23\right)\cdot 53^{6} + \left(49 a^{9} + 32 a^{8} + 28 a^{7} + 27 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 42 a^{3} + 20 a^{2} + 47 a + 36\right)\cdot 53^{7} + \left(40 a^{9} + 39 a^{8} + 20 a^{7} + 20 a^{6} + 6 a^{5} + 30 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 44 a + 32\right)\cdot 53^{8} + \left(14 a^{9} + 36 a^{8} + 18 a^{7} + 28 a^{6} + 40 a^{5} + 4 a^{4} + 19 a^{3} + 37 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 3a^9 + 34a^8 + 39a^7 + 25a^6 + 25a^5 + 31a^4 + 44a^3 + 8a^2 + 9a + 22 + (49a^9 + 44a^8 + 41a^7 + 3a^6 + 24a^5 + 27a^4 + 18a^3 + 14a^2 + 49a)53 + (40a^9 + 19a^8 + 41a^7 + 16a^6 + 6a^5 + 4a^4 + 44a^3 + a^2 + 11a + 22)53^2 + (20a^9 + 38a^8 + 30a^7 + 21a^6 + 42a^5 + 51a^4 + 22a^3 + 39a^2 + 3a + 12)53^3 + (19a^9 + 37a^8 + 33a^7 + 48a^6 + 31a^4 + 38a^3 + 52a^2 + 6a + 49)53^4 + (45a^9 + 36a^8 + 16a^6 + 16a^5 + 2a^4 + 43a^2 + 47a + 29)53^5 + (4a^9 + 38a^8 + 16a^7 + 51a^6 + 14a^5 + 51a^4 + 34a^3 + 40a^2 + 49a + 23)53^6 + (49a^9 + 32a^8 + 28a^7 + 27a^6 + 27a^5 + 15a^4 + 42a^3 + 20a^2 + 47a + 36)53^7 + (40a^9 + 39a^8 + 20a^7 + 20a^6 + 6a^5 + 30a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 44a + 32)53^8 + (14a^9 + 36a^8 + 18a^7 + 28a^6 + 40a^5 + 4a^4 + 19a^3 + 37a^2 + 11a + 1)*53^9+O(53^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( a^{9} + 18 a^{8} + 49 a^{7} + 9 a^{6} + 40 a^{4} + 4 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 52 + \left(4 a^{9} + 27 a^{8} + 2 a^{7} + 10 a^{6} + a^{5} + 43 a^{4} + 7 a^{3} + 47 a^{2} + 6 a + 52\right)\cdot 53 + \left(30 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 49 a^{5} + 7 a^{4} + 20 a^{3} + 14 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{9} + 27 a^{8} + 51 a^{7} + 21 a^{6} + 26 a^{5} + 25 a^{4} + 17 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 44\right)\cdot 53^{3} + \left(24 a^{9} + 49 a^{8} + 49 a^{7} + 21 a^{6} + 2 a^{5} + 16 a^{4} + 17 a^{3} + 6 a^{2} + 49 a + 39\right)\cdot 53^{4} + \left(48 a^{9} + 17 a^{8} + 27 a^{7} + 52 a^{6} + 50 a^{5} + 16 a^{4} + 22 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 53^{5} + \left(52 a^{9} + 20 a^{8} + 8 a^{7} + 13 a^{6} + 29 a^{5} + 30 a^{4} + 38 a^{3} + 24 a^{2} + 32 a + 50\right)\cdot 53^{6} + \left(11 a^{9} + 5 a^{7} + 14 a^{6} + 36 a^{5} + 31 a^{4} + 38 a^{3} + 6 a^{2} + 21 a + 23\right)\cdot 53^{7} + \left(14 a^{9} + 21 a^{8} + 16 a^{7} + 32 a^{6} + 51 a^{5} + 43 a^{4} + 34 a^{3} + 43 a^{2} + 36 a + 2\right)\cdot 53^{8} + \left(47 a^{9} + 5 a^{8} + 40 a^{7} + 18 a^{6} + 6 a^{5} + 33 a^{4} + 12 a^{3} + 51 a^{2} + 4 a + 21\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) a^9 + 18a^8 + 49a^7 + 9a^6 + 40a^4 + 4a^3 + 14a^2 + 14a + 52 + (4a^9 + 27a^8 + 2a^7 + 10a^6 + a^5 + 43a^4 + 7a^3 + 47a^2 + 6a + 52)53 + (30a^9 + 6a^8 + 24a^7 + 12a^6 + 49a^5 + 7a^4 + 20a^3 + 14a^2 + 45a + 5)53^2 + (48a^9 + 27a^8 + 51a^7 + 21a^6 + 26a^5 + 25a^4 + 17a^3 + 4a^2 + 3a + 44)53^3 + (24a^9 + 49a^8 + 49a^7 + 21a^6 + 2a^5 + 16a^4 + 17a^3 + 6a^2 + 49a + 39)53^4 + (48a^9 + 17a^8 + 27a^7 + 52a^6 + 50a^5 + 16a^4 + 22a^3 + 8a + 6)53^5 + (52a^9 + 20a^8 + 8a^7 + 13a^6 + 29a^5 + 30a^4 + 38a^3 + 24a^2 + 32a + 50)53^6 + (11a^9 + 5a^7 + 14a^6 + 36a^5 + 31a^4 + 38a^3 + 6a^2 + 21a + 23)53^7 + (14a^9 + 21a^8 + 16a^7 + 32a^6 + 51a^5 + 43a^4 + 34a^3 + 43a^2 + 36a + 2)53^8 + (47a^9 + 5a^8 + 40a^7 + 18a^6 + 6a^5 + 33a^4 + 12a^3 + 51a^2 + 4a + 21)53^9+O(53^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 50 a^{9} + 47 a^{8} + 10 a^{7} + 44 a^{6} + 51 a^{5} + a^{4} + 33 a^{3} + 12 a^{2} + 24 + \left(38 a^{9} + 39 a^{8} + 46 a^{7} + 46 a^{6} + 15 a^{5} + 7 a^{4} + 30 a^{3} + 14 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 53 + \left(6 a^{9} + 2 a^{8} + 9 a^{7} + 31 a^{6} + 51 a^{5} + 41 a^{4} + 11 a^{3} + 32 a^{2} + 13 a + 48\right)\cdot 53^{2} + \left(36 a^{9} + 6 a^{8} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 25 a^{4} + 49 a^{3} + 31 a^{2} + 49 a + 22\right)\cdot 53^{3} + \left(21 a^{9} + 25 a^{8} + 8 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 15 a^{4} + 27 a^{3} + 29 a^{2} + 42 a + 16\right)\cdot 53^{4} + \left(5 a^{9} + 49 a^{8} + 14 a^{7} + 40 a^{6} + 44 a^{5} + 48 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 46 a + 32\right)\cdot 53^{5} + \left(21 a^{9} + 39 a^{8} + 39 a^{7} + 38 a^{6} + 19 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a + 44\right)\cdot 53^{6} + \left(49 a^{9} + 21 a^{8} + 43 a^{7} + 17 a^{6} + 5 a^{5} + 47 a^{4} + 31 a^{3} + 14 a + 13\right)\cdot 53^{7} + \left(41 a^{9} + 36 a^{8} + 44 a^{7} + 28 a^{6} + 48 a^{5} + 31 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 46\right)\cdot 53^{8} + \left(51 a^{9} + 45 a^{8} + 2 a^{7} + 32 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a + 50\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 50a^9 + 47a^8 + 10a^7 + 44a^6 + 51a^5 + a^4 + 33a^3 + 12a^2 + 24 + (38a^9 + 39a^8 + 46a^7 + 46a^6 + 15a^5 + 7a^4 + 30a^3 + 14a^2 + 7a + 16)53 + (6a^9 + 2a^8 + 9a^7 + 31a^6 + 51a^5 + 41a^4 + 11a^3 + 32a^2 + 13a + 48)53^2 + (36a^9 + 6a^8 + 22a^6 + 2a^5 + 25a^4 + 49a^3 + 31a^2 + 49a + 22)53^3 + (21a^9 + 25a^8 + 8a^7 + 9a^6 + 16a^5 + 15a^4 + 27a^3 + 29a^2 + 42a + 16)53^4 + (5a^9 + 49a^8 + 14a^7 + 40a^6 + 44a^5 + 48a^4 + a^3 + 15a^2 + 46a + 32)53^5 + (21a^9 + 39a^8 + 39a^7 + 38a^6 + 19a^5 + 7a^4 + 10a + 44)53^6 + (49a^9 + 21a^8 + 43a^7 + 17a^6 + 5a^5 + 47a^4 + 31a^3 + 14a + 13)53^7 + (41a^9 + 36a^8 + 44a^7 + 28a^6 + 48a^5 + 31a^4 + 2a^3 + 43a^2 + 46)53^8 + (51a^9 + 45a^8 + 2a^7 + 32a^6 + 26a^5 + 9a^4 + 3a^3 + 27a + 50)53^9+O(53^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 52 a^{9} + 4 a^{8} + 14 a^{7} + 25 a^{6} + 39 a^{5} + 12 a^{4} + 16 a^{3} + 22 a^{2} + 45 a + 17 + \left(30 a^{9} + 40 a^{8} + 38 a^{7} + 13 a^{6} + 33 a^{5} + 41 a^{4} + 13 a^{3} + 43 a^{2} + 23 a + 36\right)\cdot 53 + \left(22 a^{9} + 19 a^{8} + 29 a^{7} + 39 a^{6} + 33 a^{5} + 47 a^{4} + 27 a^{3} + 5 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 53^{2} + \left(17 a^{9} + 6 a^{8} + 15 a^{7} + 7 a^{6} + 42 a^{5} + 25 a^{4} + 28 a^{3} + 4 a^{2} + 42 a + 11\right)\cdot 53^{3} + \left(30 a^{9} + 34 a^{8} + 31 a^{7} + 11 a^{6} + 36 a^{5} + 20 a^{4} + 32 a^{3} + 8 a^{2} + 45 a + 37\right)\cdot 53^{4} + \left(38 a^{9} + 19 a^{8} + 20 a^{7} + 27 a^{6} + 47 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 49 a^{2} + 38 a + 13\right)\cdot 53^{5} + \left(18 a^{9} + 11 a^{8} + 10 a^{7} + 29 a^{6} + 31 a^{5} + 51 a^{4} + 12 a^{3} + 49 a^{2} + 13 a + 34\right)\cdot 53^{6} + \left(47 a^{9} + 44 a^{8} + 32 a^{7} + 48 a^{6} + 6 a^{5} + 34 a^{4} + 49 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 53^{7} + \left(41 a^{9} + 37 a^{8} + 17 a^{7} + 41 a^{6} + 10 a^{5} + 31 a^{4} + 14 a^{3} + 16 a^{2} + 51 a + 37\right)\cdot 53^{8} + \left(38 a^{9} + 46 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 47 a^{5} + 40 a^{4} + 40 a^{3} + 14 a^{2} + 2 a + 21\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 52a^9 + 4a^8 + 14a^7 + 25a^6 + 39a^5 + 12a^4 + 16a^3 + 22a^2 + 45a + 17 + (30a^9 + 40a^8 + 38a^7 + 13a^6 + 33a^5 + 41a^4 + 13a^3 + 43a^2 + 23a + 36)53 + (22a^9 + 19a^8 + 29a^7 + 39a^6 + 33a^5 + 47a^4 + 27a^3 + 5a^2 + 21a + 2)53^2 + (17a^9 + 6a^8 + 15a^7 + 7a^6 + 42a^5 + 25a^4 + 28a^3 + 4a^2 + 42a + 11)53^3 + (30a^9 + 34a^8 + 31a^7 + 11a^6 + 36a^5 + 20a^4 + 32a^3 + 8a^2 + 45a + 37)53^4 + (38a^9 + 19a^8 + 20a^7 + 27a^6 + 47a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 49a^2 + 38a + 13)53^5 + (18a^9 + 11a^8 + 10a^7 + 29a^6 + 31a^5 + 51a^4 + 12a^3 + 49a^2 + 13a + 34)53^6 + (47a^9 + 44a^8 + 32a^7 + 48a^6 + 6a^5 + 34a^4 + 49a^3 + 10a^2 + 11a + 37)53^7 + (41a^9 + 37a^8 + 17a^7 + 41a^6 + 10a^5 + 31a^4 + 14a^3 + 16a^2 + 51a + 37)53^8 + (38a^9 + 46a^8 + 32a^7 + 21a^6 + 47a^5 + 40a^4 + 40a^3 + 14a^2 + 2a + 21)*53^9+O(53^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 2 a^{9} + 2 a^{8} + 34 a^{7} + 13 a^{6} + 43 a^{5} + 5 a^{4} + 3 a^{3} + 41 a^{2} + 32 a + 35 + \left(27 a^{9} + 28 a^{8} + 37 a^{7} + 33 a^{6} + 26 a^{5} + 29 a^{4} + 39 a^{3} + 50 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 53 + \left(27 a^{9} + 16 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 31 a^{4} + 52 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 30\right)\cdot 53^{2} + \left(39 a^{9} + 32 a^{8} + 52 a^{7} + 28 a^{6} + 38 a^{5} + 33 a^{4} + 32 a^{3} + 36 a^{2} + 46 a + 7\right)\cdot 53^{3} + \left(28 a^{9} + 23 a^{8} + 47 a^{7} + 41 a^{5} + 29 a^{4} + 11 a^{3} + 22 a^{2} + 33 a + 30\right)\cdot 53^{4} + \left(25 a^{9} + 33 a^{8} + 41 a^{7} + 10 a^{6} + 51 a^{5} + 45 a^{4} + 35 a^{3} + 13 a^{2} + 21 a + 2\right)\cdot 53^{5} + \left(12 a^{9} + 18 a^{8} + a^{7} + 31 a^{6} + 18 a^{5} + 17 a^{4} + 51 a^{3} + 6 a^{2} + 34 a + 31\right)\cdot 53^{6} + \left(43 a^{9} + 2 a^{8} + 7 a^{7} + 38 a^{6} + 14 a^{5} + 52 a^{4} + 32 a^{3} + 25 a\right)\cdot 53^{7} + \left(29 a^{9} + 27 a^{8} + 23 a^{7} + 33 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 19 a^{2} + 35 a + 15\right)\cdot 53^{8} + \left(45 a^{9} + 5 a^{8} + 33 a^{7} + 49 a^{6} + 45 a^{5} + 42 a^{4} + 27 a^{3} + 12 a^{2} + 50 a + 38\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 2a^9 + 2a^8 + 34a^7 + 13a^6 + 43a^5 + 5a^4 + 3a^3 + 41a^2 + 32a + 35 + (27a^9 + 28a^8 + 37a^7 + 33a^6 + 26a^5 + 29a^4 + 39a^3 + 50a^2 + 11a + 29)53 + (27a^9 + 16a^7 + 18a^6 + 38a^5 + 31a^4 + 52a^3 + 25a^2 + 40a + 30)53^2 + (39a^9 + 32a^8 + 52a^7 + 28a^6 + 38a^5 + 33a^4 + 32a^3 + 36a^2 + 46a + 7)53^3 + (28a^9 + 23a^8 + 47a^7 + 41a^5 + 29a^4 + 11a^3 + 22a^2 + 33a + 30)53^4 + (25a^9 + 33a^8 + 41a^7 + 10a^6 + 51a^5 + 45a^4 + 35a^3 + 13a^2 + 21a + 2)53^5 + (12a^9 + 18a^8 + a^7 + 31a^6 + 18a^5 + 17a^4 + 51a^3 + 6a^2 + 34a + 31)53^6 + (43a^9 + 2a^8 + 7a^7 + 38a^6 + 14a^5 + 52a^4 + 32a^3 + 25a)53^7 + (29a^9 + 27a^8 + 23a^7 + 33a^6 + 27a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 19a^2 + 35a + 15)53^8 + (45a^9 + 5a^8 + 33a^7 + 49a^6 + 45a^5 + 42a^4 + 27a^3 + 12a^2 + 50a + 38)*53^9+O(53^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 10 a^{9} + 15 a^{8} + 16 a^{7} + 44 a^{6} + 29 a^{5} + 34 a^{4} + 40 a^{3} + 38 a^{2} + 4 a + 21 + \left(11 a^{9} + 43 a^{8} + 29 a^{7} + 4 a^{6} + 32 a^{5} + 23 a^{4} + 51 a^{3} + 21 a^{2} + 5 a + 29\right)\cdot 53 + \left(39 a^{9} + 11 a^{8} + 7 a^{7} + 47 a^{6} + 43 a^{5} + 45 a^{4} + 18 a^{3} + 49 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 53^{2} + \left(a^{9} + 36 a^{8} + 51 a^{7} + 14 a^{6} + 26 a^{5} + 5 a^{4} + 34 a^{3} + 52 a^{2} + 46\right)\cdot 53^{3} + \left(38 a^{9} + 10 a^{8} + 25 a^{7} + 31 a^{6} + 45 a^{5} + 10 a^{4} + 47 a^{3} + 49 a^{2} + 49 a + 13\right)\cdot 53^{4} + \left(32 a^{9} + 2 a^{8} + 18 a^{7} + 40 a^{6} + 10 a^{5} + 27 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 53^{5} + \left(a^{8} + 33 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 8 a^{4} + 10 a^{3} + 50 a^{2} + 40 a + 15\right)\cdot 53^{6} + \left(6 a^{9} + 51 a^{8} + 22 a^{7} + 8 a^{6} + 33 a^{5} + 50 a^{4} + 50 a^{3} + 51 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 53^{7} + \left(19 a^{9} + 30 a^{8} + 51 a^{7} + 50 a^{6} + 21 a^{5} + 51 a^{4} + 46 a^{3} + 51 a^{2} + 19 a + 31\right)\cdot 53^{8} + \left(12 a^{9} + 44 a^{8} + 8 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 19 a^{4} + 32 a^{3} + 13 a^{2} + 28 a + 31\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 10a^9 + 15a^8 + 16a^7 + 44a^6 + 29a^5 + 34a^4 + 40a^3 + 38a^2 + 4a + 21 + (11a^9 + 43a^8 + 29a^7 + 4a^6 + 32a^5 + 23a^4 + 51a^3 + 21a^2 + 5a + 29)53 + (39a^9 + 11a^8 + 7a^7 + 47a^6 + 43a^5 + 45a^4 + 18a^3 + 49a^2 + 22a + 35)53^2 + (a^9 + 36a^8 + 51a^7 + 14a^6 + 26a^5 + 5a^4 + 34a^3 + 52a^2 + 46)53^3 + (38a^9 + 10a^8 + 25a^7 + 31a^6 + 45a^5 + 10a^4 + 47a^3 + 49a^2 + 49a + 13)53^4 + (32a^9 + 2a^8 + 18a^7 + 40a^6 + 10a^5 + 27a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 52a + 21)53^5 + (a^8 + 33a^7 + 14a^6 + 42a^5 + 8a^4 + 10a^3 + 50a^2 + 40a + 15)53^6 + (6a^9 + 51a^8 + 22a^7 + 8a^6 + 33a^5 + 50a^4 + 50a^3 + 51a^2 + 19a + 28)53^7 + (19a^9 + 30a^8 + 51a^7 + 50a^6 + 21a^5 + 51a^4 + 46a^3 + 51a^2 + 19a + 31)53^8 + (12a^9 + 44a^8 + 8a^7 + 28a^6 + 31a^5 + 19a^4 + 32a^3 + 13a^2 + 28a + 31)*53^9+O(53^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 7 a^{9} + 18 a^{8} + 2 a^{7} + 39 a^{6} + 18 a^{5} + 41 a^{4} + 3 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 33 + \left(21 a^{9} + 13 a^{8} + 48 a^{7} + 23 a^{6} + 21 a^{5} + 23 a^{4} + 28 a^{3} + 49 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 53 + \left(34 a^{9} + 45 a^{8} + 30 a^{7} + 5 a^{6} + 18 a^{5} + 2 a^{4} + 17 a^{3} + 45 a^{2} + 20 a + 23\right)\cdot 53^{2} + \left(12 a^{9} + 4 a^{8} + 39 a^{7} + 42 a^{6} + 43 a^{5} + 36 a^{3} + 50 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 53^{3} + \left(a^{9} + 19 a^{8} + 37 a^{7} + 16 a^{6} + 21 a^{5} + 38 a^{4} + 18 a^{3} + 23 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 53^{4} + \left(52 a^{9} + 39 a^{8} + 45 a^{7} + 52 a^{6} + 52 a^{5} + 2 a^{4} + 20 a^{3} + 33 a^{2} + 49 a + 5\right)\cdot 53^{5} + \left(20 a^{9} + 22 a^{8} + 43 a^{7} + 42 a^{6} + 12 a^{5} + 7 a^{4} + 40 a^{3} + 3 a^{2} + 32 a + 37\right)\cdot 53^{6} + \left(31 a^{9} + 4 a^{8} + 47 a^{7} + 42 a^{6} + 4 a^{5} + 37 a^{4} + 22 a^{3} + 37 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 53^{7} + \left(44 a^{9} + 16 a^{8} + 29 a^{7} + 22 a^{6} + 51 a^{5} + 7 a^{4} + 39 a^{3} + 43 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 53^{8} + \left(29 a^{9} + 41 a^{8} + 28 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 25 a^{4} + 40 a^{3} + 6 a^{2} + 41 a\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 7a^9 + 18a^8 + 2a^7 + 39a^6 + 18a^5 + 41a^4 + 3a^3 + 34a^2 + 23a + 33 + (21a^9 + 13a^8 + 48a^7 + 23a^6 + 21a^5 + 23a^4 + 28a^3 + 49a^2 + 25a + 34)53 + (34a^9 + 45a^8 + 30a^7 + 5a^6 + 18a^5 + 2a^4 + 17a^3 + 45a^2 + 20a + 23)53^2 + (12a^9 + 4a^8 + 39a^7 + 42a^6 + 43a^5 + 36a^3 + 50a^2 + 16a + 4)53^3 + (a^9 + 19a^8 + 37a^7 + 16a^6 + 21a^5 + 38a^4 + 18a^3 + 23a^2 + 8a + 15)53^4 + (52a^9 + 39a^8 + 45a^7 + 52a^6 + 52a^5 + 2a^4 + 20a^3 + 33a^2 + 49a + 5)53^5 + (20a^9 + 22a^8 + 43a^7 + 42a^6 + 12a^5 + 7a^4 + 40a^3 + 3a^2 + 32a + 37)53^6 + (31a^9 + 4a^8 + 47a^7 + 42a^6 + 4a^5 + 37a^4 + 22a^3 + 37a^2 + 8a + 3)53^7 + (44a^9 + 16a^8 + 29a^7 + 22a^6 + 51a^5 + 7a^4 + 39a^3 + 43a^2 + 5a + 30)53^8 + (29a^9 + 41a^8 + 28a^7 + 26a^6 + 42a^5 + 25a^4 + 40a^3 + 6a^2 + 41a)*53^9+O(53^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 37 a^{9} + 20 a^{8} + 13 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 42 a^{4} + 17 a^{3} + 13 a^{2} + 35 a + 28 + \left(50 a^{9} + 47 a^{8} + 31 a^{7} + 21 a^{6} + 22 a^{5} + 44 a^{4} + 35 a^{3} + 45 a^{2} + 50 a + 37\right)\cdot 53 + \left(8 a^{9} + 33 a^{8} + 44 a^{7} + 32 a^{6} + 9 a^{5} + 5 a^{4} + 37 a^{3} + 52 a^{2} + 15 a + 28\right)\cdot 53^{2} + \left(27 a^{9} + 12 a^{8} + 5 a^{7} + 51 a^{6} + 12 a^{5} + 31 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 53^{3} + \left(8 a^{9} + 36 a^{8} + 45 a^{7} + 51 a^{6} + 28 a^{5} + 7 a^{4} + 43 a^{3} + 30 a^{2} + 42 a + 6\right)\cdot 53^{4} + \left(31 a^{9} + 26 a^{8} + 21 a^{7} + 21 a^{6} + 46 a^{5} + 34 a^{4} + 33 a^{3} + 39 a^{2} + 25 a + 23\right)\cdot 53^{5} + \left(34 a^{8} + 4 a^{7} + 20 a^{6} + 19 a^{5} + 23 a^{4} + 52 a^{3} + 33 a^{2} + 49\right)\cdot 53^{6} + \left(52 a^{9} + 26 a^{8} + 41 a^{7} + 42 a^{6} + a^{4} + 43 a^{3} + 44 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 53^{7} + \left(36 a^{9} + 47 a^{8} + 47 a^{7} + 24 a^{6} + 52 a^{5} + 46 a^{4} + 41 a^{3} + 35 a^{2} + 39 a + 20\right)\cdot 53^{8} + \left(3 a^{9} + 3 a^{8} + 11 a^{7} + 34 a^{6} + 4 a^{5} + 52 a^{4} + 31 a^{3} + 49 a^{2} + 46 a\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 37a^9 + 20a^8 + 13a^7 + 27a^6 + 19a^5 + 42a^4 + 17a^3 + 13a^2 + 35a + 28 + (50a^9 + 47a^8 + 31a^7 + 21a^6 + 22a^5 + 44a^4 + 35a^3 + 45a^2 + 50a + 37)53 + (8a^9 + 33a^8 + 44a^7 + 32a^6 + 9a^5 + 5a^4 + 37a^3 + 52a^2 + 15a + 28)53^2 + (27a^9 + 12a^8 + 5a^7 + 51a^6 + 12a^5 + 31a^4 + 11a^3 + a^2 + 15a + 2)53^3 + (8a^9 + 36a^8 + 45a^7 + 51a^6 + 28a^5 + 7a^4 + 43a^3 + 30a^2 + 42a + 6)53^4 + (31a^9 + 26a^8 + 21a^7 + 21a^6 + 46a^5 + 34a^4 + 33a^3 + 39a^2 + 25a + 23)53^5 + (34a^8 + 4a^7 + 20a^6 + 19a^5 + 23a^4 + 52a^3 + 33a^2 + 49)53^6 + (52a^9 + 26a^8 + 41a^7 + 42a^6 + a^4 + 43a^3 + 44a^2 + 13a + 10)53^7 + (36a^9 + 47a^8 + 47a^7 + 24a^6 + 52a^5 + 46a^4 + 41a^3 + 35a^2 + 39a + 20)53^8 + (3a^9 + 3a^8 + 11a^7 + 34a^6 + 4a^5 + 52a^4 + 31a^3 + 49a^2 + 46a)53^9+O(53^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 3 a^{9} + 7 a^{8} + 27 a^{7} + 44 a^{6} + 19 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 25 a^{2} + 35 a + 36 + \left(18 a^{9} + 5 a^{8} + 25 a^{7} + 32 a^{6} + 30 a^{5} + 4 a^{4} + 46 a^{3} + 18 a^{2} + 32 a + 26\right)\cdot 53 + \left(46 a^{9} + 39 a^{8} + 45 a^{7} + 46 a^{6} + 4 a^{5} + 43 a^{4} + 52 a^{3} + 10 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 53^{2} + \left(44 a^{9} + 34 a^{8} + 6 a^{7} + 6 a^{6} + 43 a^{5} + 26 a^{4} + 15 a^{3} + 44 a^{2} + 52 a + 46\right)\cdot 53^{3} + \left(48 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 52 a^{6} + 17 a^{5} + 4 a^{4} + 2 a^{3} + 40 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 53^{4} + \left(29 a^{9} + 34 a^{8} + 3 a^{7} + 9 a^{6} + 37 a^{5} + 4 a^{4} + 46 a^{3} + 40 a + 28\right)\cdot 53^{5} + \left(36 a^{9} + 6 a^{8} + 32 a^{7} + 49 a^{5} + 11 a^{4} + 18 a^{3} + 36 a^{2} + 2 a + 48\right)\cdot 53^{6} + \left(12 a^{9} + 9 a^{8} + 12 a^{7} + 37 a^{6} + 33 a^{5} + 13 a^{4} + 17 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 53^{7} + \left(23 a^{9} + 32 a^{8} + 16 a^{7} + 2 a^{6} + 47 a^{4} + 31 a^{3} + 52 a^{2} + 46 a + 30\right)\cdot 53^{8} + \left(34 a^{9} + 5 a^{8} + 40 a^{7} + 14 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 52 a^{3} + 26 a^{2} + 46 a + 24\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 3a^9 + 7a^8 + 27a^7 + 44a^6 + 19a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 25a^2 + 35a + 36 + (18a^9 + 5a^8 + 25a^7 + 32a^6 + 30a^5 + 4a^4 + 46a^3 + 18a^2 + 32a + 26)53 + (46a^9 + 39a^8 + 45a^7 + 46a^6 + 4a^5 + 43a^4 + 52a^3 + 10a^2 + 40a + 13)53^2 + (44a^9 + 34a^8 + 6a^7 + 6a^6 + 43a^5 + 26a^4 + 15a^3 + 44a^2 + 52a + 46)53^3 + (48a^9 + 28a^8 + 11a^7 + 52a^6 + 17a^5 + 4a^4 + 2a^3 + 40a^2 + 10a + 11)53^4 + (29a^9 + 34a^8 + 3a^7 + 9a^6 + 37a^5 + 4a^4 + 46a^3 + 40a + 28)53^5 + (36a^9 + 6a^8 + 32a^7 + 49a^5 + 11a^4 + 18a^3 + 36a^2 + 2a + 48)53^6 + (12a^9 + 9a^8 + 12a^7 + 37a^6 + 33a^5 + 13a^4 + 17a^3 + 29a^2 + 7a + 11)53^7 + (23a^9 + 32a^8 + 16a^7 + 2a^6 + 47a^4 + 31a^3 + 52a^2 + 46a + 30)53^8 + (34a^9 + 5a^8 + 40a^7 + 14a^6 + 14a^5 + 35a^4 + 52a^3 + 26a^2 + 46a + 24)53^9+O(53^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 6 a^{9} + 6 a^{8} + 46 a^{7} + 20 a^{6} + 16 a^{5} + 37 a^{4} + 12 a^{3} + 27 a^{2} + 39 a + 48 + \left(44 a^{9} + 2 a^{8} + 39 a^{7} + 26 a^{6} + 19 a^{5} + 20 a^{4} + 51 a^{3} + 29 a^{2} + 19 a + 44\right)\cdot 53 + \left(23 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 30 a^{6} + 40 a^{5} + 8 a^{4} + 22 a^{3} + 15 a^{2} + 48 a + 36\right)\cdot 53^{2} + \left(10 a^{9} + 4 a^{8} + 48 a^{7} + 22 a^{6} + 26 a^{5} + 48 a^{4} + 3 a^{3} + 41 a^{2} + 32 a + 46\right)\cdot 53^{3} + \left(6 a^{9} + 17 a^{8} + 9 a^{7} + 37 a^{6} + 32 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 23 a^{2} + 33 a + 10\right)\cdot 53^{4} + \left(15 a^{9} + 46 a^{8} + 27 a^{7} + 46 a^{6} + 35 a^{5} + 22 a^{4} + 52 a^{3} + 50 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 53^{5} + \left(13 a^{9} + 26 a^{8} + 11 a^{7} + 48 a^{6} + 5 a^{5} + 4 a^{4} + 20 a^{3} + 23 a^{2} + 36 a + 13\right)\cdot 53^{6} + \left(3 a^{9} + 6 a^{8} + 20 a^{7} + 19 a^{6} + 40 a^{5} + 49 a^{4} + 38 a^{3} + 31 a^{2} + 50 a + 26\right)\cdot 53^{7} + \left(10 a^{9} + 38 a^{8} + 48 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 34 a^{4} + 33 a^{3} + 49 a^{2} + 22 a + 7\right)\cdot 53^{8} + \left(39 a^{9} + 26 a^{8} + 37 a^{7} + 11 a^{6} + 29 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 38 a^{2} + a + 19\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 6a^9 + 6a^8 + 46a^7 + 20a^6 + 16a^5 + 37a^4 + 12a^3 + 27a^2 + 39a + 48 + (44a^9 + 2a^8 + 39a^7 + 26a^6 + 19a^5 + 20a^4 + 51a^3 + 29a^2 + 19a + 44)53 + (23a^9 + 27a^8 + 24a^7 + 30a^6 + 40a^5 + 8a^4 + 22a^3 + 15a^2 + 48a + 36)53^2 + (10a^9 + 4a^8 + 48a^7 + 22a^6 + 26a^5 + 48a^4 + 3a^3 + 41a^2 + 32a + 46)53^3 + (6a^9 + 17a^8 + 9a^7 + 37a^6 + 32a^5 + 19a^4 + 50a^3 + 23a^2 + 33a + 10)53^4 + (15a^9 + 46a^8 + 27a^7 + 46a^6 + 35a^5 + 22a^4 + 52a^3 + 50a^2 + 4a + 17)53^5 + (13a^9 + 26a^8 + 11a^7 + 48a^6 + 5a^5 + 4a^4 + 20a^3 + 23a^2 + 36a + 13)53^6 + (3a^9 + 6a^8 + 20a^7 + 19a^6 + 40a^5 + 49a^4 + 38a^3 + 31a^2 + 50a + 26)53^7 + (10a^9 + 38a^8 + 48a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 34a^4 + 33a^3 + 49a^2 + 22a + 7)53^8 + (39a^9 + 26a^8 + 37a^7 + 11a^6 + 29a^5 + 38a^4 + 5a^3 + 38a^2 + a + 19)53^9+O(53^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 33 a^{9} + 13 a^{8} + 36 a^{7} + 12 a^{6} + 45 a^{5} + 39 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 44 a + 39 + \left(24 a^{9} + 16 a^{8} + 42 a^{7} + 29 a^{6} + 41 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 43 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 53 + \left(27 a^{9} + 52 a^{8} + 43 a^{7} + 10 a^{6} + 19 a^{5} + 15 a^{4} + 32 a^{3} + 23 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 53^{2} + \left(48 a^{9} + 16 a^{8} + 31 a^{7} + 4 a^{6} + 36 a^{5} + 45 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 2\right)\cdot 53^{3} + \left(41 a^{9} + 39 a^{8} + 26 a^{7} + 24 a^{6} + 8 a^{5} + 23 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 18 a + 50\right)\cdot 53^{4} + \left(30 a^{9} + 13 a^{8} + 45 a^{7} + 41 a^{6} + 45 a^{5} + 6 a^{4} + 22 a^{3} + 22 a^{2} + 48 a + 45\right)\cdot 53^{5} + \left(50 a^{9} + 52 a^{8} + 2 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{4} + 49 a^{3} + 6 a^{2} + a + 19\right)\cdot 53^{6} + \left(44 a^{9} + 5 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 23 a^{3} + 18 a^{2} + 52 a + 48\right)\cdot 53^{7} + \left(48 a^{9} + 28 a^{8} + 9 a^{7} + 30 a^{6} + 48 a^{5} + 17 a^{4} + 27 a^{3} + 34 a^{2} + 21\right)\cdot 53^{8} + \left(32 a^{9} + 16 a^{8} + 30 a^{7} + 34 a^{6} + 7 a^{5} + 25 a^{4} + 46 a^{3} + 14 a^{2} + 25 a + 14\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 33a^9 + 13a^8 + 36a^7 + 12a^6 + 45a^5 + 39a^4 + 7a^3 + 3a^2 + 44a + 39 + (24a^9 + 16a^8 + 42a^7 + 29a^6 + 41a^5 + 19a^4 + 50a^3 + 43a^2 + 31a + 22)53 + (27a^9 + 52a^8 + 43a^7 + 10a^6 + 19a^5 + 15a^4 + 32a^3 + 23a^2 + 25a + 33)53^2 + (48a^9 + 16a^8 + 31a^7 + 4a^6 + 36a^5 + 45a^4 + 11a^3 + 2a^2 + 2)53^3 + (41a^9 + 39a^8 + 26a^7 + 24a^6 + 8a^5 + 23a^4 + 2a^3 + 3a^2 + 18a + 50)53^4 + (30a^9 + 13a^8 + 45a^7 + 41a^6 + 45a^5 + 6a^4 + 22a^3 + 22a^2 + 48a + 45)53^5 + (50a^9 + 52a^8 + 2a^7 + 20a^6 + 35a^4 + 49a^3 + 6a^2 + a + 19)53^6 + (44a^9 + 5a^7 + 29a^6 + 34a^5 + 23a^3 + 18a^2 + 52a + 48)53^7 + (48a^9 + 28a^8 + 9a^7 + 30a^6 + 48a^5 + 17a^4 + 27a^3 + 34a^2 + 21)53^8 + (32a^9 + 16a^8 + 30a^7 + 34a^6 + 7a^5 + 25a^4 + 46a^3 + 14a^2 + 25a + 14)*53^9+O(53^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 14 a^{9} + 41 a^{8} + 50 a^{7} + 7 a^{6} + 27 a^{5} + 30 a^{4} + 18 a^{3} + 50 a^{2} + 13 a + 4 + \left(33 a^{8} + 38 a^{7} + 7 a^{6} + 2 a^{5} + 44 a^{4} + 34 a^{3} + 37 a^{2} + 49 a + 41\right)\cdot 53 + \left(38 a^{9} + 18 a^{8} + 28 a^{7} + 38 a^{6} + 45 a^{5} + 26 a^{4} + 18 a^{3} + 17 a^{2} + 18 a + 51\right)\cdot 53^{2} + \left(33 a^{9} + a^{8} + 13 a^{7} + 30 a^{6} + 8 a^{5} + 36 a^{4} + 31 a^{3} + 13 a^{2} + 50 a + 23\right)\cdot 53^{3} + \left(40 a^{9} + 38 a^{8} + 29 a^{7} + 50 a^{6} + 10 a^{4} + 20 a^{3} + 17 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 53^{4} + \left(4 a^{9} + 41 a^{8} + 49 a^{7} + 48 a^{6} + 4 a^{5} + 9 a^{4} + 16 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 53^{5} + \left(42 a^{9} + 51 a^{8} + 3 a^{7} + 32 a^{6} + 40 a^{5} + 21 a^{4} + 40 a^{3} + a\right)\cdot 53^{6} + \left(16 a^{9} + 48 a^{8} + 37 a^{7} + 17 a^{6} + 32 a^{5} + 11 a^{4} + 50 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 22\right)\cdot 53^{7} + \left(34 a^{9} + 7 a^{8} + 45 a^{7} + 24 a^{6} + 40 a^{5} + 36 a^{4} + 3 a^{3} + 28 a^{2} + 41 a + 36\right)\cdot 53^{8} + \left(20 a^{9} + a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 35 a^{5} + 17 a^{4} + 19 a^{3} + 14 a^{2} + 23 a + 51\right)\cdot 53^{9} +O(53^{10})\) 14a^9 + 41a^8 + 50a^7 + 7a^6 + 27a^5 + 30a^4 + 18a^3 + 50a^2 + 13a + 4 + (33a^8 + 38a^7 + 7a^6 + 2a^5 + 44a^4 + 34a^3 + 37a^2 + 49a + 41)53 + (38a^9 + 18a^8 + 28a^7 + 38a^6 + 45a^5 + 26a^4 + 18a^3 + 17a^2 + 18a + 51)53^2 + (33a^9 + a^8 + 13a^7 + 30a^6 + 8a^5 + 36a^4 + 31a^3 + 13a^2 + 50a + 23)53^3 + (40a^9 + 38a^8 + 29a^7 + 50a^6 + 10a^4 + 20a^3 + 17a^2 + 12a + 9)53^4 + (4a^9 + 41a^8 + 49a^7 + 48a^6 + 4a^5 + 9a^4 + 16a^3 + 7a^2 + 5a + 17)53^5 + (42a^9 + 51a^8 + 3a^7 + 32a^6 + 40a^5 + 21a^4 + 40a^3 + a)53^6 + (16a^9 + 48a^8 + 37a^7 + 17a^6 + 32a^5 + 11a^4 + 50a^3 + 16a^2 + 3a + 22)53^7 + (34a^9 + 7a^8 + 45a^7 + 24a^6 + 40a^5 + 36a^4 + 3a^3 + 28a^2 + 41a + 36)53^8 + (20a^9 + a^8 + 24a^7 + 31a^6 + 35a^5 + 17a^4 + 19a^3 + 14a^2 + 23a + 51)*53^9+O(53^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,3,2,4)(5,16,8,24)(6,13,9,14)(7,22,20,17)(10,19,11,23)(12,21,15,18)$
$(1,10,24,4,23,8,2,11,16,3,19,5)(6,18,20,14,15,22,9,21,7,13,12,17)$
$(1,24,2,16)(3,5,4,8)(6,13,9,14)(7,17,20,22)(10,18,11,21)(12,23,15,19)$
$(1,2)(3,4)(5,8)(6,9)(7,20)(10,11)(12,15)(13,14)(16,24)(17,22)(18,21)(19,23)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$6$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,8)(6,9)(7,20)(10,11)(12,15)(13,14)(16,24)(17,22)(18,21)(19,23)$	$-6$
$30$	$2$	$(1,8)(2,5)(3,24)(4,16)(7,20)(10,15)(11,12)(17,22)(18,19)(21,23)$	$0$
$20$	$3$	$(1,23,16)(2,19,24)(3,10,8)(4,11,5)(6,15,7)(9,12,20)(13,18,22)(14,21,17)$	$0$
$1$	$4$	$(1,4,2,3)(5,24,8,16)(6,14,9,13)(7,17,20,22)(10,23,11,19)(12,18,15,21)$	$6 \zeta_{4}$
$1$	$4$	$(1,3,2,4)(5,16,8,24)(6,13,9,14)(7,22,20,17)(10,19,11,23)(12,21,15,18)$	$-6 \zeta_{4}$
$30$	$4$	$(1,24,2,16)(3,5,4,8)(6,13,9,14)(7,17,20,22)(10,18,11,21)(12,23,15,19)$	$0$
$12$	$5$	$(1,19,9,17,12)(2,23,6,22,15)(3,11,14,7,21)(4,10,13,20,18)$	$1$
$12$	$5$	$(1,17,19,12,9)(2,22,23,15,6)(3,7,11,21,14)(4,20,10,18,13)$	$1$
$20$	$6$	$(1,24,23,2,16,19)(3,5,10,4,8,11)(6,20,15,9,7,12)(13,17,18,14,22,21)$	$0$
$12$	$10$	$(1,22,19,15,9,2,17,23,12,6)(3,20,11,18,14,4,7,10,21,13)(5,8)(16,24)$	$-1$
$12$	$10$	$(1,15,17,6,19,2,12,22,9,23)(3,18,7,13,11,4,21,20,14,10)(5,8)(16,24)$	$-1$
$20$	$12$	$(1,10,24,4,23,8,2,11,16,3,19,5)(6,18,20,14,15,22,9,21,7,13,12,17)$	$0$
$20$	$12$	$(1,11,24,3,23,5,2,10,16,4,19,8)(6,21,20,13,15,17,9,18,7,14,12,22)$	$0$
$12$	$20$	$(1,18,22,14,19,4,15,7,9,10,2,21,17,13,23,3,12,20,6,11)(5,24,8,16)$	$\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,14,15,10,17,3,6,18,19,7,2,13,12,11,22,4,9,21,23,20)(5,16,8,24)$	$-\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,21,22,13,19,3,15,20,9,11,2,18,17,14,23,4,12,7,6,10)(5,16,8,24)$	$-\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,13,15,11,17,4,6,21,19,20,2,14,12,10,22,3,9,18,23,7)(5,24,8,16)$	$\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	6.1848020848.24t576.a.a
Dimension	$6$
Group	$\SL(2,5):C_2$
Conductor	$1848020848$
Root number	not computed
Indicator	$0$