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Properties

Label 6.13e3_491e3.12t108.1c1
Dimension 6
Group $V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor $ 13^{3} \cdot 491^{3}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$6$
Group:$V_4^2:(S_3\times C_2)$
Conductor:$260060583887= 13^{3} \cdot 491^{3} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - x^{7} - 3 x^{6} + 8 x^{5} + 3 x^{4} - 10 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 9 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: 12T108
Parity: Odd
Determinant: 1.13_491.2t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 38.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{3} + x + 14 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 1 + 17 + 11\cdot 17^{2} + 4\cdot 17^{3} + 17^{4} + 5\cdot 17^{6} + 8\cdot 17^{7} + 14\cdot 17^{8} + 4\cdot 17^{9} + 12\cdot 17^{10} + 6\cdot 17^{11} + 15\cdot 17^{12} + 10\cdot 17^{13} + 17^{14} + 2\cdot 17^{15} + 6\cdot 17^{16} + 16\cdot 17^{17} + 11\cdot 17^{18} + 5\cdot 17^{19} + 16\cdot 17^{20} + 14\cdot 17^{21} + 17^{22} + 15\cdot 17^{23} + 15\cdot 17^{24} + 5\cdot 17^{25} + 3\cdot 17^{26} + 17^{27} + 14\cdot 17^{28} + 14\cdot 17^{29} + 2\cdot 17^{30} + 10\cdot 17^{31} + 7\cdot 17^{32} + 2\cdot 17^{33} + 16\cdot 17^{34} + 12\cdot 17^{35} + 11\cdot 17^{36} + 14\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 9 a + 8 + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 17 + \left(3 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 17^{9} + \left(a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(13 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{11} + \left(a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{12} + \left(11 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{13} + \left(13 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{14} + \left(15 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{16} + \left(a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{18} + \left(2 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{19} + \left(7 a + 2\right)\cdot 17^{20} + \left(3 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{22} + \left(10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{23} + \left(11 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{24} + \left(15 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{26} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{27} + \left(2 a^{2} + 16\right)\cdot 17^{28} + \left(4 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{29} + \left(3 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{30} + \left(7 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{31} + \left(11 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{32} + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{33} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{34} + \left(7 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 17^{35} + \left(2 a + 9\right)\cdot 17^{36} + \left(9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 10 a^{2} + 4 a + 5 + \left(16 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 17^{2} + \left(12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{4} + \left(2 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{8} + 7 a^{2}17^{9} + \left(16 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{11} + \left(13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{12} + \left(5 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{13} + \left(16 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(15 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{15} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 17^{16} + \left(8 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 17^{17} + \left(2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(14 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(15 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{21} + \left(10 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{22} + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{23} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{24} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{25} + \left(3 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{26} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{28} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 17^{30} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{31} + \left(9 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 17^{32} + \left(6 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(7 a + 9\right)\cdot 17^{34} + \left(12 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 17^{35} + \left(9 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{36} + \left(12 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 6 a + 16 + \left(7 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17 + \left(8 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{5} + 8 a^{2}17^{6} + \left(13 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 17^{8} + \left(10 a + 11\right)\cdot 17^{9} + \left(15 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(16 a^{2} + a\right)\cdot 17^{13} + \left(2 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 17^{14} + \left(13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{16} + \left(8 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{17} + \left(14 a^{2} + a + 3\right)\cdot 17^{18} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 17^{19} + \left(9 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{20} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{21} + \left(6 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{22} + \left(a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(16 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{24} + \left(5 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{25} + \left(2 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{26} + \left(2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{28} + \left(2 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{30} + \left(11 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 17^{31} + \left(14 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{32} + \left(16 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(12 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{34} + \left(7 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(6 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 17^{36} + \left(6 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ a^{2} + 4 a + 16 + \left(12 a^{2} + 13\right)\cdot 17 + \left(4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 17^{2} + \left(8 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{3} + \left(15 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{7} + \left(12 a + 10\right)\cdot 17^{8} + \left(4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{9} + \left(16 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{10} + 8\cdot 17^{11} + \left(2 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(11 a + 13\right)\cdot 17^{13} + \left(4 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 17^{17} + \left(8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{18} + \left(11 a + 13\right)\cdot 17^{19} + \left(5 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{20} + \left(15 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{21} + \left(13 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{22} + \left(a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{23} + \left(3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{24} + \left(12 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{25} + \left(9 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{26} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{27} + \left(3 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{28} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{29} + \left(16 a^{2} + 5\right)\cdot 17^{30} + \left(16 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{31} + \left(12 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{32} + \left(6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(13 a^{2} + a + 12\right)\cdot 17^{34} + \left(14 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 17^{35} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{36} + \left(12 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 12 a + 1 + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17 + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{5} + \left(10 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{6} + \left(9 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 17^{7} + \left(14 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{8} + 13 a\cdot 17^{9} + \left(15 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{10} + \left(14 a + 14\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{13} + \left(7 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{14} + \left(3 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 17^{17} + \left(13 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{18} + \left(14 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 17^{19} + \left(6 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{20} + \left(9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{22} + \left(8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{23} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{24} + \left(3 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{25} + \left(4 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 17^{26} + \left(14 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{27} + \left(4 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{28} + \left(16 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{29} + \left(4 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 17^{30} + \left(a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{31} + \left(7 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{32} + \left(10 a^{2} + 8 a + 14\right)\cdot 17^{33} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(14 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{35} + \left(16 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{36} + \left(7 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 3 a^{2} + 16 a + 3 + \left(15 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17 + \left(15 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{4} + \left(4 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 17^{8} + \left(15 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{9} + \left(3 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{10} + \left(a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{12} + \left(15 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{13} + \left(6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(15 a + 7\right)\cdot 17^{15} + \left(11 a^{2} + 9 a + 14\right)\cdot 17^{16} + \left(12 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(14 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a + 9\right)\cdot 17^{20} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 17^{21} + \left(a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{22} + \left(7 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{23} + \left(9 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 17^{24} + \left(7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{25} + \left(10 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{26} + \left(6 a + 15\right)\cdot 17^{27} + \left(9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{28} + \left(15 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{30} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{31} + \left(12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{32} + \left(5 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 17^{33} + \left(11 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 17^{34} + \left(11 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{35} + \left(10 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{36} + \left(2 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 2 + 3\cdot 17^{2} + 17^{3} + 15\cdot 17^{4} + 6\cdot 17^{5} + 5\cdot 17^{6} + 13\cdot 17^{7} + 9\cdot 17^{8} + 7\cdot 17^{9} + 12\cdot 17^{10} + 10\cdot 17^{11} + 16\cdot 17^{12} + 15\cdot 17^{13} + 2\cdot 17^{15} + 3\cdot 17^{16} + 15\cdot 17^{17} + 12\cdot 17^{18} + 10\cdot 17^{19} + 8\cdot 17^{21} + 8\cdot 17^{22} + 13\cdot 17^{23} + 5\cdot 17^{24} + 11\cdot 17^{25} + 2\cdot 17^{26} + 2\cdot 17^{27} + 5\cdot 17^{28} + 8\cdot 17^{29} + 13\cdot 17^{30} + 17^{31} + 12\cdot 17^{33} + 17^{34} + 12\cdot 17^{35} + 6\cdot 17^{36} + 16\cdot 17^{37} +O\left(17^{ 38 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(4,6)(7,8)$
$(4,8)(6,7)$
$(1,5)(2,3)$
$(3,5)(7,8)$
$(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$
$(1,3)(2,5)$
$(1,5,3)(6,7,8)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$6$
$3$$2$$(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$$-2$
$4$$2$$(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$$0$
$6$$2$$(4,6)(7,8)$$-2$
$6$$2$$(1,5)(2,3)(4,6)(7,8)$$2$
$12$$2$$(1,8)(2,4)(3,6)(5,7)$$-2$
$12$$2$$(3,5)(7,8)$$0$
$32$$3$$(1,5,3)(4,7,6)$$0$
$12$$4$$(1,8,3,6)(2,4,5,7)$$2$
$12$$4$$(1,3,2,5)(4,8,6,7)$$0$
$12$$4$$(1,6,3,8)(2,4,5,7)$$0$
$24$$4$$(1,8,5,7)(2,4,3,6)$$0$
$24$$4$$(3,5)(4,8,6,7)$$0$
$32$$6$$(1,8,5,6,3,7)(2,4)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.