Basic invariants
| Dimension: | $5$ |
| Group: | $C_{11}:C_5$ |
| Conductor: | $52089208083= 3^{5} \cdot 11^{8} $ |
| Artin number field: | Splitting field of $f= x^{11} - 33 x^{9} + 396 x^{7} - 2079 x^{5} + 4455 x^{3} - 2673 x - 837 $ over $\Q$ |
| Size of Galois orbit: | 2 |
| Smallest containing permutation representation: | $C_{11}:C_5$ |
| Parity: | Even |
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 47.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{5} + 4 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ | $=$ | $ 12 a^{4} + 12 a^{3} + 5 + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13 + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + a\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{4} + 8 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{44} + \left(10 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ | $=$ | $ 11 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 4 a + 7 + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{4} + 11 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(11 a^{4} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(3 a^{4} + 7 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{39} + \left(10 a^{4} + 8 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{43} + \left(11 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ | $=$ | $ 6 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 2 + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{4} + 12 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{4} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{4} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{33} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{4} + 3 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{37} + \left(12 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{39} + \left(12 a^{4} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ | $=$ | $ 10 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9 + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13 + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 7 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(11 a^{4} + 7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{4} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{17} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{30} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{41} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ | $=$ | $ 6 + 12\cdot 13 + 11\cdot 13^{2} + 7\cdot 13^{3} + 11\cdot 13^{4} + 5\cdot 13^{5} + 5\cdot 13^{6} + 2\cdot 13^{7} + 3\cdot 13^{8} + 8\cdot 13^{9} + 5\cdot 13^{10} + 11\cdot 13^{11} + 7\cdot 13^{12} + 12\cdot 13^{14} + 9\cdot 13^{15} + 4\cdot 13^{16} + 7\cdot 13^{17} + 8\cdot 13^{18} + 6\cdot 13^{19} + 7\cdot 13^{20} + 10\cdot 13^{21} + 9\cdot 13^{22} + 11\cdot 13^{23} + 11\cdot 13^{24} + 12\cdot 13^{25} + 3\cdot 13^{26} + 5\cdot 13^{28} + 13^{29} + 10\cdot 13^{30} + 7\cdot 13^{31} + 9\cdot 13^{32} + 4\cdot 13^{33} + 4\cdot 13^{35} + 10\cdot 13^{36} + 2\cdot 13^{37} + 2\cdot 13^{38} + 2\cdot 13^{39} + 10\cdot 13^{40} + 3\cdot 13^{41} + 12\cdot 13^{42} + 5\cdot 13^{43} + 13^{44} + 12\cdot 13^{45} + 6\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ | $=$ | $ 2 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 10 + \left(8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13 + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{4} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{20} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{29} + \left(6 a^{4} + 7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(a^{4} + a^{3} + a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{4} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{41} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{43} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ | $=$ | $ 9 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 9 + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{4} + 8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(4 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{40} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ | $=$ | $ 3 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a + 8 + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13 + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{4} + 5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{4} + 9 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{4} + a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{28} + \left(8 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{30} + \left(5 a^{4} + 8 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a\right)\cdot 13^{34} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{41} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{42} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2}\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ | $=$ | $ 6 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 2 + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13 + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(6 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{4} + 8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{4} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{3} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 5\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{35} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{36} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{38} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ | $=$ | $ 4 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 8 + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13 + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{4} + 10 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 1\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{4} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{29} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{33} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{36} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{37} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{38} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(10 a^{4} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
| $r_{ 11 }$ | $=$ | $ 2 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + a + 12 + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13 + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{4} + 8 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{25} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(10 a^{4} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{32} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{4} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{4} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{39} + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + a\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{4} + 9 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{46} +O\left(13^{ 47 }\right)$ |
Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 11 }$
| Cycle notation |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on $r_1, \ldots, r_{ 11 }$ | Character values | |
| $c1$ | $c2$ | |||
| $1$ | $1$ | $()$ | $5$ | $5$ |
| $11$ | $5$ | $(1,8,10,5,3)(2,11,4,6,9)$ | $0$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(1,10,3,8,5)(2,4,9,11,6)$ | $0$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(1,5,8,3,10)(2,6,11,9,4)$ | $0$ | $0$ |
| $11$ | $5$ | $(1,3,5,10,8)(2,9,6,4,11)$ | $0$ | $0$ |
| $5$ | $11$ | $(1,11,10,7,2,5,6,4,9,8,3)$ | $\zeta_{11}^{9} + \zeta_{11}^{5} + \zeta_{11}^{4} + \zeta_{11}^{3} + \zeta_{11}$ | $-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11} - 1$ |
| $5$ | $11$ | $(1,10,2,6,9,3,11,7,5,4,8)$ | $-\zeta_{11}^{9} - \zeta_{11}^{5} - \zeta_{11}^{4} - \zeta_{11}^{3} - \zeta_{11} - 1$ | $\zeta_{11}^{9} + \zeta_{11}^{5} + \zeta_{11}^{4} + \zeta_{11}^{3} + \zeta_{11}$ |