Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 17 }$ to precision 40.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 17 }$: $ x^{4} + 7 x^{2} + 10 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 1 + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17 + \left(14 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{2} + \left(15 a^{3} + 6 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{3} + \left(3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{4} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{11} + \left(16 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{12} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{13} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{14} + \left(2 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{15} + \left(3 a^{3} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{16} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 17^{17} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{18} + \left(12 a^{3} + a + 9\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{20} + \left(8 a^{3} + 14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{22} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{23} + \left(12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{24} + \left(12 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{26} + \left(4 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{27} + \left(16 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{30} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{31} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{32} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{33} + \left(2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a\right)\cdot 17^{34} + \left(16 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{35} + \left(7 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(14 a^{3} + 9 a + 1\right)\cdot 17^{37} + \left(10 a^{3} + 16 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{38} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9 + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17 + \left(8 a^{3} + a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{2} + \left(4 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 17^{8} + \left(12 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{9} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 17^{10} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{11} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 17^{12} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(a^{3} + 13 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 17^{15} + \left(9 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{16} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 3\right)\cdot 17^{19} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{20} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + a\right)\cdot 17^{22} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{23} + \left(14 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{24} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{3} + 10 a + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{27} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{28} + \left(10 a + 15\right)\cdot 17^{29} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{30} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 17^{31} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 17^{32} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{33} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17^{34} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{35} + \left(3 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{36} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{37} + \left(15 a^{3} + 14 a^{2} + a + 15\right)\cdot 17^{38} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 9 + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17 + \left(16 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 17^{3} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{4} + \left(16 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{6} + \left(4 a^{3} + 5 a\right)\cdot 17^{7} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a\right)\cdot 17^{9} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{10} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{11} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 17^{12} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{14} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{15} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 17^{16} + \left(7 a^{3} + 16\right)\cdot 17^{17} + \left(12 a^{3} + 10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{3} + 12 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{20} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 17^{21} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{22} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 17^{23} + \left(6 a^{3} + 5 a + 16\right)\cdot 17^{24} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{25} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{26} + \left(7 a^{3} + a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{27} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{28} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 7\right)\cdot 17^{30} + \left(7 a^{3} + 5 a + 11\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 17^{32} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{33} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{34} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{35} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{36} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{37} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(7 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 9 a^{3} + 7 a + 11 + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17 + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 17^{2} + \left(3 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 17^{3} + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{3} + 12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{7} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 17^{8} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 17^{9} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 17^{11} + \left(5 a^{2} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{12} + \left(a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 17^{13} + \left(12 a^{3} + 7 a + 9\right)\cdot 17^{14} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 2\right)\cdot 17^{15} + \left(4 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 17^{16} + \left(7 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{17} + \left(6 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{18} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{19} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 17^{20} + \left(15 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 17^{22} + \left(10 a^{3} + 15 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{24} + \left(11 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(9 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{26} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{27} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{28} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 17^{29} + \left(11 a^{3} + a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 17^{30} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{31} + \left(13 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{32} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{33} + \left(13 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 17^{34} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 17^{35} + \left(6 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 17^{36} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 4\right)\cdot 17^{37} + \left(5 a^{3} + a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 16 a\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8 + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17 + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(13 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 17^{3} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{4} + \left(14 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{5} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{6} + \left(8 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{7} + \left(15 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{8} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 17^{9} + \left(7 a^{3} + 2 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{10} + \left(3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{11} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{13} + \left(a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a^{3} + 13 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{16} + \left(16 a^{3} + a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{18} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 17^{20} + \left(7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 2\right)\cdot 17^{21} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{22} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{23} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 17^{24} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{25} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 17^{26} + \left(13 a^{3} + 8 a^{2} + 13\right)\cdot 17^{27} + \left(11 a^{3} + 14 a + 6\right)\cdot 17^{28} + \left(7 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 17^{29} + \left(3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 13\right)\cdot 17^{30} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{31} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 17^{32} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a\right)\cdot 17^{33} + \left(3 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{34} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{35} + \left(15 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{36} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 17^{37} + \left(a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(a^{3} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 16 a^{2} + 14 a + 8 + \left(16 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 17 + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 17^{2} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 17^{3} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 17^{4} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(14 a^{3} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{3} + 8 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(5 a^{3} + 13 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 17^{9} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{10} + \left(4 a^{3} + 9 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{11} + \left(2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{12} + \left(14 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17^{13} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 2 a\right)\cdot 17^{14} + \left(6 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{15} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 17^{16} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(6 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{20} + \left(11 a^{3} + 11 a^{2} + 15\right)\cdot 17^{21} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{22} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{3} + a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{24} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{26} + \left(5 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 17^{27} + \left(9 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a\right)\cdot 17^{28} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{29} + \left(9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 17^{30} + \left(12 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 17^{31} + \left(a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 17^{32} + \left(14 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{33} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 17^{34} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 14\right)\cdot 17^{35} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + a + 14\right)\cdot 17^{36} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{37} + \left(13 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 17^{38} + \left(16 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 2 + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17 + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{2} + \left(14 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 17^{3} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{5} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 14 a + 15\right)\cdot 17^{6} + \left(12 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{7} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 17^{8} + \left(11 a^{3} + 13 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{9} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + 1\right)\cdot 17^{10} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{11} + \left(7 a^{3} + 6 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{12} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 17^{13} + \left(8 a^{3} + 11 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{14} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + a + 8\right)\cdot 17^{15} + \left(16 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 17^{16} + \left(13 a^{3} + 13 a^{2} + 7\right)\cdot 17^{17} + \left(4 a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 17^{18} + \left(16 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 17^{19} + \left(11 a^{3} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{20} + \left(14 a^{3} + 15 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{21} + \left(4 a^{3} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{22} + \left(5 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 17^{23} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{24} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(15 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{26} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 17^{27} + \left(16 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 17^{28} + \left(a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{29} + \left(9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 15\right)\cdot 17^{30} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 17^{31} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{33} + \left(10 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{34} + \left(6 a^{3} + 13 a + 12\right)\cdot 17^{35} + \left(5 a^{3} + 4 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{36} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 17^{37} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{38} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 5 + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 17 + \left(11 a^{3} + 13 a + 10\right)\cdot 17^{2} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + a + 11\right)\cdot 17^{4} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{5} + \left(15 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{6} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 14 a + 3\right)\cdot 17^{7} + \left(6 a^{3} + 5 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{8} + \left(3 a^{3} + 14 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 17^{9} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 17^{10} + \left(4 a^{3} + 16 a^{2} + 7 a\right)\cdot 17^{11} + \left(4 a^{3} + 14 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{12} + \left(12 a^{3} + 14 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 17^{13} + \left(13 a^{3} + 4\right)\cdot 17^{14} + \left(7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 17^{15} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 17^{16} + \left(4 a^{3} + 10 a + 16\right)\cdot 17^{17} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 17^{18} + \left(15 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 17^{19} + \left(a^{3} + 15 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 17^{20} + \left(14 a^{3} + 16 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 17^{21} + \left(16 a^{3} + 16 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 17^{22} + \left(11 a^{3} + 16 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{23} + \left(16 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 17^{24} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{2} + a + 1\right)\cdot 17^{26} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 17^{27} + \left(10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 17^{28} + \left(14 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 17^{29} + \left(2 a^{3} + 14 a^{2} + 10 a\right)\cdot 17^{30} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 17^{31} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 17^{32} + \left(9 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 17^{33} + \left(4 a^{3} + 5 a^{2} + 6\right)\cdot 17^{34} + \left(13 a^{3} + 4 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 17^{35} + \left(9 a^{3} + 14 a + 16\right)\cdot 17^{36} + \left(3 a^{3} + 13 a^{2} + 13 a + 2\right)\cdot 17^{37} + \left(7 a^{3} + 13 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 17^{38} + \left(5 a^{3} + 9 a^{2} + 12\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{3} + 11 a^{2} + 13 a + 10 + \left(15 a^{3} + 13 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 17 + \left(10 a^{3} + 3 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 17^{2} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 17^{3} + \left(9 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 17^{4} + \left(11 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{5} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 17^{6} + \left(16 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{7} + \left(13 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 17^{8} + \left(7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 6\right)\cdot 17^{9} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 17^{10} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(9 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{12} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 17^{13} + \left(5 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 17^{14} + \left(11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a\right)\cdot 17^{15} + \left(8 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 17^{16} + \left(16 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 17^{17} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 17^{18} + \left(5 a^{3} + 5 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 17^{19} + \left(9 a^{3} + 2 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 17^{20} + \left(11 a^{3} + 15 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 17^{21} + \left(8 a^{3} + 4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 17^{22} + \left(15 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 17^{23} + \left(13 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 17^{24} + \left(3 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{25} + \left(11 a^{3} + 14 a^{2} + 4\right)\cdot 17^{26} + \left(5 a^{3} + 13 a + 13\right)\cdot 17^{27} + \left(13 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 17^{28} + \left(6 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 17^{29} + \left(12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 17^{30} + \left(15 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 17^{31} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 17^{32} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{33} + \left(6 a^{3} + 10 a + 6\right)\cdot 17^{34} + \left(14 a^{3} + a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{35} + \left(8 a^{3} + 16 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{36} + \left(15 a^{3} + 15 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 17^{37} + \left(2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 17^{38} + \left(7 a^{3} + 11 a^{2} + 14\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{3} + 3 a^{2} + 14 a + 6 + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 17 + \left(5 a^{3} + 16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 17^{2} + \left(16 a^{3} + 7 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 17^{3} + \left(8 a^{3} + a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 17^{4} + \left(a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 17^{5} + \left(a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 17^{6} + \left(15 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 17^{7} + \left(10 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 17^{8} + \left(13 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 17^{9} + \left(10 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 17^{10} + \left(12 a^{3} + 9 a + 6\right)\cdot 17^{11} + \left(12 a^{3} + 2 a^{2} + 13 a + 7\right)\cdot 17^{12} + \left(4 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 17^{13} + \left(3 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 13\right)\cdot 17^{14} + \left(9 a^{3} + 4 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 17^{15} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 17^{16} + \left(12 a^{3} + 16 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{17} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 13\right)\cdot 17^{18} + \left(a^{3} + 12 a^{2} + 14 a + 5\right)\cdot 17^{19} + \left(15 a^{3} + a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 17^{20} + \left(2 a^{3} + a + 6\right)\cdot 17^{21} + \left(2 a + 13\right)\cdot 17^{22} + \left(5 a^{3} + 6 a + 13\right)\cdot 17^{23} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 17^{24} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 17^{25} + \left(16 a^{3} + 15 a + 11\right)\cdot 17^{26} + \left(13 a^{3} + 5 a^{2} + a + 4\right)\cdot 17^{27} + \left(16 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 17^{28} + \left(2 a^{3} + 13 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 17^{29} + \left(14 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 17^{30} + \left(6 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 17^{31} + \left(10 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 17^{32} + \left(7 a^{3} + 8 a^{2} + 11 a + 16\right)\cdot 17^{33} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 17^{34} + \left(3 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 17^{35} + \left(7 a^{3} + 16 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 17^{36} + \left(13 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 17^{37} + \left(9 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 17^{38} + \left(11 a^{3} + 7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 17^{39} +O\left(17^{ 40 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Cycle notation |
| $(2,4)(6,9)$ |
| $(1,2)(3,5)(4,9)(6,7)(8,10)$ |
| $(3,4)(5,9)$ |
| $(2,10)(6,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $5$ |
| $1$ | $2$ | $(1,7)(2,6)(3,5)(4,9)(8,10)$ | $-5$ |
| $10$ | $2$ | $(1,2)(3,5)(4,9)(6,7)(8,10)$ | $-1$ |
| $10$ | $2$ | $(1,8)(7,10)$ | $1$ |
| $15$ | $2$ | $(1,9)(2,3)(4,7)(5,6)$ | $1$ |
| $15$ | $2$ | $(1,2)(3,9)(4,5)(6,7)(8,10)$ | $-1$ |
| $20$ | $3$ | $(1,6,8)(2,10,7)$ | $-1$ |
| $30$ | $4$ | $(1,3,9,2)(4,6,7,5)(8,10)$ | $1$ |
| $30$ | $4$ | $(1,9,5,6)(2,7,4,3)$ | $-1$ |
| $24$ | $5$ | $(1,6,5,8,9)(2,3,10,4,7)$ | $0$ |
| $20$ | $6$ | $(1,10,6,7,8,2)(3,5)(4,9)$ | $1$ |
| $20$ | $6$ | $(1,10,6,7,8,2)(3,9)(4,5)$ | $-1$ |
| $20$ | $6$ | $(1,6,8)(2,10,7)(3,4)(5,9)$ | $1$ |
| $24$ | $10$ | $(1,10,6,4,5,7,8,2,9,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
