Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 26.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{5} + 4 x + 11 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a + 1 + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 1\right)\cdot 13 + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2}\right)\cdot 13^{2} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{4} + 8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9 + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13 + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{3} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{3} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{15} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3}\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{24} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a + 1 + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13 + \left(4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{9} + \left(4 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{15} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5 + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13 + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{5} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{7} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{11} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{4} + 10 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{19} + \left(8 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{4} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 2 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + a + 9 + \left(a^{3} + a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{2} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{6} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{7} + \left(4 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{8} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{4} + 12 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{19} + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{3} + 4 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12 + \left(9 a^{4} + 10 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13 + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(6 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{6} + \left(a^{3} + a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(6 a^{4} + 8 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{17} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{18} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{4} + a + 5\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2}\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{23} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 12 + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13 + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(a^{4} + 11 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 9 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{8} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{3} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 5 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a + 9\right)\cdot 13 + \left(a^{4} + a^{3} + a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{3} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 12\right)\cdot 13^{5} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{9} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{11} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{4} + 11 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + 11 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{22} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 9 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 10 + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13 + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{6} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{10} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{16} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4\right)\cdot 13^{17} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{4} + 10 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 10 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 6 + \left(4 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{2} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{3} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{4} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{15} + \left(5 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{16} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{3} + 6 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{22} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{23} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5\right)\cdot 13^{25} +O\left(13^{ 26 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Cycle notation |
| $(1,5,6)(3,10,9)$ |
| $(1,2,4,10,7,8)(3,6)(5,9)$ |
| $(1,10)(2,7)(3,6)(4,8)(5,9)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 10 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $5$ |
| $1$ | $2$ | $(1,10)(2,7)(3,6)(4,8)(5,9)$ | $-5$ |
| $15$ | $2$ | $(1,8)(2,6)(3,7)(4,10)(5,9)$ | $-1$ |
| $15$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(6,7)(8,10)$ | $1$ |
| $20$ | $3$ | $(1,5,6)(3,10,9)$ | $-1$ |
| $12$ | $5$ | $(1,6,4,5,7)(2,10,3,8,9)$ | $0$ |
| $12$ | $5$ | $(1,6,4,7,5)(2,9,10,3,8)$ | $0$ |
| $20$ | $6$ | $(1,2,4,10,7,8)(3,6)(5,9)$ | $1$ |
| $12$ | $10$ | $(1,9,6,2,4,10,5,3,7,8)$ | $0$ |
| $12$ | $10$ | $(1,2,5,8,6,10,7,9,4,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
