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Properties

Label 5.2e10_11e4_23e4.10t8.2c1
Dimension 5
Group $C_2^4 : C_5$
Conductor $ 2^{10} \cdot 11^{4} \cdot 23^{4}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$5$
Group:$C_2^4 : C_5$
Conductor:$4195483730944= 2^{10} \cdot 11^{4} \cdot 23^{4} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{10} - 20 x^{8} + 149 x^{6} - 519 x^{4} + 851 x^{2} - 529 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $C_2^4 : C_5$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 13 }$ to precision 57.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 13 }$: $ x^{5} + 4 x + 11 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 8 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 11 + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13 + \left(9 a^{4} + 10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{4} + 9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{3} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{4} + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{4} + 6 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{11} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{16} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{17} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{3} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{21} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{25} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{27} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{29} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{33} + \left(8 a^{4} + 9 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{43} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{46} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{4} + 7 a^{2}\right)\cdot 13^{48} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{51} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 6 + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13 + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{4} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{6} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 10\right)\cdot 13^{13} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{18} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{19} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(6 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{22} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{24} + \left(10 a^{4} + 8 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{4} + 5 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{4} + 11 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(8 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 9\right)\cdot 13^{31} + \left(a^{4} + 5 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{33} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{3} + 6 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{4} + 6 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{38} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{44} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{45} + \left(4 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{4} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{47} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{50} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 13^{51} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{55} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 12 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 9 a + 3 + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13 + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{5} + \left(6 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{10} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{11} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{12} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{13} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(8 a^{3} + 9 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 10\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 10 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{26} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{30} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{31} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(7 a^{4} + 8 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 13^{39} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 4 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{40} + \left(12 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{4} + a^{3} + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{44} + \left(7 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{45} + \left(a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{46} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{47} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{50} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a\right)\cdot 13^{51} + \left(12 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + a\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{53} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{4} + 4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{55} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 8 a^{4} + 9 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 9 + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13 + \left(4 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{4} + 11 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{7} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{8} + \left(12 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{10} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{12} + \left(4 a^{4} + 9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{13} + \left(7 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{14} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{16} + \left(2 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{4} + 3 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{19} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{20} + \left(8 a^{4} + 3 a^{2} + a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + a + 12\right)\cdot 13^{24} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{25} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(4 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{27} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{28} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{31} + \left(5 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 13^{32} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{34} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{36} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 8 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(11 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{39} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 13^{40} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 13^{42} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a\right)\cdot 13^{43} + \left(3 a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{44} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{45} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{46} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{47} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{48} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 13^{49} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{51} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{54} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{55} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 9 a^{4} + 9 a^{3} + 7 + \left(2 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a + 12\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(3 a^{4} + 7 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{4} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{5} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{7} + \left(a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{10} + \left(4 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{11} + \left(3 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{12} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{13} + \left(8 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{14} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{15} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{16} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{20} + \left(7 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{23} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{4} + 8 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{25} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{26} + \left(10 a^{3} + 8 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{27} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{30} + \left(3 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{31} + \left(3 a^{4} + a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(2 a^{4} + 7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{38} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{39} + \left(7 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(8 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{42} + \left(a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{43} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{45} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{46} + \left(4 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{3} + 8 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{48} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 11 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 13^{50} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{51} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{4} + a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 12\right)\cdot 13^{54} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 2 a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + a + 1\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 5 a^{4} + 8 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 2 + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13 + \left(3 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{2} + \left(a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{3} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{4} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + a + 10\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{3} + 6 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{4} + a^{2} + 11\right)\cdot 13^{7} + \left(3 a^{3} + a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{10} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{11} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{12} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 13^{13} + \left(5 a^{4} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{15} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{16} + \left(8 a^{4} + 4 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(12 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{19} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a + 6\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{21} + \left(2 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 13^{23} + \left(4 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{25} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{28} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{29} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 7\right)\cdot 13^{30} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a\right)\cdot 13^{32} + \left(11 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{33} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 13^{34} + \left(12 a^{4} + 10 a^{3} + a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{35} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + a^{2} + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{37} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{4} + 7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{4} + 2 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 13^{40} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 2 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{42} + \left(9 a^{4} + 2 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{43} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{46} + \left(2 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 12 a + 12\right)\cdot 13^{48} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 13^{49} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(11 a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{51} + \left(10 a^{4} + 8 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{53} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a\right)\cdot 13^{54} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(9 a^{4} + 2 a^{3} + 9 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 10 a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 11 a + 7 + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13 + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{3} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + a + 5\right)\cdot 13^{4} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{6} + \left(8 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{8} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{9} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(5 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{12} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{13} + \left(10 a^{4} + 7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 13^{14} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 13^{15} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 13^{18} + \left(11 a^{4} + 10 a^{3} + 7 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{19} + \left(9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 13^{20} + \left(11 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{21} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 13^{22} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{24} + \left(2 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{25} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 7 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{26} + \left(6 a^{4} + 2 a^{3} + 4\right)\cdot 13^{27} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{28} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 13^{29} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 13^{31} + \left(11 a^{4} + 7 a^{3} + 8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{32} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{33} + \left(2 a^{3} + 7 a^{2} + 2\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{35} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a\right)\cdot 13^{36} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 13^{37} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 6 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{38} + \left(8 a^{4} + 11 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{41} + \left(5 a^{3} + 12 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a + 4\right)\cdot 13^{43} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{44} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{45} + \left(8 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{46} + \left(12 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2}\right)\cdot 13^{48} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(8 a^{4} + 8 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{50} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 13^{51} + \left(4 a^{4} + 7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{52} + \left(9 a^{4} + 9 a^{3} + 3 a^{2} + 3\right)\cdot 13^{53} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(2 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{55} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ a^{4} + 5 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 10 + \left(2 a^{4} + 2 a^{3} + 2\right)\cdot 13 + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{2} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{3} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{4} + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{5} + \left(12 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{6} + \left(2 a^{4} + 9 a^{2} + 6\right)\cdot 13^{7} + \left(10 a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{8} + \left(9 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{9} + \left(10 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(9 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{11} + \left(4 a^{4} + a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{12} + \left(5 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{13} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 13^{14} + \left(8 a^{4} + 7 a^{3} + 6 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{15} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{4} + 8 a^{3} + 2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{4} + a^{3} + 2 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 8\right)\cdot 13^{20} + \left(3 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{21} + \left(3 a^{4} + 5 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{4} + a^{3} + 7 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 13^{23} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 13^{24} + \left(9 a^{4} + 7 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 13^{25} + \left(4 a^{4} + 2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 13^{26} + \left(a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + a + 12\right)\cdot 13^{27} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a\right)\cdot 13^{28} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{30} + \left(2 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 13^{31} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 3 a^{2} + 7\right)\cdot 13^{32} + \left(3 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{35} + 4 a^{2}13^{36} + \left(10 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{37} + \left(5 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(7 a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 13^{39} + \left(a^{4} + 11 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 13^{40} + \left(a^{3} + 5 a + 10\right)\cdot 13^{41} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 4 a + 11\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 13^{43} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{44} + \left(5 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{45} + \left(11 a^{4} + 8 a^{3} + 11 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 13^{46} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{47} + \left(2 a^{4} + 8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(10 a^{4} + 11 a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{49} + \left(a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{50} + \left(7 a^{4} + 2 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a + 12\right)\cdot 13^{51} + \left(5 a^{3} + 11 a + 12\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{53} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 13^{55} + \left(5 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 5 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 9 a + 4 + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13 + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{3} + \left(4 a^{4} + a^{3} + 5 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{4} + \left(12 a^{4} + 3 a^{3} + 6 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 13^{5} + \left(8 a^{4} + 10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 13^{6} + \left(6 a^{4} + 7 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 13^{7} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 10 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{8} + \left(4 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{9} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 12\right)\cdot 13^{10} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 13^{11} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{12} + \left(8 a^{4} + 12 a^{3} + 3 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{14} + \left(2 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 13^{15} + \left(12 a^{4} + 7 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 13^{16} + \left(10 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(11 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a + 6\right)\cdot 13^{18} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 10 a^{2} + a + 11\right)\cdot 13^{19} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{20} + \left(4 a^{4} + 12 a^{3} + 9 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{21} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{22} + \left(11 a^{4} + 6 a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{23} + \left(6 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 11 a\right)\cdot 13^{24} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{25} + \left(a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(8 a^{4} + 8 a^{3} + 9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{27} + \left(4 a^{4} + 5 a^{3} + 2 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 13^{28} + \left(a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 13^{29} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 5 a^{2} + 5 a\right)\cdot 13^{30} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 13^{31} + \left(7 a^{4} + 3 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 13^{32} + \left(10 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 5\right)\cdot 13^{33} + \left(10 a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2}\right)\cdot 13^{34} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 13^{35} + \left(4 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + a\right)\cdot 13^{36} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 13^{37} + \left(a^{4} + 10 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 13^{38} + \left(5 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 13^{39} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 3 a + 1\right)\cdot 13^{40} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 13^{41} + \left(7 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 13^{42} + \left(5 a^{4} + a^{3} + 12 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 13^{43} + \left(12 a^{4} + 9 a^{3} + 5 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 13^{44} + \left(3 a^{4} + 9 a^{3} + 11 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 13^{45} + \left(3 a^{4} + 3 a^{2} + a\right)\cdot 13^{46} + \left(a^{4} + 9 a^{3} + 6 a^{2} + 1\right)\cdot 13^{47} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 13^{48} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 13^{49} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{3} + 10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 13^{51} + \left(11 a^{4} + 3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 13^{52} + \left(3 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 13^{53} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 13^{54} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{55} + \left(10 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a^{2} + 11\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$
$r_{ 10 }$ $=$ $ 4 a^{4} + 4 a^{3} + 6 + \left(10 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a\right)\cdot 13 + \left(12 a^{3} + 9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 13^{2} + \left(9 a^{4} + 5 a^{3} + 8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 13^{3} + \left(2 a^{4} + 11 a^{3} + 6 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{4} + \left(3 a^{4} + 11 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{5} + \left(7 a^{4} + 7 a^{3} + 10 a + 5\right)\cdot 13^{6} + \left(10 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2}\right)\cdot 13^{7} + \left(11 a^{4} + 4 a^{3} + 3 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 13^{8} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 12 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{9} + \left(2 a^{4} + 3 a^{3} + 12 a + 9\right)\cdot 13^{10} + \left(8 a^{4} + 4 a^{3} + 9 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 13^{11} + \left(9 a^{4} + 11 a^{3} + 9 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 13^{12} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{13} + \left(12 a^{4} + 4 a^{3} + a + 11\right)\cdot 13^{14} + \left(3 a^{4} + 8 a^{3} + 8 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{15} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a + 1\right)\cdot 13^{16} + \left(7 a^{4} + 10 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 13^{17} + \left(a^{4} + 5 a^{3} + 7 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 13^{18} + \left(9 a^{3} + 5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 13^{19} + \left(2 a^{4} + a^{3} + 3 a + 2\right)\cdot 13^{20} + \left(5 a^{4} + a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 13^{21} + \left(11 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 13^{22} + \left(10 a^{4} + 2 a^{3} + 12 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{23} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{24} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 13^{25} + \left(5 a^{4} + 10 a^{3} + 8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{26} + \left(12 a^{4} + 2 a^{3} + 4 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 13^{27} + \left(7 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 3 a\right)\cdot 13^{28} + \left(3 a^{4} + 10 a^{3} + 9 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{29} + \left(3 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{30} + \left(9 a^{4} + 6 a^{3} + 9 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 13^{31} + \left(9 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 13^{32} + \left(12 a^{4} + 12 a^{3} + 2 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 13^{33} + \left(9 a^{4} + 10 a^{3} + 11 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 13^{34} + \left(9 a^{4} + 3 a^{3} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{35} + \left(8 a^{4} + 3 a^{3} + 2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 13^{36} + \left(6 a^{4} + 5 a^{3} + 5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 13^{37} + \left(10 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 13^{38} + \left(6 a^{3} + 8 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 13^{39} + \left(5 a^{4} + 8 a^{3} + 3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 13^{40} + \left(8 a^{4} + 2 a^{3} + 3 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 13^{41} + \left(4 a^{4} + 3 a^{3} + 10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 13^{42} + \left(11 a^{4} + 5 a^{3} + 9 a + 7\right)\cdot 13^{43} + \left(5 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 12\right)\cdot 13^{44} + \left(6 a^{4} + 12 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 13^{45} + \left(7 a^{4} + 8 a^{3} + 7 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{46} + \left(8 a^{4} + 6 a^{3} + 10 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 13^{47} + \left(12 a^{4} + 4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 13^{48} + \left(9 a^{4} + a^{3} + a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 13^{49} + \left(6 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 13^{50} + \left(10 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 13^{51} + \left(9 a^{4} + 4 a^{3} + 10 a^{2} + 9\right)\cdot 13^{52} + \left(6 a^{4} + 11 a^{3} + a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 13^{53} + \left(9 a^{4} + a^{3} + 10 a^{2} + 4 a\right)\cdot 13^{54} + \left(5 a^{4} + 5 a^{3} + 10 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 13^{55} + \left(6 a^{4} + 9 a^{3} + 2 a^{2} + 11 a + 11\right)\cdot 13^{56} +O\left(13^{ 57 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 10 }$

Cycle notation
$(2,7)(3,8)$
$(1,8,4,2,10)(3,9,7,5,6)$
$(4,9)(5,10)$
$(1,6)(5,10)$
$(3,8)(5,10)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 10 }$ Character value
$1$$1$$()$$5$
$5$$2$$(1,6)(5,10)$$-3$
$5$$2$$(2,7)(3,8)$$1$
$5$$2$$(1,6)(2,7)(3,8)(5,10)$$1$
$16$$5$$(1,8,4,2,10)(3,9,7,5,6)$$0$
$16$$5$$(1,4,10,8,2)(3,7,6,9,5)$$0$
$16$$5$$(1,2,8,10,4)(3,5,9,6,7)$$0$
$16$$5$$(1,10,2,4,8)(3,6,5,7,9)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.