Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 23 }$ to precision 35.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 23 }$: $ x^{2} + 21 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 7 a + 18 + \left(9 a + 11\right)\cdot 23 + \left(7 a + 19\right)\cdot 23^{2} + \left(a + 22\right)\cdot 23^{3} + \left(19 a + 13\right)\cdot 23^{4} + \left(4 a + 22\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(3 a + 22\right)\cdot 23^{7} + \left(19 a + 21\right)\cdot 23^{8} + \left(10 a + 4\right)\cdot 23^{9} + \left(22 a + 8\right)\cdot 23^{10} + \left(12 a + 17\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a + 9\right)\cdot 23^{12} + \left(17 a + 19\right)\cdot 23^{13} + 18 a\cdot 23^{14} + \left(16 a + 5\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a + 8\right)\cdot 23^{16} + \left(7 a + 11\right)\cdot 23^{17} + \left(8 a + 6\right)\cdot 23^{18} + \left(a + 9\right)\cdot 23^{19} + 19 a\cdot 23^{20} + \left(4 a + 6\right)\cdot 23^{21} + \left(6 a + 19\right)\cdot 23^{22} + \left(16 a + 19\right)\cdot 23^{23} + \left(20 a + 8\right)\cdot 23^{24} + \left(21 a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(21 a + 16\right)\cdot 23^{26} + \left(17 a + 17\right)\cdot 23^{27} + \left(10 a + 7\right)\cdot 23^{28} + \left(8 a + 3\right)\cdot 23^{29} + 17\cdot 23^{30} + \left(12 a + 5\right)\cdot 23^{31} + \left(22 a + 4\right)\cdot 23^{32} + \left(5 a + 11\right)\cdot 23^{33} + 16\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 5 + 8\cdot 23 + 17\cdot 23^{2} + 20\cdot 23^{3} + 23^{4} + 17\cdot 23^{5} + 2\cdot 23^{6} + 14\cdot 23^{7} + 21\cdot 23^{8} + 13\cdot 23^{9} + 16\cdot 23^{10} + 16\cdot 23^{11} + 20\cdot 23^{12} + 2\cdot 23^{13} + 14\cdot 23^{14} + 5\cdot 23^{15} + 12\cdot 23^{16} + 23^{17} + 21\cdot 23^{18} + 13\cdot 23^{19} + 11\cdot 23^{20} + 19\cdot 23^{21} + 22\cdot 23^{22} + 11\cdot 23^{23} + 18\cdot 23^{24} + 6\cdot 23^{25} + 14\cdot 23^{26} + 3\cdot 23^{27} + 17\cdot 23^{28} + 5\cdot 23^{29} + 13\cdot 23^{30} + 10\cdot 23^{31} + 13\cdot 23^{32} + 17\cdot 23^{33} + 15\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 20 a + 18 + \left(19 a + 6\right)\cdot 23 + \left(19 a + 18\right)\cdot 23^{2} + \left(6 a + 21\right)\cdot 23^{3} + 10 a\cdot 23^{4} + \left(17 a + 15\right)\cdot 23^{5} + \left(6 a + 8\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a + 16\right)\cdot 23^{7} + \left(2 a + 10\right)\cdot 23^{8} + \left(2 a + 10\right)\cdot 23^{9} + \left(18 a + 4\right)\cdot 23^{10} + \left(9 a + 3\right)\cdot 23^{11} + \left(9 a + 5\right)\cdot 23^{12} + \left(2 a + 15\right)\cdot 23^{13} + a\cdot 23^{14} + \left(4 a + 2\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a + 6\right)\cdot 23^{16} + \left(a + 17\right)\cdot 23^{17} + \left(10 a + 22\right)\cdot 23^{18} + \left(20 a + 12\right)\cdot 23^{19} + \left(7 a + 16\right)\cdot 23^{20} + \left(7 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(18 a + 7\right)\cdot 23^{22} + \left(14 a + 11\right)\cdot 23^{23} + \left(21 a + 17\right)\cdot 23^{24} + \left(2 a + 2\right)\cdot 23^{25} + 20 a\cdot 23^{26} + \left(22 a + 14\right)\cdot 23^{27} + 14\cdot 23^{28} + \left(2 a + 18\right)\cdot 23^{29} + \left(11 a + 3\right)\cdot 23^{30} + \left(5 a + 4\right)\cdot 23^{31} + \left(17 a + 10\right)\cdot 23^{32} + \left(3 a + 16\right)\cdot 23^{33} + \left(5 a + 7\right)\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 16 a + 9 + 13 a\cdot 23 + \left(15 a + 2\right)\cdot 23^{2} + \left(21 a + 18\right)\cdot 23^{3} + \left(3 a + 4\right)\cdot 23^{4} + \left(18 a + 13\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a + 3\right)\cdot 23^{6} + 19 a\cdot 23^{7} + \left(3 a + 11\right)\cdot 23^{8} + \left(12 a + 7\right)\cdot 23^{9} + 19\cdot 23^{10} + \left(10 a + 20\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a + 6\right)\cdot 23^{12} + \left(5 a + 15\right)\cdot 23^{13} + \left(4 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(6 a + 19\right)\cdot 23^{15} + \left(4 a + 5\right)\cdot 23^{16} + \left(15 a + 8\right)\cdot 23^{17} + \left(14 a + 15\right)\cdot 23^{18} + \left(21 a + 3\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a + 14\right)\cdot 23^{20} + \left(18 a + 19\right)\cdot 23^{21} + \left(16 a + 3\right)\cdot 23^{22} + 6 a\cdot 23^{23} + \left(2 a + 11\right)\cdot 23^{24} + \left(a + 18\right)\cdot 23^{25} + \left(a + 15\right)\cdot 23^{26} + \left(5 a + 8\right)\cdot 23^{27} + \left(12 a + 11\right)\cdot 23^{28} + \left(14 a + 9\right)\cdot 23^{29} + \left(22 a + 9\right)\cdot 23^{30} + \left(10 a + 6\right)\cdot 23^{31} + 14\cdot 23^{32} + 17 a\cdot 23^{33} + \left(22 a + 11\right)\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 13 a + 19 + \left(6 a + 4\right)\cdot 23 + \left(7 a + 22\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a + 8\right)\cdot 23^{3} + \left(2 a + 18\right)\cdot 23^{4} + 4\cdot 23^{5} + \left(5 a + 18\right)\cdot 23^{6} + \left(10 a + 10\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a + 13\right)\cdot 23^{8} + \left(7 a + 15\right)\cdot 23^{9} + \left(15 a + 2\right)\cdot 23^{10} + \left(2 a + 6\right)\cdot 23^{11} + \left(16 a + 16\right)\cdot 23^{12} + \left(15 a + 21\right)\cdot 23^{13} + \left(6 a + 22\right)\cdot 23^{14} + \left(8 a + 6\right)\cdot 23^{15} + \left(10 a + 9\right)\cdot 23^{16} + 11\cdot 23^{17} + 9\cdot 23^{18} + \left(10 a + 19\right)\cdot 23^{19} + \left(3 a + 12\right)\cdot 23^{20} + \left(8 a + 13\right)\cdot 23^{21} + \left(8 a + 8\right)\cdot 23^{22} + \left(13 a + 8\right)\cdot 23^{23} + \left(4 a + 3\right)\cdot 23^{24} + \left(17 a + 16\right)\cdot 23^{25} + \left(6 a + 18\right)\cdot 23^{26} + \left(9 a + 2\right)\cdot 23^{27} + \left(13 a + 3\right)\cdot 23^{28} + \left(16 a + 15\right)\cdot 23^{29} + \left(19 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(6 a + 8\right)\cdot 23^{31} + \left(19 a + 12\right)\cdot 23^{32} + \left(2 a + 14\right)\cdot 23^{33} + \left(7 a + 10\right)\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 15 + 5\cdot 23 + 13\cdot 23^{2} + 5\cdot 23^{3} + 2\cdot 23^{4} + 7\cdot 23^{6} + 17\cdot 23^{7} + 4\cdot 23^{8} + 8\cdot 23^{9} + 22\cdot 23^{10} + 3\cdot 23^{11} + 19\cdot 23^{12} + 15\cdot 23^{13} + 11\cdot 23^{14} + 3\cdot 23^{15} + 18\cdot 23^{16} + 23^{17} + 12\cdot 23^{18} + 18\cdot 23^{19} + 14\cdot 23^{20} + 6\cdot 23^{21} + 21\cdot 23^{22} + 13\cdot 23^{23} + 10\cdot 23^{24} + 19\cdot 23^{25} + 19\cdot 23^{26} + 13\cdot 23^{27} + 6\cdot 23^{29} + 13\cdot 23^{30} + 4\cdot 23^{31} + 23^{33} + 17\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 3 a + 12 + \left(3 a + 3\right)\cdot 23 + \left(3 a + 15\right)\cdot 23^{2} + \left(16 a + 15\right)\cdot 23^{3} + \left(12 a + 14\right)\cdot 23^{4} + \left(5 a + 16\right)\cdot 23^{5} + \left(16 a + 4\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a + 7\right)\cdot 23^{7} + \left(20 a + 5\right)\cdot 23^{8} + \left(20 a + 12\right)\cdot 23^{9} + \left(4 a + 15\right)\cdot 23^{10} + \left(13 a + 4\right)\cdot 23^{11} + \left(13 a + 14\right)\cdot 23^{12} + \left(20 a + 10\right)\cdot 23^{13} + 21 a\cdot 23^{14} + \left(18 a + 9\right)\cdot 23^{15} + \left(18 a + 10\right)\cdot 23^{16} + \left(21 a + 15\right)\cdot 23^{17} + \left(12 a + 18\right)\cdot 23^{18} + \left(2 a + 20\right)\cdot 23^{19} + \left(15 a + 11\right)\cdot 23^{20} + \left(15 a + 3\right)\cdot 23^{21} + \left(4 a + 14\right)\cdot 23^{22} + \left(8 a + 22\right)\cdot 23^{23} + \left(a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(20 a + 9\right)\cdot 23^{25} + \left(2 a + 14\right)\cdot 23^{26} + 16\cdot 23^{27} + \left(22 a + 16\right)\cdot 23^{28} + \left(20 a + 21\right)\cdot 23^{29} + 11 a\cdot 23^{30} + \left(17 a + 4\right)\cdot 23^{31} + \left(5 a + 16\right)\cdot 23^{32} + \left(19 a + 6\right)\cdot 23^{33} + \left(17 a + 14\right)\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 22 + \left(16 a + 4\right)\cdot 23 + \left(15 a + 7\right)\cdot 23^{2} + \left(11 a + 1\right)\cdot 23^{3} + \left(20 a + 12\right)\cdot 23^{4} + \left(22 a + 2\right)\cdot 23^{5} + \left(17 a + 5\right)\cdot 23^{6} + \left(12 a + 3\right)\cdot 23^{7} + \left(11 a + 3\right)\cdot 23^{8} + \left(15 a + 19\right)\cdot 23^{9} + \left(7 a + 2\right)\cdot 23^{10} + \left(20 a + 19\right)\cdot 23^{11} + \left(6 a + 22\right)\cdot 23^{12} + \left(7 a + 13\right)\cdot 23^{13} + \left(16 a + 20\right)\cdot 23^{14} + \left(14 a + 16\right)\cdot 23^{15} + \left(12 a + 21\right)\cdot 23^{16} + \left(22 a + 1\right)\cdot 23^{17} + \left(22 a + 9\right)\cdot 23^{18} + \left(12 a + 16\right)\cdot 23^{19} + \left(19 a + 9\right)\cdot 23^{20} + \left(14 a + 3\right)\cdot 23^{21} + \left(14 a + 17\right)\cdot 23^{22} + \left(9 a + 3\right)\cdot 23^{23} + \left(18 a + 22\right)\cdot 23^{24} + \left(5 a + 22\right)\cdot 23^{25} + \left(16 a + 14\right)\cdot 23^{26} + \left(13 a + 14\right)\cdot 23^{27} + \left(9 a + 20\right)\cdot 23^{28} + \left(6 a + 11\right)\cdot 23^{29} + \left(3 a + 5\right)\cdot 23^{30} + \left(16 a + 2\right)\cdot 23^{31} + \left(3 a + 21\right)\cdot 23^{32} + 20 a\cdot 23^{33} + \left(15 a + 22\right)\cdot 23^{34} +O\left(23^{ 35 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,8)(5,7)$ |
| $(2,7,8)(3,6,5)$ |
| $(1,8,4,3)(2,5,6,7)$ |
| $(1,4)(2,5,6,7)(3,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,4)(2,6)(3,8)(5,7)$ |
$-4$ |
| $6$ |
$2$ |
$(3,8)(5,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,8)(2,5)(3,4)(6,7)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,4)(2,3)(6,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(2,7,8)(3,6,5)$ |
$1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,8,4,3)(2,5,6,7)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,2,4,6)(3,7,8,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,8,4,3)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,4)(2,5,6,7)(3,8)$ |
$2$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,8,2,4,3,6)(5,7)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,2,7,8,4,6,5,3)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,7,2,8,4,5,6,3)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
