Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 35.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{2} + 58 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 40 a + 14 + \left(56 a + 41\right)\cdot 59 + \left(34 a + 56\right)\cdot 59^{2} + \left(2 a + 16\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a + 19\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a + 48\right)\cdot 59^{5} + \left(57 a + 8\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a + 11\right)\cdot 59^{7} + \left(51 a + 45\right)\cdot 59^{8} + \left(43 a + 3\right)\cdot 59^{9} + \left(29 a + 48\right)\cdot 59^{10} + \left(39 a + 56\right)\cdot 59^{11} + \left(38 a + 17\right)\cdot 59^{12} + \left(43 a + 17\right)\cdot 59^{13} + \left(42 a + 28\right)\cdot 59^{14} + 53 a\cdot 59^{15} + \left(15 a + 32\right)\cdot 59^{16} + \left(44 a + 3\right)\cdot 59^{17} + \left(7 a + 16\right)\cdot 59^{18} + \left(53 a + 47\right)\cdot 59^{19} + \left(15 a + 42\right)\cdot 59^{20} + \left(31 a + 48\right)\cdot 59^{21} + \left(55 a + 36\right)\cdot 59^{22} + \left(26 a + 3\right)\cdot 59^{23} + \left(4 a + 32\right)\cdot 59^{24} + \left(7 a + 56\right)\cdot 59^{25} + \left(55 a + 55\right)\cdot 59^{26} + \left(56 a + 6\right)\cdot 59^{27} + \left(23 a + 54\right)\cdot 59^{28} + \left(34 a + 19\right)\cdot 59^{29} + \left(22 a + 20\right)\cdot 59^{30} + \left(5 a + 54\right)\cdot 59^{31} + \left(34 a + 32\right)\cdot 59^{32} + \left(27 a + 9\right)\cdot 59^{33} + \left(54 a + 25\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 26 a + 8 + \left(55 a + 53\right)\cdot 59 + \left(30 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(32 a + 18\right)\cdot 59^{3} + \left(16 a + 55\right)\cdot 59^{4} + \left(46 a + 4\right)\cdot 59^{5} + \left(53 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(35 a + 3\right)\cdot 59^{7} + \left(54 a + 25\right)\cdot 59^{8} + \left(18 a + 53\right)\cdot 59^{9} + \left(32 a + 47\right)\cdot 59^{10} + \left(35 a + 34\right)\cdot 59^{11} + \left(31 a + 32\right)\cdot 59^{12} + \left(38 a + 16\right)\cdot 59^{13} + \left(49 a + 37\right)\cdot 59^{14} + \left(55 a + 39\right)\cdot 59^{15} + \left(18 a + 29\right)\cdot 59^{16} + \left(30 a + 50\right)\cdot 59^{17} + \left(16 a + 18\right)\cdot 59^{18} + \left(17 a + 46\right)\cdot 59^{19} + \left(15 a + 33\right)\cdot 59^{20} + \left(53 a + 2\right)\cdot 59^{21} + \left(19 a + 57\right)\cdot 59^{22} + \left(45 a + 41\right)\cdot 59^{23} + \left(34 a + 1\right)\cdot 59^{24} + \left(29 a + 54\right)\cdot 59^{25} + \left(23 a + 56\right)\cdot 59^{26} + \left(36 a + 39\right)\cdot 59^{27} + \left(2 a + 15\right)\cdot 59^{28} + \left(31 a + 48\right)\cdot 59^{29} + \left(2 a + 45\right)\cdot 59^{30} + \left(4 a + 2\right)\cdot 59^{31} + \left(46 a + 17\right)\cdot 59^{32} + \left(19 a + 21\right)\cdot 59^{33} + \left(46 a + 43\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 20 + 42\cdot 59 + 16\cdot 59^{2} + 52\cdot 59^{3} + 40\cdot 59^{4} + 15\cdot 59^{5} + 15\cdot 59^{6} + 32\cdot 59^{7} + 28\cdot 59^{8} + 17\cdot 59^{9} + 37\cdot 59^{10} + 23\cdot 59^{11} + 42\cdot 59^{12} + 40\cdot 59^{13} + 57\cdot 59^{14} + 20\cdot 59^{15} + 40\cdot 59^{16} + 57\cdot 59^{17} + 16\cdot 59^{18} + 16\cdot 59^{19} + 21\cdot 59^{20} + 49\cdot 59^{21} + 11\cdot 59^{22} + 51\cdot 59^{23} + 10\cdot 59^{24} + 5\cdot 59^{25} + 11\cdot 59^{26} + 55\cdot 59^{27} + 7\cdot 59^{28} + 42\cdot 59^{29} + 10\cdot 59^{30} + 58\cdot 59^{31} + 17\cdot 59^{32} + 34\cdot 59^{33} + 53\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 34 + \left(3 a + 23\right)\cdot 59 + \left(28 a + 23\right)\cdot 59^{2} + \left(26 a + 20\right)\cdot 59^{3} + \left(42 a + 39\right)\cdot 59^{4} + \left(12 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(5 a + 45\right)\cdot 59^{6} + \left(23 a + 44\right)\cdot 59^{7} + \left(4 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(40 a + 17\right)\cdot 59^{9} + \left(26 a + 2\right)\cdot 59^{10} + \left(23 a + 38\right)\cdot 59^{11} + \left(27 a + 28\right)\cdot 59^{12} + \left(20 a + 23\right)\cdot 59^{13} + \left(9 a + 48\right)\cdot 59^{14} + \left(3 a + 45\right)\cdot 59^{15} + \left(40 a + 51\right)\cdot 59^{16} + \left(28 a + 2\right)\cdot 59^{17} + \left(42 a + 5\right)\cdot 59^{18} + \left(41 a + 47\right)\cdot 59^{19} + \left(43 a + 31\right)\cdot 59^{20} + \left(5 a + 40\right)\cdot 59^{21} + \left(39 a + 23\right)\cdot 59^{22} + \left(13 a + 8\right)\cdot 59^{23} + \left(24 a + 50\right)\cdot 59^{24} + \left(29 a + 48\right)\cdot 59^{25} + \left(35 a + 50\right)\cdot 59^{26} + \left(22 a + 52\right)\cdot 59^{27} + \left(56 a + 40\right)\cdot 59^{28} + \left(27 a + 17\right)\cdot 59^{29} + \left(56 a + 17\right)\cdot 59^{30} + \left(54 a + 4\right)\cdot 59^{31} + 12 a\cdot 59^{32} + \left(39 a + 54\right)\cdot 59^{33} + \left(12 a + 10\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 45 + 49\cdot 59 + 43\cdot 59^{2} + 18\cdot 59^{3} + 6\cdot 59^{4} + 36\cdot 59^{5} + 39\cdot 59^{6} + 41\cdot 59^{7} + 40\cdot 59^{8} + 29\cdot 59^{9} + 54\cdot 59^{10} + 20\cdot 59^{11} + 43\cdot 59^{12} + 36\cdot 59^{13} + 10\cdot 59^{14} + 39\cdot 59^{15} + 44\cdot 59^{16} + 21\cdot 59^{17} + 27\cdot 59^{18} + 49\cdot 59^{19} + 57\cdot 59^{20} + 32\cdot 59^{21} + 14\cdot 59^{22} + 23\cdot 59^{23} + 35\cdot 59^{24} + 29\cdot 59^{25} + 39\cdot 59^{26} + 36\cdot 59^{27} + 12\cdot 59^{28} + 22\cdot 59^{29} + 12\cdot 59^{30} + 46\cdot 59^{31} + 48\cdot 59^{32} + 28\cdot 59^{33} + 5\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 54 + \left(2 a + 57\right)\cdot 59 + \left(24 a + 34\right)\cdot 59^{2} + \left(56 a + 43\right)\cdot 59^{3} + \left(36 a + 38\right)\cdot 59^{4} + \left(28 a + 56\right)\cdot 59^{5} + \left(a + 35\right)\cdot 59^{6} + \left(52 a + 19\right)\cdot 59^{7} + \left(7 a + 30\right)\cdot 59^{8} + \left(15 a + 55\right)\cdot 59^{9} + \left(29 a + 33\right)\cdot 59^{10} + \left(19 a + 7\right)\cdot 59^{11} + \left(20 a + 17\right)\cdot 59^{12} + \left(15 a + 22\right)\cdot 59^{13} + \left(16 a + 27\right)\cdot 59^{14} + \left(5 a + 11\right)\cdot 59^{15} + \left(43 a + 53\right)\cdot 59^{16} + \left(14 a + 31\right)\cdot 59^{17} + \left(51 a + 38\right)\cdot 59^{18} + \left(5 a + 33\right)\cdot 59^{19} + \left(43 a + 5\right)\cdot 59^{20} + \left(27 a + 5\right)\cdot 59^{21} + \left(3 a + 2\right)\cdot 59^{22} + \left(32 a + 34\right)\cdot 59^{23} + \left(54 a + 9\right)\cdot 59^{24} + 51 a\cdot 59^{25} + \left(3 a + 45\right)\cdot 59^{26} + \left(2 a + 8\right)\cdot 59^{27} + \left(35 a + 21\right)\cdot 59^{28} + \left(24 a + 30\right)\cdot 59^{29} + \left(36 a + 8\right)\cdot 59^{30} + \left(53 a + 37\right)\cdot 59^{31} + \left(24 a + 2\right)\cdot 59^{32} + \left(31 a + 3\right)\cdot 59^{33} + \left(4 a + 52\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 41 a + 12 + \left(32 a + 47\right)\cdot 59 + \left(20 a + 41\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a + 35\right)\cdot 59^{3} + \left(51 a + 58\right)\cdot 59^{4} + \left(6 a + 41\right)\cdot 59^{5} + \left(29 a + 44\right)\cdot 59^{6} + \left(52 a + 29\right)\cdot 59^{7} + \left(9 a + 32\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a + 21\right)\cdot 59^{9} + \left(31 a + 32\right)\cdot 59^{10} + \left(39 a + 52\right)\cdot 59^{11} + \left(12 a + 10\right)\cdot 59^{12} + \left(40 a + 55\right)\cdot 59^{13} + \left(54 a + 5\right)\cdot 59^{14} + \left(40 a + 46\right)\cdot 59^{15} + \left(12 a + 35\right)\cdot 59^{16} + \left(17 a + 31\right)\cdot 59^{17} + \left(23 a + 53\right)\cdot 59^{18} + \left(52 a + 12\right)\cdot 59^{19} + \left(a + 17\right)\cdot 59^{20} + \left(57 a + 30\right)\cdot 59^{21} + \left(47 a + 49\right)\cdot 59^{22} + \left(5 a + 57\right)\cdot 59^{23} + \left(40 a + 30\right)\cdot 59^{24} + \left(16 a + 32\right)\cdot 59^{25} + \left(40 a + 35\right)\cdot 59^{26} + \left(49 a + 42\right)\cdot 59^{27} + \left(37 a + 47\right)\cdot 59^{28} + \left(39 a + 26\right)\cdot 59^{29} + \left(17 a + 12\right)\cdot 59^{30} + \left(38 a + 6\right)\cdot 59^{31} + \left(10 a + 13\right)\cdot 59^{32} + \left(2 a + 17\right)\cdot 59^{33} + \left(34 a + 36\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 18 a + 53 + \left(26 a + 38\right)\cdot 59 + \left(38 a + 29\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a + 29\right)\cdot 59^{3} + \left(7 a + 36\right)\cdot 59^{4} + \left(52 a + 56\right)\cdot 59^{5} + \left(29 a + 7\right)\cdot 59^{6} + \left(6 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(49 a + 48\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a + 36\right)\cdot 59^{9} + \left(27 a + 38\right)\cdot 59^{10} + \left(19 a + 1\right)\cdot 59^{11} + \left(46 a + 43\right)\cdot 59^{12} + \left(18 a + 23\right)\cdot 59^{13} + \left(4 a + 20\right)\cdot 59^{14} + \left(18 a + 32\right)\cdot 59^{15} + \left(46 a + 7\right)\cdot 59^{16} + \left(41 a + 36\right)\cdot 59^{17} + 35 a\cdot 59^{18} + \left(6 a + 42\right)\cdot 59^{19} + \left(57 a + 25\right)\cdot 59^{20} + \left(a + 26\right)\cdot 59^{21} + \left(11 a + 40\right)\cdot 59^{22} + \left(53 a + 15\right)\cdot 59^{23} + \left(18 a + 6\right)\cdot 59^{24} + \left(42 a + 9\right)\cdot 59^{25} + 18 a\cdot 59^{26} + \left(9 a + 52\right)\cdot 59^{27} + \left(21 a + 35\right)\cdot 59^{28} + \left(19 a + 28\right)\cdot 59^{29} + \left(41 a + 49\right)\cdot 59^{30} + \left(20 a + 26\right)\cdot 59^{31} + \left(48 a + 44\right)\cdot 59^{32} + \left(56 a + 8\right)\cdot 59^{33} + \left(24 a + 9\right)\cdot 59^{34} +O\left(59^{ 35 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,6,2,3)(4,5,7,8)$ |
| $(1,3)(5,7)$ |
| $(3,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,7)(2,4)(3,5)(6,8)$ |
$-4$ |
| $4$ |
$2$ |
$(2,4)$ |
$2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(2,4)(3,5)(6,8)$ |
$-2$ |
| $6$ |
$2$ |
$(1,7)(2,4)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,2)(3,6)(4,7)(5,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,3)(5,7)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,7)(2,6)(3,5)(4,8)$ |
$2$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)(5,7)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(2,3,6)(4,5,8)$ |
$1$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,2,7,4)(3,6,5,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,5,7,3)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,7)(2,8,4,6)(3,5)$ |
$2$ |
| $24$ |
$4$ |
$(1,2,7,4)(3,6)(5,8)$ |
$0$ |
| $24$ |
$4$ |
$(1,5,7,3)(2,4)$ |
$0$ |
| $48$ |
$4$ |
$(1,6,2,3)(4,5,7,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$6$ |
$(2,5,8,4,3,6)$ |
$1$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,7)(2,3,6)(4,5,8)$ |
$-1$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,7)(2,5,8,4,3,6)$ |
$-1$ |
| $48$ |
$8$ |
$(1,6,2,5,7,8,4,3)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
