# Properties

 Label 4.4338889.40t188.b.b Dimension $4$ Group $C_4.A_5$ Conductor $4338889$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $4$ Group: 24T576 Conductor: $$4338889$$$$\medspace = 2083^{2}$$ Artin stem field: 24.4.1537774657557415544813485393913449.2 Galois orbit size: $2$ Smallest permutation container: 40T188 Parity: even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $A_5$ Projective stem field: 5.1.4338889.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{24} + 5 x^{22} - 9 x^{21} - 17 x^{20} - 76 x^{19} - 136 x^{18} - 174 x^{17} - 166 x^{16} + 28 x^{15} + 141 x^{14} + 361 x^{13} + 448 x^{12} + 1384 x^{11} + 3389 x^{10} + 8270 x^{9} + 11234 x^{8} + 16185 x^{7} + 17718 x^{6} + 15868 x^{5} + 15966 x^{4} + 10226 x^{3} + 4276 x^{2} + 3258 x + 1459$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 89 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 89 }$: $$x^{10} + x^{6} + 16 x^{5} + 33 x^{4} + 82 x^{3} + 52 x^{2} + 4 x + 3$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$28 a^{9} + 77 a^{8} + 12 a^{7} + 22 a^{6} + 73 a^{5} + 17 a^{4} + 33 a^{3} + 60 a^{2} + 36 a + 12 + \left(26 a^{9} + 71 a^{8} + 48 a^{7} + 51 a^{6} + 77 a^{5} + 7 a^{4} + 86 a^{3} + 42 a^{2} + 4 a + 45\right)\cdot 89 + \left(12 a^{9} + 71 a^{8} + 42 a^{7} + 69 a^{6} + 21 a^{5} + 66 a^{4} + 31 a^{3} + 50 a^{2} + 78 a + 35\right)\cdot 89^{2} + \left(43 a^{9} + 56 a^{8} + 45 a^{7} + 29 a^{6} + 56 a^{5} + 60 a^{4} + 48 a^{3} + 4 a^{2} + 6 a\right)\cdot 89^{3} + \left(25 a^{9} + 21 a^{8} + 40 a^{7} + 11 a^{6} + 18 a^{5} + 65 a^{4} + 18 a^{3} + 66 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 89^{4} + \left(60 a^{9} + 20 a^{8} + 45 a^{7} + 33 a^{6} + 3 a^{5} + 88 a^{4} + 14 a^{3} + 26 a^{2} + 69 a + 15\right)\cdot 89^{5} + \left(43 a^{9} + 81 a^{8} + 21 a^{6} + 71 a^{5} + 11 a^{4} + 74 a^{3} + 78 a^{2} + 54 a + 74\right)\cdot 89^{6} + \left(83 a^{9} + 85 a^{8} + a^{7} + 76 a^{6} + 83 a^{5} + 64 a^{4} + 17 a^{3} + 62 a^{2} + 11 a + 51\right)\cdot 89^{7} + \left(28 a^{9} + 13 a^{8} + 58 a^{7} + 88 a^{6} + 37 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 41 a + 59\right)\cdot 89^{8} + \left(6 a^{9} + 81 a^{8} + 51 a^{7} + 37 a^{6} + a^{5} + 36 a^{4} + 86 a^{3} + 48 a^{2} + 51 a + 18\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$66 a^{9} + 48 a^{8} + 41 a^{7} + a^{6} + 64 a^{5} + 21 a^{4} + 46 a^{3} + 27 a^{2} + 34 a + 9 + \left(47 a^{9} + 66 a^{8} + 76 a^{7} + 36 a^{6} + 71 a^{5} + 48 a^{4} + 60 a^{3} + 17 a^{2} + 77 a + 37\right)\cdot 89 + \left(15 a^{9} + 16 a^{8} + 79 a^{7} + 40 a^{6} + 47 a^{5} + 5 a^{4} + 47 a^{3} + 36 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 89^{2} + \left(58 a^{9} + 77 a^{8} + 68 a^{7} + 8 a^{6} + 77 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 88\right)\cdot 89^{3} + \left(70 a^{9} + 9 a^{8} + 30 a^{7} + 57 a^{6} + 71 a^{5} + 29 a^{4} + 43 a^{3} + 12 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 89^{4} + \left(86 a^{9} + 39 a^{8} + 79 a^{7} + 10 a^{6} + 21 a^{5} + 27 a^{4} + 36 a^{3} + 42 a^{2} + 72 a + 13\right)\cdot 89^{5} + \left(67 a^{9} + 78 a^{8} + 80 a^{7} + 84 a^{6} + 77 a^{5} + 30 a^{4} + 60 a^{3} + a^{2} + 3 a + 26\right)\cdot 89^{6} + \left(7 a^{9} + 77 a^{8} + 74 a^{7} + 22 a^{6} + 61 a^{5} + 60 a^{4} + 83 a^{3} + 2 a^{2} + 21 a + 64\right)\cdot 89^{7} + \left(30 a^{9} + 2 a^{8} + 72 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + a^{4} + 39 a^{3} + 13 a^{2} + 70 a + 2\right)\cdot 89^{8} + \left(12 a^{9} + 79 a^{8} + 84 a^{7} + 34 a^{6} + 10 a^{5} + 82 a^{4} + 16 a^{3} + 66 a^{2} + 52 a + 14\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$61 a^{9} + 12 a^{8} + 77 a^{7} + 67 a^{6} + 16 a^{5} + 72 a^{4} + 56 a^{3} + 29 a^{2} + 53 a + 62 + \left(62 a^{9} + 17 a^{8} + 40 a^{7} + 37 a^{6} + 11 a^{5} + 81 a^{4} + 2 a^{3} + 46 a^{2} + 84 a + 36\right)\cdot 89 + \left(76 a^{9} + 17 a^{8} + 46 a^{7} + 19 a^{6} + 67 a^{5} + 22 a^{4} + 57 a^{3} + 38 a^{2} + 10 a + 48\right)\cdot 89^{2} + \left(45 a^{9} + 32 a^{8} + 43 a^{7} + 59 a^{6} + 32 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 84 a^{2} + 82 a + 27\right)\cdot 89^{3} + \left(63 a^{9} + 67 a^{8} + 48 a^{7} + 77 a^{6} + 70 a^{5} + 23 a^{4} + 70 a^{3} + 22 a^{2} + 59 a + 15\right)\cdot 89^{4} + \left(28 a^{9} + 68 a^{8} + 43 a^{7} + 55 a^{6} + 85 a^{5} + 74 a^{3} + 62 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 89^{5} + \left(45 a^{9} + 7 a^{8} + 88 a^{7} + 67 a^{6} + 17 a^{5} + 77 a^{4} + 14 a^{3} + 10 a^{2} + 34 a + 34\right)\cdot 89^{6} + \left(5 a^{9} + 3 a^{8} + 87 a^{7} + 12 a^{6} + 5 a^{5} + 24 a^{4} + 71 a^{3} + 26 a^{2} + 77 a + 39\right)\cdot 89^{7} + \left(60 a^{9} + 75 a^{8} + 30 a^{7} + 51 a^{5} + 62 a^{4} + 80 a^{3} + 78 a^{2} + 47 a + 83\right)\cdot 89^{8} + \left(82 a^{9} + 7 a^{8} + 37 a^{7} + 51 a^{6} + 87 a^{5} + 52 a^{4} + 2 a^{3} + 40 a^{2} + 37 a + 25\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$23 a^{9} + 41 a^{8} + 48 a^{7} + 88 a^{6} + 25 a^{5} + 68 a^{4} + 43 a^{3} + 62 a^{2} + 55 a + 76 + \left(41 a^{9} + 22 a^{8} + 12 a^{7} + 52 a^{6} + 17 a^{5} + 40 a^{4} + 28 a^{3} + 71 a^{2} + 11 a + 19\right)\cdot 89 + \left(73 a^{9} + 72 a^{8} + 9 a^{7} + 48 a^{6} + 41 a^{5} + 83 a^{4} + 41 a^{3} + 52 a^{2} + 60 a + 58\right)\cdot 89^{2} + \left(30 a^{9} + 11 a^{8} + 20 a^{7} + 80 a^{6} + 11 a^{5} + 85 a^{4} + 52 a^{3} + 84 a^{2} + 59 a + 75\right)\cdot 89^{3} + \left(18 a^{9} + 79 a^{8} + 58 a^{7} + 31 a^{6} + 17 a^{5} + 59 a^{4} + 45 a^{3} + 76 a^{2} + 72 a + 86\right)\cdot 89^{4} + \left(2 a^{9} + 49 a^{8} + 9 a^{7} + 78 a^{6} + 67 a^{5} + 61 a^{4} + 52 a^{3} + 46 a^{2} + 16 a + 66\right)\cdot 89^{5} + \left(21 a^{9} + 10 a^{8} + 8 a^{7} + 4 a^{6} + 11 a^{5} + 58 a^{4} + 28 a^{3} + 87 a^{2} + 85 a + 74\right)\cdot 89^{6} + \left(81 a^{9} + 11 a^{8} + 14 a^{7} + 66 a^{6} + 27 a^{5} + 28 a^{4} + 5 a^{3} + 86 a^{2} + 67 a + 35\right)\cdot 89^{7} + \left(58 a^{9} + 86 a^{8} + 16 a^{7} + 58 a^{6} + 79 a^{5} + 87 a^{4} + 49 a^{3} + 75 a^{2} + 18 a + 79\right)\cdot 89^{8} + \left(76 a^{9} + 9 a^{8} + 4 a^{7} + 54 a^{6} + 78 a^{5} + 6 a^{4} + 72 a^{3} + 22 a^{2} + 36 a + 65\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$57 a^{9} + 3 a^{8} + 62 a^{7} + 42 a^{6} + 24 a^{5} + 29 a^{3} + 52 a^{2} + 74 a + 59 + \left(73 a^{9} + 58 a^{8} + 67 a^{7} + 68 a^{6} + 12 a^{5} + 27 a^{4} + 41 a^{3} + 85 a^{2} + 82 a + 78\right)\cdot 89 + \left(37 a^{9} + 6 a^{8} + 24 a^{7} + 49 a^{6} + 86 a^{5} + 41 a^{4} + 10 a^{3} + 18 a^{2} + 31 a + 71\right)\cdot 89^{2} + \left(54 a^{9} + 16 a^{8} + 78 a^{7} + 20 a^{6} + 53 a^{5} + 56 a^{4} + 34 a^{3} + 31 a^{2} + 31 a + 82\right)\cdot 89^{3} + \left(42 a^{9} + 63 a^{8} + 17 a^{7} + 22 a^{6} + 66 a^{5} + 6 a^{4} + 54 a^{3} + 25 a^{2} + 12 a + 68\right)\cdot 89^{4} + \left(50 a^{9} + 35 a^{8} + 4 a^{7} + 53 a^{6} + 37 a^{5} + 33 a^{4} + 85 a^{3} + 45 a^{2} + 51 a + 46\right)\cdot 89^{5} + \left(35 a^{9} + 25 a^{8} + 54 a^{7} + 67 a^{6} + 51 a^{5} + 67 a^{4} + 63 a^{3} + 67 a^{2} + 25 a + 69\right)\cdot 89^{6} + \left(64 a^{9} + 64 a^{8} + 43 a^{7} + 61 a^{6} + 82 a^{5} + 57 a^{4} + 47 a^{3} + 31 a^{2} + 50 a + 34\right)\cdot 89^{7} + \left(82 a^{9} + 83 a^{8} + 39 a^{7} + 86 a^{6} + 44 a^{5} + 37 a^{4} + 87 a^{3} + 88 a^{2} + 81 a + 35\right)\cdot 89^{8} + \left(68 a^{9} + a^{8} + 45 a^{7} + 88 a^{6} + 73 a^{5} + 61 a^{4} + 2 a^{3} + 45 a^{2} + 32 a + 69\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$23 a^{9} + 73 a^{8} + 5 a^{7} + 45 a^{6} + 59 a^{5} + 48 a^{4} + 77 a^{3} + 53 a^{2} + 30 a + 41 + \left(68 a^{9} + 71 a^{8} + 62 a^{7} + 33 a^{6} + 77 a^{5} + 83 a^{4} + 25 a^{3} + 67 a^{2} + 88 a + 56\right)\cdot 89 + \left(24 a^{9} + 22 a^{8} + 78 a^{7} + 22 a^{6} + 6 a^{5} + 87 a^{4} + 48 a^{3} + 59 a^{2} + 15 a + 57\right)\cdot 89^{2} + \left(21 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 62 a^{6} + 45 a^{5} + 45 a^{4} + 66 a^{3} + 16 a^{2} + 52 a + 35\right)\cdot 89^{3} + \left(69 a^{9} + 48 a^{8} + 41 a^{7} + 22 a^{6} + 2 a^{5} + 34 a^{4} + 29 a^{3} + 15 a^{2} + 87 a + 11\right)\cdot 89^{4} + \left(43 a^{9} + 37 a^{8} + 3 a^{7} + 57 a^{6} + 24 a^{5} + 6 a^{4} + 59 a^{3} + 31 a^{2} + 36 a + 22\right)\cdot 89^{5} + \left(85 a^{9} + 84 a^{8} + 4 a^{7} + 50 a^{6} + 88 a^{5} + 38 a^{4} + 71 a^{3} + 45 a^{2} + 66 a + 71\right)\cdot 89^{6} + \left(52 a^{9} + 82 a^{8} + 78 a^{7} + 43 a^{6} + 15 a^{5} + 40 a^{4} + 56 a^{3} + 86 a^{2} + 88 a + 81\right)\cdot 89^{7} + \left(29 a^{9} + 84 a^{8} + 3 a^{7} + 46 a^{6} + 56 a^{5} + 55 a^{4} + 67 a^{3} + 21 a^{2} + 81 a + 51\right)\cdot 89^{8} + \left(81 a^{9} + 25 a^{8} + a^{7} + 52 a^{6} + 7 a^{5} + 21 a^{4} + 54 a^{3} + 11 a^{2} + 31 a + 48\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$56 a^{9} + 83 a^{8} + 42 a^{7} + 39 a^{6} + 64 a^{5} + 29 a^{4} + 68 a^{3} + 2 a^{2} + 23 a + 87 + \left(7 a^{9} + 38 a^{8} + 21 a^{7} + 11 a^{6} + 46 a^{5} + 33 a^{4} + 61 a^{3} + 85 a^{2} + 30 a + 77\right)\cdot 89 + \left(55 a^{9} + 75 a^{8} + 63 a^{7} + 35 a^{6} + 44 a^{5} + 87 a^{3} + 18 a^{2} + 81 a + 34\right)\cdot 89^{2} + \left(16 a^{9} + 25 a^{8} + 83 a^{7} + 24 a^{6} + 35 a^{5} + 25 a^{4} + 14 a^{3} + 53 a^{2} + 75 a + 35\right)\cdot 89^{3} + \left(74 a^{9} + a^{8} + 66 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 82 a^{4} + 9 a^{3} + 19 a + 53\right)\cdot 89^{4} + \left(7 a^{9} + 14 a^{8} + 33 a^{7} + 33 a^{6} + 28 a^{5} + 74 a^{4} + 11 a^{3} + 35 a^{2} + 80 a + 33\right)\cdot 89^{5} + \left(19 a^{9} + 43 a^{8} + 27 a^{7} + 66 a^{6} + 25 a^{5} + 39 a^{4} + 32 a^{3} + 67 a^{2} + 53 a + 76\right)\cdot 89^{6} + \left(63 a^{9} + 41 a^{8} + 41 a^{7} + 45 a^{6} + 51 a^{5} + 27 a^{4} + 85 a^{3} + 3 a^{2} + 25 a + 69\right)\cdot 89^{7} + \left(73 a^{9} + 76 a^{8} + 53 a^{7} + 42 a^{6} + 17 a^{5} + 61 a^{4} + 13 a^{3} + 81 a^{2} + 12 a + 85\right)\cdot 89^{8} + \left(41 a^{9} + 65 a^{8} + 78 a^{7} + 70 a^{6} + 30 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 28 a^{2} + 48 a + 85\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$54 a^{9} + 27 a^{8} + 66 a^{7} + 48 a^{6} + 60 a^{5} + 5 a^{4} + 56 a^{3} + 6 a^{2} + 16 a + 20 + \left(72 a^{9} + 54 a^{8} + 3 a^{7} + 47 a^{6} + 72 a^{5} + 54 a^{4} + 10 a^{3} + 14 a^{2} + 57 a + 62\right)\cdot 89 + \left(18 a^{9} + 52 a^{8} + 70 a^{7} + 44 a^{6} + 78 a^{5} + 14 a^{4} + 27 a^{3} + 40 a^{2} + 79 a + 84\right)\cdot 89^{2} + \left(66 a^{9} + 43 a^{8} + 49 a^{7} + 9 a^{6} + 78 a^{5} + 5 a^{4} + 2 a^{3} + 33 a^{2} + 25 a + 29\right)\cdot 89^{3} + \left(31 a^{9} + 41 a^{8} + 88 a^{7} + 64 a^{6} + 77 a^{5} + 53 a^{4} + 32 a^{3} + 74 a^{2} + 8 a + 64\right)\cdot 89^{4} + \left(5 a^{9} + 64 a^{8} + 35 a^{7} + 40 a^{6} + 88 a^{5} + 59 a^{4} + 20 a^{3} + 12 a^{2} + 80 a + 60\right)\cdot 89^{5} + \left(72 a^{9} + 33 a^{8} + 18 a^{7} + 55 a^{6} + 69 a^{5} + 52 a^{4} + 25 a^{3} + 44 a^{2} + 43 a + 84\right)\cdot 89^{6} + \left(77 a^{9} + 60 a^{8} + 28 a^{7} + 21 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 51 a^{3} + 7 a^{2} + 24 a + 60\right)\cdot 89^{7} + \left(74 a^{9} + 78 a^{8} + 47 a^{7} + 85 a^{6} + 79 a^{5} + 20 a^{4} + 2 a^{3} + 83 a^{2} + 25 a + 31\right)\cdot 89^{8} + \left(15 a^{9} + 70 a^{8} + 6 a^{7} + 14 a^{6} + 49 a^{5} + 62 a^{4} + 28 a^{3} + 34 a^{2} + 65 a + 26\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$87 a^{9} + 49 a^{8} + 50 a^{7} + 36 a^{6} + 69 a^{5} + 66 a^{4} + 9 a^{3} + 69 a^{2} + 38 a + 80 + \left(24 a^{9} + 10 a^{8} + 28 a^{7} + 30 a^{6} + a^{5} + 80 a^{4} + 17 a^{3} + 22 a^{2} + 28 a + 14\right)\cdot 89 + \left(69 a^{9} + 79 a^{8} + 3 a^{7} + 40 a^{6} + 43 a^{5} + 79 a^{4} + 71 a^{3} + 52 a^{2} + 32 a + 72\right)\cdot 89^{2} + \left(12 a^{9} + 11 a^{8} + 19 a^{7} + 29 a^{6} + 31 a^{5} + 50 a^{4} + 28 a^{3} + 85 a^{2} + 41 a + 79\right)\cdot 89^{3} + \left(19 a^{9} + 20 a^{8} + 54 a^{7} + 21 a^{6} + 81 a^{4} + 65 a^{3} + 21 a^{2} + 88 a + 22\right)\cdot 89^{4} + \left(59 a^{9} + 68 a^{8} + 79 a^{7} + 5 a^{6} + 73 a^{5} + 62 a^{4} + 73 a^{3} + 19 a^{2} + 66 a + 63\right)\cdot 89^{5} + \left(76 a^{9} + 25 a^{8} + 7 a^{7} + 64 a^{6} + 87 a^{5} + 83 a^{4} + 19 a^{3} + 39 a^{2} + 22 a + 87\right)\cdot 89^{6} + \left(27 a^{9} + 54 a^{8} + 50 a^{7} + 17 a^{6} + 39 a^{5} + 82 a^{4} + 25 a^{2} + 33 a + 39\right)\cdot 89^{7} + \left(28 a^{9} + 77 a^{8} + 52 a^{7} + 10 a^{6} + 68 a^{5} + 23 a^{4} + 78 a^{3} + 38 a^{2} + 4 a + 22\right)\cdot 89^{8} + \left(30 a^{9} + 27 a^{8} + 36 a^{7} + 83 a^{6} + 2 a^{5} + 71 a^{4} + 65 a^{3} + 10 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$20 a^{9} + 7 a^{8} + 72 a^{7} + 11 a^{6} + 5 a^{5} + 12 a^{4} + 85 a^{3} + 75 a^{2} + 11 a + 27 + \left(47 a^{9} + 41 a^{8} + 2 a^{7} + 73 a^{6} + 72 a^{5} + 66 a^{3} + 45 a^{2} + 67 a + 78\right)\cdot 89 + \left(40 a^{9} + 87 a^{8} + 16 a^{7} + 67 a^{6} + 6 a^{5} + 18 a^{4} + 14 a^{3} + 79 a^{2} + 85 a + 56\right)\cdot 89^{2} + \left(55 a^{9} + 65 a^{8} + 4 a^{7} + 75 a^{6} + 67 a^{5} + 48 a^{4} + 76 a^{3} + 73 a^{2} + 32 a + 12\right)\cdot 89^{3} + \left(30 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 80 a^{6} + 87 a^{5} + 15 a^{4} + 74 a^{3} + 15 a^{2} + 66 a + 10\right)\cdot 89^{4} + \left(17 a^{9} + 28 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 85 a^{5} + 52 a^{4} + 62 a^{3} + 14 a^{2} + 70 a + 77\right)\cdot 89^{5} + \left(82 a^{9} + 42 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 69 a^{5} + 54 a^{4} + 45 a^{3} + 64 a^{2} + 36 a + 67\right)\cdot 89^{6} + \left(35 a^{9} + 19 a^{8} + 26 a^{7} + 7 a^{6} + 50 a^{5} + 76 a^{4} + 70 a^{2} + 30 a + 45\right)\cdot 89^{7} + \left(17 a^{9} + 21 a^{8} + 86 a^{7} + 60 a^{6} + 4 a^{5} + 27 a^{4} + 59 a^{3} + 88 a^{2} + 52 a + 87\right)\cdot 89^{8} + \left(40 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 13 a^{6} + 49 a^{5} + 87 a^{4} + 33 a^{3} + 2 a^{2} + 45 a + 25\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$18 a^{9} + 34 a^{8} + 13 a^{7} + 54 a^{6} + 85 a^{5} + 46 a^{4} + 28 a^{3} + 23 a^{2} + 55 + \left(64 a^{9} + 40 a^{8} + 15 a^{7} + 4 a^{6} + 18 a^{5} + 35 a^{4} + 36 a^{3} + 13 a^{2} + 59 a + 32\right)\cdot 89 + \left(72 a^{9} + 2 a^{8} + 54 a^{7} + 77 a^{6} + 19 a^{5} + 54 a^{4} + 22 a^{3} + 70 a^{2} + 59 a + 54\right)\cdot 89^{2} + \left(74 a^{9} + 70 a^{8} + 73 a^{7} + 60 a^{6} + 42 a^{5} + 45 a^{4} + 83 a^{3} + 56 a^{2} + 42 a\right)\cdot 89^{3} + \left(57 a^{9} + 10 a^{8} + 37 a^{7} + 79 a^{6} + 17 a^{5} + 24 a^{4} + 13 a^{3} + 20 a^{2} + 42 a + 65\right)\cdot 89^{4} + \left(8 a^{9} + 55 a^{8} + 78 a^{7} + 77 a^{6} + 27 a^{5} + 41 a^{4} + 43 a^{3} + 85 a^{2} + 49 a + 14\right)\cdot 89^{5} + \left(62 a^{9} + 30 a^{8} + 54 a^{7} + 16 a^{6} + 78 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + a^{2} + 82 a + 75\right)\cdot 89^{6} + \left(20 a^{9} + 15 a^{8} + 63 a^{7} + 50 a^{6} + 42 a^{5} + 35 a^{4} + 67 a^{3} + 71 a^{2} + 7 a + 60\right)\cdot 89^{7} + \left(80 a^{9} + 19 a^{8} + 27 a^{7} + 15 a^{6} + 38 a^{5} + 43 a^{4} + 58 a^{3} + 78 a^{2} + 77 a + 76\right)\cdot 89^{8} + \left(75 a^{9} + 9 a^{8} + 5 a^{7} + 64 a^{6} + 18 a^{5} + 73 a^{4} + 34 a^{3} + 74 a^{2} + 54 a + 21\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$62 a^{9} + 8 a^{8} + 63 a^{7} + 25 a^{6} + 72 a^{5} + 44 a^{4} + 5 a^{3} + 73 a^{2} + 64 a + 13 + \left(9 a^{9} + 22 a^{8} + 33 a^{7} + 72 a^{6} + 54 a^{5} + 17 a^{4} + 21 a^{3} + 63 a^{2} + 63 a + 81\right)\cdot 89 + \left(51 a^{9} + 37 a^{8} + 29 a^{7} + 80 a^{6} + 8 a^{5} + 67 a^{4} + 73 a^{3} + 46 a^{2} + 81 a + 34\right)\cdot 89^{2} + \left(64 a^{9} + 4 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 24 a^{5} + 45 a^{4} + 35 a^{3} + 37 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 89^{3} + \left(55 a^{9} + 69 a^{8} + 82 a^{7} + 35 a^{6} + 59 a^{5} + 42 a^{4} + 85 a^{3} + 77 a^{2} + 21 a + 82\right)\cdot 89^{4} + \left(18 a^{9} + 72 a^{8} + 81 a^{6} + 53 a^{5} + 18 a^{4} + 7 a^{3} + 37 a^{2} + 56 a + 76\right)\cdot 89^{5} + \left(54 a^{9} + 32 a^{8} + 74 a^{7} + 80 a^{6} + 50 a^{5} + 26 a^{4} + 53 a^{3} + 9 a^{2} + 82 a + 82\right)\cdot 89^{6} + \left(55 a^{9} + 12 a^{8} + 6 a^{7} + 18 a^{6} + 57 a^{5} + 38 a^{4} + 5 a^{3} + 20 a^{2} + 84 a + 38\right)\cdot 89^{7} + \left(48 a^{9} + a^{8} + 52 a^{7} + 66 a^{6} + 88 a^{5} + 10 a^{4} + 88 a^{3} + 72 a^{2} + 85 a + 24\right)\cdot 89^{8} + \left(15 a^{9} + 69 a^{8} + 5 a^{7} + 67 a^{6} + 23 a^{5} + 46 a^{4} + 63 a^{3} + 73 a^{2} + 56 a + 85\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$53 a^{9} + 29 a^{8} + 79 a^{7} + 59 a^{6} + 74 a^{5} + 39 a^{4} + 2 a^{3} + 45 a^{2} + 84 a + 28 + \left(70 a^{9} + 51 a^{8} + 6 a^{7} + 83 a^{6} + 85 a^{5} + 11 a^{4} + 74 a^{3} + 23 a^{2} + 79 a + 55\right)\cdot 89 + \left(7 a^{9} + 61 a^{8} + 69 a^{7} + 13 a^{6} + 69 a^{5} + 78 a^{4} + 52 a^{3} + 84 a^{2} + 72 a + 44\right)\cdot 89^{2} + \left(25 a^{9} + a^{8} + 46 a^{7} + 11 a^{6} + 38 a^{5} + 85 a^{4} + 40 a^{3} + 81 a^{2} + 15 a + 81\right)\cdot 89^{3} + \left(40 a^{9} + 87 a^{8} + 29 a^{7} + 51 a^{6} + 71 a^{5} + 79 a^{4} + 47 a^{3} + 15 a^{2} + a + 83\right)\cdot 89^{4} + \left(69 a^{9} + 15 a^{8} + 15 a^{7} + 17 a^{6} + 28 a^{5} + 36 a^{4} + 61 a^{3} + 2 a^{2} + 30 a + 24\right)\cdot 89^{5} + \left(83 a^{9} + 48 a^{8} + 4 a^{7} + 43 a^{6} + 58 a^{5} + 14 a^{4} + 67 a^{3} + 17 a^{2} + 70 a + 8\right)\cdot 89^{6} + \left(6 a^{9} + 52 a^{8} + 18 a^{7} + 17 a^{6} + 33 a^{4} + 62 a^{3} + 11 a^{2} + 45 a + 9\right)\cdot 89^{7} + \left(75 a^{9} + 22 a^{8} + 47 a^{7} + 65 a^{6} + 20 a^{5} + 79 a^{4} + 70 a^{3} + 53 a^{2} + 79 a + 16\right)\cdot 89^{8} + \left(24 a^{9} + 23 a^{8} + 27 a^{7} + 34 a^{6} + 85 a^{5} + 32 a^{4} + 58 a^{3} + 75 a^{2} + 9 a + 48\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$42 a^{9} + 25 a^{8} + 32 a^{7} + 49 a^{6} + 66 a^{5} + 75 a^{4} + 34 a^{3} + 88 a^{2} + 78 a + 27 + \left(14 a^{9} + 88 a^{8} + 33 a^{7} + 49 a^{6} + 76 a^{5} + 77 a^{4} + 17 a^{3} + 61 a^{2} + 39 a + 9\right)\cdot 89 + \left(64 a^{9} + 58 a^{8} + 39 a^{7} + 86 a^{6} + 45 a^{5} + 82 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + 27 a + 46\right)\cdot 89^{2} + \left(21 a^{9} + 74 a^{8} + 24 a^{7} + 12 a^{6} + 80 a^{5} + 46 a^{4} + 79 a^{3} + 42 a^{2} + 7 a + 60\right)\cdot 89^{3} + \left(39 a^{9} + 24 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 79 a^{5} + 70 a^{4} + 32 a^{3} + 31 a^{2} + 69 a + 20\right)\cdot 89^{4} + \left(26 a^{9} + 87 a^{8} + 10 a^{7} + 27 a^{6} + 86 a^{5} + 69 a^{4} + 35 a^{3} + 61 a^{2} + 34 a + 29\right)\cdot 89^{5} + \left(51 a^{9} + 65 a^{8} + 54 a^{7} + 24 a^{6} + 67 a^{5} + 67 a^{4} + 56 a^{3} + 29 a^{2} + 13 a + 70\right)\cdot 89^{6} + \left(3 a^{9} + 48 a^{8} + 77 a^{7} + 34 a^{6} + 12 a^{5} + 35 a^{4} + 47 a^{3} + 57 a^{2} + 81 a + 17\right)\cdot 89^{7} + \left(51 a^{9} + 15 a^{8} + 33 a^{7} + 82 a^{6} + 31 a^{5} + 60 a^{4} + 76 a^{3} + 83 a^{2} + 55 a + 87\right)\cdot 89^{8} + \left(56 a^{9} + 63 a^{8} + 21 a^{7} + 2 a^{6} + 70 a^{5} + 75 a^{4} + 76 a^{3} + 8 a^{2} + 53 a + 51\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$3 a^{9} + 36 a^{8} + 31 a^{7} + 4 a^{6} + 60 a^{5} + 30 a^{4} + 27 a^{3} + 69 a^{2} + 11 a + 65 + \left(6 a^{9} + 86 a^{8} + 8 a^{7} + 14 a^{6} + 84 a^{5} + 25 a^{4} + 54 a^{3} + 50 a^{2} + 15 a + 80\right)\cdot 89 + \left(10 a^{9} + 76 a^{8} + 77 a^{7} + 18 a^{6} + 8 a^{5} + 61 a^{4} + 67 a^{3} + 85 a^{2} + 65 a + 8\right)\cdot 89^{2} + \left(72 a^{9} + 85 a^{8} + 30 a^{6} + 87 a^{5} + 6 a^{4} + 57 a^{3} + 71 a^{2} + 31 a + 88\right)\cdot 89^{3} + \left(22 a^{9} + 40 a^{8} + 66 a^{7} + 8 a^{6} + 27 a^{5} + 68 a^{4} + 37 a^{3} + 58 a^{2} + 86 a + 52\right)\cdot 89^{4} + \left(53 a^{9} + 81 a^{8} + 35 a^{7} + 52 a^{6} + 28 a^{5} + 73 a^{4} + 84 a^{3} + 66 a^{2} + 19 a + 46\right)\cdot 89^{5} + \left(52 a^{9} + 41 a^{8} + 77 a^{7} + 2 a^{6} + 45 a^{5} + 66 a^{4} + 11 a^{3} + 63 a^{2} + 78 a + 74\right)\cdot 89^{6} + \left(3 a^{9} + 12 a^{8} + 70 a^{7} + 57 a^{6} + 75 a^{5} + 39 a^{4} + 77 a^{3} + 22 a^{2} + 3 a + 51\right)\cdot 89^{7} + \left(70 a^{9} + 20 a^{8} + 27 a^{7} + 73 a^{6} + 4 a^{5} + 21 a^{4} + 52 a^{3} + 19 a^{2} + 80 a + 17\right)\cdot 89^{8} + \left(51 a^{9} + 3 a^{8} + 75 a^{7} + 42 a^{6} + 86 a^{5} + 29 a^{4} + 9 a^{3} + 8 a^{2} + 64 a + 60\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$7 a^{9} + 68 a^{8} + 72 a^{7} + 49 a^{6} + 27 a^{5} + 52 a^{4} + 31 a^{3} + 15 a^{2} + 70 a + 65 + \left(68 a^{9} + 85 a^{8} + 76 a^{7} + 9 a^{6} + 18 a^{5} + 54 a^{4} + 25 a^{3} + 11 a^{2} + 38 a + 2\right)\cdot 89 + \left(14 a^{9} + 46 a^{8} + 43 a^{7} + 73 a^{6} + 84 a^{5} + 79 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 41 a + 87\right)\cdot 89^{2} + \left(82 a^{9} + 66 a^{8} + 10 a^{7} + 82 a^{6} + 13 a^{5} + 13 a^{4} + 48 a^{3} + 49 a^{2} + 8 a + 76\right)\cdot 89^{3} + \left(60 a^{9} + 28 a^{8} + 11 a^{7} + 32 a^{6} + 47 a^{5} + 32 a^{4} + 54 a^{3} + 38 a^{2} + 36 a + 88\right)\cdot 89^{4} + \left(85 a^{9} + 69 a^{8} + 20 a^{7} + 42 a^{6} + 46 a^{5} + 86 a^{4} + 29 a^{3} + 67 a^{2} + 18 a + 25\right)\cdot 89^{5} + \left(17 a^{9} + 68 a^{8} + 32 a^{7} + 5 a^{6} + 57 a^{5} + 5 a^{4} + 51 a^{3} + 34 a^{2} + 24 a + 51\right)\cdot 89^{6} + \left(44 a^{8} + 69 a^{7} + 14 a^{6} + 35 a^{5} + 49 a^{4} + 67 a^{3} + 70 a^{2} + 51 a + 43\right)\cdot 89^{7} + \left(62 a^{9} + 50 a^{8} + 16 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{3} + 29 a^{2} + 74 a + 10\right)\cdot 89^{8} + \left(83 a^{9} + 70 a^{8} + 78 a^{7} + 29 a^{5} + 6 a^{4} + 29 a^{3} + 29 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$81 a^{9} + 20 a^{8} + 14 a^{7} + 62 a^{6} + 6 a^{5} + 21 a^{4} + 61 a^{3} + 13 a^{2} + 67 a + 27 + \left(6 a^{9} + 83 a^{8} + 82 a^{7} + 64 a^{6} + 66 a^{5} + 19 a^{4} + 60 a^{3} + 27 a^{2} + 38 a + 62\right)\cdot 89 + \left(53 a^{9} + 39 a^{8} + 51 a^{7} + 38 a^{6} + 2 a^{5} + 7 a^{4} + 67 a^{3} + 32 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 89^{2} + \left(86 a^{9} + 47 a^{8} + 62 a^{7} + 44 a^{6} + 59 a^{5} + 74 a^{4} + 77 a^{3} + 27 a^{2} + 53 a + 53\right)\cdot 89^{3} + \left(19 a^{9} + 27 a^{8} + 8 a^{7} + 59 a^{6} + 76 a^{5} + 29 a^{4} + 14 a^{3} + 37 a^{2} + 27 a + 66\right)\cdot 89^{4} + \left(46 a^{9} + 12 a^{8} + 62 a^{7} + 27 a^{6} + 45 a^{5} + 69 a^{4} + 83 a^{3} + 55 a^{2} + 76 a + 7\right)\cdot 89^{5} + \left(7 a^{9} + 17 a^{8} + 59 a^{7} + 39 a^{6} + 19 a^{5} + 4 a^{4} + 63 a^{3} + 26 a^{2} + 59 a + 17\right)\cdot 89^{6} + \left(79 a^{9} + 78 a^{8} + 28 a^{7} + 20 a^{6} + 68 a^{5} + 72 a^{4} + 71 a^{3} + 42 a^{2} + 4 a + 87\right)\cdot 89^{7} + \left(11 a^{9} + 10 a^{8} + 17 a^{7} + 42 a^{6} + 25 a^{5} + 2 a^{4} + 42 a^{3} + 62 a^{2} + 61 a + 72\right)\cdot 89^{8} + \left(46 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 4 a^{6} + 71 a^{5} + 43 a^{4} + 84 a^{3} + 45 a^{2} + 72 a\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$77 a^{9} + 86 a^{8} + 70 a^{7} + 15 a^{6} + 6 a^{5} + 39 a^{4} + 61 a^{3} + 23 a^{2} + 62 a + 43 + \left(37 a^{9} + 8 a^{8} + 35 a^{7} + 57 a^{6} + 87 a^{5} + 67 a^{4} + 69 a^{3} + 18 a^{2} + 76 a + 61\right)\cdot 89 + \left(29 a^{9} + 68 a^{8} + 78 a^{7} + 25 a^{6} + 83 a^{5} + 82 a^{4} + 75 a^{3} + 55 a^{2} + 23 a + 70\right)\cdot 89^{2} + \left(13 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 48 a^{6} + 21 a^{5} + 42 a^{4} + 68 a^{3} + 60 a^{2} + 83 a + 52\right)\cdot 89^{3} + \left(43 a^{9} + 51 a^{8} + 33 a^{7} + 10 a^{6} + 34 a^{5} + 21 a^{4} + 34 a^{3} + 33 a^{2} + 70 a + 65\right)\cdot 89^{4} + \left(9 a^{9} + 37 a^{8} + 73 a^{7} + 15 a^{6} + 51 a^{5} + 32 a^{4} + 15 a^{2} + 78 a + 75\right)\cdot 89^{5} + \left(73 a^{9} + 15 a^{8} + 63 a^{7} + 44 a^{6} + 55 a^{5} + 2 a^{4} + 50 a^{3} + a^{2} + 38 a + 18\right)\cdot 89^{6} + \left(46 a^{9} + 17 a^{8} + 28 a^{7} + 86 a^{6} + 2 a^{5} + 58 a^{4} + 78 a^{3} + 82 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 89^{7} + \left(76 a^{9} + 63 a^{8} + 26 a^{7} + 83 a^{6} + 55 a^{5} + 54 a^{4} + 9 a^{3} + 47 a^{2} + 43 a + 31\right)\cdot 89^{8} + \left(8 a^{9} + 27 a^{8} + 85 a^{7} + 62 a^{6} + 12 a^{5} + 87 a^{4} + 18 a^{2} + 62 a + 17\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$29 a^{9} + 42 a^{8} + 32 a^{7} + 66 a^{6} + 14 a^{5} + 4 a^{4} + 71 a^{3} + 38 a^{2} + 20 + \left(81 a^{9} + 29 a^{8} + 13 a^{7} + 34 a^{6} + 21 a^{5} + 26 a^{4} + 14 a^{3} + 48 a^{2} + 55 a + 51\right)\cdot 89 + \left(80 a^{9} + 40 a^{8} + 62 a^{7} + 10 a^{6} + 50 a^{5} + 82 a^{4} + 15 a^{3} + 15 a^{2} + 21 a + 60\right)\cdot 89^{2} + \left(40 a^{9} + 51 a^{8} + 73 a^{7} + 82 a^{6} + 20 a^{5} + 77 a^{4} + 72 a^{3} + 30 a^{2} + 39 a + 69\right)\cdot 89^{3} + \left(57 a^{9} + a^{8} + 73 a^{7} + 83 a^{6} + 14 a^{5} + 49 a^{4} + 23 a^{3} + 52 a^{2} + 42 a + 66\right)\cdot 89^{4} + \left(42 a^{9} + 26 a^{8} + 80 a^{7} + 38 a^{6} + 43 a^{5} + 26 a^{4} + 43 a^{3} + a^{2} + 18 a + 78\right)\cdot 89^{5} + \left(56 a^{9} + 64 a^{8} + 56 a^{7} + 61 a^{6} + 87 a^{5} + 42 a^{4} + 17 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 57\right)\cdot 89^{6} + \left(43 a^{9} + 33 a^{8} + 13 a^{7} + 86 a^{6} + 25 a^{5} + 19 a^{4} + 46 a^{3} + 14 a^{2} + 83 a + 28\right)\cdot 89^{7} + \left(23 a^{9} + 23 a^{8} + 64 a^{7} + 76 a^{6} + 9 a^{5} + 25 a^{4} + 2 a^{3} + 32 a^{2} + 88 a + 83\right)\cdot 89^{8} + \left(35 a^{9} + 55 a^{8} + 76 a^{7} + 57 a^{6} + 53 a^{5} + 40 a^{4} + 22 a^{3} + 67 a^{2} + 20 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$57 a^{8} + 80 a^{7} + 24 a^{6} + 18 a^{5} + 35 a^{4} + 72 a^{3} + 69 a^{2} + 5 a + 28 + \left(21 a^{9} + 58 a^{8} + 71 a^{7} + 67 a^{6} + 63 a^{5} + 30 a^{4} + 38 a^{3} + 71 a^{2} + 30 a + 85\right)\cdot 89 + \left(54 a^{9} + 71 a^{8} + 29 a^{7} + 12 a^{6} + 83 a^{5} + 20 a^{4} + 35 a^{3} + 88 a^{2} + 77 a + 63\right)\cdot 89^{2} + \left(35 a^{9} + 87 a^{8} + 9 a^{7} + 56 a^{6} + 24 a^{5} + 71 a^{4} + 48 a^{3} + 41 a^{2} + 28 a + 4\right)\cdot 89^{3} + \left(4 a^{9} + 85 a^{8} + 63 a^{7} + 39 a^{6} + 34 a^{5} + 23 a^{4} + 88 a^{3} + 47 a^{2} + 49 a + 29\right)\cdot 89^{4} + \left(a^{9} + 17 a^{8} + 85 a^{7} + 82 a^{6} + 77 a^{5} + 73 a^{4} + 44 a^{3} + 19 a^{2} + 80 a + 40\right)\cdot 89^{5} + \left(19 a^{9} + 31 a^{8} + 83 a^{7} + 87 a^{6} + 83 a^{5} + 7 a^{4} + 57 a^{3} + 38 a^{2} + 54 a + 86\right)\cdot 89^{6} + \left(65 a^{9} + 36 a^{8} + 47 a^{7} + 12 a^{6} + 62 a^{5} + 74 a^{4} + 69 a^{3} + 7 a^{2} + 48 a + 88\right)\cdot 89^{7} + \left(49 a^{9} + 9 a^{8} + 46 a^{7} + 68 a^{6} + 14 a^{5} + 28 a^{4} + 28 a^{3} + 28 a^{2} + 35 a + 6\right)\cdot 89^{8} + \left(72 a^{9} + 61 a^{8} + 37 a^{7} + 30 a^{6} + 74 a^{5} + 48 a^{4} + 17 a^{3} + 52 a^{2} + 33 a + 81\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$30 a^{9} + 82 a^{8} + 10 a^{7} + 5 a^{6} + a^{5} + 6 a^{3} + 40 a^{2} + 84 a + 88 + \left(37 a^{9} + 51 a^{8} + 70 a^{7} + 26 a^{6} + 66 a^{5} + 43 a^{4} + 66 a^{3} + 52 a^{2} + 19 a + 75\right)\cdot 89 + \left(65 a^{9} + 22 a^{8} + 60 a^{7} + 87 a^{6} + 8 a^{5} + 52 a^{4} + 88 a^{3} + 6 a^{2} + 85 a + 18\right)\cdot 89^{2} + \left(36 a^{9} + 5 a^{8} + 52 a^{7} + 52 a^{6} + 69 a^{5} + 15 a^{4} + 46 a^{3} + 32 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 89^{3} + \left(77 a^{9} + 55 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 24 a^{5} + 81 a^{4} + 77 a^{3} + 14 a^{2} + a + 19\right)\cdot 89^{4} + \left(76 a^{9} + 4 a^{8} + 57 a^{7} + 10 a^{6} + 26 a^{5} + 14 a^{4} + 86 a^{3} + 18 a^{2} + 17 a + 45\right)\cdot 89^{5} + \left(35 a^{9} + 46 a^{8} + 20 a^{7} + 67 a^{6} + 56 a^{5} + 40 a^{4} + 75 a^{3} + 5 a^{2} + 69 a + 53\right)\cdot 89^{6} + \left(24 a^{9} + 69 a^{8} + 31 a^{7} + 37 a^{6} + 35 a^{5} + 67 a^{4} + 7 a^{3} + 29 a^{2} + 84 a + 13\right)\cdot 89^{7} + \left(16 a^{9} + 38 a^{8} + 29 a^{7} + 7 a^{6} + 18 a^{5} + 20 a^{4} + 24 a^{3} + 39 a^{2} + 71 a + 21\right)\cdot 89^{8} + \left(62 a^{9} + 52 a^{8} + 32 a^{7} + 15 a^{6} + 63 a^{5} + 10 a^{4} + 69 a^{3} + 26 a^{2} + 81 a + 32\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$42 a^{9} + 40 a^{8} + 39 a^{7} + 52 a^{6} + 60 a^{5} + 21 a^{4} + 51 a^{3} + 35 a^{2} + 45 a + 83 + \left(51 a^{9} + 46 a^{8} + 76 a^{7} + 30 a^{6} + 4 a^{5} + 46 a^{3} + 42 a^{2} + 10 a + 54\right)\cdot 89 + \left(3 a^{9} + 78 a^{8} + 76 a^{7} + 49 a^{6} + 47 a^{5} + 80 a^{4} + 33 a^{3} + 80 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 89^{2} + \left(75 a^{9} + 25 a^{8} + 58 a^{7} + 28 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 76 a^{3} + 19 a^{2} + 53 a + 65\right)\cdot 89^{3} + \left(84 a^{9} + 17 a^{8} + 37 a^{7} + 26 a^{6} + 37 a^{5} + 58 a^{4} + 58 a^{3} + 78 a^{2} + 87 a + 39\right)\cdot 89^{4} + \left(83 a^{9} + 24 a^{8} + 78 a^{7} + 43 a^{6} + 79 a^{5} + 57 a^{4} + 15 a^{3} + 67 a^{2} + 45 a + 39\right)\cdot 89^{5} + \left(14 a^{9} + 81 a^{8} + 26 a^{7} + 11 a^{6} + 46 a^{5} + 11 a^{4} + 48 a^{2} + 57 a + 25\right)\cdot 89^{6} + \left(66 a^{9} + 30 a^{8} + 24 a^{7} + 10 a^{6} + 69 a^{5} + 78 a^{4} + 57 a^{3} + 33 a^{2} + 24 a + 45\right)\cdot 89^{7} + \left(32 a^{9} + 71 a^{8} + 25 a^{7} + 49 a^{6} + 9 a^{5} + 50 a^{4} + 33 a^{3} + 43 a^{2} + 31 a + 80\right)\cdot 89^{8} + \left(61 a^{9} + 80 a^{8} + 16 a^{7} + 44 a^{6} + 53 a^{5} + 28 a^{4} + 44 a^{3} + 31 a^{2} + 28 a + 11\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$81 a^{9} + 82 a^{8} + a^{7} + 66 a^{6} + 66 a^{5} + 51 a^{4} + 15 a^{3} + 28 a^{2} + 51 a + 11 + \left(78 a^{9} + 24 a^{8} + 63 a^{7} + 36 a^{6} + 45 a^{5} + 67 a^{4} + 38 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 89 + \left(23 a^{9} + 7 a^{8} + 9 a^{7} + 76 a^{6} + 83 a^{5} + 80 a^{4} + 4 a^{3} + 54 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 89^{2} + \left(55 a^{9} + 38 a^{8} + 62 a^{7} + 23 a^{6} + 79 a^{5} + 5 a^{4} + 63 a^{3} + 68 a^{2} + 5 a + 20\right)\cdot 89^{3} + \left(34 a^{9} + 51 a^{8} + 41 a^{7} + 37 a^{6} + 2 a^{5} + a^{4} + 54 a^{3} + 29 a^{2} + 60 a + 5\right)\cdot 89^{4} + \left(13 a^{9} + 82 a^{8} + 45 a^{7} + 43 a^{6} + 79 a^{5} + 52 a^{4} + 65 a^{3} + a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 89^{5} + \left(69 a^{9} + 3 a^{8} + 84 a^{7} + 34 a^{6} + 57 a^{5} + 69 a^{4} + 57 a^{3} + 77 a^{2} + 50 a + 21\right)\cdot 89^{6} + \left(16 a^{9} + 30 a^{8} + 26 a^{7} + 14 a^{6} + 80 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 60 a^{2} + 49 a + 63\right)\cdot 89^{7} + \left(a^{9} + 85 a^{8} + 28 a^{7} + 55 a^{6} + 59 a^{5} + 51 a^{4} + 43 a^{3} + 34 a^{2} + 65 a + 72\right)\cdot 89^{8} + \left(36 a^{9} + 8 a^{8} + 9 a^{7} + 22 a^{6} + 4 a^{5} + 51 a^{4} + 68 a^{3} + 50 a^{2} + 60 a + 82\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$68 a^{9} + 39 a^{8} + 57 a^{7} + 50 a^{6} + 54 a^{5} + 6 a^{4} + 13 a^{3} + 74 a^{2} + 77 a + 42 + \left(47 a^{9} + 26 a^{8} + 27 a^{7} + 74 a^{6} + 2 a^{5} + 46 a^{4} + 52 a^{3} + 45 a^{2} + 62 a + 65\right)\cdot 89 + \left(23 a^{9} + 42 a^{8} + 40 a^{7} + 68 a^{6} + 27 a^{5} + 85 a^{4} + 57 a^{3} + 39 a^{2} + 25 a + 17\right)\cdot 89^{2} + \left(68 a^{9} + 33 a^{8} + 27 a^{7} + 13 a^{6} + 14 a^{5} + 19 a^{4} + 46 a^{3} + 64 a^{2} + 43 a + 61\right)\cdot 89^{3} + \left(23 a^{9} + 66 a^{8} + 63 a^{7} + 82 a^{6} + 37 a^{5} + 33 a^{4} + 88 a^{3} + 22 a^{2} + 11 a + 21\right)\cdot 89^{4} + \left(81 a^{9} + 54 a^{8} + 56 a^{7} + 29 a^{6} + 56 a^{5} + 37 a^{4} + 63 a^{3} + 54 a^{2} + 48 a + 51\right)\cdot 89^{5} + \left(9 a^{9} + 87 a^{8} + 71 a^{7} + 56 a^{6} + 87 a^{5} + 51 a^{3} + 4 a^{2} + 26 a + 25\right)\cdot 89^{6} + \left(46 a^{9} + 84 a^{8} + 25 a^{7} + 53 a^{6} + 63 a^{5} + 34 a^{4} + 46 a^{3} + 53 a^{2} + 45 a + 82\right)\cdot 89^{7} + \left(73 a^{9} + 35 a^{8} + 75 a^{7} + 44 a^{6} + 54 a^{5} + 31 a^{4} + 17 a^{3} + 41 a^{2} + 48 a + 15\right)\cdot 89^{8} + \left(69 a^{9} + 55 a^{8} + 11 a^{7} + 26 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 88 a^{3} + 14 a^{2} + 22 a + 41\right)\cdot 89^{9} +O(89^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(1,16,3,10)(2,14,4,13)(5,20,24,15)(6,21,7,17)(8,9,18,11)(12,23,22,19)$ $(1,3)(2,4)(5,24)(6,7)(8,18)(9,11)(10,16)(12,22)(13,14)(15,20)(17,21)(19,23)$ $(1,4,3,2)(5,20,24,15)(6,17,7,21)(8,22,18,12)(9,19,11,23)(10,14,16,13)$ $(1,5,7)(2,15,17)(3,24,6)(4,20,21)(8,11,10)(9,16,18)(12,19,13)(14,22,23)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $4$ $1$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,24)(6,7)(8,18)(9,11)(10,16)(12,22)(13,14)(15,20)(17,21)(19,23)$ $-4$ $30$ $2$ $(1,3)(2,4)(5,22)(8,15)(9,13)(10,19)(11,14)(12,24)(16,23)(18,20)$ $0$ $20$ $3$ $(1,5,7)(2,15,17)(3,24,6)(4,20,21)(8,11,10)(9,16,18)(12,19,13)(14,22,23)$ $1$ $1$ $4$ $(1,4,3,2)(5,20,24,15)(6,17,7,21)(8,22,18,12)(9,19,11,23)(10,14,16,13)$ $-4 \zeta_{4}$ $1$ $4$ $(1,2,3,4)(5,15,24,20)(6,21,7,17)(8,12,18,22)(9,23,11,19)(10,13,16,14)$ $4 \zeta_{4}$ $30$ $4$ $(1,16,3,10)(2,14,4,13)(5,20,24,15)(6,21,7,17)(8,9,18,11)(12,23,22,19)$ $0$ $12$ $5$ $(1,18,10,5,21)(2,22,13,15,7)(3,8,16,24,17)(4,12,14,20,6)$ $-1$ $12$ $5$ $(1,10,21,18,5)(2,13,7,22,15)(3,16,17,8,24)(4,14,6,12,20)$ $-1$ $20$ $6$ $(1,6,5,3,7,24)(2,21,15,4,17,20)(8,16,11,18,10,9)(12,14,19,22,13,23)$ $-1$ $12$ $10$ $(1,9,16,6,20,3,11,10,7,15)(2,23,14,21,5,4,19,13,17,24)(8,18)(12,22)$ $1$ $12$ $10$ $(1,6,11,15,16,3,7,9,20,10)(2,21,19,24,14,4,17,23,5,13)(8,18)(12,22)$ $1$ $20$ $12$ $(1,20,6,2,5,21,3,15,7,4,24,17)(8,23,16,12,11,14,18,19,10,22,9,13)$ $-\zeta_{4}$ $20$ $12$ $(1,15,6,4,5,17,3,20,7,2,24,21)(8,19,16,22,11,13,18,23,10,12,9,14)$ $\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,18,20,7,23,2,22,5,17,11,3,8,15,6,19,4,12,24,21,9)(10,13,16,14)$ $-\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,7,22,11,15,4,21,18,23,5,3,6,12,9,20,2,17,8,19,24)(10,14,16,13)$ $\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,8,20,6,23,4,22,24,17,9,3,18,15,7,19,2,12,5,21,11)(10,14,16,13)$ $\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,10,12,15,9,2,13,18,24,23,3,16,22,20,11,4,14,8,5,19)(6,21,7,17)$ $-\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.