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Properties

Label 4.3e9_19e2.12t132.2
Dimension 4
Group $((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3$
Conductor $ 3^{9} \cdot 19^{2}$
Frobenius-Schur indicator 0

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Basic invariants

Dimension:$4$
Group:$((C_3 \times (C_3^2 : C_2)) : C_2) : C_3$
Conductor:$7105563= 3^{9} \cdot 19^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{9} - 3 x^{6} - 9 x^{5} + 18 x^{4} - 18 x^{3} + 27 x^{2} - 18 x + 3 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 12T132
Parity: Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 44.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{3} + x + 40 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 22 a^{2} + 34 a + 36 + \left(16 a^{2} + 30 a + 31\right)\cdot 43 + \left(42 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a^{2} + 16 a + 32\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 43^{4} + \left(34 a^{2} + 33 a + 42\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 43^{8} + \left(16 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 43^{9} + \left(37 a^{2} + 20 a + 34\right)\cdot 43^{10} + \left(26 a^{2} + 13 a + 39\right)\cdot 43^{11} + \left(38 a^{2} + 34 a + 32\right)\cdot 43^{12} + \left(6 a^{2} + 12 a + 36\right)\cdot 43^{13} + \left(40 a^{2} + 13 a + 19\right)\cdot 43^{14} + \left(33 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 43^{15} + \left(33 a^{2} + 24 a + 39\right)\cdot 43^{16} + \left(12 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 43^{17} + \left(24 a^{2} + 32 a + 21\right)\cdot 43^{18} + \left(37 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 43^{19} + \left(28 a^{2} + 16 a + 23\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a^{2} + 4 a + 25\right)\cdot 43^{21} + \left(42 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 43^{22} + \left(36 a^{2} + 35 a + 26\right)\cdot 43^{23} + \left(34 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43^{24} + \left(19 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 43^{25} + \left(31 a^{2} + 31 a + 41\right)\cdot 43^{26} + \left(34 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 43^{27} + \left(33 a^{2} + 18\right)\cdot 43^{28} + \left(26 a^{2} + 28 a + 21\right)\cdot 43^{29} + \left(41 a^{2} + 32 a + 10\right)\cdot 43^{30} + \left(21 a^{2} + 2 a + 39\right)\cdot 43^{31} + \left(24 a^{2} + 8 a + 25\right)\cdot 43^{32} + \left(27 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 43^{33} + \left(18 a^{2} + 11 a + 35\right)\cdot 43^{34} + \left(19 a^{2} + 26 a + 1\right)\cdot 43^{35} + \left(16 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 43^{36} + \left(19 a^{2} + 13 a + 32\right)\cdot 43^{37} + \left(23 a^{2} + 27 a + 15\right)\cdot 43^{38} + \left(13 a^{2} + 29 a + 7\right)\cdot 43^{39} + \left(21 a^{2} + 2 a + 22\right)\cdot 43^{40} + \left(20 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 43^{41} + \left(15 a^{2} + 35 a + 7\right)\cdot 43^{42} + \left(42 a^{2} + 35 a + 33\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 31 a^{2} + 19 a + 39 + \left(22 a^{2} + 39 a + 23\right)\cdot 43 + \left(35 a^{2} + 14\right)\cdot 43^{2} + \left(23 a^{2} + 5 a + 35\right)\cdot 43^{3} + \left(11 a^{2} + 11 a + 25\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a^{2} + 24 a + 12\right)\cdot 43^{5} + \left(38 a^{2} + 41 a + 8\right)\cdot 43^{6} + \left(7 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a^{2} + 35 a + 5\right)\cdot 43^{8} + \left(7 a^{2} + 33 a + 26\right)\cdot 43^{9} + \left(13 a^{2} + 29 a + 10\right)\cdot 43^{10} + \left(11 a^{2} + 38 a + 15\right)\cdot 43^{11} + \left(28 a^{2} + 35 a + 10\right)\cdot 43^{12} + \left(19 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 43^{13} + \left(13 a^{2} + 24 a + 27\right)\cdot 43^{14} + \left(19 a^{2} + 5 a + 23\right)\cdot 43^{15} + \left(38 a^{2} + 25 a + 27\right)\cdot 43^{16} + \left(2 a^{2} + 34 a + 9\right)\cdot 43^{17} + \left(9 a^{2} + 11 a + 29\right)\cdot 43^{18} + \left(42 a + 26\right)\cdot 43^{19} + \left(8 a^{2} + 20 a + 12\right)\cdot 43^{20} + \left(27 a^{2} + 34 a + 14\right)\cdot 43^{21} + \left(26 a^{2} + 40\right)\cdot 43^{22} + \left(36 a^{2} + 28 a + 22\right)\cdot 43^{23} + \left(a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 43^{24} + \left(15 a^{2} + 34 a + 13\right)\cdot 43^{25} + \left(39 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 43^{26} + \left(2 a^{2} + 12 a + 25\right)\cdot 43^{27} + \left(16 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 43^{28} + \left(31 a^{2} + 38 a + 32\right)\cdot 43^{29} + \left(16 a^{2} + 6 a + 41\right)\cdot 43^{30} + \left(8 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 43^{31} + \left(38 a^{2} + 13 a + 23\right)\cdot 43^{32} + \left(17 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{33} + \left(24 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 43^{34} + \left(36 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{35} + \left(39 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 43^{36} + \left(31 a^{2} + 22 a + 23\right)\cdot 43^{37} + \left(33 a^{2} + 19 a + 30\right)\cdot 43^{38} + \left(13 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 43^{39} + \left(41 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 43^{40} + \left(21 a^{2} + 37 a + 6\right)\cdot 43^{41} + \left(a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 43^{42} + \left(8 a^{2} + 24 a + 23\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 29 a^{2} + 42 a + 12 + \left(27 a^{2} + 14 a + 39\right)\cdot 43 + \left(33 a^{2} + 26 a + 3\right)\cdot 43^{2} + \left(26 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(a^{2} + 37 a + 19\right)\cdot 43^{4} + \left(22 a^{2} + 42 a + 33\right)\cdot 43^{5} + \left(13 a^{2} + 12 a\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 43^{7} + \left(10 a^{2} + 24 a + 36\right)\cdot 43^{8} + \left(39 a^{2} + 13 a\right)\cdot 43^{9} + \left(7 a^{2} + 38 a + 29\right)\cdot 43^{10} + \left(a^{2} + 38 a + 22\right)\cdot 43^{11} + \left(32 a^{2} + 37 a + 28\right)\cdot 43^{12} + \left(42 a^{2} + 42 a + 17\right)\cdot 43^{13} + \left(6 a^{2} + 31 a + 26\right)\cdot 43^{14} + \left(15 a^{2} + 7 a + 23\right)\cdot 43^{15} + \left(6 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 43^{16} + \left(30 a^{2} + 19 a + 17\right)\cdot 43^{17} + \left(13 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 43^{18} + \left(10 a^{2} + 24 a + 42\right)\cdot 43^{19} + \left(5 a^{2} + 17 a + 21\right)\cdot 43^{20} + \left(35 a^{2} + 21 a + 17\right)\cdot 43^{21} + \left(13 a^{2} + 40 a + 41\right)\cdot 43^{22} + \left(25 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 43^{23} + \left(21 a^{2} + 6 a + 35\right)\cdot 43^{24} + \left(22 a^{2} + 31 a\right)\cdot 43^{25} + \left(41 a^{2} + 36 a + 20\right)\cdot 43^{26} + \left(12 a^{2} + 19 a + 26\right)\cdot 43^{27} + \left(12 a^{2} + 40 a + 4\right)\cdot 43^{28} + \left(28 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 43^{29} + \left(a^{2} + 17 a + 41\right)\cdot 43^{30} + \left(9 a^{2} + 30 a + 1\right)\cdot 43^{31} + \left(34 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43^{32} + \left(15 a^{2} + 28 a + 37\right)\cdot 43^{33} + \left(27 a^{2} + 16 a + 26\right)\cdot 43^{34} + \left(17 a^{2} + 36 a\right)\cdot 43^{35} + \left(6 a^{2} + 31 a + 24\right)\cdot 43^{36} + \left(32 a^{2} + 12 a + 40\right)\cdot 43^{37} + \left(13 a^{2} + 6 a + 37\right)\cdot 43^{38} + \left(24 a^{2} + 27 a + 28\right)\cdot 43^{39} + \left(29 a^{2} + 5 a + 27\right)\cdot 43^{40} + \left(10 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 43^{41} + \left(21 a^{2} + 9 a + 40\right)\cdot 43^{42} + \left(31 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 23 a^{2} + 13 a + 33 + \left(41 a^{2} + 13 a + 26\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 36\right)\cdot 43^{2} + \left(32 a^{2} + 21 a + 1\right)\cdot 43^{3} + \left(38 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 43^{4} + \left(15 a^{2} + a + 32\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a^{2} + 27 a + 19\right)\cdot 43^{6} + \left(15 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 43^{7} + \left(41 a^{2} + 31 a + 2\right)\cdot 43^{8} + \left(8 a^{2} + 38 a + 39\right)\cdot 43^{9} + \left(17 a^{2} + 29 a + 28\right)\cdot 43^{10} + \left(42 a^{2} + 34 a + 41\right)\cdot 43^{11} + \left(31 a^{2} + 26 a + 36\right)\cdot 43^{12} + \left(14 a + 27\right)\cdot 43^{13} + \left(11 a^{2} + 14 a + 38\right)\cdot 43^{14} + \left(42 a + 18\right)\cdot 43^{15} + \left(33 a^{2} + 28 a + 3\right)\cdot 43^{16} + \left(35 a^{2} + a + 19\right)\cdot 43^{17} + \left(6 a^{2} + 3 a + 33\right)\cdot 43^{18} + \left(32 a^{2} + 29 a + 16\right)\cdot 43^{19} + \left(30 a^{2} + 29 a + 23\right)\cdot 43^{20} + \left(17 a^{2} + 21 a + 21\right)\cdot 43^{21} + \left(12 a^{2} + 8 a + 39\right)\cdot 43^{22} + \left(27 a^{2} + 37 a + 17\right)\cdot 43^{23} + \left(3 a^{2} + 14 a + 21\right)\cdot 43^{24} + \left(35 a^{2} + 2 a + 19\right)\cdot 43^{25} + \left(11 a^{2} + 41 a + 16\right)\cdot 43^{26} + \left(3 a^{2} + 6 a + 32\right)\cdot 43^{27} + \left(22 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 43^{28} + \left(29 a^{2} + 29 a + 4\right)\cdot 43^{29} + \left(3 a^{2} + 4 a + 32\right)\cdot 43^{30} + \left(35 a^{2} + 18 a + 40\right)\cdot 43^{31} + \left(9 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 43^{32} + \left(34 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 43^{33} + \left(25 a^{2} + 32 a + 41\right)\cdot 43^{34} + \left(21 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 43^{35} + \left(32 a^{2} + 38 a + 40\right)\cdot 43^{36} + \left(38 a^{2} + 32 a + 4\right)\cdot 43^{37} + \left(4 a^{2} + 36 a + 38\right)\cdot 43^{38} + \left(a^{2} + 40 a + 42\right)\cdot 43^{39} + \left(a^{2} + 39 a + 18\right)\cdot 43^{40} + \left(16 a^{2} + 42 a\right)\cdot 43^{41} + \left(16 a^{2} + 42 a + 3\right)\cdot 43^{42} + \left(32 a^{2} + 41\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 14 a^{2} + 28 a + 42 + \left(35 a^{2} + 4 a + 17\right)\cdot 43 + \left(41 a^{2} + 23 a + 4\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a^{2} + 32 a + 14\right)\cdot 43^{3} + \left(25 a^{2} + a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(14 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 43^{6} + \left(12 a^{2} + 37 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(11 a^{2} + 4 a + 31\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 43^{9} + \left(41 a^{2} + 20 a + 15\right)\cdot 43^{10} + \left(14 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 43^{11} + \left(42 a^{2} + 25 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(30 a^{2} + 14 a + 32\right)\cdot 43^{13} + \left(37 a^{2} + 3 a\right)\cdot 43^{14} + \left(14 a^{2} + 25 a + 35\right)\cdot 43^{15} + \left(28 a^{2} + 28 a + 20\right)\cdot 43^{16} + \left(2 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 43^{17} + \left(22 a^{2} + 23 a + 9\right)\cdot 43^{18} + \left(26 a^{2} + 41 a + 1\right)\cdot 43^{19} + \left(8 a^{2} + 24 a + 13\right)\cdot 43^{20} + \left(16 a^{2} + 34 a + 21\right)\cdot 43^{21} + \left(28 a^{2} + 17 a + 41\right)\cdot 43^{22} + \left(27 a^{2} + a + 16\right)\cdot 43^{23} + \left(36 a^{2} + 29 a + 41\right)\cdot 43^{24} + \left(39 a^{2} + 41 a + 15\right)\cdot 43^{25} + \left(3 a^{2} + 12 a + 30\right)\cdot 43^{26} + \left(35 a^{2} + 33 a + 32\right)\cdot 43^{27} + \left(39 a^{2} + 27 a + 4\right)\cdot 43^{28} + \left(24 a^{2} + 19 a + 28\right)\cdot 43^{29} + \left(28 a^{2} + 30 a + 6\right)\cdot 43^{30} + \left(5 a^{2} + 25 a + 19\right)\cdot 43^{31} + \left(39 a^{2} + 30 a + 38\right)\cdot 43^{32} + \left(34 a + 33\right)\cdot 43^{33} + \left(20 a^{2} + 11 a + 37\right)\cdot 43^{34} + \left(4 a^{2} + 23 a + 35\right)\cdot 43^{35} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 43^{36} + \left(26 a^{2} + 24 a + 19\right)\cdot 43^{37} + \left(37 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{38} + \left(18 a + 3\right)\cdot 43^{39} + \left(24 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 43^{40} + \left(14 a^{2} + 14 a + 1\right)\cdot 43^{41} + \left(30 a^{2} + 25 a + 2\right)\cdot 43^{42} + \left(23 a^{2} + 12 a + 20\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 37 a^{2} + 5 a + 28 + \left(8 a^{2} + 41 a + 33\right)\cdot 43 + \left(34 a^{2} + 26 a + 21\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(17 a^{2} + 42 a + 18\right)\cdot 43^{4} + \left(42 a^{2} + 22 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(39 a^{2} + 27 a + 23\right)\cdot 43^{6} + \left(40 a^{2} + a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(4 a^{2} + 28 a + 6\right)\cdot 43^{8} + \left(38 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 43^{9} + \left(3 a^{2} + 38 a + 20\right)\cdot 43^{10} + \left(13 a^{2} + 42 a + 36\right)\cdot 43^{11} + \left(28 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 43^{12} + \left(18 a^{2} + 41 a + 11\right)\cdot 43^{13} + \left(9 a^{2} + 41 a + 23\right)\cdot 43^{14} + \left(34 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 43^{15} + \left(11 a^{2} + 10 a + 17\right)\cdot 43^{16} + \left(40 a^{2} + 9 a + 36\right)\cdot 43^{17} + \left(15 a^{2} + 25 a + 10\right)\cdot 43^{18} + \left(21 a^{2} + 37 a + 38\right)\cdot 43^{19} + \left(25 a^{2} + 8 a + 19\right)\cdot 43^{20} + \left(a^{2} + 34 a + 39\right)\cdot 43^{21} + \left(28 a^{2} + 32 a + 6\right)\cdot 43^{22} + \left(34 a^{2} + 24 a + 37\right)\cdot 43^{23} + \left(19 a^{2} + 7 a + 17\right)\cdot 43^{24} + \left(2 a^{2} + 20 a + 26\right)\cdot 43^{25} + \left(26 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 43^{26} + \left(12 a^{2} + 25 a + 24\right)\cdot 43^{27} + \left(6 a^{2} + 13 a + 29\right)\cdot 43^{28} + \left(30 a^{2} + 25 a + 33\right)\cdot 43^{29} + \left(14 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 43^{30} + \left(25 a^{2} + 7 a + 34\right)\cdot 43^{31} + \left(19 a^{2} + 18 a + 19\right)\cdot 43^{32} + \left(42 a^{2} + 25\right)\cdot 43^{33} + \left(25 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 43^{34} + \left(32 a^{2} + 39 a + 42\right)\cdot 43^{35} + \left(13 a^{2} + 9 a + 41\right)\cdot 43^{36} + \left(25 a^{2} + 2 a + 38\right)\cdot 43^{37} + \left(42 a^{2} + 32 a + 5\right)\cdot 43^{38} + \left(36 a^{2} + 38 a + 38\right)\cdot 43^{39} + \left(26 a^{2} + 33 a + 21\right)\cdot 43^{40} + \left(16 a^{2} + 12 a + 29\right)\cdot 43^{41} + \left(6 a^{2} + 19 a + 10\right)\cdot 43^{42} + \left(7 a^{2} + a + 24\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 35 a^{2} + 10 a + 16 + \left(41 a^{2} + 40 a + 34\right)\cdot 43 + \left(9 a^{2} + 35 a + 16\right)\cdot 43^{2} + \left(33 a^{2} + 23 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(42 a^{2} + 41 a + 32\right)\cdot 43^{4} + \left(28 a^{2} + 9 a + 23\right)\cdot 43^{5} + \left(22 a^{2} + 41 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a^{2} + 3 a + 19\right)\cdot 43^{7} + \left(26 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 43^{8} + \left(30 a^{2} + 19 a + 38\right)\cdot 43^{9} + \left(40 a^{2} + 27 a + 7\right)\cdot 43^{10} + \left(14 a^{2} + 33 a + 3\right)\cdot 43^{11} + \left(15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 43^{12} + \left(36 a^{2} + 30 a + 42\right)\cdot 43^{13} + \left(38 a^{2} + 40 a + 18\right)\cdot 43^{14} + \left(36 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 43^{15} + \left(2 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 43^{16} + \left(16 a + 40\right)\cdot 43^{17} + \left(5 a^{2} + 37 a + 22\right)\cdot 43^{18} + \left(38 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 43^{19} + \left(8 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 43^{21} + \left(29 a^{2} + 35 a + 37\right)\cdot 43^{22} + \left(23 a^{2} + 16 a + 31\right)\cdot 43^{23} + \left(29 a^{2} + 6 a + 26\right)\cdot 43^{24} + 24 a\cdot 43^{25} + \left(13 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 43^{26} + \left(38 a^{2} + 27 a + 29\right)\cdot 43^{27} + \left(39 a^{2} + a + 8\right)\cdot 43^{28} + \left(30 a^{2} + 41 a + 24\right)\cdot 43^{29} + \left(42 a^{2} + 35 a + 25\right)\cdot 43^{30} + \left(11 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 43^{31} + \left(27 a^{2} + 37 a + 27\right)\cdot 43^{32} + \left(42 a^{2} + 7 a + 26\right)\cdot 43^{33} + \left(39 a^{2} + 15 a + 6\right)\cdot 43^{34} + \left(5 a^{2} + 23 a + 7\right)\cdot 43^{35} + \left(20 a^{2} + 22 a + 33\right)\cdot 43^{36} + \left(34 a^{2} + 16 a + 27\right)\cdot 43^{37} + \left(5 a^{2} + 9 a + 32\right)\cdot 43^{38} + \left(5 a^{2} + 29 a + 1\right)\cdot 43^{39} + \left(35 a^{2} + 34 a + 17\right)\cdot 43^{40} + \left(11 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 43^{41} + \left(6 a^{2} + 41 a + 30\right)\cdot 43^{42} + \left(12 a^{2} + 28 a + 41\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 41 a^{2} + 39 a + 17 + \left(27 a^{2} + 41 a + 27\right)\cdot 43 + \left(8 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 43^{3} + \left(5 a^{2} + 30 a + 36\right)\cdot 43^{4} + \left(35 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 43^{5} + \left(23 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(22 a^{2} + 34 a + 22\right)\cdot 43^{7} + \left(38 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 43^{8} + \left(17 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{9} + \left(31 a^{2} + 35 a + 22\right)\cdot 43^{10} + \left(16 a^{2} + 37 a + 4\right)\cdot 43^{11} + \left(15 a^{2} + 24 a + 16\right)\cdot 43^{12} + \left(35 a^{2} + 15 a + 21\right)\cdot 43^{13} + \left(34 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 43^{14} + \left(8 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 43^{15} + \left(19 a^{2} + 32 a\right)\cdot 43^{16} + \left(37 a^{2} + 33 a + 4\right)\cdot 43^{17} + \left(11 a^{2} + 7 a + 31\right)\cdot 43^{18} + \left(16 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 43^{19} + \left(26 a^{2} + 40 a + 39\right)\cdot 43^{20} + \left(42 a^{2} + 16 a + 38\right)\cdot 43^{21} + \left(30 a^{2} + 24 a + 28\right)\cdot 43^{22} + \left(21 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 43^{23} + \left(4 a^{2} + 41 a + 19\right)\cdot 43^{24} + \left(31 a^{2} + 9 a + 24\right)\cdot 43^{25} + \left(42 a^{2} + 13 a + 27\right)\cdot 43^{26} + \left(4 a^{2} + 40 a + 12\right)\cdot 43^{27} + \left(30 a^{2} + 11 a + 41\right)\cdot 43^{28} + \left(29 a^{2} + 28 a + 16\right)\cdot 43^{29} + \left(40 a^{2} + 5 a\right)\cdot 43^{30} + \left(28 a^{2} + 22 a + 6\right)\cdot 43^{31} + \left(8 a^{2} + 41 a + 18\right)\cdot 43^{32} + \left(24 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 43^{33} + \left(41 a^{2} + 42 a + 9\right)\cdot 43^{34} + \left(a^{2} + 42 a + 34\right)\cdot 43^{35} + \left(37 a^{2} + 15 a\right)\cdot 43^{36} + \left(27 a^{2} + 39 a + 6\right)\cdot 43^{37} + \left(14 a^{2} + 21 a + 32\right)\cdot 43^{38} + \left(28 a^{2} + 15 a + 35\right)\cdot 43^{39} + \left(20 a^{2} + 1\right)\cdot 43^{40} + \left(6 a^{2} + 34 a + 10\right)\cdot 43^{41} + \left(11 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 43^{42} + \left(11 a^{2} + 6 a + 11\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$
$r_{ 9 }$ $=$ $ 26 a^{2} + 25 a + 35 + \left(35 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 43 + \left(16 a^{2} + 15 a + 24\right)\cdot 43^{2} + \left(35 a^{2} + 35 a + 3\right)\cdot 43^{3} + \left(29 a^{2} + 37 a + 41\right)\cdot 43^{4} + \left(27 a^{2} + 18 a + 39\right)\cdot 43^{5} + \left(33 a^{2} + 31 a + 33\right)\cdot 43^{6} + \left(29 a^{2} + 42 a + 13\right)\cdot 43^{7} + \left(39 a^{2} + 25 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(38 a^{2} + 38 a + 16\right)\cdot 43^{9} + \left(21 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 43^{10} + \left(30 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 43^{11} + \left(25 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 43^{12} + \left(23 a^{2} + 30 a\right)\cdot 43^{13} + \left(22 a^{2} + 29 a + 32\right)\cdot 43^{14} + \left(8 a^{2} + 29 a + 38\right)\cdot 43^{15} + \left(41 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 43^{16} + \left(9 a^{2} + 32 a + 16\right)\cdot 43^{17} + \left(20 a^{2} + 14 a + 42\right)\cdot 43^{18} + \left(32 a^{2} + 19 a + 16\right)\cdot 43^{19} + \left(29 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 43^{20} + \left(23 a^{2} + 30 a + 11\right)\cdot 43^{21} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 43^{22} + \left(24 a^{2} + 24 a + 30\right)\cdot 43^{23} + \left(19 a^{2} + 20 a + 17\right)\cdot 43^{24} + \left(5 a^{2} + 20 a + 28\right)\cdot 43^{25} + \left(5 a^{2} + 32 a + 40\right)\cdot 43^{26} + \left(27 a^{2} + 10 a + 33\right)\cdot 43^{27} + \left(14 a^{2} + 42 a + 20\right)\cdot 43^{28} + \left(26 a^{2} + 30 a + 2\right)\cdot 43^{29} + \left(24 a^{2} + 18 a + 3\right)\cdot 43^{30} + \left(25 a^{2} + 17 a + 20\right)\cdot 43^{31} + \left(13 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 43^{32} + \left(9 a^{2} + 15 a + 32\right)\cdot 43^{33} + \left(34 a^{2} + 37 a + 32\right)\cdot 43^{34} + \left(31 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 43^{35} + \left(39 a^{2} + 37 a + 16\right)\cdot 43^{36} + \left(21 a^{2} + 7 a + 22\right)\cdot 43^{37} + \left(38 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 43^{38} + \left(4 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 43^{39} + \left(15 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 43^{40} + \left(10 a^{2} + 30 a + 25\right)\cdot 43^{41} + \left(20 a^{2} + 23 a + 5\right)\cdot 43^{42} + \left(3 a^{2} + 40 a + 36\right)\cdot 43^{43} +O\left(43^{ 44 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 9 }$

Cycle notation
$(3,9)(6,7)$
$(5,6,7)$
$(1,5,2)(3,4,6)(7,9,8)$
$(2,3,9)$
$(1,4,8)$
$(4,8)(6,7)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 9 }$ Character values
$c1$ $c2$
$1$ $1$ $()$ $4$ $4$
$27$ $2$ $(3,9)(6,7)$ $0$ $0$
$4$ $3$ $(1,4,8)(2,3,9)(5,6,7)$ $-3 \zeta_{3} - 2$ $3 \zeta_{3} + 1$
$4$ $3$ $(1,8,4)(2,9,3)(5,7,6)$ $3 \zeta_{3} + 1$ $-3 \zeta_{3} - 2$
$6$ $3$ $(1,4,8)$ $-2$ $-2$
$12$ $3$ $(1,4,8)(2,3,9)$ $1$ $1$
$36$ $3$ $(1,5,2)(3,4,6)(7,9,8)$ $-\zeta_{3} - 1$ $\zeta_{3}$
$36$ $3$ $(1,2,5)(3,6,4)(7,8,9)$ $\zeta_{3}$ $-\zeta_{3} - 1$
$54$ $6$ $(1,4,8)(3,9)(6,7)$ $0$ $0$
$36$ $9$ $(1,6,3,4,7,9,8,5,2)$ $1$ $1$
$36$ $9$ $(1,3,7,8,2,6,4,9,5)$ $1$ $1$
$36$ $9$ $(1,7,9,8,6,3,4,5,2)$ $\zeta_{3}$ $-\zeta_{3} - 1$
$36$ $9$ $(1,9,6,4,2,7,8,3,5)$ $-\zeta_{3} - 1$ $\zeta_{3}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.