Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{2} + 58 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 + 49\cdot 59 + 39\cdot 59^{2} + 20\cdot 59^{3} + 18\cdot 59^{4} + 6\cdot 59^{5} + 6\cdot 59^{6} + 14\cdot 59^{7} + 27\cdot 59^{8} + 14\cdot 59^{9} + 41\cdot 59^{10} + 12\cdot 59^{11} + 56\cdot 59^{12} + 57\cdot 59^{13} + 6\cdot 59^{14} + 25\cdot 59^{15} + 15\cdot 59^{16} + 55\cdot 59^{17} + 31\cdot 59^{18} + 13\cdot 59^{19} + 30\cdot 59^{20} + 35\cdot 59^{21} + 28\cdot 59^{22} + 16\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 56 + 9\cdot 59 + 19\cdot 59^{2} + 38\cdot 59^{3} + 40\cdot 59^{4} + 52\cdot 59^{5} + 52\cdot 59^{6} + 44\cdot 59^{7} + 31\cdot 59^{8} + 44\cdot 59^{9} + 17\cdot 59^{10} + 46\cdot 59^{11} + 2\cdot 59^{12} + 59^{13} + 52\cdot 59^{14} + 33\cdot 59^{15} + 43\cdot 59^{16} + 3\cdot 59^{17} + 27\cdot 59^{18} + 45\cdot 59^{19} + 28\cdot 59^{20} + 23\cdot 59^{21} + 30\cdot 59^{22} + 42\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 27 a + 46 + \left(32 a + 26\right)\cdot 59 + \left(3 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(46 a + 8\right)\cdot 59^{3} + \left(53 a + 55\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a + 2\right)\cdot 59^{5} + \left(37 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(32 a + 32\right)\cdot 59^{7} + \left(a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(51 a + 34\right)\cdot 59^{9} + \left(51 a + 58\right)\cdot 59^{10} + \left(50 a + 29\right)\cdot 59^{11} + \left(39 a + 5\right)\cdot 59^{12} + \left(a + 19\right)\cdot 59^{13} + \left(12 a + 24\right)\cdot 59^{14} + \left(10 a + 30\right)\cdot 59^{15} + \left(35 a + 46\right)\cdot 59^{16} + \left(57 a + 47\right)\cdot 59^{17} + \left(49 a + 3\right)\cdot 59^{18} + \left(18 a + 45\right)\cdot 59^{19} + \left(56 a + 10\right)\cdot 59^{20} + \left(31 a + 12\right)\cdot 59^{21} + \left(24 a + 33\right)\cdot 59^{22} + \left(53 a + 44\right)\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 50 + \left(21 a + 57\right)\cdot 59 + \left(41 a + 48\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a + 10\right)\cdot 59^{3} + 19 a\cdot 59^{4} + \left(53 a + 42\right)\cdot 59^{5} + \left(23 a + 14\right)\cdot 59^{6} + \left(27 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a + 30\right)\cdot 59^{8} + \left(26 a + 28\right)\cdot 59^{9} + \left(2 a + 41\right)\cdot 59^{10} + \left(40 a + 10\right)\cdot 59^{11} + \left(21 a + 9\right)\cdot 59^{12} + \left(36 a + 22\right)\cdot 59^{13} + \left(25 a + 5\right)\cdot 59^{14} + \left(6 a + 39\right)\cdot 59^{15} + \left(20 a + 22\right)\cdot 59^{16} + \left(10 a + 34\right)\cdot 59^{17} + \left(48 a + 10\right)\cdot 59^{18} + \left(26 a + 40\right)\cdot 59^{19} + \left(15 a + 5\right)\cdot 59^{20} + \left(28 a + 23\right)\cdot 59^{21} + \left(50 a + 18\right)\cdot 59^{22} + \left(23 a + 13\right)\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 32 a + 14 + \left(26 a + 32\right)\cdot 59 + \left(55 a + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(12 a + 50\right)\cdot 59^{3} + \left(5 a + 3\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a + 56\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a + 53\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(57 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(7 a + 24\right)\cdot 59^{9} + 7 a\cdot 59^{10} + \left(8 a + 29\right)\cdot 59^{11} + \left(19 a + 53\right)\cdot 59^{12} + \left(57 a + 39\right)\cdot 59^{13} + \left(46 a + 34\right)\cdot 59^{14} + \left(48 a + 28\right)\cdot 59^{15} + \left(23 a + 12\right)\cdot 59^{16} + \left(a + 11\right)\cdot 59^{17} + \left(9 a + 55\right)\cdot 59^{18} + \left(40 a + 13\right)\cdot 59^{19} + \left(2 a + 48\right)\cdot 59^{20} + \left(27 a + 46\right)\cdot 59^{21} + \left(34 a + 25\right)\cdot 59^{22} + \left(5 a + 14\right)\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 5 a + 57 + \left(35 a + 43\right)\cdot 59 + \left(29 a + 2\right)\cdot 59^{2} + \left(21 a + 4\right)\cdot 59^{3} + \left(46 a + 17\right)\cdot 59^{4} + \left(13 a + 16\right)\cdot 59^{5} + \left(15 a + 58\right)\cdot 59^{6} + \left(47 a + 42\right)\cdot 59^{7} + \left(29 a + 8\right)\cdot 59^{8} + 29 a\cdot 59^{9} + \left(13 a + 8\right)\cdot 59^{10} + \left(41 a + 45\right)\cdot 59^{11} + \left(57 a + 50\right)\cdot 59^{12} + \left(31 a + 12\right)\cdot 59^{13} + \left(54 a + 18\right)\cdot 59^{14} + \left(35 a + 9\right)\cdot 59^{15} + \left(44 a + 25\right)\cdot 59^{16} + \left(7 a + 18\right)\cdot 59^{17} + \left(11 a + 57\right)\cdot 59^{18} + \left(46 a + 11\right)\cdot 59^{19} + \left(57 a + 53\right)\cdot 59^{20} + \left(53 a + 1\right)\cdot 59^{21} + \left(44 a + 34\right)\cdot 59^{22} + 43 a\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 40 a + 10 + \left(37 a + 1\right)\cdot 59 + \left(17 a + 10\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a + 48\right)\cdot 59^{3} + \left(39 a + 58\right)\cdot 59^{4} + \left(5 a + 16\right)\cdot 59^{5} + \left(35 a + 44\right)\cdot 59^{6} + \left(31 a + 1\right)\cdot 59^{7} + \left(34 a + 28\right)\cdot 59^{8} + \left(32 a + 30\right)\cdot 59^{9} + \left(56 a + 17\right)\cdot 59^{10} + \left(18 a + 48\right)\cdot 59^{11} + \left(37 a + 49\right)\cdot 59^{12} + \left(22 a + 36\right)\cdot 59^{13} + \left(33 a + 53\right)\cdot 59^{14} + \left(52 a + 19\right)\cdot 59^{15} + \left(38 a + 36\right)\cdot 59^{16} + \left(48 a + 24\right)\cdot 59^{17} + \left(10 a + 48\right)\cdot 59^{18} + \left(32 a + 18\right)\cdot 59^{19} + \left(43 a + 53\right)\cdot 59^{20} + \left(30 a + 35\right)\cdot 59^{21} + \left(8 a + 40\right)\cdot 59^{22} + \left(35 a + 45\right)\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 54 a + 3 + \left(23 a + 15\right)\cdot 59 + \left(29 a + 56\right)\cdot 59^{2} + \left(37 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(12 a + 41\right)\cdot 59^{4} + \left(45 a + 42\right)\cdot 59^{5} + 43 a\cdot 59^{6} + \left(11 a + 16\right)\cdot 59^{7} + \left(29 a + 50\right)\cdot 59^{8} + \left(29 a + 58\right)\cdot 59^{9} + \left(45 a + 50\right)\cdot 59^{10} + \left(17 a + 13\right)\cdot 59^{11} + \left(a + 8\right)\cdot 59^{12} + \left(27 a + 46\right)\cdot 59^{13} + \left(4 a + 40\right)\cdot 59^{14} + \left(23 a + 49\right)\cdot 59^{15} + \left(14 a + 33\right)\cdot 59^{16} + \left(51 a + 40\right)\cdot 59^{17} + \left(47 a + 1\right)\cdot 59^{18} + \left(12 a + 47\right)\cdot 59^{19} + \left(a + 5\right)\cdot 59^{20} + \left(5 a + 57\right)\cdot 59^{21} + \left(14 a + 24\right)\cdot 59^{22} + \left(15 a + 58\right)\cdot 59^{23} +O\left(59^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,5)(4,7)$ |
| $(4,7)$ |
| $(1,2)$ |
| $(6,8)$ |
| $(1,8,4,5)(2,6,7,3)$ |
| $(1,7)(2,4)(3,8)(5,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)(4,7)(6,8)$ |
$-4$ |
| $2$ |
$2$ |
$(3,5)(6,8)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,7)(2,4)(3,8)(5,6)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,2)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(3,5)(4,7)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,2)(3,5)(4,7)$ |
$2$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,4,2,7)(3,8,5,6)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,8,4,5)(2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,5,4,8)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,7)(2,4)(3,6,5,8)$ |
$0$ |
| $8$ |
$8$ |
$(1,8,4,5,2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $8$ |
$8$ |
$(1,5,7,8,2,3,4,6)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
