Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 149 }$ to precision 12.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 7 + 63\cdot 149 + 38\cdot 149^{2} + 125\cdot 149^{3} + 73\cdot 149^{4} + 126\cdot 149^{5} + 91\cdot 149^{6} + 96\cdot 149^{7} + 135\cdot 149^{8} + 148\cdot 149^{9} + 64\cdot 149^{10} + 17\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 37 + 137\cdot 149 + 88\cdot 149^{2} + 33\cdot 149^{3} + 109\cdot 149^{4} + 110\cdot 149^{5} + 107\cdot 149^{6} + 145\cdot 149^{7} + 95\cdot 149^{8} + 28\cdot 149^{9} + 9\cdot 149^{10} + 135\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 56 + 20\cdot 149 + 7\cdot 149^{2} + 13\cdot 149^{3} + 67\cdot 149^{4} + 107\cdot 149^{5} + 19\cdot 149^{6} + 21\cdot 149^{7} + 125\cdot 149^{8} + 45\cdot 149^{9} + 143\cdot 149^{10} + 74\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 71 + 9\cdot 149 + 107\cdot 149^{2} + 80\cdot 149^{3} + 62\cdot 149^{4} + 15\cdot 149^{5} + 137\cdot 149^{6} + 11\cdot 149^{7} + 133\cdot 149^{8} + 121\cdot 149^{9} + 42\cdot 149^{10} + 26\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 78 + 139\cdot 149 + 41\cdot 149^{2} + 68\cdot 149^{3} + 86\cdot 149^{4} + 133\cdot 149^{5} + 11\cdot 149^{6} + 137\cdot 149^{7} + 15\cdot 149^{8} + 27\cdot 149^{9} + 106\cdot 149^{10} + 122\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 93 + 128\cdot 149 + 141\cdot 149^{2} + 135\cdot 149^{3} + 81\cdot 149^{4} + 41\cdot 149^{5} + 129\cdot 149^{6} + 127\cdot 149^{7} + 23\cdot 149^{8} + 103\cdot 149^{9} + 5\cdot 149^{10} + 74\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 112 + 11\cdot 149 + 60\cdot 149^{2} + 115\cdot 149^{3} + 39\cdot 149^{4} + 38\cdot 149^{5} + 41\cdot 149^{6} + 3\cdot 149^{7} + 53\cdot 149^{8} + 120\cdot 149^{9} + 139\cdot 149^{10} + 13\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 142 + 85\cdot 149 + 110\cdot 149^{2} + 23\cdot 149^{3} + 75\cdot 149^{4} + 22\cdot 149^{5} + 57\cdot 149^{6} + 52\cdot 149^{7} + 13\cdot 149^{8} + 84\cdot 149^{10} + 131\cdot 149^{11} +O\left(149^{ 12 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ |
| $(2,5,7,4)(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(2,7)(4,5)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,2,6,4)(3,5,8,7)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,4,6,2)(3,7,8,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(2,5,7,4)(3,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(2,4,7,5)(3,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
