Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 15.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{3} + 5 x + 57 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 54 a + 40 + \left(7 a^{2} + 29 a + 44\right)\cdot 59 + \left(55 a^{2} + 6 a + 55\right)\cdot 59^{2} + \left(25 a^{2} + 51 a + 46\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{2} + 57 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(13 a^{2} + 11 a + 9\right)\cdot 59^{5} + \left(34 a^{2} + 5 a + 39\right)\cdot 59^{6} + \left(7 a^{2} + 44 a + 33\right)\cdot 59^{7} + \left(34 a^{2} + 37 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{2} + 49 a + 32\right)\cdot 59^{9} + \left(21 a^{2} + 15 a + 58\right)\cdot 59^{10} + \left(55 a^{2} + 31 a + 7\right)\cdot 59^{11} + \left(17 a^{2} + 35 a + 49\right)\cdot 59^{12} + \left(18 a^{2} + 37 a + 31\right)\cdot 59^{13} + \left(15 a^{2} + 5 a + 11\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 13 a^{2} + 22 a + 32 + \left(33 a^{2} + 57 a + 3\right)\cdot 59 + \left(55 a^{2} + 10 a + 26\right)\cdot 59^{2} + \left(47 a^{2} + 20 a + 53\right)\cdot 59^{3} + \left(55 a^{2} + 44 a + 17\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{2} + 40 a + 16\right)\cdot 59^{5} + \left(29 a^{2} + 34 a + 20\right)\cdot 59^{6} + \left(11 a^{2} + 4 a + 29\right)\cdot 59^{7} + \left(6 a^{2} + 3 a + 53\right)\cdot 59^{8} + \left(16 a^{2} + 20 a + 22\right)\cdot 59^{9} + \left(53 a^{2} + 28 a + 9\right)\cdot 59^{10} + \left(18 a^{2} + 54 a + 2\right)\cdot 59^{11} + \left(40 a^{2} + 57 a + 31\right)\cdot 59^{12} + \left(25 a^{2} + 27 a + 8\right)\cdot 59^{13} + \left(13 a^{2} + 22 a + 4\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 15 a^{2} + 56 a + 57 + \left(15 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 59 + \left(47 a^{2} + 53 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(52 a^{2} + 7 a + 57\right)\cdot 59^{3} + \left(41 a^{2} + 10 a + 24\right)\cdot 59^{4} + \left(29 a^{2} + 17 a + 45\right)\cdot 59^{5} + \left(55 a^{2} + 27 a + 11\right)\cdot 59^{6} + \left(7 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{2} + 17 a + 47\right)\cdot 59^{8} + \left(27 a^{2} + 6 a + 34\right)\cdot 59^{9} + \left(40 a^{2} + 36 a + 41\right)\cdot 59^{10} + \left(31 a^{2} + 19 a + 7\right)\cdot 59^{11} + \left(27 a^{2} + 31 a + 22\right)\cdot 59^{12} + \left(5 a^{2} + 39 a + 28\right)\cdot 59^{13} + \left(48 a + 39\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 40 a^{2} + 8 a + 42 + \left(36 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 59 + \left(15 a^{2} + 58 a + 42\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a^{2} + 58 a + 12\right)\cdot 59^{3} + \left(12 a^{2} + 49 a + 6\right)\cdot 59^{4} + \left(16 a^{2} + 29 a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(28 a^{2} + 26 a + 19\right)\cdot 59^{6} + \left(50 a^{2} + 7 a + 19\right)\cdot 59^{7} + \left(40 a^{2} + 4 a + 40\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{2} + 3 a + 54\right)\cdot 59^{9} + \left(55 a^{2} + 7 a + 32\right)\cdot 59^{10} + \left(30 a^{2} + 8 a + 44\right)\cdot 59^{11} + \left(13 a^{2} + 51 a + 14\right)\cdot 59^{12} + \left(35 a^{2} + 40 a + 29\right)\cdot 59^{13} + \left(43 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 38 + \left(52 a^{2} + 33 a + 46\right)\cdot 59 + \left(29 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 59^{2} + \left(30 a^{2} + 9 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(48 a^{2} + 21 a + 52\right)\cdot 59^{4} + \left(35 a^{2} + 31 a + 12\right)\cdot 59^{5} + \left(15 a^{2} + 43 a + 13\right)\cdot 59^{6} + \left(55 a^{2} + 12 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(8 a^{2} + 7 a + 42\right)\cdot 59^{8} + \left(9 a^{2} + 49 a + 58\right)\cdot 59^{9} + \left(30 a^{2} + 21 a + 10\right)\cdot 59^{10} + \left(48 a^{2} + 54 a + 22\right)\cdot 59^{11} + \left(14 a^{2} + 20 a + 44\right)\cdot 59^{12} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 59^{13} + \left(16 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 44 + 32\cdot 59 + 34\cdot 59^{2} + 52\cdot 59^{3} + 44\cdot 59^{4} + 45\cdot 59^{5} + 47\cdot 59^{6} + 2\cdot 59^{7} + 40\cdot 59^{8} + 46\cdot 59^{9} + 48\cdot 59^{10} + 54\cdot 59^{11} + 34\cdot 59^{12} + 40\cdot 59^{13} + 42\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 43 a^{2} + 37 a + 14 + \left(32 a^{2} + 27 a + 41\right)\cdot 59 + \left(32 a^{2} + 21 a + 47\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a^{2} + 29 a + 5\right)\cdot 59^{3} + \left(13 a^{2} + 52 a + 15\right)\cdot 59^{4} + \left(51 a^{2} + 45 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(13 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 59^{6} + \left(51 a^{2} + 41 a + 4\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{2} + 48 a + 2\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{2} + 48 a + 3\right)\cdot 59^{9} + \left(34 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 59^{10} + \left(50 a^{2} + 9 a + 29\right)\cdot 59^{11} + \left(3 a^{2} + 39 a + 27\right)\cdot 59^{12} + \left(32 a^{2} + 24 a + 49\right)\cdot 59^{13} + \left(29 a^{2} + 9 a + 57\right)\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 31 + 48\cdot 59 + 31\cdot 59^{3} + 36\cdot 59^{4} + 21\cdot 59^{5} + 57\cdot 59^{6} + 57\cdot 59^{7} + 30\cdot 59^{8} + 41\cdot 59^{9} + 27\cdot 59^{10} + 8\cdot 59^{11} + 12\cdot 59^{12} + 42\cdot 59^{13} + 20\cdot 59^{14} +O\left(59^{ 15 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8,7,3)(2,5,6,4)$ |
| $(1,6)(5,8)$ |
| $(1,6,4,2)(3,5,8,7)$ |
| $(1,8)(5,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,3)(4,7)(6,8)$ | $-4$ |
| $6$ | $2$ | $(1,7)(2,6)(3,8)(4,5)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(2,3)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,6)(5,8)$ | $2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,5)(2,3)(4,6)(7,8)$ | $-2$ |
| $32$ | $3$ | $(2,7,6)(3,4,8)$ | $1$ |
| $12$ | $4$ | $(1,4,5,7)(2,6,3,8)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,8,7,3)(2,5,6,4)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,6,4,2)(3,5,8,7)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,6,5,8)(2,3)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,5)(2,8,7,3,6,4)$ | $-1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
