Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 367 }$ to precision 9.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 131 + 204\cdot 367 + 39\cdot 367^{2} + 20\cdot 367^{3} + 237\cdot 367^{4} + 148\cdot 367^{5} + 287\cdot 367^{6} + 214\cdot 367^{7} + 35\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 166 + 253\cdot 367 + 285\cdot 367^{2} + 130\cdot 367^{3} + 87\cdot 367^{4} + 339\cdot 367^{5} + 300\cdot 367^{6} + 20\cdot 367^{7} + 144\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 171 + 253\cdot 367 + 20\cdot 367^{3} + 13\cdot 367^{4} + 210\cdot 367^{5} + 306\cdot 367^{6} + 189\cdot 367^{7} + 79\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 183 + 24\cdot 367 + 237\cdot 367^{2} + 7\cdot 367^{3} + 51\cdot 367^{4} + 156\cdot 367^{5} + 252\cdot 367^{6} + 331\cdot 367^{7} + 128\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 185 + 342\cdot 367 + 129\cdot 367^{2} + 359\cdot 367^{3} + 315\cdot 367^{4} + 210\cdot 367^{5} + 114\cdot 367^{6} + 35\cdot 367^{7} + 238\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 197 + 113\cdot 367 + 366\cdot 367^{2} + 346\cdot 367^{3} + 353\cdot 367^{4} + 156\cdot 367^{5} + 60\cdot 367^{6} + 177\cdot 367^{7} + 287\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 202 + 113\cdot 367 + 81\cdot 367^{2} + 236\cdot 367^{3} + 279\cdot 367^{4} + 27\cdot 367^{5} + 66\cdot 367^{6} + 346\cdot 367^{7} + 222\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 237 + 162\cdot 367 + 327\cdot 367^{2} + 346\cdot 367^{3} + 129\cdot 367^{4} + 218\cdot 367^{5} + 79\cdot 367^{6} + 152\cdot 367^{7} + 331\cdot 367^{8} +O\left(367^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(3,6)(4,5)$ |
| $(1,7,4,3,8,2,5,6)$ |
| $(2,7)(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
$-4$ |
| $2$ |
$2$ |
$(2,7)(3,6)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(3,6)(4,5)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,4,8,5)(2,6,7,3)$ |
$0$ |
| $2$ |
$4$ |
$(1,4,8,5)(2,3,7,6)$ |
$0$ |
| $4$ |
$8$ |
$(1,7,4,3,8,2,5,6)$ |
$0$ |
| $4$ |
$8$ |
$(1,3,5,7,8,6,4,2)$ |
$0$ |
| $4$ |
$8$ |
$(1,7,4,6,8,2,5,3)$ |
$0$ |
| $4$ |
$8$ |
$(1,6,5,7,8,3,4,2)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
