# Properties

 Label 4.3147076.40t188.a.b Dimension $4$ Group $C_4.A_5$ Conductor $3147076$ Root number not computed Indicator $0$

# Related objects

## Basic invariants

 Dimension: $4$ Group: 24T576 Conductor: $$3147076$$$$\medspace = 2^{2} \cdot 887^{2}$$ Artin stem field: 24.4.19756778413055716819205133752664064.1 Galois orbit size: $2$ Smallest permutation container: 40T188 Parity: even Determinant: 1.1.1t1.a.a Projective image: $A_5$ Projective stem field: 5.1.3147076.1

## Defining polynomial

 $f(x)$ $=$ $$x^{24} - 2 x^{23} - 8 x^{22} + 22 x^{21} + 51 x^{20} - 228 x^{19} - 3 x^{18} + 1321 x^{17} - 2220 x^{16} - 1748 x^{15} + 9722 x^{14} - 7588 x^{13} - 14572 x^{12} + 34524 x^{11} - 16026 x^{10} - 34263 x^{9} + 60097 x^{8} - 26110 x^{7} - 33112 x^{6} + 60245 x^{5} - 45651 x^{4} + 20521 x^{3} - 6288 x^{2} + 1547 x - 241$$  .

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $$x^{10} + x^{6} + 28 x^{5} + 25 x^{4} + 4 x^{3} + 39 x^{2} + 15 x + 2$$

Roots:
 $r_{ 1 }$ $=$ $$38 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 57 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 34 a^{2} + 5 a + 1 + \left(58 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 51 a^{4} + 14 a^{3} + 47 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 59 + \left(39 a^{9} + 32 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 11 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 33 a^{6} + 57 a^{5} + 33 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 59^{3} + \left(2 a^{9} + 28 a^{8} + 43 a^{7} + 11 a^{6} + 52 a^{5} + 55 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 55 a + 26\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{9} + 19 a^{8} + 47 a^{7} + 45 a^{6} + 34 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 59^{5} + \left(2 a^{9} + 42 a^{8} + 52 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 47 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 49 a^{6} + 30 a^{5} + 32 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 59^{7} + \left(41 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 48 a^{6} + 58 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 49\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{9} + 6 a^{8} + 39 a^{7} + 23 a^{6} + 32 a^{5} + 57 a^{4} + 28 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 2 }$ $=$ $$21 a^{9} + 38 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 32 a^{5} + 58 a^{4} + 38 a^{3} + 25 a^{2} + 54 a + 10 + \left(56 a^{8} + 45 a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 44 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 59 + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 44 a^{7} + 24 a^{6} + 47 a^{5} + 29 a^{4} + 58 a^{3} + 51 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a^{9} + 49 a^{8} + 38 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{9} + 30 a^{8} + 15 a^{7} + 47 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 52 a^{3} + 42 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 59^{4} + \left(26 a^{9} + 39 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 50 a^{4} + 27 a^{3} + 54 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 54 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(17 a^{9} + 33 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 56 a^{3} + 47 a^{2} + a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 50 a^{8} + 45 a^{7} + 10 a^{6} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 44 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{9} + 52 a^{8} + 19 a^{7} + 35 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 56\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 3 }$ $=$ $$48 a^{9} + 11 a^{8} + 57 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 56 a + 16 + \left(52 a^{9} + 52 a^{8} + 7 a^{7} + 53 a^{5} + 21 a^{4} + 33 a^{3} + 40 a^{2} + 57 a + 9\right)\cdot 59 + \left(19 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 55 a^{5} + 39 a^{4} + 58 a^{3} + 16 a^{2} + 58 a + 11\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 56 a^{7} + 49 a^{6} + 48 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 44 a^{6} + 57 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 50 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(48 a^{9} + 44 a^{8} + 49 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 55 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 6 a^{3} + 42 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(33 a^{9} + 55 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 56 a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 59^{8} + \left(11 a^{9} + 11 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 4 }$ $=$ $$11 a^{9} + 48 a^{8} + 2 a^{7} + 46 a^{6} + 28 a^{5} + 36 a^{4} + 48 a^{3} + 44 a^{2} + 3 a + 46 + \left(6 a^{9} + 6 a^{8} + 51 a^{7} + 58 a^{6} + 5 a^{5} + 37 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + a + 38\right)\cdot 59 + \left(39 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{2} + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a^{9} + 58 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 37 a^{4} + 43 a^{3} + 20 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 59^{3} + \left(50 a^{9} + 54 a^{8} + 58 a^{7} + 41 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 41 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a^{9} + 51 a^{8} + 55 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 59^{5} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 41 a^{3} + 50 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 38 a^{8} + 49 a^{7} + 31 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 52 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 59^{7} + \left(25 a^{9} + 3 a^{8} + 33 a^{7} + 49 a^{6} + 53 a^{5} + 38 a^{4} + 40 a^{3} + 2 a^{2} + 44 a + 11\right)\cdot 59^{8} + \left(47 a^{9} + 47 a^{8} + 19 a^{7} + 44 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 5 }$ $=$ $$29 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 19 a^{6} + 31 a^{5} + 44 a^{4} + 56 a^{3} + 10 a + 28 + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 47 a^{6} + 58 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 9 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 59 + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 58 a^{4} + 36 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(40 a^{9} + 51 a^{8} + 25 a^{7} + 51 a^{6} + a^{5} + 49 a^{4} + 39 a^{3} + 49 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 59^{3} + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 52 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 59^{4} + \left(56 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 44 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 53 a^{2} + 56 a + 57\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{9} + 43 a^{8} + 40 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 45 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{9} + 42 a^{8} + 2 a^{7} + 57 a^{6} + 42 a^{5} + a^{4} + 48 a^{3} + 39 a^{2} + 21 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 58 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{4} + 41 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 6 }$ $=$ $$8 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 55 a^{5} + 32 a^{4} + 44 a^{3} + 44 a^{2} + 58 a + 28 + \left(52 a^{9} + 27 a^{8} + 43 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{3} + 43 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 59 + \left(34 a^{9} + 46 a^{8} + 15 a^{7} + 41 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 45 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 59^{2} + \left(27 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 42 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{9} + 52 a^{8} + 56 a^{7} + 35 a^{6} + 55 a^{5} + 44 a^{4} + 24 a^{3} + 47 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 59^{4} + \left(52 a^{9} + 12 a^{8} + 48 a^{7} + 4 a^{6} + 48 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(30 a^{9} + 4 a^{8} + 44 a^{7} + 25 a^{6} + 48 a^{5} + 37 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 56 a^{3} + 33 a^{2} + 49 a + 33\right)\cdot 59^{7} + \left(52 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 54 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 59^{8} + \left(31 a^{9} + 55 a^{7} + 14 a^{6} + 43 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 46 a^{2} + 36 a + 53\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 7 }$ $=$ $$32 a^{9} + 25 a^{8} + 54 a^{7} + 32 a^{6} + 17 a^{5} + 37 a^{4} + 11 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 10 + \left(56 a^{9} + 11 a^{7} + 41 a^{6} + 35 a^{5} + 19 a^{4} + 48 a^{3} + 55 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 59 + \left(49 a^{9} + 54 a^{8} + 45 a^{7} + 46 a^{6} + 4 a^{4} + 51 a^{3} + 39 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 55 a^{6} + 17 a^{5} + 49 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{8} + 45 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a^{9} + 42 a^{8} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 33 a^{4} + 49 a^{3} + 39 a^{2} + 58 a + 25\right)\cdot 59^{5} + \left(10 a^{9} + 8 a^{8} + 49 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 52 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 59^{6} + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 50 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 39 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 57 a + 38\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{9} + 52 a^{8} + 39 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 53 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 8 }$ $=$ $$23 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 56 a^{4} + 57 a^{3} + 11 a^{2} + 30 a + 2 + \left(24 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 34 a^{5} + 34 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 59 + \left(16 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 58 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 59^{2} + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 49 a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 22 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 55 a^{5} + 22 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 58 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(8 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 40 a^{4} + 57 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 59^{5} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 37 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 49 a^{3} + 57 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 48 a^{4} + 14 a^{3} + 38 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(46 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 49 a^{5} + 48 a^{4} + 50 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 50 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 9 }$ $=$ $$36 a^{9} + 32 a^{8} + 37 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 35 + \left(39 a^{9} + 56 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 53 a^{4} + 7 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 59 + \left(53 a^{9} + 13 a^{7} + 47 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 59^{2} + \left(45 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 45 a^{5} + 51 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 58 a + 43\right)\cdot 59^{3} + \left(57 a^{9} + 43 a^{8} + 24 a^{7} + 52 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 51 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{9} + 13 a^{8} + 40 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 43 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 49 a^{7} + 5 a^{6} + 54 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a^{9} + 55 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 44 a^{5} + 30 a^{4} + 49 a^{3} + 50 a^{2} + 52 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 45 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 37 a^{2} + 54 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 49 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 10 }$ $=$ $$21 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 51 a^{6} + 41 a^{5} + 47 a^{4} + 58 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 45 + \left(52 a^{9} + 38 a^{8} + 52 a^{7} + 7 a^{6} + 44 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 44 a + 16\right)\cdot 59 + \left(8 a^{9} + 53 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 40 a^{5} + 38 a^{4} + 9 a^{3} + 47 a^{2} + 56 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(51 a^{9} + 38 a^{8} + 40 a^{7} + 38 a^{6} + 54 a^{5} + 44 a^{4} + 47 a^{3} + 56 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 59^{3} + \left(44 a^{9} + 27 a^{8} + 37 a^{7} + 46 a^{6} + 20 a^{5} + 35 a^{4} + 26 a^{3} + 31 a^{2} + 23\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 14 a^{4} + 46 a^{3} + 4 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 59^{5} + \left(43 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 59^{6} + \left(36 a^{9} + 41 a^{8} + 17 a^{7} + 31 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 57 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(11 a^{9} + 40 a^{8} + 7 a^{7} + 42 a^{6} + 48 a^{5} + 7 a^{3} + 43 a^{2} + 58 a + 36\right)\cdot 59^{8} + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{6} + 42 a^{5} + 27 a^{4} + 50 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 11 }$ $=$ $$a^{9} + a^{8} + 44 a^{7} + 31 a^{6} + 31 a^{5} + 29 a^{4} + 34 a^{3} + 42 a^{2} + 45 a + 38 + \left(33 a^{9} + 45 a^{8} + 47 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 30 a^{3} + 58 a^{2} + 33 a + 51\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 53 a^{8} + 48 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 47 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(52 a^{9} + 33 a^{8} + 45 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 43 a^{2} + 27 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{9} + 35 a^{8} + 58 a^{7} + 15 a^{6} + 42 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 42 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 59^{4} + \left(17 a^{9} + 52 a^{8} + a^{7} + 38 a^{6} + 3 a^{5} + 52 a^{4} + 55 a^{3} + 43 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(50 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 38 a^{5} + 49 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(3 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 37 a^{5} + 49 a^{4} + 38 a^{3} + 17 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 59^{7} + \left(2 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 47 a^{6} + 53 a^{5} + 21 a^{4} + 43 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(6 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 12 }$ $=$ $$15 a^{9} + 27 a^{8} + 58 a^{7} + 40 a^{6} + 52 a^{5} + 46 a^{4} + 24 a^{3} + 50 a^{2} + 10 a + 29 + \left(43 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 55 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 59 + \left(31 a^{9} + 44 a^{8} + 49 a^{7} + 26 a^{6} + 57 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 59^{2} + \left(52 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 48 a^{5} + 49 a^{4} + 26 a^{3} + 42 a^{2} + 21 a + 44\right)\cdot 59^{3} + \left(44 a^{9} + 55 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 57 a^{5} + 40 a^{4} + 54 a^{3} + a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{9} + 39 a^{8} + 37 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 49 a^{2} + 9 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(8 a^{9} + 56 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 55 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 59^{7} + \left(12 a^{9} + 42 a^{8} + 15 a^{7} + 34 a^{6} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 42 a^{2} + 54 a + 6\right)\cdot 59^{8} + \left(9 a^{9} + 36 a^{8} + 37 a^{7} + 38 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 14 a^{3} + 39 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 13 }$ $=$ $$22 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 46 a^{5} + 13 a^{4} + 53 a^{3} + 58 a^{2} + 12 a + 38 + \left(18 a^{9} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 23 a^{5} + 39 a^{4} + 50 a^{3} + a^{2} + 16 a + 43\right)\cdot 59 + \left(36 a^{9} + 54 a^{8} + 14 a^{7} + 32 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 56 a^{2} + 51 a + 40\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{9} + 33 a^{8} + 26 a^{7} + 56 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 48 a^{3} + 31 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{9} + 13 a^{8} + 56 a^{7} + 4 a^{6} + 52 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 55 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 57 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 56\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 47 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{9} + 48 a^{8} + 55 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 47 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 59^{8} + \left(23 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 14 }$ $=$ $$12 a^{9} + 34 a^{8} + 10 a^{7} + 41 a^{6} + 21 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 56 + \left(54 a^{9} + 20 a^{8} + 48 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + a + 30\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 37 a^{8} + 30 a^{7} + 48 a^{6} + 18 a^{5} + 31 a^{4} + 45 a^{3} + 56 a^{2} + 57 a + 1\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{9} + 20 a^{8} + 53 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + 30 a^{2} + 50 a + 57\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{9} + 44 a^{8} + 12 a^{7} + 35 a^{6} + 31 a^{5} + 47 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 35 a^{7} + 46 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 35 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{9} + 51 a^{8} + 33 a^{7} + 12 a^{6} + 57 a^{5} + 57 a^{4} + 22 a^{3} + 45 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 59^{6} + \left(51 a^{9} + 2 a^{8} + 48 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 45 a^{6} + 50 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 59^{8} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 54 a^{5} + 3 a^{4} + 55 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 15 }$ $=$ $$32 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 53 a^{6} + 40 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + \left(7 a^{9} + 14 a^{8} + 46 a^{7} + 56 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 59 + \left(36 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 35 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 46 a^{3} + 3 a^{2} + 58 a + 29\right)\cdot 59^{2} + \left(13 a^{9} + 58 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 52 a^{5} + 50 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{9} + 45 a^{8} + 33 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 59^{4} + \left(46 a^{9} + 10 a^{8} + 38 a^{7} + 57 a^{6} + 9 a^{5} + 51 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 59^{5} + \left(12 a^{9} + 57 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 50 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 59^{6} + \left(21 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(44 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 38 a^{6} + 58 a^{5} + 35 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 59^{8} + \left(45 a^{9} + 54 a^{8} + 54 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 16 }$ $=$ $$8 a^{9} + 49 a^{8} + 39 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 55 a^{2} + 54 + \left(6 a^{9} + 53 a^{8} + 45 a^{7} + 47 a^{6} + 5 a^{5} + 31 a^{4} + 51 a^{3} + 8 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 59 + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 40 a^{5} + 45 a^{4} + 58 a^{3} + 52 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{9} + 44 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 59^{3} + \left(49 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 32 a^{5} + 4 a^{4} + 44 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 59^{4} + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 43 a^{7} + 55 a^{6} + 46 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 59^{5} + \left(19 a^{9} + 52 a^{8} + 4 a^{7} + 54 a^{6} + 19 a^{5} + 36 a^{4} + 17 a^{3} + 46 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 50 a^{7} + 22 a^{6} + 39 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 54 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 43 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(50 a^{9} + 53 a^{8} + 6 a^{7} + 54 a^{6} + 44 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 17 }$ $=$ $$12 a^{9} + 55 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 45 a^{5} + 48 a^{4} + 45 a^{3} + 39 a^{2} + 2 a + 8 + \left(48 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 55 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 44 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 59 + \left(51 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 42 a^{5} + 49 a^{4} + 31 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{9} + 55 a^{8} + 57 a^{7} + 39 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 51\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{9} + 38 a^{8} + 2 a^{7} + 56 a^{6} + 38 a^{5} + 45 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 49 a + 19\right)\cdot 59^{5} + \left(34 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 52 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 52 a^{2} + 17 a + 53\right)\cdot 59^{6} + \left(49 a^{9} + 33 a^{8} + 13 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 47 a^{3} + 34 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(39 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 48 a^{6} + 38 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 18 }$ $=$ $$51 a^{9} + 46 a^{8} + 55 a^{7} + 53 a^{6} + 55 a^{5} + 37 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5 + \left(4 a^{9} + 48 a^{8} + 54 a^{7} + 51 a^{6} + 29 a^{5} + 42 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a + 45\right)\cdot 59 + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 50 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 35 a^{4} + 48 a^{3} + 49 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(18 a^{9} + 44 a^{8} + 46 a^{7} + 5 a^{6} + 42 a^{5} + 49 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 59^{3} + \left(39 a^{9} + 38 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 58\right)\cdot 59^{4} + \left(20 a^{9} + 41 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 50 a^{4} + 46 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 53 a^{5} + 22 a^{3} + 47 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 56 a^{4} + 15 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{9} + 49 a^{8} + 30 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 56 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 43 a^{3} + 37 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 19 }$ $=$ $$48 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 43 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 14 + \left(43 a^{9} + 18 a^{8} + 52 a^{7} + 46 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 57 a + 36\right)\cdot 59 + \left(5 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 59^{2} + \left(3 a^{9} + 36 a^{8} + 50 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 59^{3} + \left(32 a^{9} + 31 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 47 a^{4} + 50 a^{2} + 21 a + 47\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{9} + 39 a^{8} + 47 a^{7} + 26 a^{6} + 40 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 43 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 46 a^{6} + 35 a^{5} + 56 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 59^{6} + \left(12 a^{9} + 45 a^{8} + 24 a^{7} + 39 a^{6} + 37 a^{5} + 44 a^{4} + 52 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 59^{7} + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 51 a^{6} + 48 a^{5} + 52 a^{4} + 39 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 49 a^{5} + 58 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 45\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 20 }$ $=$ $$51 a^{9} + 47 a^{8} + 42 a^{7} + 40 a^{6} + 9 a^{5} + 56 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 53 + \left(22 a^{9} + 50 a^{8} + 23 a^{7} + 47 a^{6} + 38 a^{5} + 31 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 59 + \left(41 a^{9} + 52 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 9 a^{5} + 47 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{9} + 23 a^{8} + 48 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{5} + 46 a^{4} + 13 a^{3} + 44 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 50 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 5 a + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(57 a^{9} + 43 a^{8} + 16 a^{7} + 52 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + 58 a^{3} + 41 a^{2} + a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{9} + 35 a^{8} + 57 a^{7} + 47 a^{6} + 34 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 59^{6} + \left(50 a^{9} + 43 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 27 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 58 a^{6} + 58 a^{5} + 4 a^{4} + 33 a^{3} + 54 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 56 a^{5} + 54 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 21 }$ $=$ $$20 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 8 a^{5} + 52 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 27 + \left(22 a^{9} + 18 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 44 a^{8} + 55 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 44 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 47 a^{8} + 15 a^{7} + 53 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 42 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 51\right)\cdot 59^{3} + \left(58 a^{9} + 55 a^{8} + 10 a^{7} + 57 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 43 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 59^{4} + \left(33 a^{9} + 39 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 53 a^{5} + 15 a^{4} + 46 a^{3} + 8 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(54 a^{9} + 49 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 36 a^{2} + 58 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 40 a^{5} + 47 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(2 a^{9} + 44 a^{8} + 41 a^{7} + 53 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 22 }$ $=$ $$15 a^{9} + 28 a^{8} + 40 a^{7} + 47 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 56 a^{2} + 34 a + \left(a^{9} + 43 a^{8} + 44 a^{7} + 51 a^{6} + 55 a^{5} + 4 a^{4} + 48 a^{3} + 5 a^{2} + 47 a + 40\right)\cdot 59 + \left(48 a^{9} + 55 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 41 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 51 a^{3} + 13 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 59^{3} + \left(19 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 49 a^{4} + 48 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 43\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{9} + 28 a^{8} + 39 a^{7} + 37 a^{6} + 10 a^{5} + 42 a^{4} + 56 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 59^{5} + \left(39 a^{9} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 46 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(53 a^{9} + 17 a^{8} + 52 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 53 a + 11\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{9} + 47 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 23 }$ $=$ $$26 a^{9} + 12 a^{8} + 47 a^{7} + 26 a^{6} + 45 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 31 a^{2} + 30 a + 45 + \left(42 a^{9} + 55 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 59 + \left(25 a^{9} + 50 a^{8} + 36 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 52 a^{2} + 55 a + 40\right)\cdot 59^{2} + \left(3 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 36 a^{5} + 45 a^{4} + 46 a^{3} + 52 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 59^{3} + \left(17 a^{9} + 21 a^{8} + 48 a^{7} + 32 a^{6} + 44 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{9} + 54 a^{8} + 54 a^{7} + 46 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 45 a^{3} + 19 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 59^{5} + \left(12 a^{9} + 28 a^{8} + 51 a^{7} + 32 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(40 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 24 a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 58 a^{2} + a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(26 a^{9} + 27 a^{8} + 52 a^{7} + 6 a^{6} + 53 a^{5} + 53 a^{4} + 17 a^{3} + 41 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 59^{8} + \left(48 a^{9} + 54 a^{8} + 27 a^{7} + 56 a^{6} + 50 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$ $r_{ 24 }$ $=$ $$10 a^{9} + 24 a^{7} + 37 a^{6} + 49 a^{5} + 29 a^{4} + 53 a^{3} + 32 a^{2} + 52 a + 4 + \left(53 a^{9} + 31 a^{8} + 56 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 50 a^{4} + 15 a^{3} + 34 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 59 + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 45 a^{5} + 45 a^{4} + 22 a^{3} + 42 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 59^{2} + \left(48 a^{9} + 41 a^{8} + 47 a^{7} + 13 a^{6} + 44 a^{5} + 37 a^{4} + 14 a^{3} + 53 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(7 a^{9} + 27 a^{8} + 51 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{3} + 53 a^{2} + 54 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(6 a^{9} + 26 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 52 a^{3} + 39 a^{2} + 54 a + 13\right)\cdot 59^{5} + \left(49 a^{9} + 46 a^{8} + 42 a^{7} + 47 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 47 a^{2} + 22 a + 49\right)\cdot 59^{6} + \left(43 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 20 a^{6} + 54 a^{5} + 40 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{9} + 4 a^{8} + 58 a^{7} + 31 a^{6} + 58 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 48 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(44 a^{9} + 37 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 31 a^{5} + 55 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})$$

## Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

 Cycle notation $(1,2)(3,4)(5,23)(6,21)(7,9)(8,24)(10,15)(11,18)(12,20)(13,17)(14,22)(16,19)$ $(1,3,2,4)(5,12,23,20)(6,9,21,7)(8,17,24,13)(10,16,15,19)(11,22,18,14)$ $(1,14,2,22)(3,11,4,18)(5,8,23,24)(6,7,21,9)(10,16,15,19)(12,17,20,13)$ $(1,15,9,2,10,7)(3,19,21,4,16,6)(5,8,11,23,24,18)(12,17,22,20,13,14)$

## Character values on conjugacy classes

 Size Order Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$ Character value $1$ $1$ $()$ $4$ $1$ $2$ $(1,2)(3,4)(5,23)(6,21)(7,9)(8,24)(10,15)(11,18)(12,20)(13,17)(14,22)(16,19)$ $-4$ $30$ $2$ $(1,11)(2,18)(3,22)(4,14)(5,17)(8,20)(10,15)(12,24)(13,23)(16,19)$ $0$ $20$ $3$ $(1,9,10)(2,7,15)(3,21,16)(4,6,19)(5,11,24)(8,23,18)(12,22,13)(14,17,20)$ $1$ $1$ $4$ $(1,3,2,4)(5,12,23,20)(6,9,21,7)(8,17,24,13)(10,16,15,19)(11,22,18,14)$ $-4 \zeta_{4}$ $1$ $4$ $(1,4,2,3)(5,20,23,12)(6,7,21,9)(8,13,24,17)(10,19,15,16)(11,14,18,22)$ $4 \zeta_{4}$ $30$ $4$ $(1,14,2,22)(3,11,4,18)(5,8,23,24)(6,7,21,9)(10,16,15,19)(12,17,20,13)$ $0$ $12$ $5$ $(1,22,21,20,10)(2,14,6,12,15)(3,18,7,5,16)(4,11,9,23,19)$ $-1$ $12$ $5$ $(1,13,14,9,16)(2,17,22,7,19)(3,8,11,21,15)(4,24,18,6,10)$ $-1$ $20$ $6$ $(1,15,9,2,10,7)(3,19,21,4,16,6)(5,8,11,23,24,18)(12,17,22,20,13,14)$ $-1$ $12$ $10$ $(1,12,22,15,21,2,20,14,10,6)(3,23,18,19,7,4,5,11,16,9)(8,24)(13,17)$ $1$ $12$ $10$ $(1,15,20,6,22,2,10,12,21,14)(3,19,5,9,18,4,16,23,7,11)(8,24)(13,17)$ $1$ $20$ $12$ $(1,6,15,3,9,19,2,21,10,4,7,16)(5,14,8,12,11,17,23,22,24,20,18,13)$ $\zeta_{4}$ $20$ $12$ $(1,21,15,4,9,16,2,6,10,3,7,19)(5,22,8,20,11,13,23,14,24,12,18,17)$ $-\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,23,14,16,21,4,12,18,10,9,2,5,22,19,6,3,20,11,15,7)(8,13,24,17)$ $-\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,16,12,9,22,3,15,23,21,18,2,19,20,7,14,4,10,5,6,11)(8,17,24,13)$ $\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,5,14,19,21,3,12,11,10,7,2,23,22,16,6,4,20,18,15,9)(8,17,24,13)$ $\zeta_{4}$ $12$ $20$ $(1,18,19,8,9,4,22,15,13,6,2,11,16,24,7,3,14,10,17,21)(5,20,23,12)$ $-\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.