LMFDB - Artin representation 4.3147076.40t188.a.a

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	24T576
Conductor:	$3147076$$\medspace = 2^{2} \cdot 887^{2} $
Artin stem field:	Galois closure of 24.4.19756778413055716819205133752664064.1
Galois orbit size:	$2$
Smallest permutation container:	40T188
Parity:	even
Determinant:	1.1.1t1.a.a
Projective image:	$A_5$
Projective stem field:	Galois closure of 5.1.3147076.1

Defining polynomial

$f(x)$

$=$

$ x^{24} - 2 x^{23} - 8 x^{22} + 22 x^{21} + 51 x^{20} - 228 x^{19} - 3 x^{18} + 1321 x^{17} - 2220 x^{16} + \cdots - 241 $

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 10.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{10} + x^{6} + 28x^{5} + 25x^{4} + 4x^{3} + 39x^{2} + 15x + 2 $ x^10 + x^6 + 28*x^5 + 25*x^4 + 4*x^3 + 39*x^2 + 15*x + 2

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	\( 38 a^{9} + 21 a^{8} + 23 a^{7} + 57 a^{6} + 27 a^{5} + a^{4} + 21 a^{3} + 34 a^{2} + 5 a + 1 + \left(58 a^{9} + 2 a^{8} + 13 a^{7} + 22 a^{6} + 28 a^{5} + 51 a^{4} + 14 a^{3} + 47 a^{2} + 22 a + 26\right)\cdot 59 + \left(39 a^{9} + 32 a^{8} + 14 a^{7} + 34 a^{6} + 11 a^{5} + 29 a^{4} + 7 a^{2} + 29 a + 6\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 9 a^{8} + 20 a^{7} + 33 a^{6} + 57 a^{5} + 33 a^{4} + 29 a^{3} + 33 a^{2} + 18 a + 43\right)\cdot 59^{3} + \left(2 a^{9} + 28 a^{8} + 43 a^{7} + 11 a^{6} + 52 a^{5} + 55 a^{4} + 6 a^{3} + 16 a^{2} + 55 a + 26\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{9} + 19 a^{8} + 47 a^{7} + 45 a^{6} + 34 a^{5} + 8 a^{4} + 31 a^{3} + 4 a^{2} + 27 a + 25\right)\cdot 59^{5} + \left(2 a^{9} + 42 a^{8} + 52 a^{7} + 29 a^{6} + 34 a^{5} + 35 a^{4} + 37 a^{3} + 47 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 25 a^{8} + 18 a^{7} + 49 a^{6} + 30 a^{5} + 32 a^{4} + 2 a^{3} + 11 a^{2} + 57 a + 34\right)\cdot 59^{7} + \left(41 a^{9} + 8 a^{8} + 13 a^{7} + 48 a^{6} + 58 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 49\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{9} + 6 a^{8} + 39 a^{7} + 23 a^{6} + 32 a^{5} + 57 a^{4} + 28 a^{3} + 40 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 38a^9 + 21a^8 + 23a^7 + 57a^6 + 27a^5 + a^4 + 21a^3 + 34a^2 + 5a + 1 + (58a^9 + 2a^8 + 13a^7 + 22a^6 + 28a^5 + 51a^4 + 14a^3 + 47a^2 + 22a + 26)59 + (39a^9 + 32a^8 + 14a^7 + 34a^6 + 11a^5 + 29a^4 + 7a^2 + 29a + 6)59^2 + (14a^9 + 9a^8 + 20a^7 + 33a^6 + 57a^5 + 33a^4 + 29a^3 + 33a^2 + 18a + 43)59^3 + (2a^9 + 28a^8 + 43a^7 + 11a^6 + 52a^5 + 55a^4 + 6a^3 + 16a^2 + 55a + 26)59^4 + (32a^9 + 19a^8 + 47a^7 + 45a^6 + 34a^5 + 8a^4 + 31a^3 + 4a^2 + 27a + 25)59^5 + (2a^9 + 42a^8 + 52a^7 + 29a^6 + 34a^5 + 35a^4 + 37a^3 + 47a^2 + 4a + 8)59^6 + (41a^9 + 25a^8 + 18a^7 + 49a^6 + 30a^5 + 32a^4 + 2a^3 + 11a^2 + 57a + 34)59^7 + (41a^9 + 8a^8 + 13a^7 + 48a^6 + 58a^5 + 19a^4 + 50a^3 + 14a^2 + 41a + 49)59^8 + (25a^9 + 6a^8 + 39a^7 + 23a^6 + 32a^5 + 57a^4 + 28a^3 + 40a^2 + 11a + 2)*59^9+O(59^10)
$r_{ 2 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 38 a^{8} + 36 a^{7} + 2 a^{6} + 32 a^{5} + 58 a^{4} + 38 a^{3} + 25 a^{2} + 54 a + 10 + \left(56 a^{8} + 45 a^{7} + 36 a^{6} + 30 a^{5} + 7 a^{4} + 44 a^{3} + 11 a^{2} + 36 a + 29\right)\cdot 59 + \left(19 a^{9} + 26 a^{8} + 44 a^{7} + 24 a^{6} + 47 a^{5} + 29 a^{4} + 58 a^{3} + 51 a^{2} + 29 a + 13\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a^{9} + 49 a^{8} + 38 a^{7} + 25 a^{6} + a^{5} + 25 a^{4} + 29 a^{3} + 25 a^{2} + 40 a + 23\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{9} + 30 a^{8} + 15 a^{7} + 47 a^{6} + 6 a^{5} + 3 a^{4} + 52 a^{3} + 42 a^{2} + 3 a + 50\right)\cdot 59^{4} + \left(26 a^{9} + 39 a^{8} + 11 a^{7} + 13 a^{6} + 24 a^{5} + 50 a^{4} + 27 a^{3} + 54 a^{2} + 31 a + 35\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 16 a^{8} + 6 a^{7} + 29 a^{6} + 24 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 11 a^{2} + 54 a + 18\right)\cdot 59^{6} + \left(17 a^{9} + 33 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 28 a^{5} + 26 a^{4} + 56 a^{3} + 47 a^{2} + a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 50 a^{8} + 45 a^{7} + 10 a^{6} + 39 a^{4} + 8 a^{3} + 44 a^{2} + 17 a + 25\right)\cdot 59^{8} + \left(33 a^{9} + 52 a^{8} + 19 a^{7} + 35 a^{6} + 26 a^{5} + a^{4} + 30 a^{3} + 18 a^{2} + 47 a + 56\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 21a^9 + 38a^8 + 36a^7 + 2a^6 + 32a^5 + 58a^4 + 38a^3 + 25a^2 + 54a + 10 + (56a^8 + 45a^7 + 36a^6 + 30a^5 + 7a^4 + 44a^3 + 11a^2 + 36a + 29)59 + (19a^9 + 26a^8 + 44a^7 + 24a^6 + 47a^5 + 29a^4 + 58a^3 + 51a^2 + 29a + 13)59^2 + (44a^9 + 49a^8 + 38a^7 + 25a^6 + a^5 + 25a^4 + 29a^3 + 25a^2 + 40a + 23)59^3 + (56a^9 + 30a^8 + 15a^7 + 47a^6 + 6a^5 + 3a^4 + 52a^3 + 42a^2 + 3a + 50)59^4 + (26a^9 + 39a^8 + 11a^7 + 13a^6 + 24a^5 + 50a^4 + 27a^3 + 54a^2 + 31a + 35)59^5 + (56a^9 + 16a^8 + 6a^7 + 29a^6 + 24a^5 + 23a^4 + 21a^3 + 11a^2 + 54a + 18)59^6 + (17a^9 + 33a^8 + 40a^7 + 9a^6 + 28a^5 + 26a^4 + 56a^3 + 47a^2 + a + 40)59^7 + (17a^9 + 50a^8 + 45a^7 + 10a^6 + 39a^4 + 8a^3 + 44a^2 + 17a + 25)59^8 + (33a^9 + 52a^8 + 19a^7 + 35a^6 + 26a^5 + a^4 + 30a^3 + 18a^2 + 47a + 56)59^9+O(59^10)
$r_{ 3 }$	$=$	\( 48 a^{9} + 11 a^{8} + 57 a^{7} + 13 a^{6} + 31 a^{5} + 23 a^{4} + 11 a^{3} + 15 a^{2} + 56 a + 16 + \left(52 a^{9} + 52 a^{8} + 7 a^{7} + 53 a^{5} + 21 a^{4} + 33 a^{3} + 40 a^{2} + 57 a + 9\right)\cdot 59 + \left(19 a^{9} + 40 a^{8} + 36 a^{7} + 40 a^{6} + 55 a^{5} + 39 a^{4} + 58 a^{3} + 16 a^{2} + 58 a + 11\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 56 a^{7} + 49 a^{6} + 48 a^{5} + 21 a^{4} + 15 a^{3} + 38 a^{2} + 14 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{6} + 33 a^{5} + 36 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 53 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(47 a^{9} + 7 a^{8} + 3 a^{7} + 44 a^{6} + 57 a^{5} + 37 a^{4} + 24 a^{3} + 37 a^{2} + 50 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(48 a^{9} + 44 a^{8} + 49 a^{7} + 35 a^{6} + 35 a^{5} + 35 a^{4} + 17 a^{3} + 8 a^{2} + 55 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(17 a^{9} + 20 a^{8} + 9 a^{7} + 27 a^{6} + 37 a^{5} + 45 a^{4} + 6 a^{3} + 42 a^{2} + 46 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(33 a^{9} + 55 a^{8} + 25 a^{7} + 9 a^{6} + 5 a^{5} + 20 a^{4} + 18 a^{3} + 56 a^{2} + 14 a + 55\right)\cdot 59^{8} + \left(11 a^{9} + 11 a^{8} + 39 a^{7} + 14 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 37 a^{3} + 23 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 48a^9 + 11a^8 + 57a^7 + 13a^6 + 31a^5 + 23a^4 + 11a^3 + 15a^2 + 56a + 16 + (52a^9 + 52a^8 + 7a^7 + 53a^5 + 21a^4 + 33a^3 + 40a^2 + 57a + 9)59 + (19a^9 + 40a^8 + 36a^7 + 40a^6 + 55a^5 + 39a^4 + 58a^3 + 16a^2 + 58a + 11)59^2 + (14a^9 + 56a^7 + 49a^6 + 48a^5 + 21a^4 + 15a^3 + 38a^2 + 14a + 54)59^3 + (8a^9 + 4a^8 + 17a^6 + 33a^5 + 36a^4 + 30a^3 + 17a^2 + 53a + 8)59^4 + (47a^9 + 7a^8 + 3a^7 + 44a^6 + 57a^5 + 37a^4 + 24a^3 + 37a^2 + 50a + 54)59^5 + (48a^9 + 44a^8 + 49a^7 + 35a^6 + 35a^5 + 35a^4 + 17a^3 + 8a^2 + 55a + 5)59^6 + (17a^9 + 20a^8 + 9a^7 + 27a^6 + 37a^5 + 45a^4 + 6a^3 + 42a^2 + 46a + 45)59^7 + (33a^9 + 55a^8 + 25a^7 + 9a^6 + 5a^5 + 20a^4 + 18a^3 + 56a^2 + 14a + 55)59^8 + (11a^9 + 11a^8 + 39a^7 + 14a^6 + 42a^5 + 37a^4 + 37a^3 + 23a^2 + 7a + 37)59^9+O(59^10)
$r_{ 4 }$	$=$	\( 11 a^{9} + 48 a^{8} + 2 a^{7} + 46 a^{6} + 28 a^{5} + 36 a^{4} + 48 a^{3} + 44 a^{2} + 3 a + 46 + \left(6 a^{9} + 6 a^{8} + 51 a^{7} + 58 a^{6} + 5 a^{5} + 37 a^{4} + 25 a^{3} + 18 a^{2} + a + 38\right)\cdot 59 + \left(39 a^{9} + 18 a^{8} + 22 a^{7} + 18 a^{6} + 3 a^{5} + 19 a^{4} + 42 a^{2} + 44\right)\cdot 59^{2} + \left(44 a^{9} + 58 a^{8} + 2 a^{7} + 9 a^{6} + 10 a^{5} + 37 a^{4} + 43 a^{3} + 20 a^{2} + 44 a + 42\right)\cdot 59^{3} + \left(50 a^{9} + 54 a^{8} + 58 a^{7} + 41 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 28 a^{3} + 41 a^{2} + 5 a + 30\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a^{9} + 51 a^{8} + 55 a^{7} + 14 a^{6} + a^{5} + 21 a^{4} + 34 a^{3} + 21 a^{2} + 8 a + 46\right)\cdot 59^{5} + \left(10 a^{9} + 14 a^{8} + 9 a^{7} + 23 a^{6} + 23 a^{5} + 23 a^{4} + 41 a^{3} + 50 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 38 a^{8} + 49 a^{7} + 31 a^{6} + 21 a^{5} + 13 a^{4} + 52 a^{3} + 16 a^{2} + 12 a + 55\right)\cdot 59^{7} + \left(25 a^{9} + 3 a^{8} + 33 a^{7} + 49 a^{6} + 53 a^{5} + 38 a^{4} + 40 a^{3} + 2 a^{2} + 44 a + 11\right)\cdot 59^{8} + \left(47 a^{9} + 47 a^{8} + 19 a^{7} + 44 a^{6} + 16 a^{5} + 21 a^{4} + 21 a^{3} + 35 a^{2} + 51 a + 8\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 11a^9 + 48a^8 + 2a^7 + 46a^6 + 28a^5 + 36a^4 + 48a^3 + 44a^2 + 3a + 46 + (6a^9 + 6a^8 + 51a^7 + 58a^6 + 5a^5 + 37a^4 + 25a^3 + 18a^2 + a + 38)59 + (39a^9 + 18a^8 + 22a^7 + 18a^6 + 3a^5 + 19a^4 + 42a^2 + 44)59^2 + (44a^9 + 58a^8 + 2a^7 + 9a^6 + 10a^5 + 37a^4 + 43a^3 + 20a^2 + 44a + 42)59^3 + (50a^9 + 54a^8 + 58a^7 + 41a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 28a^3 + 41a^2 + 5a + 30)59^4 + (11a^9 + 51a^8 + 55a^7 + 14a^6 + a^5 + 21a^4 + 34a^3 + 21a^2 + 8a + 46)59^5 + (10a^9 + 14a^8 + 9a^7 + 23a^6 + 23a^5 + 23a^4 + 41a^3 + 50a^2 + 3a + 11)59^6 + (41a^9 + 38a^8 + 49a^7 + 31a^6 + 21a^5 + 13a^4 + 52a^3 + 16a^2 + 12a + 55)59^7 + (25a^9 + 3a^8 + 33a^7 + 49a^6 + 53a^5 + 38a^4 + 40a^3 + 2a^2 + 44a + 11)59^8 + (47a^9 + 47a^8 + 19a^7 + 44a^6 + 16a^5 + 21a^4 + 21a^3 + 35a^2 + 51a + 8)*59^9+O(59^10)
$r_{ 5 }$	$=$	\( 29 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 19 a^{6} + 31 a^{5} + 44 a^{4} + 56 a^{3} + 10 a + 28 + \left(22 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{7} + 47 a^{6} + 58 a^{5} + 7 a^{4} + 41 a^{3} + 9 a^{2} + 37 a + 2\right)\cdot 59 + \left(24 a^{9} + 5 a^{8} + 10 a^{7} + 10 a^{6} + 14 a^{5} + 58 a^{4} + 36 a^{3} + 7 a^{2} + 23 a + 14\right)\cdot 59^{2} + \left(40 a^{9} + 51 a^{8} + 25 a^{7} + 51 a^{6} + a^{5} + 49 a^{4} + 39 a^{3} + 49 a^{2} + 52 a + 21\right)\cdot 59^{3} + \left(10 a^{9} + 18 a^{8} + 6 a^{7} + 12 a^{6} + 25 a^{5} + 22 a^{4} + 18 a^{3} + 52 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 59^{4} + \left(56 a^{9} + 2 a^{8} + 21 a^{7} + 18 a^{6} + 44 a^{5} + 32 a^{4} + 3 a^{3} + 53 a^{2} + 56 a + 57\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{9} + 43 a^{8} + 40 a^{7} + 8 a^{6} + 22 a^{5} + 45 a^{4} + 7 a^{3} + 31 a^{2} + 34 a + 6\right)\cdot 59^{6} + \left(18 a^{9} + 42 a^{8} + 2 a^{7} + 57 a^{6} + 42 a^{5} + a^{4} + 48 a^{3} + 39 a^{2} + 21 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 31 a^{8} + 8 a^{7} + 58 a^{6} + 2 a^{5} + 24 a^{4} + 40 a^{3} + 21 a^{2} + 23 a + 42\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{9} + 13 a^{8} + 10 a^{7} + 17 a^{6} + 16 a^{4} + 41 a^{3} + 14 a^{2} + 19 a + 2\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 29a^9 + 35a^8 + 44a^7 + 19a^6 + 31a^5 + 44a^4 + 56a^3 + 10a + 28 + (22a^9 + 16a^8 + 8a^7 + 47a^6 + 58a^5 + 7a^4 + 41a^3 + 9a^2 + 37a + 2)59 + (24a^9 + 5a^8 + 10a^7 + 10a^6 + 14a^5 + 58a^4 + 36a^3 + 7a^2 + 23a + 14)59^2 + (40a^9 + 51a^8 + 25a^7 + 51a^6 + a^5 + 49a^4 + 39a^3 + 49a^2 + 52a + 21)59^3 + (10a^9 + 18a^8 + 6a^7 + 12a^6 + 25a^5 + 22a^4 + 18a^3 + 52a^2 + 18a + 5)59^4 + (56a^9 + 2a^8 + 21a^7 + 18a^6 + 44a^5 + 32a^4 + 3a^3 + 53a^2 + 56a + 57)59^5 + (21a^9 + 43a^8 + 40a^7 + 8a^6 + 22a^5 + 45a^4 + 7a^3 + 31a^2 + 34a + 6)59^6 + (18a^9 + 42a^8 + 2a^7 + 57a^6 + 42a^5 + a^4 + 48a^3 + 39a^2 + 21a + 49)59^7 + (17a^9 + 31a^8 + 8a^7 + 58a^6 + 2a^5 + 24a^4 + 40a^3 + 21a^2 + 23a + 42)59^8 + (49a^9 + 13a^8 + 10a^7 + 17a^6 + 16a^4 + 41a^3 + 14a^2 + 19a + 2)*59^9+O(59^10)
$r_{ 6 }$	$=$	\( 8 a^{9} + 4 a^{8} + 17 a^{7} + 55 a^{5} + 32 a^{4} + 44 a^{3} + 44 a^{2} + 58 a + 28 + \left(52 a^{9} + 27 a^{8} + 43 a^{7} + 42 a^{6} + 37 a^{3} + 43 a^{2} + 29 a + 42\right)\cdot 59 + \left(34 a^{9} + 46 a^{8} + 15 a^{7} + 41 a^{6} + 22 a^{5} + 20 a^{4} + 45 a^{3} + 20 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 59^{2} + \left(27 a^{9} + 21 a^{8} + 9 a^{7} + 3 a^{6} + 42 a^{5} + 6 a^{4} + 15 a^{3} + 30 a^{2} + 23 a + 32\right)\cdot 59^{3} + \left(4 a^{9} + 52 a^{8} + 56 a^{7} + 35 a^{6} + 55 a^{5} + 44 a^{4} + 24 a^{3} + 47 a^{2} + 24 a + 9\right)\cdot 59^{4} + \left(52 a^{9} + 12 a^{8} + 48 a^{7} + 4 a^{6} + 48 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 28 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 59^{5} + \left(30 a^{9} + 4 a^{8} + 44 a^{7} + 25 a^{6} + 48 a^{5} + 37 a^{4} + a^{3} + 15 a^{2} + 35 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 6 a^{6} + 17 a^{5} + 5 a^{4} + 56 a^{3} + 33 a^{2} + 49 a + 33\right)\cdot 59^{7} + \left(52 a^{9} + 31 a^{8} + 26 a^{7} + 54 a^{6} + 18 a^{5} + 3 a^{4} + 30 a^{3} + 7 a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 59^{8} + \left(31 a^{9} + 55 a^{7} + 14 a^{6} + 43 a^{5} + 31 a^{4} + 35 a^{3} + 46 a^{2} + 36 a + 53\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 8a^9 + 4a^8 + 17a^7 + 55a^5 + 32a^4 + 44a^3 + 44a^2 + 58a + 28 + (52a^9 + 27a^8 + 43a^7 + 42a^6 + 37a^3 + 43a^2 + 29a + 42)59 + (34a^9 + 46a^8 + 15a^7 + 41a^6 + 22a^5 + 20a^4 + 45a^3 + 20a^2 + 7a + 10)59^2 + (27a^9 + 21a^8 + 9a^7 + 3a^6 + 42a^5 + 6a^4 + 15a^3 + 30a^2 + 23a + 32)59^3 + (4a^9 + 52a^8 + 56a^7 + 35a^6 + 55a^5 + 44a^4 + 24a^3 + 47a^2 + 24a + 9)59^4 + (52a^9 + 12a^8 + 48a^7 + 4a^6 + 48a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 28a^2 + 12a + 5)59^5 + (30a^9 + 4a^8 + 44a^7 + 25a^6 + 48a^5 + 37a^4 + a^3 + 15a^2 + 35a + 28)59^6 + (26a^9 + 46a^8 + 8a^7 + 6a^6 + 17a^5 + 5a^4 + 56a^3 + 33a^2 + 49a + 33)59^7 + (52a^9 + 31a^8 + 26a^7 + 54a^6 + 18a^5 + 3a^4 + 30a^3 + 7a^2 + 52a + 58)59^8 + (31a^9 + 55a^7 + 14a^6 + 43a^5 + 31a^4 + 35a^3 + 46a^2 + 36a + 53)59^9+O(59^10)
$r_{ 7 }$	$=$	\( 32 a^{9} + 25 a^{8} + 54 a^{7} + 32 a^{6} + 17 a^{5} + 37 a^{4} + 11 a^{3} + 38 a^{2} + 39 a + 10 + \left(56 a^{9} + 11 a^{7} + 41 a^{6} + 35 a^{5} + 19 a^{4} + 48 a^{3} + 55 a^{2} + 28 a + 35\right)\cdot 59 + \left(49 a^{9} + 54 a^{8} + 45 a^{7} + 46 a^{6} + 4 a^{4} + 51 a^{3} + 39 a^{2} + 35 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 55 a^{6} + 17 a^{5} + 49 a^{4} + 7 a^{3} + 13 a^{2} + 45 a + 41\right)\cdot 59^{3} + \left(56 a^{8} + 45 a^{7} + a^{6} + 8 a^{5} + 27 a^{4} + 6 a^{3} + 11 a^{2} + 14 a + 41\right)\cdot 59^{4} + \left(11 a^{9} + 42 a^{8} + 30 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 33 a^{4} + 49 a^{3} + 39 a^{2} + 58 a + 25\right)\cdot 59^{5} + \left(10 a^{9} + 8 a^{8} + 49 a^{7} + 9 a^{6} + 16 a^{5} + 25 a^{4} + 24 a^{3} + 52 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 59^{6} + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 34 a^{7} + 19 a^{6} + 13 a^{5} + 50 a^{4} + 7 a^{3} + 15 a^{2} + 10 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(27 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + a^{6} + 25 a^{5} + 39 a^{4} + 22 a^{3} + 19 a^{2} + 57 a + 38\right)\cdot 59^{8} + \left(25 a^{9} + 52 a^{8} + 39 a^{7} + 22 a^{6} + 8 a^{5} + 17 a^{4} + 53 a^{3} + 35 a^{2} + 11 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 32a^9 + 25a^8 + 54a^7 + 32a^6 + 17a^5 + 37a^4 + 11a^3 + 38a^2 + 39a + 10 + (56a^9 + 11a^7 + 41a^6 + 35a^5 + 19a^4 + 48a^3 + 55a^2 + 28a + 35)59 + (49a^9 + 54a^8 + 45a^7 + 46a^6 + 4a^4 + 51a^3 + 39a^2 + 35a + 12)59^2 + (39a^9 + 47a^8 + 5a^7 + 55a^6 + 17a^5 + 49a^4 + 7a^3 + 13a^2 + 45a + 41)59^3 + (56a^8 + 45a^7 + a^6 + 8a^5 + 27a^4 + 6a^3 + 11a^2 + 14a + 41)59^4 + (11a^9 + 42a^8 + 30a^7 + 36a^6 + 27a^5 + 33a^4 + 49a^3 + 39a^2 + 58a + 25)59^5 + (10a^9 + 8a^8 + 49a^7 + 9a^6 + 16a^5 + 25a^4 + 24a^3 + 52a^2 + 7a + 10)59^6 + (2a^9 + 10a^8 + 34a^7 + 19a^6 + 13a^5 + 50a^4 + 7a^3 + 15a^2 + 10a + 37)59^7 + (27a^9 + 4a^8 + 19a^7 + a^6 + 25a^5 + 39a^4 + 22a^3 + 19a^2 + 57a + 38)59^8 + (25a^9 + 52a^8 + 39a^7 + 22a^6 + 8a^5 + 17a^4 + 53a^3 + 35a^2 + 11a + 58)59^9+O(59^10)
$r_{ 8 }$	$=$	\( 23 a^{9} + 24 a^{8} + 12 a^{7} + 21 a^{6} + 16 a^{5} + 56 a^{4} + 57 a^{3} + 11 a^{2} + 30 a + 2 + \left(24 a^{9} + 15 a^{8} + 10 a^{7} + 12 a^{6} + 34 a^{5} + 34 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 59 + \left(16 a^{9} + 10 a^{8} + 39 a^{7} + 27 a^{6} + 24 a^{5} + 5 a^{4} + 18 a^{3} + 58 a^{2} + 32 a + 52\right)\cdot 59^{2} + \left(8 a^{9} + 11 a^{8} + 32 a^{7} + 49 a^{6} + 34 a^{5} + 37 a^{4} + 22 a^{3} + 36 a^{2} + 11 a + 46\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{9} + 21 a^{8} + 29 a^{7} + 30 a^{6} + 55 a^{5} + 22 a^{4} + 33 a^{3} + 26 a^{2} + 58 a + 8\right)\cdot 59^{4} + \left(8 a^{9} + 7 a^{8} + 14 a^{7} + 23 a^{6} + 10 a^{5} + 40 a^{4} + 57 a^{3} + 6 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 59^{5} + \left(17 a^{9} + 27 a^{8} + 25 a^{7} + 37 a^{6} + 20 a^{5} + 7 a^{4} + 49 a^{3} + 57 a^{2} + 39 a + 22\right)\cdot 59^{6} + \left(41 a^{9} + 23 a^{8} + 25 a^{7} + 2 a^{6} + 29 a^{5} + 48 a^{4} + 14 a^{3} + 38 a^{2} + 38 a + 45\right)\cdot 59^{7} + \left(46 a^{9} + 2 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 49 a^{5} + 48 a^{4} + 50 a^{3} + 38 a^{2} + 15 a + 19\right)\cdot 59^{8} + \left(a^{9} + 15 a^{8} + 25 a^{7} + 50 a^{6} + 29 a^{5} + 37 a^{3} + 5 a^{2} + 27 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 23a^9 + 24a^8 + 12a^7 + 21a^6 + 16a^5 + 56a^4 + 57a^3 + 11a^2 + 30a + 2 + (24a^9 + 15a^8 + 10a^7 + 12a^6 + 34a^5 + 34a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 11a + 15)59 + (16a^9 + 10a^8 + 39a^7 + 27a^6 + 24a^5 + 5a^4 + 18a^3 + 58a^2 + 32a + 52)59^2 + (8a^9 + 11a^8 + 32a^7 + 49a^6 + 34a^5 + 37a^4 + 22a^3 + 36a^2 + 11a + 46)59^3 + (22a^9 + 21a^8 + 29a^7 + 30a^6 + 55a^5 + 22a^4 + 33a^3 + 26a^2 + 58a + 8)59^4 + (8a^9 + 7a^8 + 14a^7 + 23a^6 + 10a^5 + 40a^4 + 57a^3 + 6a^2 + 18a + 13)59^5 + (17a^9 + 27a^8 + 25a^7 + 37a^6 + 20a^5 + 7a^4 + 49a^3 + 57a^2 + 39a + 22)59^6 + (41a^9 + 23a^8 + 25a^7 + 2a^6 + 29a^5 + 48a^4 + 14a^3 + 38a^2 + 38a + 45)59^7 + (46a^9 + 2a^8 + 33a^7 + a^6 + 49a^5 + 48a^4 + 50a^3 + 38a^2 + 15a + 19)59^8 + (a^9 + 15a^8 + 25a^7 + 50a^6 + 29a^5 + 37a^3 + 5a^2 + 27a + 52)59^9+O(59^10)
$r_{ 9 }$	$=$	\( 36 a^{9} + 32 a^{8} + 37 a^{7} + 27 a^{6} + 8 a^{5} + 4 a^{4} + 31 a^{3} + 16 a^{2} + 35 + \left(39 a^{9} + 56 a^{7} + 20 a^{6} + 35 a^{5} + 53 a^{4} + 7 a^{3} + 36 a^{2} + 15 a + 27\right)\cdot 59 + \left(53 a^{9} + 13 a^{7} + 47 a^{6} + 7 a^{5} + 28 a^{4} + 18 a^{3} + 42 a^{2} + 36 a + 17\right)\cdot 59^{2} + \left(45 a^{9} + 12 a^{8} + 34 a^{7} + 30 a^{6} + 45 a^{5} + 51 a^{4} + 46 a^{3} + 24 a^{2} + 58 a + 43\right)\cdot 59^{3} + \left(57 a^{9} + 43 a^{8} + 24 a^{7} + 52 a^{6} + a^{5} + 14 a^{4} + 15 a^{3} + 18 a^{2} + 51 a + 54\right)\cdot 59^{4} + \left(30 a^{9} + 13 a^{8} + 40 a^{7} + 12 a^{6} + 10 a^{5} + 4 a^{4} + 21 a^{3} + 43 a^{2} + 11 a + 1\right)\cdot 59^{5} + \left(8 a^{9} + 22 a^{8} + 49 a^{7} + 5 a^{6} + 54 a^{5} + 38 a^{4} + 50 a^{3} + 26 a^{2} + 36 a + 46\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a^{9} + 55 a^{8} + 35 a^{7} + 9 a^{6} + 44 a^{5} + 30 a^{4} + 49 a^{3} + 50 a^{2} + 52 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(29 a^{9} + 22 a^{8} + 4 a^{7} + 2 a^{6} + 45 a^{5} + 19 a^{4} + 50 a^{3} + 37 a^{2} + 54 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(2 a^{9} + 10 a^{8} + 19 a^{7} + 3 a^{6} + 17 a^{5} + 49 a^{4} + 19 a^{3} + 23 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 36a^9 + 32a^8 + 37a^7 + 27a^6 + 8a^5 + 4a^4 + 31a^3 + 16a^2 + 35 + (39a^9 + 56a^7 + 20a^6 + 35a^5 + 53a^4 + 7a^3 + 36a^2 + 15a + 27)59 + (53a^9 + 13a^7 + 47a^6 + 7a^5 + 28a^4 + 18a^3 + 42a^2 + 36a + 17)59^2 + (45a^9 + 12a^8 + 34a^7 + 30a^6 + 45a^5 + 51a^4 + 46a^3 + 24a^2 + 58a + 43)59^3 + (57a^9 + 43a^8 + 24a^7 + 52a^6 + a^5 + 14a^4 + 15a^3 + 18a^2 + 51a + 54)59^4 + (30a^9 + 13a^8 + 40a^7 + 12a^6 + 10a^5 + 4a^4 + 21a^3 + 43a^2 + 11a + 1)59^5 + (8a^9 + 22a^8 + 49a^7 + 5a^6 + 54a^5 + 38a^4 + 50a^3 + 26a^2 + 36a + 46)59^6 + (45a^9 + 55a^8 + 35a^7 + 9a^6 + 44a^5 + 30a^4 + 49a^3 + 50a^2 + 52a + 57)59^7 + (29a^9 + 22a^8 + 4a^7 + 2a^6 + 45a^5 + 19a^4 + 50a^3 + 37a^2 + 54a + 43)59^8 + (2a^9 + 10a^8 + 19a^7 + 3a^6 + 17a^5 + 49a^4 + 19a^3 + 23a^2 + 4a + 7)*59^9+O(59^10)
$r_{ 10 }$	$=$	\( 21 a^{9} + 27 a^{8} + 5 a^{7} + 51 a^{6} + 41 a^{5} + 47 a^{4} + 58 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 45 + \left(52 a^{9} + 38 a^{8} + 52 a^{7} + 7 a^{6} + 44 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 23 a^{2} + 44 a + 16\right)\cdot 59 + \left(8 a^{9} + 53 a^{8} + 24 a^{7} + 31 a^{6} + 40 a^{5} + 38 a^{4} + 9 a^{3} + 47 a^{2} + 56 a + 12\right)\cdot 59^{2} + \left(51 a^{9} + 38 a^{8} + 40 a^{7} + 38 a^{6} + 54 a^{5} + 44 a^{4} + 47 a^{3} + 56 a^{2} + 30 a + 7\right)\cdot 59^{3} + \left(44 a^{9} + 27 a^{8} + 37 a^{7} + 46 a^{6} + 20 a^{5} + 35 a^{4} + 26 a^{3} + 31 a^{2} + 23\right)\cdot 59^{4} + \left(40 a^{9} + 35 a^{8} + 44 a^{7} + 14 a^{6} + 31 a^{5} + 14 a^{4} + 46 a^{3} + 4 a^{2} + 39 a + 50\right)\cdot 59^{5} + \left(43 a^{9} + 9 a^{8} + 9 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 36 a^{4} + 40 a^{3} + 8 a^{2} + 22 a + 34\right)\cdot 59^{6} + \left(36 a^{9} + 41 a^{8} + 17 a^{7} + 31 a^{6} + 2 a^{5} + 19 a^{4} + 33 a^{3} + 57 a^{2} + 47 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(11 a^{9} + 40 a^{8} + 7 a^{7} + 42 a^{6} + 48 a^{5} + 7 a^{3} + 43 a^{2} + 58 a + 36\right)\cdot 59^{8} + \left(19 a^{9} + 6 a^{8} + 11 a^{6} + 42 a^{5} + 27 a^{4} + 50 a^{3} + 16 a^{2} + 27 a + 40\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 21a^9 + 27a^8 + 5a^7 + 51a^6 + 41a^5 + 47a^4 + 58a^3 + 53a^2 + 16a + 45 + (52a^9 + 38a^8 + 52a^7 + 7a^6 + 44a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 23a^2 + 44a + 16)59 + (8a^9 + 53a^8 + 24a^7 + 31a^6 + 40a^5 + 38a^4 + 9a^3 + 47a^2 + 56a + 12)59^2 + (51a^9 + 38a^8 + 40a^7 + 38a^6 + 54a^5 + 44a^4 + 47a^3 + 56a^2 + 30a + 7)59^3 + (44a^9 + 27a^8 + 37a^7 + 46a^6 + 20a^5 + 35a^4 + 26a^3 + 31a^2 + 23)59^4 + (40a^9 + 35a^8 + 44a^7 + 14a^6 + 31a^5 + 14a^4 + 46a^3 + 4a^2 + 39a + 50)59^5 + (43a^9 + 9a^8 + 9a^7 + 26a^6 + 42a^5 + 36a^4 + 40a^3 + 8a^2 + 22a + 34)59^6 + (36a^9 + 41a^8 + 17a^7 + 31a^6 + 2a^5 + 19a^4 + 33a^3 + 57a^2 + 47a + 31)59^7 + (11a^9 + 40a^8 + 7a^7 + 42a^6 + 48a^5 + 7a^3 + 43a^2 + 58a + 36)59^8 + (19a^9 + 6a^8 + 11a^6 + 42a^5 + 27a^4 + 50a^3 + 16a^2 + 27a + 40)59^9+O(59^10)
$r_{ 11 }$	$=$	\( a^{9} + a^{8} + 44 a^{7} + 31 a^{6} + 31 a^{5} + 29 a^{4} + 34 a^{3} + 42 a^{2} + 45 a + 38 + \left(33 a^{9} + 45 a^{8} + 47 a^{7} + 27 a^{6} + 28 a^{5} + 17 a^{4} + 30 a^{3} + 58 a^{2} + 33 a + 51\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 53 a^{8} + 48 a^{7} + 33 a^{6} + 33 a^{5} + 47 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + a + 22\right)\cdot 59^{2} + \left(52 a^{9} + 33 a^{8} + 45 a^{7} + 19 a^{6} + 3 a^{5} + 12 a^{4} + 29 a^{3} + 43 a^{2} + 27 a + 54\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a^{9} + 35 a^{8} + 58 a^{7} + 15 a^{6} + 42 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 42 a^{2} + 53 a + 40\right)\cdot 59^{4} + \left(17 a^{9} + 52 a^{8} + a^{7} + 38 a^{6} + 3 a^{5} + 52 a^{4} + 55 a^{3} + 43 a^{2} + 21 a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(50 a^{9} + 22 a^{8} + 7 a^{7} + 7 a^{6} + 38 a^{5} + 49 a^{4} + 5 a^{3} + 26 a^{2} + 6 a + 28\right)\cdot 59^{6} + \left(3 a^{9} + 29 a^{8} + 15 a^{7} + 23 a^{6} + 37 a^{5} + 49 a^{4} + 38 a^{3} + 17 a^{2} + 52 a + 47\right)\cdot 59^{7} + \left(2 a^{9} + 15 a^{8} + 3 a^{7} + 47 a^{6} + 53 a^{5} + 21 a^{4} + 43 a^{3} + 25 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(6 a^{9} + 13 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 16 a^{5} + 32 a^{4} + 16 a^{3} + 27 a^{2} + 5 a + 37\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) a^9 + a^8 + 44a^7 + 31a^6 + 31a^5 + 29a^4 + 34a^3 + 42a^2 + 45a + 38 + (33a^9 + 45a^8 + 47a^7 + 27a^6 + 28a^5 + 17a^4 + 30a^3 + 58a^2 + 33a + 51)59 + (4a^9 + 53a^8 + 48a^7 + 33a^6 + 33a^5 + 47a^4 + 8a^3 + 10a^2 + a + 22)59^2 + (52a^9 + 33a^8 + 45a^7 + 19a^6 + 3a^5 + 12a^4 + 29a^3 + 43a^2 + 27a + 54)59^3 + (34a^9 + 35a^8 + 58a^7 + 15a^6 + 42a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 42a^2 + 53a + 40)59^4 + (17a^9 + 52a^8 + a^7 + 38a^6 + 3a^5 + 52a^4 + 55a^3 + 43a^2 + 21a + 20)59^5 + (50a^9 + 22a^8 + 7a^7 + 7a^6 + 38a^5 + 49a^4 + 5a^3 + 26a^2 + 6a + 28)59^6 + (3a^9 + 29a^8 + 15a^7 + 23a^6 + 37a^5 + 49a^4 + 38a^3 + 17a^2 + 52a + 47)59^7 + (2a^9 + 15a^8 + 3a^7 + 47a^6 + 53a^5 + 21a^4 + 43a^3 + 25a^2 + 3a + 17)59^8 + (6a^9 + 13a^8 + 32a^7 + 24a^6 + 16a^5 + 32a^4 + 16a^3 + 27a^2 + 5a + 37)*59^9+O(59^10)
$r_{ 12 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 27 a^{8} + 58 a^{7} + 40 a^{6} + 52 a^{5} + 46 a^{4} + 24 a^{3} + 50 a^{2} + 10 a + 29 + \left(43 a^{9} + 19 a^{8} + 9 a^{7} + 28 a^{6} + 55 a^{5} + 2 a^{4} + 30 a^{3} + 17 a^{2} + 46 a + 11\right)\cdot 59 + \left(31 a^{9} + 44 a^{8} + 49 a^{7} + 26 a^{6} + 57 a^{5} + 3 a^{4} + 18 a^{3} + 19 a^{2} + 47 a + 7\right)\cdot 59^{2} + \left(52 a^{9} + 2 a^{8} + 32 a^{7} + 21 a^{6} + 48 a^{5} + 49 a^{4} + 26 a^{3} + 42 a^{2} + 21 a + 44\right)\cdot 59^{3} + \left(44 a^{9} + 55 a^{8} + 15 a^{7} + 2 a^{6} + 57 a^{5} + 40 a^{4} + 54 a^{3} + a^{2} + 58 a + 10\right)\cdot 59^{4} + \left(25 a^{9} + 39 a^{8} + 37 a^{7} + 28 a^{6} + 31 a^{5} + 10 a^{4} + 25 a^{3} + 49 a^{2} + 9 a + 54\right)\cdot 59^{5} + \left(8 a^{9} + 56 a^{8} + 33 a^{7} + a^{6} + 17 a^{5} + 20 a^{4} + 5 a^{3} + 35 a^{2} + 2 a + 31\right)\cdot 59^{6} + \left(45 a^{9} + 16 a^{8} + 21 a^{7} + a^{6} + 55 a^{5} + 22 a^{4} + 23 a^{3} + 35 a^{2} + 20 a + 30\right)\cdot 59^{7} + \left(12 a^{9} + 42 a^{8} + 15 a^{7} + 34 a^{6} + 39 a^{5} + 10 a^{4} + 8 a^{3} + 42 a^{2} + 54 a + 6\right)\cdot 59^{8} + \left(9 a^{9} + 36 a^{8} + 37 a^{7} + 38 a^{6} + 14 a^{5} + 35 a^{4} + 14 a^{3} + 39 a^{2} + 10 a + 52\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 15a^9 + 27a^8 + 58a^7 + 40a^6 + 52a^5 + 46a^4 + 24a^3 + 50a^2 + 10a + 29 + (43a^9 + 19a^8 + 9a^7 + 28a^6 + 55a^5 + 2a^4 + 30a^3 + 17a^2 + 46a + 11)59 + (31a^9 + 44a^8 + 49a^7 + 26a^6 + 57a^5 + 3a^4 + 18a^3 + 19a^2 + 47a + 7)59^2 + (52a^9 + 2a^8 + 32a^7 + 21a^6 + 48a^5 + 49a^4 + 26a^3 + 42a^2 + 21a + 44)59^3 + (44a^9 + 55a^8 + 15a^7 + 2a^6 + 57a^5 + 40a^4 + 54a^3 + a^2 + 58a + 10)59^4 + (25a^9 + 39a^8 + 37a^7 + 28a^6 + 31a^5 + 10a^4 + 25a^3 + 49a^2 + 9a + 54)59^5 + (8a^9 + 56a^8 + 33a^7 + a^6 + 17a^5 + 20a^4 + 5a^3 + 35a^2 + 2a + 31)59^6 + (45a^9 + 16a^8 + 21a^7 + a^6 + 55a^5 + 22a^4 + 23a^3 + 35a^2 + 20a + 30)59^7 + (12a^9 + 42a^8 + 15a^7 + 34a^6 + 39a^5 + 10a^4 + 8a^3 + 42a^2 + 54a + 6)59^8 + (9a^9 + 36a^8 + 37a^7 + 38a^6 + 14a^5 + 35a^4 + 14a^3 + 39a^2 + 10a + 52)59^9+O(59^10)
$r_{ 13 }$	$=$	\( 22 a^{9} + 27 a^{8} + 3 a^{7} + 16 a^{6} + 46 a^{5} + 13 a^{4} + 53 a^{3} + 58 a^{2} + 12 a + 38 + \left(18 a^{9} + 30 a^{7} + 40 a^{6} + 23 a^{5} + 39 a^{4} + 50 a^{3} + a^{2} + 16 a + 43\right)\cdot 59 + \left(36 a^{9} + 54 a^{8} + 14 a^{7} + 32 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 19 a^{3} + 56 a^{2} + 51 a + 40\right)\cdot 59^{2} + \left(53 a^{9} + 16 a^{8} + 8 a^{6} + 25 a^{5} + 23 a^{4} + 21 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 27\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{9} + 33 a^{8} + 26 a^{7} + 56 a^{6} + 16 a^{5} + 19 a^{4} + 48 a^{3} + 31 a^{2} + 19 a + 29\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{9} + 13 a^{8} + 56 a^{7} + 4 a^{6} + 52 a^{5} + 33 a^{4} + 3 a^{3} + 5 a^{2} + 40 a + 9\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 55 a^{8} + 18 a^{7} + 8 a^{6} + 14 a^{5} + 57 a^{4} + 11 a^{3} + 12 a^{2} + 29 a + 56\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{9} + 35 a^{8} + 9 a^{7} + 32 a^{6} + 35 a^{5} + 47 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 48 a + 31\right)\cdot 59^{7} + \left(43 a^{9} + 48 a^{8} + 55 a^{7} + 8 a^{6} + 8 a^{5} + 14 a^{4} + 47 a^{3} + 39 a^{2} + 24 a + 29\right)\cdot 59^{8} + \left(23 a^{9} + 26 a^{8} + 5 a^{7} + 2 a^{6} + 35 a^{5} + 20 a^{4} + 31 a^{3} + 6 a^{2} + 8 a + 20\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 22a^9 + 27a^8 + 3a^7 + 16a^6 + 46a^5 + 13a^4 + 53a^3 + 58a^2 + 12a + 38 + (18a^9 + 30a^7 + 40a^6 + 23a^5 + 39a^4 + 50a^3 + a^2 + 16a + 43)59 + (36a^9 + 54a^8 + 14a^7 + 32a^6 + 7a^5 + 30a^4 + 19a^3 + 56a^2 + 51a + 40)59^2 + (53a^9 + 16a^8 + 8a^6 + 25a^5 + 23a^4 + 21a^3 + 6a^2 + 4a + 27)59^3 + (33a^9 + 33a^8 + 26a^7 + 56a^6 + 16a^5 + 19a^4 + 48a^3 + 31a^2 + 19a + 29)59^4 + (2a^9 + 13a^8 + 56a^7 + 4a^6 + 52a^5 + 33a^4 + 3a^3 + 5a^2 + 40a + 9)59^5 + (56a^9 + 55a^8 + 18a^7 + 8a^6 + 14a^5 + 57a^4 + 11a^3 + 12a^2 + 29a + 56)59^6 + (5a^9 + 35a^8 + 9a^7 + 32a^6 + 35a^5 + 47a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 48a + 31)59^7 + (43a^9 + 48a^8 + 55a^7 + 8a^6 + 8a^5 + 14a^4 + 47a^3 + 39a^2 + 24a + 29)59^8 + (23a^9 + 26a^8 + 5a^7 + 2a^6 + 35a^5 + 20a^4 + 31a^3 + 6a^2 + 8a + 20)59^9+O(59^10)
$r_{ 14 }$	$=$	\( 12 a^{9} + 34 a^{8} + 10 a^{7} + 41 a^{6} + 21 a^{5} + 32 a^{4} + 31 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 56 + \left(54 a^{9} + 20 a^{8} + 48 a^{7} + 4 a^{6} + 24 a^{5} + 17 a^{4} + 15 a^{3} + 23 a^{2} + a + 30\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 37 a^{8} + 30 a^{7} + 48 a^{6} + 18 a^{5} + 31 a^{4} + 45 a^{3} + 56 a^{2} + 57 a + 1\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{9} + 20 a^{8} + 53 a^{7} + 6 a^{6} + 7 a^{5} + 30 a^{4} + 41 a^{3} + 30 a^{2} + 50 a + 57\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a^{9} + 44 a^{8} + 12 a^{7} + 35 a^{6} + 31 a^{5} + 47 a^{4} + 3 a^{3} + 27 a^{2} + 35 a + 27\right)\cdot 59^{4} + \left(32 a^{9} + 13 a^{8} + 35 a^{7} + 46 a^{6} + 15 a^{5} + 5 a^{4} + 15 a^{3} + 35 a^{2} + 17 a + 27\right)\cdot 59^{5} + \left(21 a^{9} + 51 a^{8} + 33 a^{7} + 12 a^{6} + 57 a^{5} + 57 a^{4} + 22 a^{3} + 45 a^{2} + 41 a + 9\right)\cdot 59^{6} + \left(51 a^{9} + 2 a^{8} + 48 a^{7} + 10 a^{6} + 30 a^{5} + 17 a^{4} + 20 a^{3} + 37 a^{2} + 41 a + 37\right)\cdot 59^{7} + \left(15 a^{9} + 13 a^{8} + 23 a^{7} + 45 a^{6} + 50 a^{5} + 31 a^{4} + 6 a^{3} + 53 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 59^{8} + \left(8 a^{9} + 4 a^{8} + 19 a^{7} + 4 a^{6} + 54 a^{5} + 3 a^{4} + 55 a^{3} + 4 a^{2} + 29 a + 30\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 12a^9 + 34a^8 + 10a^7 + 41a^6 + 21a^5 + 32a^4 + 31a^3 + 28a^2 + 18a + 56 + (54a^9 + 20a^8 + 48a^7 + 4a^6 + 24a^5 + 17a^4 + 15a^3 + 23a^2 + a + 30)59 + (4a^9 + 37a^8 + 30a^7 + 48a^6 + 18a^5 + 31a^4 + 45a^3 + 56a^2 + 57a + 1)59^2 + (22a^9 + 20a^8 + 53a^7 + 6a^6 + 7a^5 + 30a^4 + 41a^3 + 30a^2 + 50a + 57)59^3 + (33a^9 + 44a^8 + 12a^7 + 35a^6 + 31a^5 + 47a^4 + 3a^3 + 27a^2 + 35a + 27)59^4 + (32a^9 + 13a^8 + 35a^7 + 46a^6 + 15a^5 + 5a^4 + 15a^3 + 35a^2 + 17a + 27)59^5 + (21a^9 + 51a^8 + 33a^7 + 12a^6 + 57a^5 + 57a^4 + 22a^3 + 45a^2 + 41a + 9)59^6 + (51a^9 + 2a^8 + 48a^7 + 10a^6 + 30a^5 + 17a^4 + 20a^3 + 37a^2 + 41a + 37)59^7 + (15a^9 + 13a^8 + 23a^7 + 45a^6 + 50a^5 + 31a^4 + 6a^3 + 53a^2 + 16a + 11)59^8 + (8a^9 + 4a^8 + 19a^7 + 4a^6 + 54a^5 + 3a^4 + 55a^3 + 4a^2 + 29a + 30)59^9+O(59^10)
$r_{ 15 }$	$=$	\( 32 a^{9} + 19 a^{8} + 22 a^{7} + 53 a^{6} + 40 a^{5} + 20 a^{4} + 22 a^{3} + 30 a^{2} + 7 a + \left(7 a^{9} + 14 a^{8} + 46 a^{7} + 56 a^{6} + 42 a^{5} + 37 a^{4} + 15 a^{3} + 27 a^{2} + 2 a + 52\right)\cdot 59 + \left(36 a^{9} + 19 a^{8} + 28 a^{7} + 35 a^{6} + 27 a^{5} + 29 a^{4} + 46 a^{3} + 3 a^{2} + 58 a + 29\right)\cdot 59^{2} + \left(13 a^{9} + 58 a^{8} + 3 a^{7} + 21 a^{6} + 52 a^{5} + 50 a^{4} + 36 a^{3} + 22 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 59^{3} + \left(22 a^{9} + 45 a^{8} + 33 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 8 a^{3} + 10 a^{2} + 21 a + 25\right)\cdot 59^{4} + \left(46 a^{9} + 10 a^{8} + 38 a^{7} + 57 a^{6} + 9 a^{5} + 51 a^{4} + 7 a^{3} + 35 a^{2} + 16 a + 22\right)\cdot 59^{5} + \left(12 a^{9} + 57 a^{8} + 25 a^{7} + 27 a^{6} + 15 a^{5} + 3 a^{4} + 50 a^{3} + 55 a^{2} + 19 a + 43\right)\cdot 59^{6} + \left(21 a^{9} + 22 a^{8} + 13 a^{7} + 10 a^{6} + 23 a^{5} + 34 a^{4} + 7 a^{3} + 22 a^{2} + 10 a + 57\right)\cdot 59^{7} + \left(44 a^{9} + 23 a^{8} + 6 a^{7} + 38 a^{6} + 58 a^{5} + 35 a^{4} + 16 a^{3} + 29 a^{2} + 25 a + 42\right)\cdot 59^{8} + \left(45 a^{9} + 54 a^{8} + 54 a^{7} + 18 a^{6} + 15 a^{5} + 28 a^{4} + 40 a^{3} + 4 a^{2} + 37 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 32a^9 + 19a^8 + 22a^7 + 53a^6 + 40a^5 + 20a^4 + 22a^3 + 30a^2 + 7a + (7a^9 + 14a^8 + 46a^7 + 56a^6 + 42a^5 + 37a^4 + 15a^3 + 27a^2 + 2a + 52)59 + (36a^9 + 19a^8 + 28a^7 + 35a^6 + 27a^5 + 29a^4 + 46a^3 + 3a^2 + 58a + 29)59^2 + (13a^9 + 58a^8 + 3a^7 + 21a^6 + 52a^5 + 50a^4 + 36a^3 + 22a^2 + 31a + 9)59^3 + (22a^9 + 45a^8 + 33a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 3a^4 + 8a^3 + 10a^2 + 21a + 25)59^4 + (46a^9 + 10a^8 + 38a^7 + 57a^6 + 9a^5 + 51a^4 + 7a^3 + 35a^2 + 16a + 22)59^5 + (12a^9 + 57a^8 + 25a^7 + 27a^6 + 15a^5 + 3a^4 + 50a^3 + 55a^2 + 19a + 43)59^6 + (21a^9 + 22a^8 + 13a^7 + 10a^6 + 23a^5 + 34a^4 + 7a^3 + 22a^2 + 10a + 57)59^7 + (44a^9 + 23a^8 + 6a^7 + 38a^6 + 58a^5 + 35a^4 + 16a^3 + 29a^2 + 25a + 42)59^8 + (45a^9 + 54a^8 + 54a^7 + 18a^6 + 15a^5 + 28a^4 + 40a^3 + 4a^2 + 37a + 58)*59^9+O(59^10)
$r_{ 16 }$	$=$	\( 8 a^{9} + 49 a^{8} + 39 a^{7} + 6 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 5 a^{3} + 55 a^{2} + 54 + \left(6 a^{9} + 53 a^{8} + 45 a^{7} + 47 a^{6} + 5 a^{5} + 31 a^{4} + 51 a^{3} + 8 a^{2} + 40 a + 13\right)\cdot 59 + \left(24 a^{9} + 18 a^{8} + 10 a^{7} + 22 a^{6} + 40 a^{5} + 45 a^{4} + 58 a^{3} + 52 a^{2} + 31 a + 9\right)\cdot 59^{2} + \left(22 a^{9} + 44 a^{8} + 18 a^{7} + 20 a^{6} + a^{5} + 11 a^{4} + 11 a^{3} + 31 a^{2} + 24 a + 40\right)\cdot 59^{3} + \left(49 a^{9} + 27 a^{8} + 19 a^{7} + 16 a^{6} + 32 a^{5} + 4 a^{4} + 44 a^{3} + 20 a^{2} + 26 a + 35\right)\cdot 59^{4} + \left(27 a^{9} + 31 a^{8} + 43 a^{7} + 55 a^{6} + 46 a^{5} + 3 a^{4} + 36 a^{2} + 13 a + 41\right)\cdot 59^{5} + \left(19 a^{9} + 52 a^{8} + 4 a^{7} + 54 a^{6} + 19 a^{5} + 36 a^{4} + 17 a^{3} + 46 a^{2} + 2 a + 20\right)\cdot 59^{6} + \left(26 a^{9} + 29 a^{8} + 50 a^{7} + 22 a^{6} + 39 a^{5} + 36 a^{4} + 8 a^{3} + a^{2} + 54 a + 25\right)\cdot 59^{7} + \left(17 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 7 a^{6} + 43 a^{5} + 22 a^{4} + 7 a^{3} + 5 a^{2} + 56 a + 17\right)\cdot 59^{8} + \left(50 a^{9} + 53 a^{8} + 6 a^{7} + 54 a^{6} + 44 a^{5} + 13 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 39 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 8a^9 + 49a^8 + 39a^7 + 6a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 5a^3 + 55a^2 + 54 + (6a^9 + 53a^8 + 45a^7 + 47a^6 + 5a^5 + 31a^4 + 51a^3 + 8a^2 + 40a + 13)59 + (24a^9 + 18a^8 + 10a^7 + 22a^6 + 40a^5 + 45a^4 + 58a^3 + 52a^2 + 31a + 9)59^2 + (22a^9 + 44a^8 + 18a^7 + 20a^6 + a^5 + 11a^4 + 11a^3 + 31a^2 + 24a + 40)59^3 + (49a^9 + 27a^8 + 19a^7 + 16a^6 + 32a^5 + 4a^4 + 44a^3 + 20a^2 + 26a + 35)59^4 + (27a^9 + 31a^8 + 43a^7 + 55a^6 + 46a^5 + 3a^4 + 36a^2 + 13a + 41)59^5 + (19a^9 + 52a^8 + 4a^7 + 54a^6 + 19a^5 + 36a^4 + 17a^3 + 46a^2 + 2a + 20)59^6 + (26a^9 + 29a^8 + 50a^7 + 22a^6 + 39a^5 + 36a^4 + 8a^3 + a^2 + 54a + 25)59^7 + (17a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 7a^6 + 43a^5 + 22a^4 + 7a^3 + 5a^2 + 56a + 17)59^8 + (50a^9 + 53a^8 + 6a^7 + 54a^6 + 44a^5 + 13a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 39a + 58)*59^9+O(59^10)
$r_{ 17 }$	$=$	\( 12 a^{9} + 55 a^{8} + 12 a^{7} + 43 a^{6} + 45 a^{5} + 48 a^{4} + 45 a^{3} + 39 a^{2} + 2 a + 8 + \left(48 a^{9} + 12 a^{8} + 11 a^{7} + 55 a^{6} + 10 a^{5} + 11 a^{4} + 38 a^{3} + 44 a^{2} + 16 a + 41\right)\cdot 59 + \left(51 a^{9} + 5 a^{8} + 14 a^{7} + 21 a^{6} + 21 a^{5} + 8 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 39 a + 24\right)\cdot 59^{2} + \left(31 a^{9} + 23 a^{8} + 18 a^{7} + 34 a^{6} + 42 a^{5} + 49 a^{4} + 31 a^{3} + 26 a^{2} + 21 a + 34\right)\cdot 59^{3} + \left(11 a^{9} + 55 a^{8} + 57 a^{7} + 39 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 5 a^{3} + 31 a^{2} + 20 a + 51\right)\cdot 59^{4} + \left(55 a^{9} + 38 a^{8} + 2 a^{7} + 56 a^{6} + 38 a^{5} + 45 a^{4} + 23 a^{3} + 20 a^{2} + 49 a + 19\right)\cdot 59^{5} + \left(34 a^{8} + 27 a^{7} + 12 a^{6} + 52 a^{5} + 24 a^{4} + 28 a^{3} + 52 a^{2} + 17 a + 53\right)\cdot 59^{6} + \left(49 a^{9} + 33 a^{8} + 13 a^{7} + 40 a^{6} + 16 a^{5} + a^{4} + 47 a^{3} + 34 a^{2} + 9 a + 20\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{9} + 25 a^{8} + 5 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 36 a^{4} + 4 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 37\right)\cdot 59^{8} + \left(39 a^{9} + 19 a^{8} + 14 a^{7} + 48 a^{6} + 38 a^{5} + 25 a^{4} + 7 a^{3} + a^{2} + 52 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 12a^9 + 55a^8 + 12a^7 + 43a^6 + 45a^5 + 48a^4 + 45a^3 + 39a^2 + 2a + 8 + (48a^9 + 12a^8 + 11a^7 + 55a^6 + 10a^5 + 11a^4 + 38a^3 + 44a^2 + 16a + 41)59 + (51a^9 + 5a^8 + 14a^7 + 21a^6 + 21a^5 + 8a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 39a + 24)59^2 + (31a^9 + 23a^8 + 18a^7 + 34a^6 + 42a^5 + 49a^4 + 31a^3 + 26a^2 + 21a + 34)59^3 + (11a^9 + 55a^8 + 57a^7 + 39a^6 + 14a^5 + 23a^4 + 5a^3 + 31a^2 + 20a + 51)59^4 + (55a^9 + 38a^8 + 2a^7 + 56a^6 + 38a^5 + 45a^4 + 23a^3 + 20a^2 + 49a + 19)59^5 + (34a^8 + 27a^7 + 12a^6 + 52a^5 + 24a^4 + 28a^3 + 52a^2 + 17a + 53)59^6 + (49a^9 + 33a^8 + 13a^7 + 40a^6 + 16a^5 + a^4 + 47a^3 + 34a^2 + 9a + 20)59^7 + (50a^9 + 25a^8 + 5a^7 + a^6 + 9a^5 + 36a^4 + 4a^3 + 8a^2 + 7a + 37)59^8 + (39a^9 + 19a^8 + 14a^7 + 48a^6 + 38a^5 + 25a^4 + 7a^3 + a^2 + 52a + 58)*59^9+O(59^10)
$r_{ 18 }$	$=$	\( 51 a^{9} + 46 a^{8} + 55 a^{7} + 53 a^{6} + 55 a^{5} + 37 a^{4} + 2 a^{3} + 8 a^{2} + 7 a + 5 + \left(4 a^{9} + 48 a^{8} + 54 a^{7} + 51 a^{6} + 29 a^{5} + 42 a^{4} + 19 a^{3} + 28 a + 45\right)\cdot 59 + \left(a^{9} + 4 a^{8} + 50 a^{7} + 30 a^{6} + 10 a^{5} + 35 a^{4} + 48 a^{3} + 49 a^{2} + 23 a + 49\right)\cdot 59^{2} + \left(18 a^{9} + 44 a^{8} + 46 a^{7} + 5 a^{6} + 42 a^{5} + 49 a^{4} + 13 a^{3} + 14 a^{2} + 41 a + 39\right)\cdot 59^{3} + \left(39 a^{9} + 38 a^{8} + 11 a^{7} + 6 a^{6} + 30 a^{5} + 22 a^{4} + 8 a^{3} + 25 a^{2} + 20 a + 58\right)\cdot 59^{4} + \left(20 a^{9} + 41 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + a^{5} + 50 a^{4} + 46 a^{3} + 17 a^{2} + 34 a + 19\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{9} + 26 a^{8} + 15 a^{7} + 13 a^{6} + 53 a^{5} + 22 a^{3} + 47 a^{2} + 26 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a^{9} + 26 a^{8} + 23 a^{7} + 12 a^{6} + 12 a^{5} + 56 a^{4} + 15 a^{2} + 24 a + 41\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{9} + 49 a^{8} + 30 a^{7} + 37 a^{6} + 40 a^{5} + 2 a^{4} + 56 a^{3} + 22 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 59^{8} + \left(24 a^{9} + 23 a^{8} + 17 a^{7} + 36 a^{6} + 27 a^{5} + 15 a^{4} + 43 a^{3} + 37 a^{2} + 58 a + 51\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 51a^9 + 46a^8 + 55a^7 + 53a^6 + 55a^5 + 37a^4 + 2a^3 + 8a^2 + 7a + 5 + (4a^9 + 48a^8 + 54a^7 + 51a^6 + 29a^5 + 42a^4 + 19a^3 + 28a + 45)59 + (a^9 + 4a^8 + 50a^7 + 30a^6 + 10a^5 + 35a^4 + 48a^3 + 49a^2 + 23a + 49)59^2 + (18a^9 + 44a^8 + 46a^7 + 5a^6 + 42a^5 + 49a^4 + 13a^3 + 14a^2 + 41a + 39)59^3 + (39a^9 + 38a^8 + 11a^7 + 6a^6 + 30a^5 + 22a^4 + 8a^3 + 25a^2 + 20a + 58)59^4 + (20a^9 + 41a^8 + 21a^7 + 8a^6 + a^5 + 50a^4 + 46a^3 + 17a^2 + 34a + 19)59^5 + (38a^9 + 26a^8 + 15a^7 + 13a^6 + 53a^5 + 22a^3 + 47a^2 + 26a + 38)59^6 + (9a^9 + 26a^8 + 23a^7 + 12a^6 + 12a^5 + 56a^4 + 15a^2 + 24a + 41)59^7 + (24a^9 + 49a^8 + 30a^7 + 37a^6 + 40a^5 + 2a^4 + 56a^3 + 22a^2 + 2a + 1)59^8 + (24a^9 + 23a^8 + 17a^7 + 36a^6 + 27a^5 + 15a^4 + 43a^3 + 37a^2 + 58a + 51)59^9+O(59^10)
$r_{ 19 }$	$=$	\( 48 a^{9} + 16 a^{8} + 16 a^{7} + 21 a^{6} + 43 a^{5} + 30 a^{4} + 35 a^{3} + 15 a^{2} + 20 a + 14 + \left(43 a^{9} + 18 a^{8} + 52 a^{7} + 46 a^{6} + 9 a^{5} + 17 a^{4} + 4 a^{3} + 17 a^{2} + 57 a + 36\right)\cdot 59 + \left(5 a^{9} + 29 a^{8} + 10 a^{7} + 20 a^{6} + 2 a^{5} + 45 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 13 a + 30\right)\cdot 59^{2} + \left(3 a^{9} + 36 a^{8} + 50 a^{6} + 14 a^{5} + 27 a^{4} + 30 a^{3} + 4 a^{2} + 17 a + 19\right)\cdot 59^{3} + \left(32 a^{9} + 31 a^{8} + 15 a^{7} + 22 a^{6} + 36 a^{5} + 47 a^{4} + 50 a^{2} + 21 a + 47\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{9} + 39 a^{8} + 47 a^{7} + 26 a^{6} + 40 a^{5} + 8 a^{4} + 20 a^{3} + 43 a^{2} + 4 a + 23\right)\cdot 59^{5} + \left(56 a^{9} + 15 a^{8} + 23 a^{7} + 46 a^{6} + 35 a^{5} + 56 a^{4} + 32 a^{3} + a^{2} + 40 a + 24\right)\cdot 59^{6} + \left(12 a^{9} + 45 a^{8} + 24 a^{7} + 39 a^{6} + 37 a^{5} + 44 a^{4} + 52 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 54\right)\cdot 59^{7} + \left(12 a^{9} + 19 a^{8} + 13 a^{7} + 51 a^{6} + 48 a^{5} + 52 a^{4} + 39 a^{3} + 2 a^{2} + 3 a + 41\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 3 a^{8} + 21 a^{7} + 31 a^{6} + 49 a^{5} + 58 a^{4} + 24 a^{3} + 26 a^{2} + 12 a + 45\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 48a^9 + 16a^8 + 16a^7 + 21a^6 + 43a^5 + 30a^4 + 35a^3 + 15a^2 + 20a + 14 + (43a^9 + 18a^8 + 52a^7 + 46a^6 + 9a^5 + 17a^4 + 4a^3 + 17a^2 + 57a + 36)59 + (5a^9 + 29a^8 + 10a^7 + 20a^6 + 2a^5 + 45a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 13a + 30)59^2 + (3a^9 + 36a^8 + 50a^6 + 14a^5 + 27a^4 + 30a^3 + 4a^2 + 17a + 19)59^3 + (32a^9 + 31a^8 + 15a^7 + 22a^6 + 36a^5 + 47a^4 + 50a^2 + 21a + 47)59^4 + (a^9 + 39a^8 + 47a^7 + 26a^6 + 40a^5 + 8a^4 + 20a^3 + 43a^2 + 4a + 23)59^5 + (56a^9 + 15a^8 + 23a^7 + 46a^6 + 35a^5 + 56a^4 + 32a^3 + a^2 + 40a + 24)59^6 + (12a^9 + 45a^8 + 24a^7 + 39a^6 + 37a^5 + 44a^4 + 52a^3 + 11a^2 + 39a + 54)59^7 + (12a^9 + 19a^8 + 13a^7 + 51a^6 + 48a^5 + 52a^4 + 39a^3 + 2a^2 + 3a + 41)59^8 + (56a^9 + 3a^8 + 21a^7 + 31a^6 + 49a^5 + 58a^4 + 24a^3 + 26a^2 + 12a + 45)*59^9+O(59^10)
$r_{ 20 }$	$=$	\( 51 a^{9} + 47 a^{8} + 42 a^{7} + 40 a^{6} + 9 a^{5} + 56 a^{4} + 28 a^{3} + 22 a^{2} + 8 a + 53 + \left(22 a^{9} + 50 a^{8} + 23 a^{7} + 47 a^{6} + 38 a^{5} + 31 a^{4} + 19 a^{3} + 31 a^{2} + 47 a + 21\right)\cdot 59 + \left(41 a^{9} + 52 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 9 a^{5} + 47 a^{4} + 39 a^{3} + 16 a^{2} + 16 a + 25\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a^{9} + 23 a^{8} + 48 a^{7} + 18 a^{6} + 39 a^{5} + 46 a^{4} + 13 a^{3} + 44 a^{2} + 25 a + 47\right)\cdot 59^{3} + \left(45 a^{9} + 27 a^{8} + 24 a^{7} + 43 a^{6} + 50 a^{5} + a^{4} + 37 a^{3} + 5 a + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(57 a^{9} + 43 a^{8} + 16 a^{7} + 52 a^{6} + 36 a^{5} + 8 a^{4} + 58 a^{3} + 41 a^{2} + a + 20\right)\cdot 59^{5} + \left(38 a^{9} + 35 a^{8} + 57 a^{7} + 47 a^{6} + 34 a^{5} + 7 a^{4} + 10 a^{3} + 20 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 59^{6} + \left(50 a^{9} + 43 a^{8} + 2 a^{7} + 23 a^{6} + a^{5} + 42 a^{4} + 25 a^{3} + 35 a^{2} + 27 a + 49\right)\cdot 59^{7} + \left(18 a^{9} + 8 a^{8} + 21 a^{7} + 58 a^{6} + 58 a^{5} + 4 a^{4} + 33 a^{3} + 54 a^{2} + 11 a + 53\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 25 a^{8} + 13 a^{7} + 18 a^{6} + 56 a^{5} + 54 a^{4} + a^{3} + 6 a^{2} + 36 a + 26\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 51a^9 + 47a^8 + 42a^7 + 40a^6 + 9a^5 + 56a^4 + 28a^3 + 22a^2 + 8a + 53 + (22a^9 + 50a^8 + 23a^7 + 47a^6 + 38a^5 + 31a^4 + 19a^3 + 31a^2 + 47a + 21)59 + (41a^9 + 52a^8 + 24a^7 + 43a^6 + 9a^5 + 47a^4 + 39a^3 + 16a^2 + 16a + 25)59^2 + (19a^9 + 23a^8 + 48a^7 + 18a^6 + 39a^5 + 46a^4 + 13a^3 + 44a^2 + 25a + 47)59^3 + (45a^9 + 27a^8 + 24a^7 + 43a^6 + 50a^5 + a^4 + 37a^3 + 5a + 14)59^4 + (57a^9 + 43a^8 + 16a^7 + 52a^6 + 36a^5 + 8a^4 + 58a^3 + 41a^2 + a + 20)59^5 + (38a^9 + 35a^8 + 57a^7 + 47a^6 + 34a^5 + 7a^4 + 10a^3 + 20a^2 + 17a + 8)59^6 + (50a^9 + 43a^8 + 2a^7 + 23a^6 + a^5 + 42a^4 + 25a^3 + 35a^2 + 27a + 49)59^7 + (18a^9 + 8a^8 + 21a^7 + 58a^6 + 58a^5 + 4a^4 + 33a^3 + 54a^2 + 11a + 53)59^8 + (56a^9 + 25a^8 + 13a^7 + 18a^6 + 56a^5 + 54a^4 + a^3 + 6a^2 + 36a + 26)59^9+O(59^10)
$r_{ 21 }$	$=$	\( 20 a^{9} + 23 a^{8} + 9 a^{7} + 45 a^{6} + 8 a^{5} + 52 a^{4} + 25 a^{3} + 21 a^{2} + 15 a + 27 + \left(22 a^{9} + 18 a^{8} + 35 a^{7} + 25 a^{6} + 33 a^{5} + 40 a^{4} + 12 a^{3} + 11 a^{2} + 39 a + 29\right)\cdot 59 + \left(4 a^{9} + 44 a^{8} + 55 a^{7} + 20 a^{6} + 31 a^{5} + 11 a^{4} + 31 a^{3} + 44 a^{2} + 2 a + 35\right)\cdot 59^{2} + \left(14 a^{9} + 47 a^{8} + 15 a^{7} + 53 a^{6} + 35 a^{5} + 18 a^{4} + 42 a^{3} + 50 a^{2} + 29 a + 51\right)\cdot 59^{3} + \left(58 a^{9} + 55 a^{8} + 10 a^{7} + 57 a^{6} + 17 a^{5} + 22 a^{4} + 41 a^{3} + 43 a^{2} + 45 a + 1\right)\cdot 59^{4} + \left(33 a^{9} + 39 a^{8} + 19 a^{7} + 19 a^{6} + 53 a^{5} + 15 a^{4} + 46 a^{3} + 8 a^{2} + 48 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(54 a^{9} + 49 a^{8} + 3 a^{7} + 18 a^{6} + 38 a^{5} + 5 a^{4} + 41 a^{3} + 36 a^{2} + 58 a + 38\right)\cdot 59^{6} + \left(5 a^{9} + 46 a^{8} + 8 a^{7} + 34 a^{6} + 40 a^{5} + 47 a^{4} + 33 a^{3} + 30 a^{2} + 28 a + 53\right)\cdot 59^{7} + \left(2 a^{9} + 44 a^{8} + 41 a^{7} + 53 a^{6} + 33 a^{5} + 7 a^{4} + 23 a^{3} + 28 a^{2} + 18 a + 54\right)\cdot 59^{8} + \left(56 a^{9} + 33 a^{8} + 32 a^{7} + 24 a^{6} + 26 a^{5} + 9 a^{4} + 30 a^{3} + 22 a^{2} + 35 a + 35\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 20a^9 + 23a^8 + 9a^7 + 45a^6 + 8a^5 + 52a^4 + 25a^3 + 21a^2 + 15a + 27 + (22a^9 + 18a^8 + 35a^7 + 25a^6 + 33a^5 + 40a^4 + 12a^3 + 11a^2 + 39a + 29)59 + (4a^9 + 44a^8 + 55a^7 + 20a^6 + 31a^5 + 11a^4 + 31a^3 + 44a^2 + 2a + 35)59^2 + (14a^9 + 47a^8 + 15a^7 + 53a^6 + 35a^5 + 18a^4 + 42a^3 + 50a^2 + 29a + 51)59^3 + (58a^9 + 55a^8 + 10a^7 + 57a^6 + 17a^5 + 22a^4 + 41a^3 + 43a^2 + 45a + 1)59^4 + (33a^9 + 39a^8 + 19a^7 + 19a^6 + 53a^5 + 15a^4 + 46a^3 + 8a^2 + 48a + 34)59^5 + (54a^9 + 49a^8 + 3a^7 + 18a^6 + 38a^5 + 5a^4 + 41a^3 + 36a^2 + 58a + 38)59^6 + (5a^9 + 46a^8 + 8a^7 + 34a^6 + 40a^5 + 47a^4 + 33a^3 + 30a^2 + 28a + 53)59^7 + (2a^9 + 44a^8 + 41a^7 + 53a^6 + 33a^5 + 7a^4 + 23a^3 + 28a^2 + 18a + 54)59^8 + (56a^9 + 33a^8 + 32a^7 + 24a^6 + 26a^5 + 9a^4 + 30a^3 + 22a^2 + 35a + 35)*59^9+O(59^10)
$r_{ 22 }$	$=$	\( 15 a^{9} + 28 a^{8} + 40 a^{7} + 47 a^{6} + 27 a^{5} + 18 a^{4} + 11 a^{3} + 56 a^{2} + 34 a + \left(a^{9} + 43 a^{8} + 44 a^{7} + 51 a^{6} + 55 a^{5} + 4 a^{4} + 48 a^{3} + 5 a^{2} + 47 a + 40\right)\cdot 59 + \left(48 a^{9} + 55 a^{8} + 40 a^{7} + 9 a^{6} + 24 a^{5} + 30 a^{4} + 15 a^{3} + 4 a^{2} + 15 a + 57\right)\cdot 59^{2} + \left(21 a^{9} + 5 a^{8} + 41 a^{7} + 21 a^{6} + a^{5} + 16 a^{4} + 51 a^{3} + 13 a^{2} + 32 a + 49\right)\cdot 59^{3} + \left(19 a^{9} + 47 a^{8} + 5 a^{7} + 34 a^{6} + 23 a^{5} + 49 a^{4} + 48 a^{3} + 18 a^{2} + 38 a + 43\right)\cdot 59^{4} + \left(a^{9} + 28 a^{8} + 39 a^{7} + 37 a^{6} + 10 a^{5} + 42 a^{4} + 56 a^{3} + 17 a^{2} + 25 a + 37\right)\cdot 59^{5} + \left(39 a^{9} + 25 a^{7} + 28 a^{6} + 14 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 46 a^{2} + 36 a + 47\right)\cdot 59^{6} + \left(53 a^{9} + 17 a^{8} + 52 a^{7} + 33 a^{6} + 29 a^{5} + 11 a^{4} + 24 a^{3} + 23 a^{2} + 53 a + 11\right)\cdot 59^{7} + \left(24 a^{9} + 7 a^{8} + 21 a^{7} + 8 a^{6} + 20 a^{5} + 15 a^{4} + 16 a^{3} + 19 a^{2} + 27 a + 39\right)\cdot 59^{8} + \left(49 a^{9} + 47 a^{8} + 17 a^{7} + 26 a^{6} + 42 a^{5} + 3 a^{4} + 9 a^{3} + 15 a^{2} + 36 a + 18\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 15a^9 + 28a^8 + 40a^7 + 47a^6 + 27a^5 + 18a^4 + 11a^3 + 56a^2 + 34a + (a^9 + 43a^8 + 44a^7 + 51a^6 + 55a^5 + 4a^4 + 48a^3 + 5a^2 + 47a + 40)59 + (48a^9 + 55a^8 + 40a^7 + 9a^6 + 24a^5 + 30a^4 + 15a^3 + 4a^2 + 15a + 57)59^2 + (21a^9 + 5a^8 + 41a^7 + 21a^6 + a^5 + 16a^4 + 51a^3 + 13a^2 + 32a + 49)59^3 + (19a^9 + 47a^8 + 5a^7 + 34a^6 + 23a^5 + 49a^4 + 48a^3 + 18a^2 + 38a + 43)59^4 + (a^9 + 28a^8 + 39a^7 + 37a^6 + 10a^5 + 42a^4 + 56a^3 + 17a^2 + 25a + 37)59^5 + (39a^9 + 25a^7 + 28a^6 + 14a^5 + 23a^4 + 31a^3 + 46a^2 + 36a + 47)59^6 + (53a^9 + 17a^8 + 52a^7 + 33a^6 + 29a^5 + 11a^4 + 24a^3 + 23a^2 + 53a + 11)59^7 + (24a^9 + 7a^8 + 21a^7 + 8a^6 + 20a^5 + 15a^4 + 16a^3 + 19a^2 + 27a + 39)59^8 + (49a^9 + 47a^8 + 17a^7 + 26a^6 + 42a^5 + 3a^4 + 9a^3 + 15a^2 + 36a + 18)*59^9+O(59^10)
$r_{ 23 }$	$=$	\( 26 a^{9} + 12 a^{8} + 47 a^{7} + 26 a^{6} + 45 a^{5} + 8 a^{4} + 24 a^{3} + 31 a^{2} + 30 a + 45 + \left(42 a^{9} + 55 a^{8} + 18 a^{7} + 24 a^{6} + 3 a^{5} + 2 a^{4} + 14 a^{3} + 5 a^{2} + 43 a + 21\right)\cdot 59 + \left(25 a^{9} + 50 a^{8} + 36 a^{7} + 24 a^{6} + 31 a^{5} + 23 a^{4} + 31 a^{3} + 52 a^{2} + 55 a + 40\right)\cdot 59^{2} + \left(3 a^{9} + 7 a^{8} + 10 a^{7} + 6 a^{6} + 36 a^{5} + 45 a^{4} + 46 a^{3} + 52 a^{2} + 7 a + 52\right)\cdot 59^{3} + \left(17 a^{9} + 21 a^{8} + 48 a^{7} + 32 a^{6} + 44 a^{5} + 10 a^{4} + 2 a^{3} + 43 a^{2} + 14\right)\cdot 59^{4} + \left(2 a^{9} + 54 a^{8} + 54 a^{7} + 46 a^{6} + 8 a^{5} + 9 a^{4} + 45 a^{3} + 19 a^{2} + 55 a + 47\right)\cdot 59^{5} + \left(12 a^{9} + 28 a^{8} + 51 a^{7} + 32 a^{6} + 27 a^{5} + 26 a^{4} + 13 a^{3} + 41 a^{2} + 33 a + 5\right)\cdot 59^{6} + \left(40 a^{9} + 11 a^{8} + 25 a^{7} + 41 a^{6} + 24 a^{5} + 40 a^{4} + 2 a^{3} + 58 a^{2} + a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(26 a^{9} + 27 a^{8} + 52 a^{7} + 6 a^{6} + 53 a^{5} + 53 a^{4} + 17 a^{3} + 41 a^{2} + 6 a + 44\right)\cdot 59^{8} + \left(48 a^{9} + 54 a^{8} + 27 a^{7} + 56 a^{6} + 50 a^{5} + 33 a^{4} + 25 a^{3} + 34 a^{2} + 23 a + 58\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 26a^9 + 12a^8 + 47a^7 + 26a^6 + 45a^5 + 8a^4 + 24a^3 + 31a^2 + 30a + 45 + (42a^9 + 55a^8 + 18a^7 + 24a^6 + 3a^5 + 2a^4 + 14a^3 + 5a^2 + 43a + 21)59 + (25a^9 + 50a^8 + 36a^7 + 24a^6 + 31a^5 + 23a^4 + 31a^3 + 52a^2 + 55a + 40)59^2 + (3a^9 + 7a^8 + 10a^7 + 6a^6 + 36a^5 + 45a^4 + 46a^3 + 52a^2 + 7a + 52)59^3 + (17a^9 + 21a^8 + 48a^7 + 32a^6 + 44a^5 + 10a^4 + 2a^3 + 43a^2 + 14)59^4 + (2a^9 + 54a^8 + 54a^7 + 46a^6 + 8a^5 + 9a^4 + 45a^3 + 19a^2 + 55a + 47)59^5 + (12a^9 + 28a^8 + 51a^7 + 32a^6 + 27a^5 + 26a^4 + 13a^3 + 41a^2 + 33a + 5)59^6 + (40a^9 + 11a^8 + 25a^7 + 41a^6 + 24a^5 + 40a^4 + 2a^3 + 58a^2 + a + 26)59^7 + (26a^9 + 27a^8 + 52a^7 + 6a^6 + 53a^5 + 53a^4 + 17a^3 + 41a^2 + 6a + 44)59^8 + (48a^9 + 54a^8 + 27a^7 + 56a^6 + 50a^5 + 33a^4 + 25a^3 + 34a^2 + 23a + 58)*59^9+O(59^10)
$r_{ 24 }$	$=$	\( 10 a^{9} + 24 a^{7} + 37 a^{6} + 49 a^{5} + 29 a^{4} + 53 a^{3} + 32 a^{2} + 52 a + 4 + \left(53 a^{9} + 31 a^{8} + 56 a^{7} + 27 a^{6} + 19 a^{5} + 50 a^{4} + 15 a^{3} + 34 a^{2} + 4 a + 26\right)\cdot 59 + \left(26 a^{9} + 8 a^{8} + 24 a^{7} + 13 a^{6} + 45 a^{5} + 45 a^{4} + 22 a^{3} + 42 a^{2} + 42 a + 19\right)\cdot 59^{2} + \left(48 a^{9} + 41 a^{8} + 47 a^{7} + 13 a^{6} + 44 a^{5} + 37 a^{4} + 14 a^{3} + 53 a^{2} + 31 a + 1\right)\cdot 59^{3} + \left(7 a^{9} + 27 a^{8} + 51 a^{7} + 30 a^{6} + 9 a^{5} + 12 a^{3} + 53 a^{2} + 54 a + 45\right)\cdot 59^{4} + \left(6 a^{9} + 26 a^{8} + 34 a^{7} + a^{6} + 9 a^{5} + 2 a^{4} + 52 a^{3} + 39 a^{2} + 54 a + 13\right)\cdot 59^{5} + \left(49 a^{9} + 46 a^{8} + 42 a^{7} + 47 a^{6} + 25 a^{5} + 31 a^{4} + 3 a^{3} + 47 a^{2} + 22 a + 49\right)\cdot 59^{6} + \left(43 a^{9} + 8 a^{8} + 38 a^{7} + 20 a^{6} + 54 a^{5} + 40 a^{4} + 27 a^{3} + 8 a^{2} + 17 a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(50 a^{9} + 4 a^{8} + 58 a^{7} + 31 a^{6} + 58 a^{5} + 26 a^{4} + 8 a^{3} + 48 a^{2} + 9 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(44 a^{9} + 37 a^{8} + 22 a^{7} + 25 a^{6} + 31 a^{5} + 55 a^{4} + 21 a^{3} + 21 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 59^{9} +O(59^{10})\) 10a^9 + 24a^7 + 37a^6 + 49a^5 + 29a^4 + 53a^3 + 32a^2 + 52a + 4 + (53a^9 + 31a^8 + 56a^7 + 27a^6 + 19a^5 + 50a^4 + 15a^3 + 34a^2 + 4a + 26)59 + (26a^9 + 8a^8 + 24a^7 + 13a^6 + 45a^5 + 45a^4 + 22a^3 + 42a^2 + 42a + 19)59^2 + (48a^9 + 41a^8 + 47a^7 + 13a^6 + 44a^5 + 37a^4 + 14a^3 + 53a^2 + 31a + 1)59^3 + (7a^9 + 27a^8 + 51a^7 + 30a^6 + 9a^5 + 12a^3 + 53a^2 + 54a + 45)59^4 + (6a^9 + 26a^8 + 34a^7 + a^6 + 9a^5 + 2a^4 + 52a^3 + 39a^2 + 54a + 13)59^5 + (49a^9 + 46a^8 + 42a^7 + 47a^6 + 25a^5 + 31a^4 + 3a^3 + 47a^2 + 22a + 49)59^6 + (43a^9 + 8a^8 + 38a^7 + 20a^6 + 54a^5 + 40a^4 + 27a^3 + 8a^2 + 17a + 26)59^7 + (50a^9 + 4a^8 + 58a^7 + 31a^6 + 58a^5 + 26a^4 + 8a^3 + 48a^2 + 9a + 43)59^8 + (44a^9 + 37a^8 + 22a^7 + 25a^6 + 31a^5 + 55a^4 + 21a^3 + 21a^2 + 18a + 10)59^9+O(59^10)

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Cycle notation
$(1,2)(3,4)(5,23)(6,21)(7,9)(8,24)(10,15)(11,18)(12,20)(13,17)(14,22)(16,19)$
$(1,3,2,4)(5,12,23,20)(6,9,21,7)(8,17,24,13)(10,16,15,19)(11,22,18,14)$
$(1,14,2,22)(3,11,4,18)(5,8,23,24)(6,7,21,9)(10,16,15,19)(12,17,20,13)$
$(1,15,9,2,10,7)(3,19,21,4,16,6)(5,8,11,23,24,18)(12,17,22,20,13,14)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 24 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$4$
$1$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,23)(6,21)(7,9)(8,24)(10,15)(11,18)(12,20)(13,17)(14,22)(16,19)$	$-4$
$30$	$2$	$(1,11)(2,18)(3,22)(4,14)(5,17)(8,20)(10,15)(12,24)(13,23)(16,19)$	$0$
$20$	$3$	$(1,9,10)(2,7,15)(3,21,16)(4,6,19)(5,11,24)(8,23,18)(12,22,13)(14,17,20)$	$1$
$1$	$4$	$(1,3,2,4)(5,12,23,20)(6,9,21,7)(8,17,24,13)(10,16,15,19)(11,22,18,14)$	$4 \zeta_{4}$
$1$	$4$	$(1,4,2,3)(5,20,23,12)(6,7,21,9)(8,13,24,17)(10,19,15,16)(11,14,18,22)$	$-4 \zeta_{4}$
$30$	$4$	$(1,14,2,22)(3,11,4,18)(5,8,23,24)(6,7,21,9)(10,16,15,19)(12,17,20,13)$	$0$
$12$	$5$	$(1,22,21,20,10)(2,14,6,12,15)(3,18,7,5,16)(4,11,9,23,19)$	$-1$
$12$	$5$	$(1,13,14,9,16)(2,17,22,7,19)(3,8,11,21,15)(4,24,18,6,10)$	$-1$
$20$	$6$	$(1,15,9,2,10,7)(3,19,21,4,16,6)(5,8,11,23,24,18)(12,17,22,20,13,14)$	$-1$
$12$	$10$	$(1,12,22,15,21,2,20,14,10,6)(3,23,18,19,7,4,5,11,16,9)(8,24)(13,17)$	$1$
$12$	$10$	$(1,15,20,6,22,2,10,12,21,14)(3,19,5,9,18,4,16,23,7,11)(8,24)(13,17)$	$1$
$20$	$12$	$(1,6,15,3,9,19,2,21,10,4,7,16)(5,14,8,12,11,17,23,22,24,20,18,13)$	$-\zeta_{4}$
$20$	$12$	$(1,21,15,4,9,16,2,6,10,3,7,19)(5,22,8,20,11,13,23,14,24,12,18,17)$	$\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,23,14,16,21,4,12,18,10,9,2,5,22,19,6,3,20,11,15,7)(8,13,24,17)$	$\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,16,12,9,22,3,15,23,21,18,2,19,20,7,14,4,10,5,6,11)(8,17,24,13)$	$-\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,5,14,19,21,3,12,11,10,7,2,23,22,16,6,4,20,18,15,9)(8,17,24,13)$	$-\zeta_{4}$
$12$	$20$	$(1,18,19,8,9,4,22,15,13,6,2,11,16,24,7,3,14,10,17,21)(5,20,23,12)$	$\zeta_{4}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more

Basic invariants

Defining polynomial

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 24 }$

Character values on conjugacy classes

This project is supported by grants from the US National Science Foundation, the UK Engineering and Physical Sciences Research Council, and the Simons Foundation.

Label	4.3147076.40t188.a.a
Dimension	$4$
Group	$\SL(2,5):C_2$
Conductor	$3147076$
Root number	not computed
Indicator	$0$