Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 743 }$ to precision 7.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 41 + 117\cdot 743 + 318\cdot 743^{2} + 43\cdot 743^{3} + 73\cdot 743^{4} + 513\cdot 743^{5} + 31\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 62 + 234\cdot 743 + 523\cdot 743^{2} + 298\cdot 743^{3} + 510\cdot 743^{4} + 579\cdot 743^{5} + 651\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 115 + 357\cdot 743 + 451\cdot 743^{2} + 565\cdot 743^{3} + 303\cdot 743^{4} + 586\cdot 743^{5} + 272\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 357 + 381\cdot 743 + 621\cdot 743^{2} + 55\cdot 743^{3} + 138\cdot 743^{4} + 629\cdot 743^{5} + 493\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 410 + 26\cdot 743 + 349\cdot 743^{2} + 602\cdot 743^{3} + 726\cdot 743^{4} + 465\cdot 743^{5} + 111\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 598 + 268\cdot 743 + 31\cdot 743^{2} + 406\cdot 743^{3} + 96\cdot 743^{4} + 578\cdot 743^{5} + 371\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 659 + 570\cdot 743 + 443\cdot 743^{2} + 530\cdot 743^{3} + 24\cdot 743^{4} + 530\cdot 743^{5} + 441\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 731 + 272\cdot 743 + 233\cdot 743^{2} + 469\cdot 743^{3} + 355\cdot 743^{4} + 575\cdot 743^{5} + 596\cdot 743^{6} +O\left(743^{ 7 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,4)(2,3)(5,6)(7,8)$ |
| $(1,6)$ |
| $(2,8)$ |
| $(1,8)(2,6)$ |
| $(4,5)$ |
| $(3,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,6)(2,8)(3,7)(4,5)$ |
$-4$ |
| $2$ |
$2$ |
$(3,7)(4,5)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(3,7)$ |
$2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(2,8)(3,7)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,8)(2,6)(3,5)(4,7)$ |
$0$ |
| $4$ |
$2$ |
$(3,5)(4,7)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,6)(3,7)(4,5)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$2$ |
$(1,8)(2,6)(3,7)(4,5)$ |
$2$ |
| $8$ |
$2$ |
$(1,4)(2,3)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $8$ |
$2$ |
$(1,6)(3,5)(4,7)$ |
$0$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,8,6,2)(3,4,7,5)$ |
$0$ |
| $4$ |
$4$ |
$(3,4,7,5)$ |
$-2$ |
| $4$ |
$4$ |
$(1,2,6,8)(3,7)(4,5)$ |
$2$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,4,6,5)(2,3,8,7)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,6)(3,4,7,5)$ |
$0$ |
| $8$ |
$4$ |
$(1,8)(2,6)(3,4,7,5)$ |
$0$ |
| $16$ |
$4$ |
$(1,4)(2,3,8,7)(5,6)$ |
$0$ |
| $16$ |
$4$ |
$(1,4,8,7)(2,3,6,5)$ |
$0$ |
| $16$ |
$8$ |
$(1,4,8,7,6,5,2,3)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
