Galois orbit of Artin representations 4.2e8_7e3_13e2.24t97.4

• Label: 4.2e8_7e3_13e2.24t97.4
• Dimension: 4
• Group: $((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
• Conductor: $ 2^{8} \cdot 7^{3} \cdot 13^{2}$
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	$((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor:	$14839552= 2^{8} \cdot 7^{3} \cdot 13^{2} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 5 x^{6} + 12 x^{4} - 3 x^{2} + 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T97
Parity:	Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 39.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 6 a^{2} + 11 a + \left(2 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(4 a + 7\right)\cdot 19^{7} + \left(6 a + 2\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + 2 a + 16\right)\cdot 19^{12} + \left(2 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(a^{2} + 11\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{24} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 19^{26} + \left(a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{28} + \left(16 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{29} + \left(2 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{2} + 6 a + 14\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a + 6\right)\cdot 19^{32} + \left(11 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{36} + \left(16 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{37} + \left(13 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 13 + 14\cdot 19 + 18\cdot 19^{2} + 14\cdot 19^{3} + 18\cdot 19^{4} + 16\cdot 19^{5} + 3\cdot 19^{6} + 7\cdot 19^{7} + 9\cdot 19^{8} + 14\cdot 19^{9} + 16\cdot 19^{10} + 14\cdot 19^{11} + 19^{12} + 16\cdot 19^{13} + 7\cdot 19^{14} + 2\cdot 19^{15} + 11\cdot 19^{16} + 9\cdot 19^{17} + 6\cdot 19^{18} + 14\cdot 19^{19} + 13\cdot 19^{20} + 8\cdot 19^{21} + 11\cdot 19^{22} + 11\cdot 19^{23} + 3\cdot 19^{24} + 10\cdot 19^{25} + 14\cdot 19^{26} + 15\cdot 19^{27} + 6\cdot 19^{28} + 3\cdot 19^{29} + 10\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 17\cdot 19^{32} + 5\cdot 19^{33} + 4\cdot 19^{34} + 13\cdot 19^{35} + 11\cdot 19^{36} + 15\cdot 19^{37} + 15\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 12 a^{2} + 9 a + 10 + \left(13 a^{2} + 18 a + 10\right)\cdot 19 + \left(6 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{4} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(9 a^{2} + 8 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{16} + \left(16 a + 1\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(18 a^{2} + 17 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(a^{2} + 11 a + 8\right)\cdot 19^{23} + \left(14 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(17 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 9 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(7 a^{2} + 13 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(14 a^{2} + 13 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(17 a^{2} + 8 a + 17\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{33} + \left(14 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 13 a^{2} + 2 a + \left(7 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{3} + \left(7 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{5} + \left(18 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 16 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{12} + \left(3 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{13} + \left(6 a^{2} + 15 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{16} + \left(6 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(3 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{22} + \left(9 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(12 a^{2} + 11 a + 6\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(7 a^{2} + 13 a + 5\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{29} + \left(a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(2 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{31} + \left(2 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(5 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 16 a + 1\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{35} + \left(11 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 11 a + 4\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 13 a^{2} + 8 a + \left(16 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + 18 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(12 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{8} + \left(15 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{2} + 3 a + 13\right)\cdot 19^{10} + 18\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + 16 a + 2\right)\cdot 19^{12} + \left(16 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{18} + \left(9 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(17 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{24} + \left(8 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{2} + 11 a + 13\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{29} + \left(16 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(2 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{32} + \left(7 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{33} + 9\cdot 19^{34} + 10 a\cdot 19^{35} + \left(11 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{36} + \left(2 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(5 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 6 + 4\cdot 19 + 4\cdot 19^{3} + 2\cdot 19^{5} + 15\cdot 19^{6} + 11\cdot 19^{7} + 9\cdot 19^{8} + 4\cdot 19^{9} + 2\cdot 19^{10} + 4\cdot 19^{11} + 17\cdot 19^{12} + 2\cdot 19^{13} + 11\cdot 19^{14} + 16\cdot 19^{15} + 7\cdot 19^{16} + 9\cdot 19^{17} + 12\cdot 19^{18} + 4\cdot 19^{19} + 5\cdot 19^{20} + 10\cdot 19^{21} + 7\cdot 19^{22} + 7\cdot 19^{23} + 15\cdot 19^{24} + 8\cdot 19^{25} + 4\cdot 19^{26} + 3\cdot 19^{27} + 12\cdot 19^{28} + 15\cdot 19^{29} + 8\cdot 19^{30} + 16\cdot 19^{31} + 19^{32} + 13\cdot 19^{33} + 14\cdot 19^{34} + 5\cdot 19^{35} + 7\cdot 19^{36} + 3\cdot 19^{37} + 3\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 10 a + 9 + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 19 + \left(12 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{2} + 16 a + 11\right)\cdot 19^{4} + \left(14 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(11 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{2} + 18 a\right)\cdot 19^{11} + \left(9 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(3 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 13 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(17 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{2} + 16 a + 6\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 19^{23} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{28} + \left(11 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(4 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 19^{31} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 12 a + 15\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(14 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 6 a^{2} + 17 a + \left(11 a^{2} + 2 a + 18\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{3} + \left(11 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(5 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(7 a^{2} + 2 a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{2} + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 5 a + 15\right)\cdot 19^{12} + \left(15 a^{2} + 12 a + 14\right)\cdot 19^{13} + \left(12 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(12 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(15 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{22} + \left(9 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(6 a^{2} + 7 a + 12\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 5 a + 13\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{29} + \left(17 a^{2} + 12 a + 9\right)\cdot 19^{30} + \left(16 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 19^{31} + \left(16 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(13 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(14 a^{2} + 2 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a^{2} + 15 a + 5\right)\cdot 19^{35} + \left(7 a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 7 a + 14\right)\cdot 19^{37} + \left(13 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{38} +O\left(19^{ 39 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,5)(3,7)$

$(2,6)(3,7)$

$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

$(3,7)(4,8)$

$(1,6,8,5,2,4)(3,7)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$4$	$4$
$1$	$2$	$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$	$-4$	$-4$
$6$	$2$	$(1,5)(3,7)$	$0$	$0$
$6$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$	$0$	$0$
$6$	$2$	$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$	$0$	$0$
$16$	$3$	$(1,8,2)(4,6,5)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$16$	$3$	$(1,2,8)(4,5,6)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$6$	$4$	$(1,2,5,6)(3,8,7,4)$	$0$	$0$
$6$	$4$	$(1,6,5,2)(3,8,7,4)$	$0$	$0$
$16$	$6$	$(1,6,8,5,2,4)(3,7)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$16$	$6$	$(1,4,2,5,8,6)(3,7)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.