Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 47 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 47 }$: $ x^{2} + 45 x + 5 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 38 a + 30 + \left(16 a + 36\right)\cdot 47 + \left(13 a + 8\right)\cdot 47^{2} + \left(29 a + 5\right)\cdot 47^{3} + \left(44 a + 42\right)\cdot 47^{4} + \left(24 a + 3\right)\cdot 47^{5} + \left(24 a + 7\right)\cdot 47^{6} + \left(21 a + 29\right)\cdot 47^{7} + \left(3 a + 24\right)\cdot 47^{8} + \left(10 a + 26\right)\cdot 47^{9} + \left(36 a + 23\right)\cdot 47^{10} + \left(a + 1\right)\cdot 47^{11} + \left(18 a + 32\right)\cdot 47^{12} + \left(32 a + 37\right)\cdot 47^{13} + \left(43 a + 24\right)\cdot 47^{14} + \left(4 a + 20\right)\cdot 47^{15} + 26 a\cdot 47^{16} + \left(9 a + 35\right)\cdot 47^{17} + \left(2 a + 28\right)\cdot 47^{18} + \left(41 a + 19\right)\cdot 47^{19} + \left(35 a + 22\right)\cdot 47^{20} + \left(27 a + 46\right)\cdot 47^{21} + \left(31 a + 12\right)\cdot 47^{22} + \left(14 a + 22\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 6 + \left(37 a + 23\right)\cdot 47 + \left(a + 43\right)\cdot 47^{2} + \left(24 a + 45\right)\cdot 47^{3} + \left(3 a + 16\right)\cdot 47^{4} + \left(26 a + 33\right)\cdot 47^{5} + \left(13 a + 25\right)\cdot 47^{6} + \left(6 a + 8\right)\cdot 47^{7} + \left(6 a + 15\right)\cdot 47^{8} + \left(13 a + 3\right)\cdot 47^{9} + \left(18 a + 3\right)\cdot 47^{10} + 7\cdot 47^{11} + \left(30 a + 45\right)\cdot 47^{12} + \left(17 a + 37\right)\cdot 47^{13} + \left(31 a + 16\right)\cdot 47^{14} + \left(36 a + 24\right)\cdot 47^{15} + \left(25 a + 27\right)\cdot 47^{16} + \left(43 a + 5\right)\cdot 47^{17} + \left(46 a + 29\right)\cdot 47^{18} + \left(37 a + 1\right)\cdot 47^{19} + \left(14 a + 10\right)\cdot 47^{20} + \left(19 a + 16\right)\cdot 47^{21} + \left(10 a + 29\right)\cdot 47^{22} + \left(4 a + 3\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 9 a + 12 + \left(30 a + 32\right)\cdot 47 + \left(33 a + 18\right)\cdot 47^{2} + \left(17 a + 3\right)\cdot 47^{3} + \left(2 a + 8\right)\cdot 47^{4} + \left(22 a + 9\right)\cdot 47^{5} + \left(22 a + 31\right)\cdot 47^{6} + 25 a\cdot 47^{7} + \left(43 a + 10\right)\cdot 47^{8} + \left(36 a + 43\right)\cdot 47^{9} + \left(10 a + 38\right)\cdot 47^{10} + \left(45 a + 15\right)\cdot 47^{11} + \left(28 a + 19\right)\cdot 47^{12} + \left(14 a + 37\right)\cdot 47^{13} + \left(3 a + 32\right)\cdot 47^{14} + \left(42 a + 33\right)\cdot 47^{15} + 20 a\cdot 47^{16} + \left(37 a + 28\right)\cdot 47^{17} + \left(44 a + 23\right)\cdot 47^{18} + \left(5 a + 5\right)\cdot 47^{19} + \left(11 a + 6\right)\cdot 47^{20} + \left(19 a + 19\right)\cdot 47^{21} + \left(15 a + 1\right)\cdot 47^{22} + \left(32 a + 20\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 17 + 43\cdot 47 + 10\cdot 47^{2} + 35\cdot 47^{3} + 17\cdot 47^{4} + 12\cdot 47^{5} + 7\cdot 47^{6} + 42\cdot 47^{7} + 30\cdot 47^{8} + 33\cdot 47^{9} + 28\cdot 47^{10} + 10\cdot 47^{11} + 12\cdot 47^{12} + 33\cdot 47^{13} + 2\cdot 47^{14} + 42\cdot 47^{15} + 15\cdot 47^{16} + 27\cdot 47^{17} + 8\cdot 47^{18} + 25\cdot 47^{19} + 34\cdot 47^{20} + 43\cdot 47^{21} + 10\cdot 47^{22} + 43\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 36 + 16\cdot 47 + 19\cdot 47^{2} + 27\cdot 47^{3} + 3\cdot 47^{4} + 42\cdot 47^{5} + 47^{6} + 39\cdot 47^{7} + 39\cdot 47^{8} + 25\cdot 47^{9} + 32\cdot 47^{10} + 39\cdot 47^{12} + 31\cdot 47^{13} + 35\cdot 47^{14} + 13\cdot 47^{15} + 26\cdot 47^{16} + 13\cdot 47^{17} + 10\cdot 47^{18} + 36\cdot 47^{19} + 41\cdot 47^{20} + 14\cdot 47^{21} + 29\cdot 47^{22} + 22\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 21 a + 24 + \left(28 a + 7\right)\cdot 47 + \left(26 a + 26\right)\cdot 47^{2} + \left(35 a + 37\right)\cdot 47^{3} + \left(36 a + 30\right)\cdot 47^{4} + \left(32 a + 11\right)\cdot 47^{5} + \left(5 a + 31\right)\cdot 47^{6} + \left(16 a + 40\right)\cdot 47^{7} + \left(28 a + 2\right)\cdot 47^{8} + \left(46 a + 7\right)\cdot 47^{9} + \left(35 a + 28\right)\cdot 47^{10} + \left(30 a + 21\right)\cdot 47^{11} + \left(30 a + 46\right)\cdot 47^{12} + \left(2 a + 42\right)\cdot 47^{13} + \left(40 a + 14\right)\cdot 47^{14} + \left(39 a + 44\right)\cdot 47^{15} + \left(39 a + 40\right)\cdot 47^{16} + \left(35 a + 36\right)\cdot 47^{17} + \left(16 a + 28\right)\cdot 47^{18} + \left(37 a + 5\right)\cdot 47^{19} + \left(22 a + 8\right)\cdot 47^{20} + \left(20 a + 18\right)\cdot 47^{21} + \left(31 a + 15\right)\cdot 47^{22} + \left(31 a + 21\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 28 a + 44 + \left(9 a + 31\right)\cdot 47 + \left(45 a + 9\right)\cdot 47^{2} + \left(22 a + 45\right)\cdot 47^{3} + \left(43 a + 46\right)\cdot 47^{4} + \left(20 a + 34\right)\cdot 47^{5} + \left(33 a + 26\right)\cdot 47^{6} + \left(40 a + 7\right)\cdot 47^{7} + \left(40 a + 21\right)\cdot 47^{8} + \left(33 a + 23\right)\cdot 47^{9} + \left(28 a + 26\right)\cdot 47^{10} + \left(46 a + 36\right)\cdot 47^{11} + \left(16 a + 10\right)\cdot 47^{12} + \left(29 a + 43\right)\cdot 47^{13} + \left(15 a + 14\right)\cdot 47^{14} + \left(10 a + 19\right)\cdot 47^{15} + \left(21 a + 42\right)\cdot 47^{16} + \left(3 a + 19\right)\cdot 47^{17} + 32\cdot 47^{18} + \left(9 a + 30\right)\cdot 47^{19} + \left(32 a + 1\right)\cdot 47^{20} + \left(27 a + 40\right)\cdot 47^{21} + \left(36 a + 30\right)\cdot 47^{22} + \left(42 a + 1\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 26 a + 19 + \left(18 a + 43\right)\cdot 47 + \left(20 a + 3\right)\cdot 47^{2} + \left(11 a + 35\right)\cdot 47^{3} + \left(10 a + 21\right)\cdot 47^{4} + \left(14 a + 40\right)\cdot 47^{5} + \left(41 a + 9\right)\cdot 47^{6} + \left(30 a + 20\right)\cdot 47^{7} + \left(18 a + 43\right)\cdot 47^{8} + 24\cdot 47^{9} + \left(11 a + 6\right)\cdot 47^{10} + 16 a\cdot 47^{11} + \left(16 a + 30\right)\cdot 47^{12} + \left(44 a + 17\right)\cdot 47^{13} + \left(6 a + 45\right)\cdot 47^{14} + \left(7 a + 36\right)\cdot 47^{15} + \left(7 a + 33\right)\cdot 47^{16} + \left(11 a + 21\right)\cdot 47^{17} + \left(30 a + 26\right)\cdot 47^{18} + \left(9 a + 16\right)\cdot 47^{19} + \left(24 a + 16\right)\cdot 47^{20} + \left(26 a + 36\right)\cdot 47^{21} + \left(15 a + 10\right)\cdot 47^{22} + \left(15 a + 6\right)\cdot 47^{23} +O\left(47^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,3,4,2)(5,7,8,6)$ |
| $(3,4)(5,6)$ |
| $(3,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)$ | $2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)$ | $-2$ |
| $6$ | $2$ | $(1,8)(4,5)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(3,4)(5,6)$ | $-2$ |
| $12$ | $2$ | $(1,2)(3,6)(4,5)(7,8)$ | $2$ |
| $24$ | $2$ | $(1,8)(3,4)(5,6)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(1,3,2)(6,7,8)$ | $1$ |
| $12$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(3,4,6,5)$ | $-2$ |
| $12$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,6)(4,5)$ | $2$ |
| $24$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,3)(6,7)$ | $0$ |
| $24$ | $4$ | $(1,8)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $48$ | $4$ | $(1,3,4,2)(5,7,8,6)$ | $0$ |
| $32$ | $6$ | $(1,6,7,8,3,2)$ | $1$ |
| $32$ | $6$ | $(1,3,2)(4,5)(6,7,8)$ | $-1$ |
| $32$ | $6$ | $(1,6,7,8,3,2)(4,5)$ | $-1$ |
| $48$ | $8$ | $(1,6,5,7,8,3,4,2)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
