Galois orbit of Artin representations 4.2e8_5e2_13e3.24t97.6

• Label: 4.2e8_5e2_13e3.24t97.6
• Dimension: 4
• Group: $((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
• Conductor: $ 2^{8} \cdot 5^{2} \cdot 13^{3}$
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	$((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor:	$14060800= 2^{8} \cdot 5^{2} \cdot 13^{3} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} - 8 x^{6} + 18 x^{4} + 25 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T97
Parity:	Even

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 43.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 2 + 5\cdot 19 + 3\cdot 19^{2} + 7\cdot 19^{3} + 11\cdot 19^{4} + 7\cdot 19^{5} + 13\cdot 19^{6} + 15\cdot 19^{7} + 14\cdot 19^{8} + 4\cdot 19^{9} + 17\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 15\cdot 19^{12} + 15\cdot 19^{13} + 11\cdot 19^{14} + 14\cdot 19^{15} + 10\cdot 19^{16} + 19^{17} + 4\cdot 19^{18} + 4\cdot 19^{19} + 2\cdot 19^{20} + 8\cdot 19^{21} + 19^{22} + 14\cdot 19^{23} + 5\cdot 19^{25} + 3\cdot 19^{26} + 15\cdot 19^{27} + 9\cdot 19^{29} + 17\cdot 19^{30} + 2\cdot 19^{31} + 12\cdot 19^{32} + 12\cdot 19^{33} + 7\cdot 19^{34} + 8\cdot 19^{35} + 18\cdot 19^{36} + 9\cdot 19^{37} + 19^{38} + 18\cdot 19^{39} + 5\cdot 19^{40} + 13\cdot 19^{41} + 11\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 12 a^{2} + 10 a + \left(4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19 + \left(11 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(6 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(4 a^{2} + 11 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(12 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{10} + \left(14 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 14 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(12 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(11 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 11 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{18} + \left(11 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + 15 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{21} + \left(13 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(16 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 14 a + 14\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{26} + \left(17 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{27} + \left(16 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{28} + \left(3 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(17 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{32} + \left(15 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{35} + \left(15 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{36} + \left(14 a^{2} + a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(17 a^{2} + 15 a\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{39} + \left(3 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{40} + \left(18 a^{2} + 18 a + 5\right)\cdot 19^{41} + \left(3 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 9 a^{2} + 9 a + 18 + \left(12 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19 + \left(8 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 19^{2} + \left(6 a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{4} + \left(3 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{7} + \left(2 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(18 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{10} + \left(15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(10 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 16 a + 15\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 14 a + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(17 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(10 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{2} + 7 a + 11\right)\cdot 19^{21} + \left(4 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(18 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{2} + 10 a + 16\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a^{2} + 14 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(6 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{26} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{28} + \left(3 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(9 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + a + 8\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{33} + \left(2 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{34} + \left(10 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(8 a^{2} + 13 a + 12\right)\cdot 19^{38} + \left(12 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{40} + \left(4 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(4 a^{2} + 7 a + 13\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 16 a^{2} + 18 a + 17 + \left(7 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19 + \left(16 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 16 a + 7\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(a^{2} + 15 a + 16\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{6} + \left(7 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{9} + \left(14 a^{2} + 11\right)\cdot 19^{10} + \left(a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{11} + \left(7 a^{2} + 12 a + 11\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{15} + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + a + 16\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{2} + 3 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{25} + \left(16 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{26} + \left(8 a^{2} + 13 a\right)\cdot 19^{27} + \left(7 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(4 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{30} + \left(7 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(4 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{33} + \left(14 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{34} + \left(11 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + 17 a + 4\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a^{2} + 12 a + 2\right)\cdot 19^{40} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(5 a + 17\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 17 + 13\cdot 19 + 15\cdot 19^{2} + 11\cdot 19^{3} + 7\cdot 19^{4} + 11\cdot 19^{5} + 5\cdot 19^{6} + 3\cdot 19^{7} + 4\cdot 19^{8} + 14\cdot 19^{9} + 19^{10} + 5\cdot 19^{11} + 3\cdot 19^{12} + 3\cdot 19^{13} + 7\cdot 19^{14} + 4\cdot 19^{15} + 8\cdot 19^{16} + 17\cdot 19^{17} + 14\cdot 19^{18} + 14\cdot 19^{19} + 16\cdot 19^{20} + 10\cdot 19^{21} + 17\cdot 19^{22} + 4\cdot 19^{23} + 18\cdot 19^{24} + 13\cdot 19^{25} + 15\cdot 19^{26} + 3\cdot 19^{27} + 18\cdot 19^{28} + 9\cdot 19^{29} + 19^{30} + 16\cdot 19^{31} + 6\cdot 19^{32} + 6\cdot 19^{33} + 11\cdot 19^{34} + 10\cdot 19^{35} + 9\cdot 19^{37} + 17\cdot 19^{38} + 13\cdot 19^{40} + 5\cdot 19^{41} + 7\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 7 a^{2} + 9 a + \left(14 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19 + \left(7 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(12 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 16 a + 9\right)\cdot 19^{5} + \left(14 a^{2} + 7 a\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(6 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{9} + \left(16 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{10} + \left(4 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{14} + \left(13 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(17 a^{2} + 9 a + 11\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{18} + \left(7 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a^{2} + 13 a + 18\right)\cdot 19^{21} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 19^{23} + \left(2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{26} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(2 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{29} + \left(14 a^{2} + 13 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{35} + \left(3 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(4 a^{2} + 17 a + 7\right)\cdot 19^{37} + \left(a^{2} + 3 a + 18\right)\cdot 19^{38} + \left(9 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{39} + \left(15 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{40} + 13\cdot 19^{41} + \left(15 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 10 a^{2} + 10 a + 1 + \left(6 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19 + \left(10 a^{2} + 13 a + 16\right)\cdot 19^{2} + \left(18 a^{2} + 12 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(17 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{4} + \left(15 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + 6\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 19^{7} + \left(16 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a + 7\right)\cdot 19^{9} + \left(2 a^{2} + 12 a + 10\right)\cdot 19^{10} + \left(3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{11} + \left(17 a^{2} + 10 a + 13\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a^{2} + 7 a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(5 a^{2} + 18 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 19^{16} + \left(4 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(8 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 11 a + 7\right)\cdot 19^{21} + \left(14 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(14 a + 14\right)\cdot 19^{23} + \left(15 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a^{2} + 4 a + 16\right)\cdot 19^{25} + \left(12 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{28} + \left(15 a^{2} + 10 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(9 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 17 a + 10\right)\cdot 19^{31} + \left(18 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{32} + \left(17 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{34} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 12 a + 8\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 17 a + 11\right)\cdot 19^{37} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 19^{38} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a^{2} + 7 a + 15\right)\cdot 19^{40} + \left(14 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(14 a^{2} + 11 a + 5\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 3 a^{2} + a + 2 + \left(11 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19 + \left(2 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{2} + \left(9 a^{2} + 2 a + 11\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 11 a + 2\right)\cdot 19^{6} + \left(11 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{7} + \left(15 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(4 a^{2} + 18 a + 7\right)\cdot 19^{10} + \left(17 a^{2} + 5 a\right)\cdot 19^{11} + \left(11 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a + 6\right)\cdot 19^{14} + \left(11 a^{2} + 15 a + 15\right)\cdot 19^{15} + \left(15 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19^{16} + \left(14 a^{2} + 15 a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(6 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{2} + 17 a + 2\right)\cdot 19^{19} + \left(18 a^{2} + 13 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{2} + 17 a + 17\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a^{2} + 15 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + a + 1\right)\cdot 19^{24} + 16\cdot 19^{25} + \left(2 a^{2} + a\right)\cdot 19^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 18\right)\cdot 19^{27} + \left(11 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{28} + 5 a\cdot 19^{29} + \left(14 a^{2} + 11 a + 3\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{31} + \left(9 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{34} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 18 a + 12\right)\cdot 19^{37} + \left(9 a^{2} + a + 14\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{40} + \left(13 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 19^{41} + \left(18 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{42} +O\left(19^{ 43 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,5)(2,6)$

$(2,6)(4,8)$

$(3,7)(4,8)$

$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$

$(1,2,8)(4,5,6)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character values
			$c1$	$c2$
$1$	$1$	$()$	$4$	$4$
$1$	$2$	$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$	$-4$	$-4$
$6$	$2$	$(3,7)(4,8)$	$0$	$0$
$6$	$2$	$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$	$0$	$0$
$6$	$2$	$(1,6)(2,5)(3,8)(4,7)$	$0$	$0$
$16$	$3$	$(1,3,8)(4,5,7)$	$-\zeta_{3} - 1$	$\zeta_{3}$
$16$	$3$	$(1,8,3)(4,7,5)$	$\zeta_{3}$	$-\zeta_{3} - 1$
$6$	$4$	$(1,8,5,4)(2,3,6,7)$	$0$	$0$
$6$	$4$	$(1,8,5,4)(2,7,6,3)$	$0$	$0$
$16$	$6$	$(1,4,3,5,8,7)(2,6)$	$-\zeta_{3}$	$\zeta_{3} + 1$
$16$	$6$	$(1,7,8,5,3,4)(2,6)$	$\zeta_{3} + 1$	$-\zeta_{3}$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.