Artin representation 4.2e8_5e2_13e3.24t97.4c1

• Label: 4.2e8_5e2_13e3.24t97.4c1
• Dimension: 4
• Group: $((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
• Conductor: $ 2^{8} \cdot 5^{2} \cdot 13^{3}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	$((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor:	$14060800= 2^{8} \cdot 5^{2} \cdot 13^{3} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} + 6 x^{6} + 15 x^{4} + 13 x^{2} + 4 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T97
Parity:	Even
Determinant:	1.13.3t1.1c2

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 38.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{3} + 4 x + 17 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 15 a^{2} + 18 a + 5 + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19 + \left(9 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a^{2} + 9 a + 12\right)\cdot 19^{4} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 13 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(13 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(13 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 6 a + 17\right)\cdot 19^{12} + \left(18 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{13} + \left(2 a^{2} + 6 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(2 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{2} + 16\right)\cdot 19^{17} + \left(14 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 19^{18} + \left(3 a^{2} + 9 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(11 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 19^{20} + \left(16 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{21} + \left(18 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{22} + \left(15 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{24} + \left(7 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(a^{2} + 16 a + 16\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{27} + \left(13 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{28} + \left(10 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(7 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{30} + \left(11 a + 11\right)\cdot 19^{31} + \left(3 a^{2} + 6 a + 13\right)\cdot 19^{32} + \left(14 a^{2} + a\right)\cdot 19^{33} + \left(2 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{35} + \left(17 a^{2} + 11 a + 17\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 16 a + 10\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 4 + 10\cdot 19 + 11\cdot 19^{2} + 7\cdot 19^{3} + 12\cdot 19^{4} + 6\cdot 19^{5} + 14\cdot 19^{6} + 5\cdot 19^{7} + 17\cdot 19^{8} + 6\cdot 19^{9} + 13\cdot 19^{10} + 19^{11} + 11\cdot 19^{12} + 12\cdot 19^{13} + 7\cdot 19^{14} + 10\cdot 19^{15} + 14\cdot 19^{16} + 13\cdot 19^{17} + 19^{18} + 18\cdot 19^{19} + 14\cdot 19^{20} + 16\cdot 19^{21} + 10\cdot 19^{22} + 9\cdot 19^{23} + 11\cdot 19^{24} + 12\cdot 19^{26} + 11\cdot 19^{27} + 7\cdot 19^{28} + 12\cdot 19^{29} + 16\cdot 19^{30} + 8\cdot 19^{31} + 17\cdot 19^{32} + 8\cdot 19^{33} + 10\cdot 19^{34} + 2\cdot 19^{35} + 7\cdot 19^{36} + 11\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 15 a^{2} + 14 a + 5 + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 19 + \left(4 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 19^{2} + \left(3 a^{2} + 17 a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a + 18\right)\cdot 19^{5} + \left(5 a^{2} + 17 a + 1\right)\cdot 19^{6} + \left(18 a^{2} + 8 a + 16\right)\cdot 19^{7} + \left(3 a + 7\right)\cdot 19^{8} + \left(14 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{9} + \left(11 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{10} + \left(8 a^{2} + 2 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(10 a^{2} + 17 a + 14\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 5 a + 12\right)\cdot 19^{13} + \left(15 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(4 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + a + 13\right)\cdot 19^{17} + \left(10 a^{2} + 4 a + 12\right)\cdot 19^{18} + \left(a^{2} + 8 a + 18\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{20} + \left(13 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 12 a + 3\right)\cdot 19^{22} + \left(10 a^{2} + 10 a + 12\right)\cdot 19^{23} + \left(8 a^{2} + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 12 a + 13\right)\cdot 19^{25} + \left(8 a^{2} + 17 a + 3\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 6 a + 12\right)\cdot 19^{27} + \left(14 a^{2} + 8 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(2 a^{2} + 2 a\right)\cdot 19^{29} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(8 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 13 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{35} + \left(8 a^{2} + 17 a + 8\right)\cdot 19^{36} + \left(10 a^{2} + 16 a + 14\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 11 a^{2} + 13 a + 1 + \left(6 a^{2} + 15 a + 2\right)\cdot 19 + \left(13 a^{2} + 15 a + 14\right)\cdot 19^{2} + \left(7 a^{2} + 2 a + 13\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{2} + 1\right)\cdot 19^{4} + \left(12 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 19^{5} + \left(3 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a^{2} + 3 a + 15\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 19^{8} + \left(5 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(17 a^{2} + a + 18\right)\cdot 19^{10} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{2} + 4 a + 14\right)\cdot 19^{12} + \left(13 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{13} + \left(18 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 19^{14} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a^{2} + 2 a + 12\right)\cdot 19^{17} + \left(5 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 19^{18} + \left(5 a^{2} + 17 a + 12\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 15 a + 12\right)\cdot 19^{20} + \left(11 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(10 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a^{2} + 16 a + 17\right)\cdot 19^{23} + \left(15 a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(16 a^{2} + 15 a + 18\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 14 a\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a^{2} + 6 a + 16\right)\cdot 19^{27} + \left(8 a^{2} + 10 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(13 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{29} + \left(13 a^{2} + 18 a + 1\right)\cdot 19^{30} + \left(5 a^{2} + a + 5\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a^{2} + 7 a + 18\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{35} + \left(6 a^{2} + 10 a + 14\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 14 a + 8\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ 4 a^{2} + a + 14 + \left(16 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19 + \left(9 a^{2} + 9 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(14 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 19^{4} + \left(7 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(5 a^{2} + 9\right)\cdot 19^{8} + \left(8 a^{2} + 18 a + 13\right)\cdot 19^{9} + \left(13 a^{2} + 11 a + 14\right)\cdot 19^{10} + \left(5 a^{2} + 14 a + 17\right)\cdot 19^{11} + \left(5 a^{2} + 12 a + 1\right)\cdot 19^{12} + \left(6 a + 5\right)\cdot 19^{13} + \left(16 a^{2} + 12 a\right)\cdot 19^{14} + \left(16 a^{2} + 18 a + 9\right)\cdot 19^{15} + \left(14 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{16} + \left(7 a^{2} + 18 a + 2\right)\cdot 19^{17} + \left(4 a^{2} + 13 a + 14\right)\cdot 19^{18} + \left(15 a^{2} + 9 a\right)\cdot 19^{19} + \left(7 a^{2} + 14 a + 13\right)\cdot 19^{20} + \left(2 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(3 a^{2} + 13 a + 4\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{24} + \left(11 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(17 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 19^{26} + \left(13 a^{2} + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(5 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{28} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{29} + \left(11 a^{2} + 5 a + 14\right)\cdot 19^{30} + \left(18 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 19^{31} + \left(15 a^{2} + 12 a + 5\right)\cdot 19^{32} + \left(4 a^{2} + 17 a + 18\right)\cdot 19^{33} + \left(16 a^{2} + 2\right)\cdot 19^{34} + \left(17 a^{2} + 15 a + 10\right)\cdot 19^{35} + \left(a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 15 + 8\cdot 19 + 7\cdot 19^{2} + 11\cdot 19^{3} + 6\cdot 19^{4} + 12\cdot 19^{5} + 4\cdot 19^{6} + 13\cdot 19^{7} + 19^{8} + 12\cdot 19^{9} + 5\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 7\cdot 19^{12} + 6\cdot 19^{13} + 11\cdot 19^{14} + 8\cdot 19^{15} + 4\cdot 19^{16} + 5\cdot 19^{17} + 17\cdot 19^{18} + 4\cdot 19^{20} + 2\cdot 19^{21} + 8\cdot 19^{22} + 9\cdot 19^{23} + 7\cdot 19^{24} + 18\cdot 19^{25} + 6\cdot 19^{26} + 7\cdot 19^{27} + 11\cdot 19^{28} + 6\cdot 19^{29} + 2\cdot 19^{30} + 10\cdot 19^{31} + 19^{32} + 10\cdot 19^{33} + 8\cdot 19^{34} + 16\cdot 19^{35} + 11\cdot 19^{36} + 7\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 4 a^{2} + 5 a + 14 + \left(15 a^{2} + 12 a + 18\right)\cdot 19 + \left(14 a^{2} + 12 a + 17\right)\cdot 19^{2} + \left(15 a^{2} + a + 9\right)\cdot 19^{3} + \left(2 a^{2} + 9 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(18 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{5} + \left(13 a^{2} + a + 17\right)\cdot 19^{6} + \left(10 a + 2\right)\cdot 19^{7} + \left(18 a^{2} + 15 a + 11\right)\cdot 19^{8} + \left(4 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{9} + \left(7 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{10} + \left(10 a^{2} + 16 a + 4\right)\cdot 19^{11} + \left(8 a^{2} + a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 13 a + 6\right)\cdot 19^{13} + \left(3 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(14 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 19^{15} + \left(8 a^{2} + 11 a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(11 a^{2} + 17 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(8 a^{2} + 14 a + 6\right)\cdot 19^{18} + \left(17 a^{2} + 10 a\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 19^{20} + \left(5 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 6 a + 15\right)\cdot 19^{22} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 19^{23} + \left(10 a^{2} + 18 a + 11\right)\cdot 19^{24} + \left(9 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 19^{25} + \left(10 a^{2} + a + 15\right)\cdot 19^{26} + \left(5 a^{2} + 12 a + 6\right)\cdot 19^{27} + \left(4 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(16 a^{2} + 16 a + 18\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a^{2} + 14 a + 11\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(10 a^{2} + 18 a + 16\right)\cdot 19^{32} + \left(16 a^{2} + 5 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(14 a^{2} + 8 a + 11\right)\cdot 19^{34} + \left(a^{2} + 3 a + 11\right)\cdot 19^{35} + \left(10 a^{2} + a + 10\right)\cdot 19^{36} + \left(8 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 8 a^{2} + 6 a + 18 + \left(12 a^{2} + 3 a + 16\right)\cdot 19 + \left(5 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 19^{2} + \left(11 a^{2} + 16 a + 5\right)\cdot 19^{3} + \left(16 a^{2} + 18 a + 17\right)\cdot 19^{4} + \left(6 a^{2} + 16 a + 8\right)\cdot 19^{5} + \left(15 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{6} + \left(8 a^{2} + 15 a + 3\right)\cdot 19^{7} + \left(4 a^{2} + 15 a + 17\right)\cdot 19^{8} + \left(13 a^{2} + 5\right)\cdot 19^{9} + \left(a^{2} + 17 a\right)\cdot 19^{10} + \left(16 a^{2} + 11 a + 15\right)\cdot 19^{11} + \left(13 a^{2} + 14 a + 4\right)\cdot 19^{12} + \left(5 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{13} + \left(8 a + 17\right)\cdot 19^{14} + \left(12 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 19^{15} + \left(4 a^{2} + 16 a + 12\right)\cdot 19^{16} + \left(16 a + 6\right)\cdot 19^{17} + \left(13 a^{2} + 9 a + 13\right)\cdot 19^{18} + \left(13 a^{2} + a + 6\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 19^{20} + \left(7 a^{2} + 14 a + 12\right)\cdot 19^{21} + \left(8 a^{2} + 12 a + 16\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 19^{23} + \left(3 a^{2} + 15 a + 7\right)\cdot 19^{24} + \left(2 a^{2} + 3 a\right)\cdot 19^{25} + \left(9 a^{2} + 4 a + 18\right)\cdot 19^{26} + \left(12 a + 2\right)\cdot 19^{27} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 19^{28} + \left(5 a^{2} + 18 a + 8\right)\cdot 19^{29} + \left(5 a^{2} + 17\right)\cdot 19^{30} + \left(13 a^{2} + 17 a + 13\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a^{2} + 11 a\right)\cdot 19^{32} + \left(2 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(18 a + 1\right)\cdot 19^{35} + \left(12 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 19^{37} +O\left(19^{ 38 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,2,8,5,6,4)(3,7)$

$(1,5)(4,8)$

$(2,6)(4,8)$

$(3,7)(4,8)$

$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$4$
$1$	$2$	$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$	$-4$
$6$	$2$	$(1,5)(4,8)$	$0$
$6$	$2$	$(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$	$0$
$6$	$2$	$(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$	$0$
$16$	$3$	$(1,8,6)(2,5,4)$	$-\zeta_{3} - 1$
$16$	$3$	$(1,6,8)(2,4,5)$	$\zeta_{3}$
$6$	$4$	$(1,6,5,2)(3,4,7,8)$	$0$
$6$	$4$	$(1,3,5,7)(2,8,6,4)$	$0$
$16$	$6$	$(1,2,8,5,6,4)(3,7)$	$-\zeta_{3}$
$16$	$6$	$(1,4,6,5,8,2)(3,7)$	$\zeta_{3} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.