Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 673 }$ to precision 10.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 81 + 131\cdot 673 + 208\cdot 673^{2} + 534\cdot 673^{3} + 117\cdot 673^{4} + 531\cdot 673^{5} + 363\cdot 673^{6} + 284\cdot 673^{7} + 560\cdot 673^{8} + 416\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 221 + 430\cdot 673 + 355\cdot 673^{2} + 566\cdot 673^{3} + 293\cdot 673^{4} + 383\cdot 673^{5} + 580\cdot 673^{6} + 144\cdot 673^{7} + 82\cdot 673^{8} + 360\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 224 + 51\cdot 673 + 474\cdot 673^{2} + 461\cdot 673^{3} + 411\cdot 673^{4} + 326\cdot 673^{5} + 608\cdot 673^{6} + 426\cdot 673^{7} + 605\cdot 673^{8} + 295\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 271 + 171\cdot 673 + 519\cdot 673^{2} + 305\cdot 673^{3} + 656\cdot 673^{4} + 173\cdot 673^{5} + 14\cdot 673^{6} + 443\cdot 673^{7} + 201\cdot 673^{8} + 377\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 402 + 501\cdot 673 + 153\cdot 673^{2} + 367\cdot 673^{3} + 16\cdot 673^{4} + 499\cdot 673^{5} + 658\cdot 673^{6} + 229\cdot 673^{7} + 471\cdot 673^{8} + 295\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 449 + 621\cdot 673 + 198\cdot 673^{2} + 211\cdot 673^{3} + 261\cdot 673^{4} + 346\cdot 673^{5} + 64\cdot 673^{6} + 246\cdot 673^{7} + 67\cdot 673^{8} + 377\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 452 + 242\cdot 673 + 317\cdot 673^{2} + 106\cdot 673^{3} + 379\cdot 673^{4} + 289\cdot 673^{5} + 92\cdot 673^{6} + 528\cdot 673^{7} + 590\cdot 673^{8} + 312\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 592 + 541\cdot 673 + 464\cdot 673^{2} + 138\cdot 673^{3} + 555\cdot 673^{4} + 141\cdot 673^{5} + 309\cdot 673^{6} + 388\cdot 673^{7} + 112\cdot 673^{8} + 256\cdot 673^{9} +O\left(673^{ 10 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7)(4,5)$ |
| $(1,8)(4,5)$ |
| $(2,7)(3,6)$ |
| $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ |
| $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ |
| $(1,5,7,3,8,4,2,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,8)(2,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(2,7)(3,6)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,4)(2,3)(5,8)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,7)(2,8)(3,4)(5,6)$ | $0$ |
| $8$ | $2$ | $(1,2)(3,6)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $2$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,7,8,2)$ | $2$ |
| $4$ | $4$ | $(1,3,8,6)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8)(2,7)(3,5,6,4)$ | $-2$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $8$ | $8$ | $(1,5,7,3,8,4,2,6)$ | $0$ |
| $8$ | $8$ | $(1,5,7,6,8,4,2,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
