Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in $\Q_{ 277 }$ to precision 9.
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 56 + 262\cdot 277 + 255\cdot 277^{2} + 265\cdot 277^{3} + 32\cdot 277^{4} + 33\cdot 277^{5} + 56\cdot 277^{6} + 110\cdot 277^{7} + 6\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 63 + 31\cdot 277 + 52\cdot 277^{2} + 41\cdot 277^{3} + 214\cdot 277^{4} + 64\cdot 277^{5} + 194\cdot 277^{6} + 70\cdot 277^{7} + 40\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 65 + 221\cdot 277 + 205\cdot 277^{2} + 260\cdot 277^{3} + 116\cdot 277^{4} + 102\cdot 277^{5} + 235\cdot 277^{6} + 130\cdot 277^{7} + 201\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 100 + 162\cdot 277 + 225\cdot 277^{2} + 113\cdot 277^{3} + 66\cdot 277^{4} + 70\cdot 277^{5} + 231\cdot 277^{6} + 254\cdot 277^{7} + 180\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 177 + 114\cdot 277 + 51\cdot 277^{2} + 163\cdot 277^{3} + 210\cdot 277^{4} + 206\cdot 277^{5} + 45\cdot 277^{6} + 22\cdot 277^{7} + 96\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 212 + 55\cdot 277 + 71\cdot 277^{2} + 16\cdot 277^{3} + 160\cdot 277^{4} + 174\cdot 277^{5} + 41\cdot 277^{6} + 146\cdot 277^{7} + 75\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 214 + 245\cdot 277 + 224\cdot 277^{2} + 235\cdot 277^{3} + 62\cdot 277^{4} + 212\cdot 277^{5} + 82\cdot 277^{6} + 206\cdot 277^{7} + 236\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 221 + 14\cdot 277 + 21\cdot 277^{2} + 11\cdot 277^{3} + 244\cdot 277^{4} + 243\cdot 277^{5} + 220\cdot 277^{6} + 166\cdot 277^{7} + 270\cdot 277^{8} +O\left(277^{ 9 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,5,8,4)(3,6)$ |
| $(3,6)(4,5)$ |
| $(1,8)(4,5)$ |
| $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ |
| $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ |
| $(1,8)(2,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(1,4)(2,6)(3,7)(5,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,8)(4,5)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,3)(2,5)(4,7)(6,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,7)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(2,7)(3,6)(4,8)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(2,6)(3,7)$ | $2$ |
| $4$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,5,6,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,3,7,6)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,8,3)(2,5,7,4)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,2,4,6)(3,8,7,5)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,5,8,4)(3,6)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,2,5,6)(3,8,7,4)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
