Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 26.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 23 a + 2 + \left(18 a + 11\right)\cdot 43 + \left(24 a + 34\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a + 26\right)\cdot 43^{3} + \left(2 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(6 a + 18\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(28 a + 8\right)\cdot 43^{7} + \left(27 a + 2\right)\cdot 43^{8} + \left(10 a + 2\right)\cdot 43^{9} + \left(21 a + 23\right)\cdot 43^{10} + \left(41 a + 1\right)\cdot 43^{11} + \left(41 a + 5\right)\cdot 43^{12} + \left(40 a + 13\right)\cdot 43^{13} + \left(33 a + 2\right)\cdot 43^{14} + \left(24 a + 17\right)\cdot 43^{15} + \left(12 a + 22\right)\cdot 43^{16} + \left(32 a + 11\right)\cdot 43^{17} + \left(9 a + 27\right)\cdot 43^{18} + \left(35 a + 37\right)\cdot 43^{19} + \left(41 a + 18\right)\cdot 43^{20} + \left(4 a + 19\right)\cdot 43^{21} + \left(40 a + 8\right)\cdot 43^{22} + \left(40 a + 9\right)\cdot 43^{23} + \left(6 a + 41\right)\cdot 43^{24} + \left(9 a + 4\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 16 + 29\cdot 43 + 42\cdot 43^{2} + 32\cdot 43^{3} + 39\cdot 43^{4} + 17\cdot 43^{5} + 3\cdot 43^{6} + 33\cdot 43^{7} + 20\cdot 43^{8} + 14\cdot 43^{9} + 43^{10} + 16\cdot 43^{11} + 8\cdot 43^{12} + 15\cdot 43^{13} + 23\cdot 43^{14} + 12\cdot 43^{15} + 39\cdot 43^{16} + 19\cdot 43^{17} + 41\cdot 43^{18} + 42\cdot 43^{19} + 15\cdot 43^{20} + 7\cdot 43^{21} + 32\cdot 43^{22} + 40\cdot 43^{23} + 23\cdot 43^{24} + 4\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 33 a + 12 + \left(29 a + 29\right)\cdot 43 + \left(18 a + 28\right)\cdot 43^{2} + \left(3 a + 39\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a + 21\right)\cdot 43^{4} + 4 a\cdot 43^{5} + \left(7 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(5 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(30 a + 7\right)\cdot 43^{8} + \left(24 a + 11\right)\cdot 43^{9} + \left(5 a + 10\right)\cdot 43^{10} + \left(a + 38\right)\cdot 43^{11} + \left(34 a + 1\right)\cdot 43^{12} + \left(15 a + 20\right)\cdot 43^{13} + \left(21 a + 31\right)\cdot 43^{14} + \left(25 a + 23\right)\cdot 43^{15} + \left(a + 27\right)\cdot 43^{16} + \left(38 a + 39\right)\cdot 43^{17} + \left(35 a + 26\right)\cdot 43^{18} + \left(33 a + 17\right)\cdot 43^{19} + \left(15 a + 39\right)\cdot 43^{20} + \left(17 a + 42\right)\cdot 43^{21} + 27\cdot 43^{22} + \left(33 a + 3\right)\cdot 43^{23} + \left(14 a + 22\right)\cdot 43^{24} + \left(2 a + 9\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 10 a + 2 + \left(13 a + 26\right)\cdot 43 + \left(24 a + 17\right)\cdot 43^{2} + \left(39 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a + 30\right)\cdot 43^{4} + \left(38 a + 35\right)\cdot 43^{5} + \left(35 a + 9\right)\cdot 43^{6} + \left(37 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(12 a + 32\right)\cdot 43^{8} + \left(18 a + 5\right)\cdot 43^{9} + \left(37 a + 34\right)\cdot 43^{10} + \left(41 a + 33\right)\cdot 43^{11} + \left(8 a + 34\right)\cdot 43^{12} + \left(27 a + 1\right)\cdot 43^{13} + \left(21 a + 37\right)\cdot 43^{14} + \left(17 a + 27\right)\cdot 43^{15} + \left(41 a + 3\right)\cdot 43^{16} + \left(4 a + 33\right)\cdot 43^{17} + \left(7 a + 24\right)\cdot 43^{18} + \left(9 a + 15\right)\cdot 43^{19} + \left(27 a + 21\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a + 1\right)\cdot 43^{21} + \left(42 a + 11\right)\cdot 43^{22} + \left(9 a + 36\right)\cdot 43^{23} + \left(28 a + 3\right)\cdot 43^{24} + \left(40 a + 40\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 24 a + 36 + \left(40 a + 3\right)\cdot 43 + \left(37 a + 38\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a + 4\right)\cdot 43^{3} + \left(12 a + 38\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a + 36\right)\cdot 43^{5} + \left(27 a + 40\right)\cdot 43^{6} + \left(11 a + 10\right)\cdot 43^{7} + \left(14 a + 36\right)\cdot 43^{8} + \left(a + 4\right)\cdot 43^{9} + \left(26 a + 8\right)\cdot 43^{10} + 24 a\cdot 43^{11} + \left(21 a + 42\right)\cdot 43^{12} + \left(26 a + 18\right)\cdot 43^{13} + \left(9 a + 27\right)\cdot 43^{14} + \left(11 a + 21\right)\cdot 43^{15} + \left(23 a + 6\right)\cdot 43^{16} + \left(12 a + 25\right)\cdot 43^{17} + \left(29 a + 29\right)\cdot 43^{18} + \left(35 a + 41\right)\cdot 43^{19} + \left(41 a + 42\right)\cdot 43^{20} + \left(17 a + 7\right)\cdot 43^{21} + \left(32 a + 39\right)\cdot 43^{22} + \left(14 a + 10\right)\cdot 43^{23} + \left(21 a + 40\right)\cdot 43^{24} + \left(3 a + 13\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 21 + 2\cdot 43 + 21\cdot 43^{2} + 30\cdot 43^{3} + 31\cdot 43^{4} + 22\cdot 43^{5} + 13\cdot 43^{6} + 21\cdot 43^{7} + 31\cdot 43^{8} + 27\cdot 43^{9} + 28\cdot 43^{10} + 18\cdot 43^{11} + 35\cdot 43^{12} + 23\cdot 43^{13} + 43^{14} + 38\cdot 43^{15} + 40\cdot 43^{17} + 13\cdot 43^{18} + 34\cdot 43^{19} + 43^{20} + 40\cdot 43^{21} + 41\cdot 43^{22} + 24\cdot 43^{23} + 29\cdot 43^{24} + 9\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 20 a + 25 + \left(24 a + 6\right)\cdot 43 + \left(18 a + 40\right)\cdot 43^{2} + \left(11 a + 33\right)\cdot 43^{3} + \left(40 a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(36 a + 21\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(14 a + 30\right)\cdot 43^{7} + \left(15 a + 1\right)\cdot 43^{8} + \left(32 a + 28\right)\cdot 43^{9} + \left(21 a + 33\right)\cdot 43^{10} + \left(a + 21\right)\cdot 43^{11} + \left(a + 5\right)\cdot 43^{12} + \left(2 a + 12\right)\cdot 43^{13} + \left(9 a + 38\right)\cdot 43^{14} + \left(18 a + 7\right)\cdot 43^{15} + \left(30 a + 10\right)\cdot 43^{16} + \left(10 a + 31\right)\cdot 43^{17} + \left(33 a + 4\right)\cdot 43^{18} + \left(7 a + 20\right)\cdot 43^{19} + \left(a + 25\right)\cdot 43^{20} + \left(38 a + 25\right)\cdot 43^{21} + 2 a\cdot 43^{22} + \left(2 a + 10\right)\cdot 43^{23} + \left(36 a + 7\right)\cdot 43^{24} + \left(33 a + 7\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 19 a + 17 + \left(2 a + 20\right)\cdot 43 + \left(5 a + 35\right)\cdot 43^{2} + \left(31 a + 21\right)\cdot 43^{3} + \left(30 a + 38\right)\cdot 43^{4} + \left(6 a + 17\right)\cdot 43^{5} + \left(15 a + 32\right)\cdot 43^{6} + \left(31 a + 37\right)\cdot 43^{7} + \left(28 a + 38\right)\cdot 43^{8} + \left(41 a + 34\right)\cdot 43^{9} + \left(16 a + 32\right)\cdot 43^{10} + \left(18 a + 41\right)\cdot 43^{11} + \left(21 a + 38\right)\cdot 43^{12} + \left(16 a + 23\right)\cdot 43^{13} + \left(33 a + 10\right)\cdot 43^{14} + \left(31 a + 23\right)\cdot 43^{15} + \left(19 a + 18\right)\cdot 43^{16} + \left(30 a + 14\right)\cdot 43^{17} + \left(13 a + 3\right)\cdot 43^{18} + \left(7 a + 5\right)\cdot 43^{19} + \left(a + 6\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a + 27\right)\cdot 43^{21} + \left(10 a + 10\right)\cdot 43^{22} + \left(28 a + 36\right)\cdot 43^{23} + \left(21 a + 3\right)\cdot 43^{24} + \left(39 a + 39\right)\cdot 43^{25} +O\left(43^{ 26 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7,3)(4,6,5)$ |
| $(1,7)(3,4)(5,8)$ |
| $(3,4)(5,7)$ |
| $(1,4,6,8,3,2)(5,7)$ |
| $(2,5,4)(3,6,7)$ |
| $(1,6,8,2)(3,5,4,7)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,8)(2,6)(3,4)(5,7)$ |
$-4$ |
| $6$ |
$2$ |
$(3,4)(5,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,5)(2,4)(3,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,5)(3,4)(7,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(1,6,3)(2,4,8)$ |
$1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,6,8,2)(3,5,4,7)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,3,8,4)(2,7,6,5)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,7,8,5)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,4,8,3)(2,6)(5,7)$ |
$2$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,4,6,8,3,2)(5,7)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,3,5,6,8,4,7,2)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,5,2,3,8,7,6,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
