Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 67 }$ to precision 24.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 67 }$: $ x^{2} + 63 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 13 a + 5 + \left(36 a + 39\right)\cdot 67 + \left(30 a + 57\right)\cdot 67^{2} + \left(18 a + 64\right)\cdot 67^{3} + \left(64 a + 2\right)\cdot 67^{4} + \left(32 a + 58\right)\cdot 67^{5} + \left(65 a + 16\right)\cdot 67^{6} + \left(56 a + 53\right)\cdot 67^{7} + \left(34 a + 55\right)\cdot 67^{8} + \left(46 a + 20\right)\cdot 67^{9} + \left(50 a + 32\right)\cdot 67^{10} + \left(62 a + 30\right)\cdot 67^{11} + \left(3 a + 18\right)\cdot 67^{12} + \left(60 a + 52\right)\cdot 67^{13} + \left(9 a + 1\right)\cdot 67^{14} + \left(63 a + 15\right)\cdot 67^{15} + \left(55 a + 6\right)\cdot 67^{16} + 7\cdot 67^{17} + \left(11 a + 41\right)\cdot 67^{18} + \left(51 a + 27\right)\cdot 67^{19} + \left(29 a + 58\right)\cdot 67^{20} + \left(44 a + 42\right)\cdot 67^{21} + \left(63 a + 58\right)\cdot 67^{22} + \left(57 a + 28\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 54 a + 57 + \left(30 a + 36\right)\cdot 67 + \left(36 a + 9\right)\cdot 67^{2} + \left(48 a + 41\right)\cdot 67^{3} + \left(2 a + 40\right)\cdot 67^{4} + \left(34 a + 58\right)\cdot 67^{5} + \left(a + 44\right)\cdot 67^{6} + \left(10 a + 14\right)\cdot 67^{7} + \left(32 a + 4\right)\cdot 67^{8} + \left(20 a + 38\right)\cdot 67^{9} + \left(16 a + 54\right)\cdot 67^{10} + \left(4 a + 29\right)\cdot 67^{11} + \left(63 a + 38\right)\cdot 67^{12} + \left(6 a + 20\right)\cdot 67^{13} + \left(57 a + 48\right)\cdot 67^{14} + \left(3 a + 56\right)\cdot 67^{15} + \left(11 a + 32\right)\cdot 67^{16} + \left(66 a + 21\right)\cdot 67^{17} + \left(55 a + 17\right)\cdot 67^{18} + \left(15 a + 20\right)\cdot 67^{19} + \left(37 a + 59\right)\cdot 67^{20} + \left(22 a + 56\right)\cdot 67^{21} + 3 a\cdot 67^{22} + \left(9 a + 63\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 43 a + 56 + \left(43 a + 40\right)\cdot 67 + \left(a + 26\right)\cdot 67^{2} + \left(66 a + 24\right)\cdot 67^{3} + \left(19 a + 61\right)\cdot 67^{4} + \left(19 a + 46\right)\cdot 67^{5} + \left(61 a + 13\right)\cdot 67^{6} + \left(47 a + 38\right)\cdot 67^{7} + \left(13 a + 39\right)\cdot 67^{8} + \left(43 a + 24\right)\cdot 67^{9} + \left(43 a + 55\right)\cdot 67^{10} + \left(55 a + 24\right)\cdot 67^{11} + \left(4 a + 37\right)\cdot 67^{12} + \left(58 a + 49\right)\cdot 67^{13} + \left(56 a + 49\right)\cdot 67^{14} + \left(54 a + 12\right)\cdot 67^{15} + 15\cdot 67^{16} + \left(42 a + 22\right)\cdot 67^{17} + \left(25 a + 8\right)\cdot 67^{18} + \left(35 a + 10\right)\cdot 67^{19} + \left(48 a + 50\right)\cdot 67^{20} + 4 a\cdot 67^{21} + \left(17 a + 22\right)\cdot 67^{22} + \left(15 a + 23\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 24 a + 27 + \left(23 a + 38\right)\cdot 67 + \left(65 a + 56\right)\cdot 67^{2} + 18\cdot 67^{3} + \left(47 a + 8\right)\cdot 67^{4} + \left(47 a + 37\right)\cdot 67^{5} + \left(5 a + 38\right)\cdot 67^{6} + \left(19 a + 34\right)\cdot 67^{7} + \left(53 a + 46\right)\cdot 67^{8} + \left(23 a + 49\right)\cdot 67^{9} + \left(23 a + 52\right)\cdot 67^{10} + \left(11 a + 2\right)\cdot 67^{11} + \left(62 a + 1\right)\cdot 67^{12} + \left(8 a + 9\right)\cdot 67^{13} + \left(10 a + 18\right)\cdot 67^{14} + \left(12 a + 41\right)\cdot 67^{15} + \left(66 a + 30\right)\cdot 67^{16} + \left(24 a + 55\right)\cdot 67^{17} + \left(41 a + 1\right)\cdot 67^{18} + \left(31 a + 59\right)\cdot 67^{19} + \left(18 a + 7\right)\cdot 67^{20} + \left(62 a + 38\right)\cdot 67^{21} + \left(49 a + 18\right)\cdot 67^{22} + 51 a\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 33 + 48\cdot 67 + 12\cdot 67^{2} + 4\cdot 67^{3} + 33\cdot 67^{4} + 29\cdot 67^{5} + 48\cdot 67^{6} + 46\cdot 67^{7} + 37\cdot 67^{8} + 10\cdot 67^{9} + 37\cdot 67^{10} + 58\cdot 67^{11} + 63\cdot 67^{12} + 19\cdot 67^{13} + 15\cdot 67^{14} + 24\cdot 67^{15} + 38\cdot 67^{16} + 45\cdot 67^{17} + 7\cdot 67^{18} + 58\cdot 67^{19} + 12\cdot 67^{20} + 37\cdot 67^{21} + 11\cdot 67^{22} + 17\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 52 a + 49 + \left(20 a + 37\right)\cdot 67 + \left(a + 55\right)\cdot 67^{2} + \left(49 a + 9\right)\cdot 67^{3} + \left(54 a + 10\right)\cdot 67^{4} + \left(16 a + 12\right)\cdot 67^{5} + \left(54 a + 5\right)\cdot 67^{6} + \left(43 a + 35\right)\cdot 67^{7} + \left(63 a + 32\right)\cdot 67^{8} + \left(2 a + 31\right)\cdot 67^{9} + \left(a + 62\right)\cdot 67^{10} + \left(23 a + 43\right)\cdot 67^{11} + \left(45 a + 20\right)\cdot 67^{12} + \left(46 a + 45\right)\cdot 67^{13} + \left(9 a + 26\right)\cdot 67^{14} + \left(65 a + 58\right)\cdot 67^{15} + \left(36 a + 60\right)\cdot 67^{16} + 9 a\cdot 67^{17} + \left(a + 53\right)\cdot 67^{18} + \left(49 a + 40\right)\cdot 67^{19} + \left(29 a + 12\right)\cdot 67^{20} + \left(66 a + 28\right)\cdot 67^{21} + \left(50 a + 10\right)\cdot 67^{22} + \left(55 a + 10\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 15 a + 56 + \left(46 a + 1\right)\cdot 67 + \left(65 a + 40\right)\cdot 67^{2} + \left(17 a + 3\right)\cdot 67^{3} + \left(12 a + 46\right)\cdot 67^{4} + \left(50 a + 24\right)\cdot 67^{5} + \left(12 a + 4\right)\cdot 67^{6} + \left(23 a + 22\right)\cdot 67^{7} + \left(3 a + 42\right)\cdot 67^{8} + \left(64 a + 46\right)\cdot 67^{9} + \left(65 a + 63\right)\cdot 67^{10} + 43 a\cdot 67^{11} + \left(21 a + 45\right)\cdot 67^{12} + \left(20 a + 52\right)\cdot 67^{13} + \left(57 a + 18\right)\cdot 67^{14} + \left(a + 41\right)\cdot 67^{15} + \left(30 a + 9\right)\cdot 67^{16} + \left(57 a + 2\right)\cdot 67^{17} + \left(65 a + 48\right)\cdot 67^{18} + \left(17 a + 34\right)\cdot 67^{19} + \left(37 a + 15\right)\cdot 67^{20} + 63\cdot 67^{21} + \left(16 a + 13\right)\cdot 67^{22} + \left(11 a + 48\right)\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 54 + 24\cdot 67 + 9\cdot 67^{2} + 34\cdot 67^{3} + 65\cdot 67^{4} + 29\cdot 67^{6} + 23\cdot 67^{7} + 9\cdot 67^{8} + 46\cdot 67^{9} + 43\cdot 67^{10} + 9\cdot 67^{11} + 43\cdot 67^{12} + 18\cdot 67^{13} + 22\cdot 67^{14} + 18\cdot 67^{15} + 7\cdot 67^{16} + 46\cdot 67^{17} + 23\cdot 67^{18} + 17\cdot 67^{19} + 51\cdot 67^{20} + 65\cdot 67^{22} + 9\cdot 67^{23} +O\left(67^{ 24 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(2,7,5)(4,6,8)$ |
| $(5,8)(6,7)$ |
| $(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ |
| $(2,4)(6,7)$ |
| $(1,2,5)(3,4,8)$ |
| $(1,8,2,7,3,5,4,6)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character values |
| | |
$c1$ |
| $1$ |
$1$ |
$()$ |
$4$ |
| $1$ |
$2$ |
$(1,3)(2,4)(5,8)(6,7)$ |
$-4$ |
| $6$ |
$2$ |
$(5,8)(6,7)$ |
$0$ |
| $12$ |
$2$ |
$(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$ |
$0$ |
| $24$ |
$2$ |
$(1,3)(5,6)(7,8)$ |
$0$ |
| $32$ |
$3$ |
$(2,7,5)(4,6,8)$ |
$1$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,2,3,4)(5,6,8,7)$ |
$0$ |
| $6$ |
$4$ |
$(1,7,3,6)(2,5,4,8)$ |
$0$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,4,3,2)$ |
$-2$ |
| $12$ |
$4$ |
$(1,4,3,2)(5,8)(6,7)$ |
$2$ |
| $32$ |
$6$ |
$(1,6,4,3,7,2)(5,8)$ |
$-1$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,8,2,7,3,5,4,6)$ |
$0$ |
| $24$ |
$8$ |
$(1,8,7,2,3,5,6,4)$ |
$0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
