Artin representation 4.2e6_5e4_13e3.24t97.7c1

• Label: 4.2e6_5e4_13e3.24t97.7c1
• Dimension: 4
• Group: $((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
• Conductor: $ 2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 13^{3}$
• Root number: not computed
• Frobenius-Schur indicator: 0

Basic invariants

Dimension:	$4$
Group:	$((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor:	$87880000= 2^{6} \cdot 5^{4} \cdot 13^{3} $
Artin number field:	Splitting field of $f= x^{8} + 5 x^{4} + 25 x^{2} + 25 $ over $\Q$
Size of Galois orbit:	2
Smallest containing permutation representation:	24T97
Parity:	Even
Determinant:	1.13.3t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 48.

Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $

Roots:

$r_{ 1 }$	$=$	$ 10 a^{2} + 4 a + 3 + \left(a^{2} + 10 a\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{22} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + a\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{36} + \left(9 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{38} + \left(10 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{39} + \left(6 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{40} + \left(a + 5\right)\cdot 11^{41} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{43} + \left(10 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{44} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{45} + \left(a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{46} + \left(6 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 2 }$	$=$	$ 6 a^{2} + 5 + \left(9 a + 9\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{18} + \left(6 a + 9\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{24} + \left(6 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{29} + \left(6 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{30} + \left(6 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{32} + \left(4 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{38} + \left(2 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{40} + \left(6 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{43} + \left(7 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{44} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(2 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{46} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 3 }$	$=$	$ 8 + 5\cdot 11 + 9\cdot 11^{3} + 8\cdot 11^{4} + 9\cdot 11^{5} + 5\cdot 11^{7} + 9\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} + 4\cdot 11^{10} + 8\cdot 11^{11} + 3\cdot 11^{12} + 4\cdot 11^{13} + 3\cdot 11^{14} + 11^{15} + 8\cdot 11^{16} + 2\cdot 11^{17} + 5\cdot 11^{18} + 4\cdot 11^{19} + 8\cdot 11^{20} + 7\cdot 11^{21} + 7\cdot 11^{22} + 8\cdot 11^{23} + 11^{24} + 5\cdot 11^{25} + 3\cdot 11^{26} + 5\cdot 11^{28} + 6\cdot 11^{29} + 5\cdot 11^{30} + 9\cdot 11^{31} + 11^{32} + 10\cdot 11^{33} + 2\cdot 11^{34} + 3\cdot 11^{35} + 7\cdot 11^{36} + 5\cdot 11^{37} + 7\cdot 11^{38} + 2\cdot 11^{39} + 10\cdot 11^{40} + 10\cdot 11^{41} + 3\cdot 11^{42} + 7\cdot 11^{43} + 8\cdot 11^{44} + 2\cdot 11^{45} + 2\cdot 11^{46} + 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 4 }$	$=$	$ 6 a^{2} + 7 a + 5 + \left(8 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11 + \left(7 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(8 a^{2} + 9 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{14} + \left(a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{2} + a\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a + 3\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{29} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{30} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{31} + \left(7 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{32} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(a^{2} + 10\right)\cdot 11^{36} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{38} + \left(9 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{39} + \left(10 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{40} + \left(3 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{41} + \left(2 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{42} + a\cdot 11^{43} + 4 a^{2}11^{44} + 11^{45} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 5 }$	$=$	$ a^{2} + 7 a + 8 + \left(9 a^{2} + 10\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{2} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{3} + 2 a\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{7} + \left(6 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(5 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(7 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{17} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{34} + \left(a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(5 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{36} + \left(a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{37} + \left(5 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{38} + \left(6 a + 2\right)\cdot 11^{39} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{40} + \left(10 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{41} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a + 9\right)\cdot 11^{44} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{45} + \left(9 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{46} + \left(4 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 6 }$	$=$	$ 5 a^{2} + 6 + \left(10 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{8} + \left(5 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(2 a^{2} + a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(9 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{16} + 9\cdot 11^{17} + \left(5 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(3 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(4 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(10 a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{29} + \left(4 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{30} + \left(4 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{32} + \left(6 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + 3 a + 5\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{38} + \left(8 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{39} + \left(6 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{40} + \left(4 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{42} + \left(5 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{43} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{44} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{45} + \left(8 a^{2} + 4 a + 8\right)\cdot 11^{46} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 7 }$	$=$	$ 3 + 5\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 11^{3} + 2\cdot 11^{4} + 11^{5} + 10\cdot 11^{6} + 5\cdot 11^{7} + 11^{8} + 6\cdot 11^{9} + 6\cdot 11^{10} + 2\cdot 11^{11} + 7\cdot 11^{12} + 6\cdot 11^{13} + 7\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 2\cdot 11^{16} + 8\cdot 11^{17} + 5\cdot 11^{18} + 6\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{20} + 3\cdot 11^{21} + 3\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{23} + 9\cdot 11^{24} + 5\cdot 11^{25} + 7\cdot 11^{26} + 10\cdot 11^{27} + 5\cdot 11^{28} + 4\cdot 11^{29} + 5\cdot 11^{30} + 11^{31} + 9\cdot 11^{32} + 8\cdot 11^{34} + 7\cdot 11^{35} + 3\cdot 11^{36} + 5\cdot 11^{37} + 3\cdot 11^{38} + 8\cdot 11^{39} + 7\cdot 11^{42} + 3\cdot 11^{43} + 2\cdot 11^{44} + 8\cdot 11^{45} + 8\cdot 11^{46} + 9\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$
$r_{ 8 }$	$=$	$ 5 a^{2} + 4 a + 6 + \left(2 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(5 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a + 3\right)\cdot 11^{7} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(3 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 8 a + 9\right)\cdot 11^{13} + \left(8 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a + 8\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{18} + a^{2}11^{19} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 7\right)\cdot 11^{22} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(4 a^{2} + 2 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a + 4\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{29} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{30} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{32} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(9 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(9 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{36} + \left(4 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{37} + \left(8 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{38} + \left(a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{39} + \left(9 a + 2\right)\cdot 11^{40} + \left(7 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{41} + \left(8 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{42} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{43} + \left(6 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{44} + \left(10 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{45} + \left(3 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{46} + \left(9 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{47} +O\left(11^{ 48 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation

$(1,5)(4,8)$

$(2,6)(4,8)$

$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$

$(3,7)(4,8)$

$(1,6,8)(2,4,5)$

Character values on conjugacy classes

Size	Order	Action on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$	Character value
$1$	$1$	$()$	$4$
$1$	$2$	$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$	$-4$
$6$	$2$	$(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$	$0$
$6$	$2$	$(3,7)(4,8)$	$0$
$6$	$2$	$(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$	$0$
$16$	$3$	$(1,3,8)(4,5,7)$	$-\zeta_{3} - 1$
$16$	$3$	$(1,8,3)(4,7,5)$	$\zeta_{3}$
$6$	$4$	$(1,2,5,6)(3,8,7,4)$	$0$
$6$	$4$	$(1,4,5,8)(2,3,6,7)$	$0$
$16$	$6$	$(1,4,3,5,8,7)(2,6)$	$-\zeta_{3}$
$16$	$6$	$(1,7,8,5,3,4)(2,6)$	$\zeta_{3} + 1$

The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.