Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 37.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ a^{2} + 5 a + 9 + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11 + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{5} + \left(7 a^{2} + a\right)\cdot 11^{6} + \left(2 a^{2} + 2 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(2 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + a\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(3 a^{2} + 7 a + 10\right)\cdot 11^{12} + a^{2}11^{13} + \left(8 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(3 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + 9 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{27} + \left(2 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{30} + \left(10 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{33} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{35} + \left(6 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 3 a^{2} + 2 a + 8 + \left(7 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{7} + \left(3 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{9} + \left(6 a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{12} + a\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 8 a + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{15} + \left(2 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{18} + \left(10 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(10 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{23} + \left(2 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 7 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 8 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{31} + \left(4 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{32} + \left(a^{2} + 3\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a^{2} + 10\right)\cdot 11^{34} + \left(6 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + 7 a + 4\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 4 a^{2} + 7 a + 5 + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11 + \left(4 a^{2} + 7 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(7 a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{5} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{16} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{17} + \left(4 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{18} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{19} + \left(9 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{27} + \left(4 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{28} + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{29} + \left(10 a^{2} + 5 a + 4\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(10 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{32} + \left(2 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{33} + \left(7 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{34} + \left(a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 5 + 2\cdot 11 + 8\cdot 11^{2} + 11^{3} + 7\cdot 11^{4} + 4\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 6\cdot 11^{7} + 10\cdot 11^{8} + 2\cdot 11^{10} + 4\cdot 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + 9\cdot 11^{15} + 3\cdot 11^{16} + 5\cdot 11^{17} + 9\cdot 11^{20} + 10\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 4\cdot 11^{23} + 9\cdot 11^{24} + 11^{25} + 3\cdot 11^{26} + 8\cdot 11^{27} + 4\cdot 11^{28} + 8\cdot 11^{29} + 8\cdot 11^{31} + 7\cdot 11^{32} + 6\cdot 11^{33} + 3\cdot 11^{34} + 7\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 10 a^{2} + 6 a + 2 + \left(9 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11 + \left(10 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 3\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{6} + \left(8 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + 5 a + 7\right)\cdot 11^{8} + \left(7 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(10 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + 3 a\right)\cdot 11^{12} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(2 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{15} + \left(5 a + 4\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 8 a\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{24} + \left(10 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(7 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(4 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(6 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a + 2\right)\cdot 11^{30} + \left(2 a + 3\right)\cdot 11^{31} + \left(5 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + a + 10\right)\cdot 11^{33} + \left(8 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(5 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{35} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 8 a^{2} + 9 a + 3 + \left(3 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a + 7\right)\cdot 11^{3} + \left(8 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(4 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{7} + \left(7 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(9 a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(4 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(2 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 2 a + 8\right)\cdot 11^{14} + \left(3 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{15} + \left(10 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(9 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{17} + \left(7 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{18} + 8\cdot 11^{19} + \left(6 a + 8\right)\cdot 11^{20} + \left(4 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + \left(2 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(8 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 2 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{29} + 9\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{31} + \left(6 a^{2} + 5 a + 2\right)\cdot 11^{32} + \left(9 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{33} + \left(2 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{34} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{35} + \left(3 a^{2} + 3 a + 6\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 7 a^{2} + 4 a + 6 + \left(2 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11 + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a + 1\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(4 a^{2} + 2 a\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(4 a^{2} + 3 a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(5 a^{2} + 2 a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(6 a^{2} + 3 a + 8\right)\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 3 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{11} + \left(10 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{12} + \left(8 a^{2} + 9 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a + 5\right)\cdot 11^{15} + 2 a\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{18} + \left(8 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{19} + \left(a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a^{2} + 7 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 9 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a + 7\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 6 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{28} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{29} + \left(5 a + 6\right)\cdot 11^{30} + \left(8 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{31} + \left(3 a + 7\right)\cdot 11^{32} + \left(8 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{33} + \left(3 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{34} + \left(9 a^{2} + a\right)\cdot 11^{35} + \left(7 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 6 + 8\cdot 11 + 2\cdot 11^{2} + 9\cdot 11^{3} + 3\cdot 11^{4} + 6\cdot 11^{5} + 4\cdot 11^{6} + 4\cdot 11^{7} + 10\cdot 11^{9} + 8\cdot 11^{10} + 10\cdot 11^{11} + 6\cdot 11^{12} + 5\cdot 11^{13} + 11^{15} + 7\cdot 11^{16} + 5\cdot 11^{17} + 10\cdot 11^{18} + 10\cdot 11^{19} + 11^{20} + 5\cdot 11^{22} + 6\cdot 11^{23} + 11^{24} + 9\cdot 11^{25} + 7\cdot 11^{26} + 2\cdot 11^{27} + 6\cdot 11^{28} + 2\cdot 11^{29} + 10\cdot 11^{30} + 2\cdot 11^{31} + 3\cdot 11^{32} + 4\cdot 11^{33} + 7\cdot 11^{34} + 10\cdot 11^{35} + 3\cdot 11^{36} +O\left(11^{ 37 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$ |
| $(1,5)(4,8)$ |
| $(1,2,4)(5,6,8)$ |
| $(2,6)(3,7)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-4$ |
| $6$ | $2$ | $(1,2)(3,8)(4,7)(5,6)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,5)(4,8)$ | $0$ |
| $6$ | $2$ | $(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$ | $0$ |
| $16$ | $3$ | $(1,4,2)(5,8,6)$ | $\zeta_{3}$ |
| $16$ | $3$ | $(1,2,4)(5,6,8)$ | $-\zeta_{3} - 1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,6,5,2)(3,8,7,4)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,8,5,4)(2,3,6,7)$ | $0$ |
| $16$ | $6$ | $(1,4,2,5,8,6)(3,7)$ | $-\zeta_{3}$ |
| $16$ | $6$ | $(1,6,8,5,2,4)(3,7)$ | $\zeta_{3} + 1$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
