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Properties

Label 4.2e6_5e2_13e2.8t40.1c1
Dimension 4
Group $Q_8:S_4$
Conductor $ 2^{6} \cdot 5^{2} \cdot 13^{2}$
Root number 1
Frobenius-Schur indicator 1

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Basic invariants

Dimension:$4$
Group:$Q_8:S_4$
Conductor:$270400= 2^{6} \cdot 5^{2} \cdot 13^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 4 x^{6} + 2 x^{4} + 13 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 1
Smallest containing permutation representation: $Q_8:S_4$
Parity: Even
Determinant: 1.1.1t1.1c1

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 19 }$ to precision 68.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 19 }$: $ x^{2} + 18 x + 2 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 8 + 16\cdot 19 + 10\cdot 19^{2} + 15\cdot 19^{3} + 8\cdot 19^{4} + 8\cdot 19^{5} + 10\cdot 19^{6} + 15\cdot 19^{8} + 2\cdot 19^{9} + 18\cdot 19^{10} + 11\cdot 19^{11} + 16\cdot 19^{14} + 9\cdot 19^{15} + 18\cdot 19^{16} + 16\cdot 19^{17} + 7\cdot 19^{18} + 3\cdot 19^{19} + 3\cdot 19^{20} + 10\cdot 19^{21} + 12\cdot 19^{22} + 3\cdot 19^{23} + 11\cdot 19^{24} + 2\cdot 19^{25} + 6\cdot 19^{26} + 7\cdot 19^{27} + 12\cdot 19^{28} + 5\cdot 19^{29} + 7\cdot 19^{30} + 18\cdot 19^{31} + 7\cdot 19^{32} + 17\cdot 19^{33} + 10\cdot 19^{34} + 7\cdot 19^{35} + 9\cdot 19^{37} + 17\cdot 19^{38} + 11\cdot 19^{39} + 15\cdot 19^{40} + 4\cdot 19^{42} + 4\cdot 19^{43} + 15\cdot 19^{44} + 13\cdot 19^{45} + 11\cdot 19^{46} + 3\cdot 19^{47} + 9\cdot 19^{48} + 10\cdot 19^{49} + 3\cdot 19^{50} + 8\cdot 19^{51} + 10\cdot 19^{52} + 3\cdot 19^{53} + 13\cdot 19^{54} + 6\cdot 19^{55} + 18\cdot 19^{56} + 17\cdot 19^{57} + 6\cdot 19^{58} + 13\cdot 19^{59} + 16\cdot 19^{60} + 4\cdot 19^{61} + 16\cdot 19^{62} + 15\cdot 19^{64} + 7\cdot 19^{65} + 6\cdot 19^{66} + 16\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 11 a + 3 + \left(12 a + 1\right)\cdot 19 + \left(5 a + 15\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a + 15\right)\cdot 19^{3} + 5 a\cdot 19^{4} + \left(17 a + 5\right)\cdot 19^{5} + 2 a\cdot 19^{6} + \left(2 a + 13\right)\cdot 19^{7} + \left(a + 4\right)\cdot 19^{8} + 17 a\cdot 19^{9} + \left(12 a + 18\right)\cdot 19^{10} + 17\cdot 19^{11} + 8\cdot 19^{12} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{13} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a + 17\right)\cdot 19^{15} + \left(2 a + 4\right)\cdot 19^{16} + \left(18 a + 5\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a + 11\right)\cdot 19^{19} + 4 a\cdot 19^{20} + \left(8 a + 2\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a + 17\right)\cdot 19^{22} + \left(a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a + 10\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a + 1\right)\cdot 19^{26} + \left(11 a + 1\right)\cdot 19^{27} + \left(18 a + 15\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a + 11\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a + 13\right)\cdot 19^{30} + \left(12 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(7 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a + 9\right)\cdot 19^{33} + 18 a\cdot 19^{34} + \left(4 a + 10\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a + 3\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a + 5\right)\cdot 19^{37} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{40} + \left(8 a + 8\right)\cdot 19^{41} + \left(a + 13\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a + 4\right)\cdot 19^{43} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{44} + \left(a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(12 a + 14\right)\cdot 19^{46} + 13\cdot 19^{47} + \left(3 a + 14\right)\cdot 19^{48} + \left(9 a + 18\right)\cdot 19^{49} + \left(4 a + 5\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a + 17\right)\cdot 19^{51} + \left(17 a + 1\right)\cdot 19^{52} + a\cdot 19^{53} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{54} + \left(2 a + 2\right)\cdot 19^{55} + \left(10 a + 8\right)\cdot 19^{56} + a\cdot 19^{57} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{58} + \left(6 a + 6\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a + 11\right)\cdot 19^{60} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{61} + \left(9 a + 14\right)\cdot 19^{62} + \left(14 a + 10\right)\cdot 19^{63} + \left(13 a + 7\right)\cdot 19^{64} + \left(6 a + 15\right)\cdot 19^{65} + 14 a\cdot 19^{66} + \left(11 a + 5\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 8 a + 14 + \left(6 a + 2\right)\cdot 19 + \left(13 a + 8\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a + 3\right)\cdot 19^{4} + \left(a + 17\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a + 4\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a + 12\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{8} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{9} + \left(6 a + 13\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a + 5\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a + 10\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a + 4\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a + 5\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{16} + 19^{17} + \left(6 a + 3\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a + 1\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a + 2\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a + 6\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a + 18\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a + 18\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a + 11\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a + 1\right)\cdot 19^{26} + \left(7 a + 18\right)\cdot 19^{27} + 2\cdot 19^{28} + 12\cdot 19^{29} + \left(6 a + 7\right)\cdot 19^{30} + \left(6 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a + 16\right)\cdot 19^{32} + \left(15 a + 4\right)\cdot 19^{33} + 15\cdot 19^{34} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{35} + 16 a\cdot 19^{36} + \left(12 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(4 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a + 14\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a + 10\right)\cdot 19^{40} + \left(10 a + 11\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a + 6\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(17 a + 11\right)\cdot 19^{44} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{45} + \left(6 a + 6\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a + 2\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a + 17\right)\cdot 19^{48} + \left(9 a + 5\right)\cdot 19^{49} + \left(14 a + 1\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a + 3\right)\cdot 19^{51} + \left(a + 10\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{53} + \left(17 a + 15\right)\cdot 19^{54} + \left(16 a + 3\right)\cdot 19^{55} + \left(8 a + 16\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a + 10\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a + 5\right)\cdot 19^{58} + \left(12 a + 8\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a + 14\right)\cdot 19^{60} + \left(a + 10\right)\cdot 19^{61} + \left(9 a + 6\right)\cdot 19^{62} + \left(4 a + 15\right)\cdot 19^{63} + \left(5 a + 6\right)\cdot 19^{64} + \left(12 a + 8\right)\cdot 19^{65} + \left(4 a + 8\right)\cdot 19^{66} + \left(7 a + 2\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 15 a + 2 + \left(3 a + 15\right)\cdot 19 + \left(7 a + 7\right)\cdot 19^{2} + \left(17 a + 4\right)\cdot 19^{3} + \left(18 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(13 a + 11\right)\cdot 19^{5} + 12 a\cdot 19^{6} + \left(5 a + 13\right)\cdot 19^{7} + 4 a\cdot 19^{8} + \left(18 a + 12\right)\cdot 19^{9} + \left(8 a + 4\right)\cdot 19^{10} + \left(18 a + 14\right)\cdot 19^{11} + \left(15 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{13} + \left(2 a + 18\right)\cdot 19^{14} + \left(7 a + 6\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a + 8\right)\cdot 19^{16} + \left(5 a + 11\right)\cdot 19^{17} + \left(7 a + 8\right)\cdot 19^{18} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{19} + \left(13 a + 9\right)\cdot 19^{20} + \left(a + 15\right)\cdot 19^{21} + \left(12 a + 13\right)\cdot 19^{22} + \left(7 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(12 a + 16\right)\cdot 19^{24} + 5\cdot 19^{25} + \left(2 a + 18\right)\cdot 19^{26} + \left(18 a + 10\right)\cdot 19^{27} + \left(3 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(18 a + 14\right)\cdot 19^{30} + 16 a\cdot 19^{31} + \left(7 a + 14\right)\cdot 19^{32} + \left(10 a + 17\right)\cdot 19^{33} + \left(6 a + 1\right)\cdot 19^{34} + 6 a\cdot 19^{35} + \left(13 a + 6\right)\cdot 19^{36} + \left(13 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(16 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(7 a + 13\right)\cdot 19^{39} + \left(11 a + 7\right)\cdot 19^{40} + \left(a + 14\right)\cdot 19^{41} + \left(6 a + 16\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a + 15\right)\cdot 19^{43} + 5\cdot 19^{44} + \left(9 a + 5\right)\cdot 19^{45} + 8 a\cdot 19^{46} + \left(11 a + 8\right)\cdot 19^{47} + 5\cdot 19^{48} + \left(5 a + 7\right)\cdot 19^{49} + \left(5 a + 9\right)\cdot 19^{50} + \left(15 a + 4\right)\cdot 19^{51} + \left(8 a + 3\right)\cdot 19^{52} + \left(11 a + 8\right)\cdot 19^{53} + \left(12 a + 18\right)\cdot 19^{54} + \left(12 a + 18\right)\cdot 19^{55} + \left(7 a + 11\right)\cdot 19^{56} + \left(15 a + 5\right)\cdot 19^{57} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{58} + \left(a + 9\right)\cdot 19^{59} + \left(13 a + 3\right)\cdot 19^{60} + \left(8 a + 2\right)\cdot 19^{61} + \left(10 a + 18\right)\cdot 19^{62} + \left(6 a + 1\right)\cdot 19^{63} + \left(9 a + 8\right)\cdot 19^{64} + \left(6 a + 1\right)\cdot 19^{65} + \left(2 a + 2\right)\cdot 19^{66} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 11 + 2\cdot 19 + 8\cdot 19^{2} + 3\cdot 19^{3} + 10\cdot 19^{4} + 10\cdot 19^{5} + 8\cdot 19^{6} + 18\cdot 19^{7} + 3\cdot 19^{8} + 16\cdot 19^{9} + 7\cdot 19^{11} + 18\cdot 19^{12} + 18\cdot 19^{13} + 2\cdot 19^{14} + 9\cdot 19^{15} + 2\cdot 19^{17} + 11\cdot 19^{18} + 15\cdot 19^{19} + 15\cdot 19^{20} + 8\cdot 19^{21} + 6\cdot 19^{22} + 15\cdot 19^{23} + 7\cdot 19^{24} + 16\cdot 19^{25} + 12\cdot 19^{26} + 11\cdot 19^{27} + 6\cdot 19^{28} + 13\cdot 19^{29} + 11\cdot 19^{30} + 11\cdot 19^{32} + 19^{33} + 8\cdot 19^{34} + 11\cdot 19^{35} + 18\cdot 19^{36} + 9\cdot 19^{37} + 19^{38} + 7\cdot 19^{39} + 3\cdot 19^{40} + 18\cdot 19^{41} + 14\cdot 19^{42} + 14\cdot 19^{43} + 3\cdot 19^{44} + 5\cdot 19^{45} + 7\cdot 19^{46} + 15\cdot 19^{47} + 9\cdot 19^{48} + 8\cdot 19^{49} + 15\cdot 19^{50} + 10\cdot 19^{51} + 8\cdot 19^{52} + 15\cdot 19^{53} + 5\cdot 19^{54} + 12\cdot 19^{55} + 19^{57} + 12\cdot 19^{58} + 5\cdot 19^{59} + 2\cdot 19^{60} + 14\cdot 19^{61} + 2\cdot 19^{62} + 18\cdot 19^{63} + 3\cdot 19^{64} + 11\cdot 19^{65} + 12\cdot 19^{66} + 2\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 8 a + 16 + \left(6 a + 17\right)\cdot 19 + \left(13 a + 3\right)\cdot 19^{2} + \left(16 a + 3\right)\cdot 19^{3} + \left(13 a + 18\right)\cdot 19^{4} + \left(a + 13\right)\cdot 19^{5} + \left(16 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(16 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(17 a + 14\right)\cdot 19^{8} + \left(a + 18\right)\cdot 19^{9} + 6 a\cdot 19^{10} + \left(18 a + 1\right)\cdot 19^{11} + \left(18 a + 10\right)\cdot 19^{12} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{13} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{14} + \left(10 a + 1\right)\cdot 19^{15} + \left(16 a + 14\right)\cdot 19^{16} + 13\cdot 19^{17} + \left(6 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(16 a + 7\right)\cdot 19^{19} + \left(14 a + 18\right)\cdot 19^{20} + \left(10 a + 16\right)\cdot 19^{21} + \left(9 a + 1\right)\cdot 19^{22} + \left(17 a + 11\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a + 14\right)\cdot 19^{24} + \left(5 a + 8\right)\cdot 19^{25} + \left(5 a + 17\right)\cdot 19^{26} + \left(7 a + 17\right)\cdot 19^{27} + 3\cdot 19^{28} + 7\cdot 19^{29} + \left(6 a + 5\right)\cdot 19^{30} + 6 a\cdot 19^{31} + \left(11 a + 16\right)\cdot 19^{32} + \left(15 a + 9\right)\cdot 19^{33} + 18\cdot 19^{34} + \left(14 a + 8\right)\cdot 19^{35} + \left(16 a + 15\right)\cdot 19^{36} + \left(12 a + 13\right)\cdot 19^{37} + \left(4 a + 17\right)\cdot 19^{38} + \left(2 a + 6\right)\cdot 19^{39} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{40} + \left(10 a + 10\right)\cdot 19^{41} + \left(17 a + 5\right)\cdot 19^{42} + \left(12 a + 14\right)\cdot 19^{43} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{44} + \left(17 a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(6 a + 4\right)\cdot 19^{46} + \left(18 a + 5\right)\cdot 19^{47} + \left(15 a + 4\right)\cdot 19^{48} + 9 a\cdot 19^{49} + \left(14 a + 13\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a + 1\right)\cdot 19^{51} + \left(a + 17\right)\cdot 19^{52} + \left(17 a + 18\right)\cdot 19^{53} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{54} + \left(16 a + 16\right)\cdot 19^{55} + \left(8 a + 10\right)\cdot 19^{56} + \left(17 a + 18\right)\cdot 19^{57} + \left(14 a + 15\right)\cdot 19^{58} + \left(12 a + 12\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a + 7\right)\cdot 19^{60} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{61} + \left(9 a + 4\right)\cdot 19^{62} + \left(4 a + 8\right)\cdot 19^{63} + \left(5 a + 11\right)\cdot 19^{64} + \left(12 a + 3\right)\cdot 19^{65} + \left(4 a + 18\right)\cdot 19^{66} + \left(7 a + 13\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 11 a + 5 + \left(12 a + 16\right)\cdot 19 + \left(5 a + 10\right)\cdot 19^{2} + \left(2 a + 6\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a + 15\right)\cdot 19^{4} + \left(17 a + 1\right)\cdot 19^{5} + \left(2 a + 14\right)\cdot 19^{6} + \left(2 a + 6\right)\cdot 19^{7} + \left(a + 15\right)\cdot 19^{8} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{9} + \left(12 a + 5\right)\cdot 19^{10} + 13\cdot 19^{11} + 10\cdot 19^{12} + \left(14 a + 8\right)\cdot 19^{13} + \left(a + 14\right)\cdot 19^{14} + \left(8 a + 13\right)\cdot 19^{15} + 2 a\cdot 19^{16} + \left(18 a + 17\right)\cdot 19^{17} + \left(12 a + 15\right)\cdot 19^{18} + \left(2 a + 17\right)\cdot 19^{19} + \left(4 a + 16\right)\cdot 19^{20} + \left(8 a + 12\right)\cdot 19^{21} + 9 a\cdot 19^{22} + a\cdot 19^{23} + \left(12 a + 4\right)\cdot 19^{24} + \left(13 a + 7\right)\cdot 19^{25} + \left(13 a + 17\right)\cdot 19^{26} + 11 a\cdot 19^{27} + \left(18 a + 16\right)\cdot 19^{28} + \left(18 a + 6\right)\cdot 19^{29} + \left(12 a + 11\right)\cdot 19^{30} + 12 a\cdot 19^{31} + \left(7 a + 2\right)\cdot 19^{32} + \left(3 a + 14\right)\cdot 19^{33} + \left(18 a + 3\right)\cdot 19^{34} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{35} + \left(2 a + 18\right)\cdot 19^{36} + \left(6 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(14 a + 9\right)\cdot 19^{38} + \left(16 a + 4\right)\cdot 19^{39} + \left(4 a + 8\right)\cdot 19^{40} + \left(8 a + 7\right)\cdot 19^{41} + \left(a + 12\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a + 9\right)\cdot 19^{43} + \left(a + 7\right)\cdot 19^{44} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{45} + \left(12 a + 12\right)\cdot 19^{46} + 16\cdot 19^{47} + \left(3 a + 1\right)\cdot 19^{48} + \left(9 a + 13\right)\cdot 19^{49} + \left(4 a + 17\right)\cdot 19^{50} + \left(9 a + 15\right)\cdot 19^{51} + \left(17 a + 8\right)\cdot 19^{52} + \left(a + 15\right)\cdot 19^{53} + \left(a + 3\right)\cdot 19^{54} + \left(2 a + 15\right)\cdot 19^{55} + \left(10 a + 2\right)\cdot 19^{56} + \left(a + 8\right)\cdot 19^{57} + \left(4 a + 13\right)\cdot 19^{58} + \left(6 a + 10\right)\cdot 19^{59} + \left(9 a + 4\right)\cdot 19^{60} + \left(17 a + 8\right)\cdot 19^{61} + \left(9 a + 12\right)\cdot 19^{62} + \left(14 a + 3\right)\cdot 19^{63} + \left(13 a + 12\right)\cdot 19^{64} + \left(6 a + 10\right)\cdot 19^{65} + \left(14 a + 10\right)\cdot 19^{66} + \left(11 a + 16\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 4 a + 17 + \left(15 a + 3\right)\cdot 19 + \left(11 a + 11\right)\cdot 19^{2} + \left(a + 14\right)\cdot 19^{3} + \left(5 a + 7\right)\cdot 19^{5} + \left(6 a + 18\right)\cdot 19^{6} + \left(13 a + 5\right)\cdot 19^{7} + \left(14 a + 18\right)\cdot 19^{8} + 6\cdot 19^{9} + \left(10 a + 14\right)\cdot 19^{10} + 4\cdot 19^{11} + \left(3 a + 8\right)\cdot 19^{12} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{13} + 16 a\cdot 19^{14} + \left(11 a + 12\right)\cdot 19^{15} + \left(9 a + 10\right)\cdot 19^{16} + \left(13 a + 7\right)\cdot 19^{17} + \left(11 a + 10\right)\cdot 19^{18} + \left(4 a + 3\right)\cdot 19^{19} + \left(5 a + 9\right)\cdot 19^{20} + \left(17 a + 3\right)\cdot 19^{21} + \left(6 a + 5\right)\cdot 19^{22} + \left(11 a + 7\right)\cdot 19^{23} + \left(6 a + 2\right)\cdot 19^{24} + \left(18 a + 13\right)\cdot 19^{25} + 16 a\cdot 19^{26} + 8\cdot 19^{27} + \left(15 a + 2\right)\cdot 19^{28} + \left(9 a + 12\right)\cdot 19^{29} + 4\cdot 19^{30} + \left(2 a + 18\right)\cdot 19^{31} + \left(11 a + 4\right)\cdot 19^{32} + \left(8 a + 1\right)\cdot 19^{33} + \left(12 a + 17\right)\cdot 19^{34} + \left(12 a + 18\right)\cdot 19^{35} + \left(5 a + 12\right)\cdot 19^{36} + \left(5 a + 9\right)\cdot 19^{37} + \left(2 a + 1\right)\cdot 19^{38} + \left(11 a + 5\right)\cdot 19^{39} + \left(7 a + 11\right)\cdot 19^{40} + \left(17 a + 4\right)\cdot 19^{41} + \left(12 a + 2\right)\cdot 19^{42} + \left(6 a + 3\right)\cdot 19^{43} + \left(18 a + 13\right)\cdot 19^{44} + \left(9 a + 13\right)\cdot 19^{45} + \left(10 a + 18\right)\cdot 19^{46} + \left(7 a + 10\right)\cdot 19^{47} + \left(18 a + 13\right)\cdot 19^{48} + \left(13 a + 11\right)\cdot 19^{49} + \left(13 a + 9\right)\cdot 19^{50} + \left(3 a + 14\right)\cdot 19^{51} + \left(10 a + 15\right)\cdot 19^{52} + \left(7 a + 10\right)\cdot 19^{53} + 6 a\cdot 19^{54} + 6 a\cdot 19^{55} + \left(11 a + 7\right)\cdot 19^{56} + \left(3 a + 13\right)\cdot 19^{57} + \left(17 a + 2\right)\cdot 19^{58} + \left(17 a + 9\right)\cdot 19^{59} + \left(5 a + 15\right)\cdot 19^{60} + \left(10 a + 16\right)\cdot 19^{61} + 8 a\cdot 19^{62} + \left(12 a + 17\right)\cdot 19^{63} + \left(9 a + 10\right)\cdot 19^{64} + \left(12 a + 17\right)\cdot 19^{65} + \left(16 a + 16\right)\cdot 19^{66} + \left(a + 16\right)\cdot 19^{67} +O\left(19^{ 68 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(2,3,4)(6,7,8)$
$(1,7,8)(3,4,5)$
$(1,6,4)(2,8,5)$
$(2,7,8)(3,4,6)$
$(3,7)(4,8)$
$(1,6,7,8,5,2,3,4)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$4$
$1$$2$$(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$$-4$
$6$$2$$(1,5)(3,7)$$0$
$12$$2$$(1,7)(2,8)(3,5)(4,6)$$0$
$24$$2$$(1,8)(3,7)(4,5)$$0$
$32$$3$$(1,6,4)(2,8,5)$$1$
$6$$4$$(1,4,5,8)(2,3,6,7)$$0$
$6$$4$$(1,2,5,6)(3,8,7,4)$$0$
$12$$4$$(3,8,7,4)$$2$
$12$$4$$(1,5)(2,4,6,8)(3,7)$$-2$
$32$$6$$(1,5)(2,3,4,6,7,8)$$-1$
$24$$8$$(1,6,4,3,5,2,8,7)$$0$
$24$$8$$(1,4,3,2,5,8,7,6)$$0$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.