Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 59 }$ to precision 17.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 59 }$: $ x^{2} + 58 x + 2 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 25 a + 17 + \left(16 a + 4\right)\cdot 59 + \left(18 a + 58\right)\cdot 59^{2} + \left(9 a + 33\right)\cdot 59^{3} + \left(25 a + 21\right)\cdot 59^{4} + \left(54 a + 44\right)\cdot 59^{5} + \left(28 a + 12\right)\cdot 59^{6} + \left(51 a + 18\right)\cdot 59^{7} + \left(3 a + 53\right)\cdot 59^{8} + \left(32 a + 44\right)\cdot 59^{9} + \left(58 a + 45\right)\cdot 59^{10} + \left(17 a + 49\right)\cdot 59^{11} + \left(12 a + 2\right)\cdot 59^{12} + \left(50 a + 40\right)\cdot 59^{13} + \left(30 a + 9\right)\cdot 59^{14} + \left(51 a + 19\right)\cdot 59^{15} + \left(13 a + 48\right)\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 40 + 51\cdot 59 + 40\cdot 59^{2} + 45\cdot 59^{3} + 59^{4} + 48\cdot 59^{5} + 5\cdot 59^{6} + 32\cdot 59^{7} + 58\cdot 59^{8} + 55\cdot 59^{9} + 28\cdot 59^{10} + 59^{11} + 19\cdot 59^{12} + 31\cdot 59^{13} + 20\cdot 59^{14} + 38\cdot 59^{15} + 46\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 53 a + 3 + \left(41 a + 35\right)\cdot 59 + \left(52 a + 53\right)\cdot 59^{2} + \left(39 a + 35\right)\cdot 59^{3} + \left(24 a + 7\right)\cdot 59^{4} + \left(15 a + 34\right)\cdot 59^{5} + \left(16 a + 58\right)\cdot 59^{6} + \left(9 a + 32\right)\cdot 59^{7} + \left(37 a + 15\right)\cdot 59^{8} + \left(41 a + 27\right)\cdot 59^{9} + \left(49 a + 25\right)\cdot 59^{10} + \left(57 a + 25\right)\cdot 59^{11} + \left(53 a + 31\right)\cdot 59^{12} + \left(36 a + 8\right)\cdot 59^{13} + \left(48 a + 53\right)\cdot 59^{14} + \left(a + 52\right)\cdot 59^{15} + \left(19 a + 20\right)\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 29 + 23\cdot 59 + 47\cdot 59^{2} + 28\cdot 59^{3} + 5\cdot 59^{5} + 27\cdot 59^{6} + 5\cdot 59^{7} + 54\cdot 59^{8} + 8\cdot 59^{9} + 39\cdot 59^{10} + 30\cdot 59^{11} + 54\cdot 59^{12} + 49\cdot 59^{13} + 26\cdot 59^{14} + 33\cdot 59^{15} + 57\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 34 a + 42 + \left(42 a + 54\right)\cdot 59 + 40 a\cdot 59^{2} + \left(49 a + 25\right)\cdot 59^{3} + \left(33 a + 37\right)\cdot 59^{4} + \left(4 a + 14\right)\cdot 59^{5} + \left(30 a + 46\right)\cdot 59^{6} + \left(7 a + 40\right)\cdot 59^{7} + \left(55 a + 5\right)\cdot 59^{8} + \left(26 a + 14\right)\cdot 59^{9} + 13\cdot 59^{10} + \left(41 a + 9\right)\cdot 59^{11} + \left(46 a + 56\right)\cdot 59^{12} + \left(8 a + 18\right)\cdot 59^{13} + \left(28 a + 49\right)\cdot 59^{14} + \left(7 a + 39\right)\cdot 59^{15} + \left(45 a + 10\right)\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 19 + 7\cdot 59 + 18\cdot 59^{2} + 13\cdot 59^{3} + 57\cdot 59^{4} + 10\cdot 59^{5} + 53\cdot 59^{6} + 26\cdot 59^{7} + 3\cdot 59^{9} + 30\cdot 59^{10} + 57\cdot 59^{11} + 39\cdot 59^{12} + 27\cdot 59^{13} + 38\cdot 59^{14} + 20\cdot 59^{15} + 12\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 6 a + 56 + \left(17 a + 23\right)\cdot 59 + \left(6 a + 5\right)\cdot 59^{2} + \left(19 a + 23\right)\cdot 59^{3} + \left(34 a + 51\right)\cdot 59^{4} + \left(43 a + 24\right)\cdot 59^{5} + 42 a\cdot 59^{6} + \left(49 a + 26\right)\cdot 59^{7} + \left(21 a + 43\right)\cdot 59^{8} + \left(17 a + 31\right)\cdot 59^{9} + \left(9 a + 33\right)\cdot 59^{10} + \left(a + 33\right)\cdot 59^{11} + \left(5 a + 27\right)\cdot 59^{12} + \left(22 a + 50\right)\cdot 59^{13} + \left(10 a + 5\right)\cdot 59^{14} + \left(57 a + 6\right)\cdot 59^{15} + \left(39 a + 38\right)\cdot 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 30 + 35\cdot 59 + 11\cdot 59^{2} + 30\cdot 59^{3} + 58\cdot 59^{4} + 53\cdot 59^{5} + 31\cdot 59^{6} + 53\cdot 59^{7} + 4\cdot 59^{8} + 50\cdot 59^{9} + 19\cdot 59^{10} + 28\cdot 59^{11} + 4\cdot 59^{12} + 9\cdot 59^{13} + 32\cdot 59^{14} + 25\cdot 59^{15} + 59^{16} +O\left(59^{ 17 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ |
| $(1,5)(2,6)$ |
| $(3,4)(7,8)$ |
| $(2,6)(4,8)$ |
| $(3,7)(4,8)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,7)(4,8)$ | $-4$ |
| $2$ | $2$ | $(3,7)(4,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,2)(3,4)(5,6)(7,8)$ | $0$ |
| $2$ | $2$ | $(1,6)(2,5)(3,4)(7,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(3,4)(7,8)$ | $2$ |
| $4$ | $2$ | $(1,5)(2,6)(3,4)(7,8)$ | $-2$ |
| $4$ | $2$ | $(2,6)(4,8)$ | $0$ |
| $4$ | $2$ | $(1,8)(2,3)(4,5)(6,7)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8,5,4)(2,7,6,3)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,6,5,2)(3,8,7,4)$ | $0$ |
| $4$ | $4$ | $(1,8,5,4)(2,3,6,7)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,8,2,7)(3,5,4,6)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(2,6)(3,8,7,4)$ | $0$ |
| $8$ | $4$ | $(1,8,6,7)(2,3,5,4)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
