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Properties

Label 4.2e6_3e6_19e2.24t97.3c2
Dimension 4
Group $((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor $ 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 19^{2}$
Root number not computed
Frobenius-Schur indicator 0

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Basic invariants

Dimension:$4$
Group:$((C_2 \times D_4): C_2):C_3$
Conductor:$16842816= 2^{6} \cdot 3^{6} \cdot 19^{2} $
Artin number field: Splitting field of $f= x^{8} - 2 x^{7} + 8 x^{6} - 10 x^{5} + 20 x^{4} - 14 x^{3} + 20 x^{2} - 22 x + 7 $ over $\Q$
Size of Galois orbit: 2
Smallest containing permutation representation: 24T97
Parity: Even
Determinant: 1.3e2.3t1.1c2

Galois action

Roots of defining polynomial

The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 11 }$ to precision 30.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 11 }$: $ x^{3} + 2 x + 9 $
Roots:
$r_{ 1 }$ $=$ $ 6 a^{2} + 3 a + 3 + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11 + \left(8 a^{2} + 9 a\right)\cdot 11^{2} + \left(6 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(2 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 7 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{6} + \left(6 a^{2} + 5 a + 8\right)\cdot 11^{7} + \left(4 a^{2} + 9 a + 10\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{10} + \left(3 a^{2} + 4\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 10 a + 4\right)\cdot 11^{12} + \left(6 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(9 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a^{2} + a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(4 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{16} + \left(a^{2} + 4 a + 9\right)\cdot 11^{17} + \left(9 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 3 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(6 a + 4\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{22} + \left(6 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 10 a + 3\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 9\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 2 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 7 a + 5 + \left(10 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11 + \left(9 a + 8\right)\cdot 11^{2} + \left(2 a + 4\right)\cdot 11^{3} + \left(10 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{4} + \left(6 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 8 a + 6\right)\cdot 11^{6} + 10 a\cdot 11^{7} + \left(8 a^{2} + a + 8\right)\cdot 11^{8} + 10 a\cdot 11^{9} + \left(5 a^{2} + 8 a + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 10 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + a\right)\cdot 11^{12} + \left(a^{2} + 8 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{14} + \left(10 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{17} + 9 a^{2}11^{18} + \left(4 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{19} + \left(2 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{20} + \left(9 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 7 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(a + 2\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 2 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(6 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{26} + \left(10 a^{2} + 5 a + 3\right)\cdot 11^{27} + \left(9 a^{2} + 10 a + 10\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 3 }$ $=$ $ 7 a^{2} + 5 a + 1 + \left(4 a + 10\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{2} + \left(10 a^{2} + 2 a + 9\right)\cdot 11^{3} + \left(a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{4} + \left(10 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{5} + \left(8 a^{2} + 4 a + 2\right)\cdot 11^{6} + \left(10 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + a + 4\right)\cdot 11^{8} + \left(4 a^{2} + 6 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{11} + \left(7 a^{2} + a + 3\right)\cdot 11^{12} + \left(4 a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 3 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(7 a + 5\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a + 1\right)\cdot 11^{16} + \left(8 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{17} + \left(6 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{19} + \left(8 a^{2} + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(8 a^{2} + 4 a\right)\cdot 11^{21} + \left(7 a + 9\right)\cdot 11^{22} + \left(a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a + 10\right)\cdot 11^{24} + \left(7 a^{2} + 9 a + 4\right)\cdot 11^{25} + \left(3 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{26} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{27} + \left(6 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 4 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 9 + \left(10 a^{2} + a\right)\cdot 11 + \left(9 a^{2} + 6 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{3} + \left(5 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{4} + \left(2 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{5} + \left(9 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(7 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{7} + \left(10 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{8} + \left(3 a^{2} + a + 9\right)\cdot 11^{9} + \left(a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{10} + \left(a^{2} + 6 a + 7\right)\cdot 11^{11} + \left(9 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{12} + \left(10 a + 2\right)\cdot 11^{13} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{14} + \left(6 a^{2} + 10 a + 2\right)\cdot 11^{15} + \left(a^{2} + a + 7\right)\cdot 11^{16} + \left(10 a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a + 5\right)\cdot 11^{18} + \left(9 a^{2} + 3 a + 4\right)\cdot 11^{19} + \left(5 a^{2} + 5 a + 6\right)\cdot 11^{20} + \left(10 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{21} + \left(6 a^{2} + 9 a + 2\right)\cdot 11^{22} + \left(5 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{23} + \left(a^{2} + 6 a + 8\right)\cdot 11^{24} + \left(5 a^{2} + 6 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(4 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{27} + \left(7 a + 8\right)\cdot 11^{28} + \left(3 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 5 }$ $=$ $ 2 a^{2} + 6 a + 9 + \left(5 a + 5\right)\cdot 11 + \left(3 a^{2} + 10 a + 7\right)\cdot 11^{2} + \left(3 a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{3} + \left(3 a^{2} + 2 a + 10\right)\cdot 11^{4} + \left(9 a^{2} + 4 a + 3\right)\cdot 11^{5} + \left(3 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 7 a + 6\right)\cdot 11^{7} + \left(a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{8} + \left(2 a^{2} + 3 a + 3\right)\cdot 11^{9} + \left(10 a^{2} + 5\right)\cdot 11^{10} + \left(7 a^{2} + 8 a + 1\right)\cdot 11^{11} + \left(5 a^{2} + 10 a + 9\right)\cdot 11^{12} + \left(5 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{13} + 10\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{15} + \left(9 a^{2} + a + 6\right)\cdot 11^{16} + \left(3 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + a + 1\right)\cdot 11^{18} + \left(7 a^{2} + 2\right)\cdot 11^{19} + \left(7 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{20} + \left(2 a^{2} + 7 a + 3\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 4 a + 1\right)\cdot 11^{22} + \left(4 a^{2} + 10 a\right)\cdot 11^{23} + \left(9 a^{2} + 5 a + 1\right)\cdot 11^{24} + \left(9 a^{2} + 5 a + 5\right)\cdot 11^{25} + \left(2 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{26} + \left(6 a^{2} + 10 a + 1\right)\cdot 11^{27} + \left(3 a^{2} + 4 a + 5\right)\cdot 11^{28} + \left(4 a^{2} + 2 a + 3\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 6 }$ $=$ $ 3 a^{2} + a + 10 + \left(5 a^{2} + 6 a + 3\right)\cdot 11 + \left(a^{2} + 2 a + 2\right)\cdot 11^{2} + \left(4 a^{2} + 3 a + 10\right)\cdot 11^{3} + \left(9 a^{2} + 1\right)\cdot 11^{4} + \left(5 a^{2} + 6 a + 5\right)\cdot 11^{5} + \left(6 a^{2} + 4 a + 7\right)\cdot 11^{6} + \left(3 a^{2} + 5 a\right)\cdot 11^{7} + \left(9 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{8} + \left(10 a^{2} + 5 a + 10\right)\cdot 11^{9} + \left(7 a^{2} + 8 a + 8\right)\cdot 11^{10} + \left(5 a^{2} + 10 a + 6\right)\cdot 11^{11} + \left(8 a^{2} + 9 a + 8\right)\cdot 11^{12} + \left(2 a^{2} + 6 a + 4\right)\cdot 11^{13} + \left(4 a + 4\right)\cdot 11^{14} + \left(4 a^{2} + 4 a + 4\right)\cdot 11^{15} + \left(7 a^{2} + 9 a + 5\right)\cdot 11^{16} + \left(4 a^{2} + 4 a + 10\right)\cdot 11^{17} + \left(3 a^{2} + 6 a + 6\right)\cdot 11^{18} + \left(5 a^{2} + 7 a\right)\cdot 11^{19} + 8\cdot 11^{20} + \left(a^{2} + 7 a + 8\right)\cdot 11^{21} + \left(3 a^{2} + 8 a + 4\right)\cdot 11^{22} + \left(10 a^{2} + 10 a + 5\right)\cdot 11^{23} + \left(a + 3\right)\cdot 11^{24} + \left(8 a^{2} + 9 a + 9\right)\cdot 11^{25} + \left(5 a + 8\right)\cdot 11^{26} + \left(5 a^{2} + 8 a + 10\right)\cdot 11^{27} + \left(8 a^{2} + 6 a\right)\cdot 11^{28} + \left(2 a^{2} + 4 a + 6\right)\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 7 }$ $=$ $ 3 + 8\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 4\cdot 11^{3} + 5\cdot 11^{5} + 6\cdot 11^{6} + 5\cdot 11^{8} + 6\cdot 11^{9} + 7\cdot 11^{11} + 3\cdot 11^{13} + 9\cdot 11^{14} + 4\cdot 11^{15} + 10\cdot 11^{16} + 11^{17} + 10\cdot 11^{18} + 11^{19} + 3\cdot 11^{20} + 9\cdot 11^{21} + 11^{22} + 6\cdot 11^{23} + 9\cdot 11^{25} + 6\cdot 11^{26} + 10\cdot 11^{27} + 3\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$
$r_{ 8 }$ $=$ $ 6 + 6\cdot 11 + 10\cdot 11^{2} + 7\cdot 11^{3} + 2\cdot 11^{4} + 6\cdot 11^{5} + 4\cdot 11^{6} + 5\cdot 11^{7} + 6\cdot 11^{8} + 4\cdot 11^{9} + 7\cdot 11^{10} + 3\cdot 11^{12} + 11^{13} + 4\cdot 11^{14} + 4\cdot 11^{15} + 9\cdot 11^{16} + 10\cdot 11^{17} + 11^{18} + 7\cdot 11^{19} + 2\cdot 11^{21} + 5\cdot 11^{22} + 2\cdot 11^{23} + 5\cdot 11^{24} + 8\cdot 11^{25} + 4\cdot 11^{26} + 7\cdot 11^{27} + 6\cdot 11^{28} + 7\cdot 11^{29} +O\left(11^{ 30 }\right)$

Generators of the action on the roots $r_1, \ldots, r_{ 8 }$

Cycle notation
$(1,8,4,7)(2,6,3,5)$
$(5,6)(7,8)$
$(1,4)(7,8)$
$(1,8,3,4,7,2)(5,6)$
$(1,4)(2,3)$

Character values on conjugacy classes

SizeOrderAction on $r_1, \ldots, r_{ 8 }$ Character value
$1$$1$$()$$4$
$1$$2$$(1,4)(2,3)(5,6)(7,8)$$-4$
$6$$2$$(1,4)(2,3)$$0$
$6$$2$$(1,3)(2,4)(5,7)(6,8)$$0$
$6$$2$$(1,5)(2,7)(3,8)(4,6)$$0$
$16$$3$$(1,3,7)(2,8,4)$$\zeta_{3}$
$16$$3$$(1,7,3)(2,4,8)$$-\zeta_{3} - 1$
$6$$4$$(1,8,4,7)(2,6,3,5)$$0$
$6$$4$$(1,7,4,8)(2,6,3,5)$$0$
$16$$6$$(1,8,3,4,7,2)(5,6)$$\zeta_{3} + 1$
$16$$6$$(1,2,7,4,3,8)(5,6)$$-\zeta_{3}$
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.