Basic invariants
Galois action
Roots of defining polynomial
The roots of $f$ are computed in an extension of $\Q_{ 43 }$ to precision 23.
Minimal polynomial of a generator $a$ of $K$ over $\mathbb{Q}_{ 43 }$: $ x^{2} + 42 x + 3 $
Roots:
| $r_{ 1 }$ |
$=$ |
$ 5 a + 13 + \left(15 a + 17\right)\cdot 43 + \left(30 a + 41\right)\cdot 43^{2} + \left(27 a + 22\right)\cdot 43^{3} + \left(41 a + 21\right)\cdot 43^{4} + \left(25 a + 1\right)\cdot 43^{5} + \left(6 a + 5\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a + 20\right)\cdot 43^{7} + \left(18 a + 18\right)\cdot 43^{8} + \left(9 a + 42\right)\cdot 43^{9} + \left(9 a + 25\right)\cdot 43^{10} + \left(10 a + 26\right)\cdot 43^{11} + \left(24 a + 24\right)\cdot 43^{12} + \left(25 a + 27\right)\cdot 43^{13} + \left(22 a + 33\right)\cdot 43^{14} + \left(8 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(4 a + 9\right)\cdot 43^{16} + \left(16 a + 29\right)\cdot 43^{17} + \left(22 a + 11\right)\cdot 43^{18} + \left(15 a + 24\right)\cdot 43^{19} + \left(6 a + 21\right)\cdot 43^{20} + \left(4 a + 25\right)\cdot 43^{21} + \left(16 a + 16\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 2 }$ |
$=$ |
$ 11 a + 41 + \left(16 a + 2\right)\cdot 43 + \left(9 a + 36\right)\cdot 43^{2} + \left(17 a + 28\right)\cdot 43^{3} + \left(24 a + 3\right)\cdot 43^{4} + \left(a + 34\right)\cdot 43^{5} + \left(30 a + 41\right)\cdot 43^{6} + \left(32 a + 35\right)\cdot 43^{7} + \left(6 a + 29\right)\cdot 43^{8} + \left(29 a + 10\right)\cdot 43^{9} + \left(14 a + 35\right)\cdot 43^{10} + \left(2 a + 31\right)\cdot 43^{11} + \left(19 a + 12\right)\cdot 43^{12} + \left(24 a + 42\right)\cdot 43^{13} + \left(33 a + 25\right)\cdot 43^{14} + \left(9 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(29 a + 34\right)\cdot 43^{16} + \left(18 a + 39\right)\cdot 43^{17} + \left(6 a + 42\right)\cdot 43^{18} + \left(32 a + 12\right)\cdot 43^{19} + \left(5 a + 4\right)\cdot 43^{20} + \left(30 a + 7\right)\cdot 43^{21} + \left(12 a + 36\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 3 }$ |
$=$ |
$ 6 a + 7 + \left(37 a + 27\right)\cdot 43 + 2\cdot 43^{2} + \left(8 a + 17\right)\cdot 43^{3} + \left(8 a + 33\right)\cdot 43^{4} + \left(13 a + 20\right)\cdot 43^{5} + \left(28 a + 35\right)\cdot 43^{6} + \left(4 a + 4\right)\cdot 43^{7} + \left(5 a + 29\right)\cdot 43^{8} + 15\cdot 43^{9} + \left(14 a + 4\right)\cdot 43^{10} + \left(36 a + 15\right)\cdot 43^{11} + \left(3 a + 3\right)\cdot 43^{12} + \left(11 a + 20\right)\cdot 43^{13} + \left(41 a + 42\right)\cdot 43^{14} + \left(37 a + 29\right)\cdot 43^{15} + \left(14 a + 39\right)\cdot 43^{16} + \left(39 a + 18\right)\cdot 43^{17} + \left(41 a + 37\right)\cdot 43^{18} + \left(15 a + 25\right)\cdot 43^{19} + \left(6 a + 5\right)\cdot 43^{20} + \left(17 a + 16\right)\cdot 43^{21} + \left(8 a + 38\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 4 }$ |
$=$ |
$ 12 + 18\cdot 43 + 6\cdot 43^{2} + 9\cdot 43^{3} + 8\cdot 43^{4} + 18\cdot 43^{5} + 3\cdot 43^{7} + 13\cdot 43^{8} + 28\cdot 43^{9} + 34\cdot 43^{10} + 8\cdot 43^{11} + 10\cdot 43^{12} + 11\cdot 43^{13} + 27\cdot 43^{14} + 29\cdot 43^{15} + 33\cdot 43^{16} + 29\cdot 43^{17} + 38\cdot 43^{18} + 16\cdot 43^{19} + 25\cdot 43^{20} + 12\cdot 43^{21} + 21\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 5 }$ |
$=$ |
$ 18 + 12\cdot 43 + 33\cdot 43^{2} + 12\cdot 43^{3} + 25\cdot 43^{4} + 31\cdot 43^{5} + 25\cdot 43^{6} + 10\cdot 43^{7} + 32\cdot 43^{8} + 40\cdot 43^{9} + 6\cdot 43^{10} + 5\cdot 43^{11} + 39\cdot 43^{12} + 9\cdot 43^{13} + 33\cdot 43^{14} + 4\cdot 43^{15} + 21\cdot 43^{16} + 26\cdot 43^{17} + 38\cdot 43^{18} + 35\cdot 43^{19} + 42\cdot 43^{20} + 28\cdot 43^{21} + 25\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 6 }$ |
$=$ |
$ 38 a + 18 + \left(27 a + 27\right)\cdot 43 + \left(12 a + 13\right)\cdot 43^{2} + \left(15 a + 20\right)\cdot 43^{3} + \left(a + 35\right)\cdot 43^{4} + \left(17 a + 28\right)\cdot 43^{5} + \left(36 a + 28\right)\cdot 43^{6} + \left(21 a + 34\right)\cdot 43^{7} + \left(24 a + 15\right)\cdot 43^{8} + \left(33 a + 33\right)\cdot 43^{9} + \left(33 a + 25\right)\cdot 43^{10} + \left(32 a + 27\right)\cdot 43^{11} + \left(18 a + 38\right)\cdot 43^{12} + \left(17 a + 28\right)\cdot 43^{13} + \left(20 a + 30\right)\cdot 43^{14} + \left(34 a + 15\right)\cdot 43^{15} + \left(38 a + 5\right)\cdot 43^{16} + \left(26 a + 41\right)\cdot 43^{17} + \left(20 a + 17\right)\cdot 43^{18} + \left(27 a + 17\right)\cdot 43^{19} + \left(36 a + 12\right)\cdot 43^{20} + \left(38 a + 23\right)\cdot 43^{21} + \left(26 a + 28\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 7 }$ |
$=$ |
$ 32 a + 9 + \left(26 a + 8\right)\cdot 43 + \left(33 a + 29\right)\cdot 43^{2} + \left(25 a + 36\right)\cdot 43^{3} + \left(18 a + 10\right)\cdot 43^{4} + \left(41 a + 11\right)\cdot 43^{5} + \left(12 a + 27\right)\cdot 43^{6} + \left(10 a + 38\right)\cdot 43^{7} + \left(36 a + 3\right)\cdot 43^{8} + \left(13 a + 33\right)\cdot 43^{9} + \left(28 a + 20\right)\cdot 43^{10} + \left(40 a + 19\right)\cdot 43^{11} + \left(23 a + 29\right)\cdot 43^{12} + \left(18 a + 4\right)\cdot 43^{13} + \left(9 a + 35\right)\cdot 43^{14} + \left(33 a + 5\right)\cdot 43^{15} + \left(13 a + 11\right)\cdot 43^{16} + \left(24 a + 29\right)\cdot 43^{17} + \left(36 a + 30\right)\cdot 43^{18} + \left(10 a + 38\right)\cdot 43^{19} + \left(37 a + 20\right)\cdot 43^{20} + \left(12 a + 31\right)\cdot 43^{21} + \left(30 a + 18\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
| $r_{ 8 }$ |
$=$ |
$ 37 a + 13 + \left(5 a + 15\right)\cdot 43 + \left(42 a + 9\right)\cdot 43^{2} + \left(34 a + 24\right)\cdot 43^{3} + \left(34 a + 33\right)\cdot 43^{4} + \left(29 a + 25\right)\cdot 43^{5} + \left(14 a + 7\right)\cdot 43^{6} + \left(38 a + 24\right)\cdot 43^{7} + \left(37 a + 29\right)\cdot 43^{8} + \left(42 a + 10\right)\cdot 43^{9} + \left(28 a + 18\right)\cdot 43^{10} + \left(6 a + 37\right)\cdot 43^{11} + \left(39 a + 13\right)\cdot 43^{12} + \left(31 a + 27\right)\cdot 43^{13} + \left(a + 29\right)\cdot 43^{14} + \left(5 a + 26\right)\cdot 43^{15} + \left(28 a + 16\right)\cdot 43^{16} + 3 a\cdot 43^{17} + \left(a + 40\right)\cdot 43^{18} + \left(27 a + 42\right)\cdot 43^{19} + \left(36 a + 38\right)\cdot 43^{20} + \left(25 a + 26\right)\cdot 43^{21} + \left(34 a + 29\right)\cdot 43^{22} +O\left(43^{ 23 }\right)$ |
Generators of the action on the roots
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Cycle notation |
| $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ |
| $(3,6)(4,5)$ |
| $(2,4,6)(3,7,5)$ |
| $(1,3,7,4,8,6,2,5)$ |
Character values on conjugacy classes
| Size | Order | Action on
$r_1, \ldots, r_{ 8 }$
| Character value |
| $1$ | $1$ | $()$ | $4$ |
| $1$ | $2$ | $(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)$ | $-4$ |
| $6$ | $2$ | $(1,8)(2,7)$ | $0$ |
| $12$ | $2$ | $(1,6)(2,4)(3,8)(5,7)$ | $0$ |
| $24$ | $2$ | $(1,5)(2,7)(4,8)$ | $0$ |
| $32$ | $3$ | $(2,6,4)(3,5,7)$ | $1$ |
| $6$ | $4$ | $(1,7,8,2)(3,4,6,5)$ | $0$ |
| $6$ | $4$ | $(1,5,8,4)(2,6,7,3)$ | $0$ |
| $12$ | $4$ | $(1,2,8,7)(3,6)(4,5)$ | $-2$ |
| $12$ | $4$ | $(1,5,8,4)$ | $2$ |
| $32$ | $6$ | $(1,6,7,8,3,2)(4,5)$ | $-1$ |
| $24$ | $8$ | $(1,3,7,4,8,6,2,5)$ | $0$ |
| $24$ | $8$ | $(1,2,5,6,8,7,4,3)$ | $0$ |
The blue line marks the conjugacy class containing complex conjugation.
